高考数学(文)真题、模拟新题分类汇编：解析几何【含解析】
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H 单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于
函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b
2
，
即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．
(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；
(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab
a ＋b
.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：
(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）
c －b
，
即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b
.
因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）
b
，故可以选择f (x )＝x (x >0)；
(2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b
－b ，因为a >0，b >0，所以化简得
f （a ）
a
＝f （b ）b
，故可以选择f (x )＝x (x >0)．
20．[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点
A ，
B 分别在
C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：
x 0x
a 2
－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，
|MF |
|NF |
恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2
＋1.
由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c
2，－c 2a .
又直线OA 的方程为y ＝1
a
x ，
则A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －
c 2
＝3a .
又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2
＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.
(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为
x 0x
3
－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝
x 0x －3
3y 0
(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，
2x 0－33y 0，直线l 与直线x
＝32的交点为N 32，3
2x 0－3
3y 0
， 则|MF |2
|NF |
2＝（2x 0－3）
2
（3y 0）
2
14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）
2＝（2x 0－3）2
9y 204＋94（x 0－2）2
＝ 43·（2x 0－3）2
3y 20＋3（x 0－2）
2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 2
0＝1，
代入上式得|MF |2
|NF |2＝43·（2x 0－3）2
x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）2
4x 2
0－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝23
3，为定值．
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点
与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；
②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2
＝4，
解得a 2
＝6，b 2
＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，
则直线TF 的斜率k TF ＝m －0
－3－（－2）
＝－m .