相似三角形的判定(预备定理)

27.2.1相似三角形的判定
（第1课时）
创设情境，引入新课
1、相似多边形有什么性质？
2、在相似多边形中最简单的
是相似三角形，你能给它下一个定义吗？
3、在 △ ABC和 △A’B’C’中，
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
则（1）△ ABC与△A’B’C相’似 ，记作△ ∽ABC
△A’B’C’.
A
A
A
B
D
E
D
E
O
F
G
E
F
B
F
C
图1
DE∥BC ，DF∥AC,
B 图2
DE∥FG//BC
CC
D
图3
AB∥EF∥CD,
2、如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
解: (1) DE ∥ BC
上下型:(1) AB DE (2) BC EF
BC EF
AB DE
A
上全型: (1) AB DE (2) AC DF AC DF AB DE
B
全
下全型: (1) BC AC
EF DF
(2) AC BC
DF EF
C
D
l1
E上
l2
下
F l3
拓 展: AB BC AC
图5
DE EF DF
如图，l1 ∥l2 ∥l3，AB 3，BC 6，DE 2.求EF的长.
解：∵l1 ∥l2 ∥l3
AB DE
l1
BC EF
又∵ AB 3，BC 6，DE 2
3 2 6 EF
解得：EF 4
A
D
l1
B
E
l2
C
F l3
图5
定理的符号语言 ∵L3//L4//L5
AB DE BC EF
(平行线分线段成比例定理)
L1 L2
A
D
L3Βιβλιοθήκη BEL4C
F
L5
平行线分线段成比例定理：
1. 如图,已知：DE//BC, 求证： △ADE∽△ABC
证明：在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C 过E作EF//AB交BC于F
A
D
E
则 AE BF AD AE AC BC AB AC
B
FC
∵四边形DBFE是平行四边形
∴DE=BF AE DE
则BC的长是（ ）
A. 1 B. 3
2
2
C. 5
D. 7
2
2
3.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB， 则图中与△ABC相似的三角形有____个.
4.如图，在□ABCD中，点E在AB上，CE、BD交
命题：平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长
线)相交,所得的三角形与原三角形相似.
A DE
ED A
B
C
B
C
“A”型
“X”型
命题： 平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长 线)相交,所得的三角形与原三角形相似.
思考：(如何证明此命题） 1、证明文字命题的步骤是什么？ 2、证明两个三角形相似的方法目前方法是什么？
l4
D
A
M l1
B
EN
l2
F
C
P
l3
图1
几何语言
∵l1 ∥l2 ∥l3，AB BC DE EF 即 DE 1
EF
如图2，两条直线AC、DF被三条互相平行
A
的直线l1 、 l2 、 l3所截，截得的四条线段
B
分别为AB，BC，DE，EF，平行线 l1 、 l2 之间的距离为d1 ，平行线 l2 、 l3之间的距 C
两条直线被一组平行线所截，所得的对 应线段成比例.
活动四
1、把图中l2向左平移时，两直
l1
线相交时有两种特殊的交点如
下图，图（1）是把l4看成平行 于△ABC的边BC的直线，图
（2）是把l3看成平行于△ABC 的边BC的直线，那我们能得出
l2 l3 l4 l5
什么样的结论呢？
平行线分线段成比例定理推论：
C B
例：如图，BE , CF 是ABC的中线，交于点G, 求证：GE GF 1。
GB GC 2
1、“三角形相似的预备定理”.这个定理揭示了有三角形 一边的平行线，必构成相似三角形， 因此在三角形相似 的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似. 2、相似比是带有顺序性和对应性的.
例2.如图所示，已知D为△ABC的边AC上的一点，
k
（2）△ ABC与△A’B’C’相似比1为 ，
k
△A’B’C’与△ ABC相似比为 .
全等
A A
D
E
E
D 基本图形
F
B
CB
C
已知：在△ABC中， 已知：在平行四边形ABCD中， AD=DB，DE∥BC. AE=EB，AD∥EF∥BC.
A
D
E
F
B
C
已知：在梯形ABCD中， AE=EB，AD∥EF∥BC.
离为d2 .
1.【猜想】
AB BC
，DE EF
.
由 此 可 以 得 出 结 论：
2.请验证你的猜想.
D
l1
E
l2
F l3
图2
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.
A
D
l1
B
E
∵l1 ∥ l2 ∥ l3
l2 几何语言
AB DE
C
F l3
BC EF
图5
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.
E
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400.
A
D
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
（2） △ADE∽△ABC
AE DE ,即 50 DE . AC BC 50 30 70
所以, DE 50 70 43.75(cm). 50 30
（3）求△ABC与△ADE的相似比？
平行三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段的比相等. B
l1 A D
（图1）
l2 l3
E l4 C l5
l1
D A
l2
E l3 l4
B （图2） C l5
如果把多余的线去掉如下图：
A
DE
ED A
B
C
B
C
“A”型
“X”型
2、除了刚才的结论，你还能得出△ABC与它平行的 线DE所截得△ADE之间还有什么关系？你能用语言 叙述这个结论？
AC BC
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
总结： A DE
ED A
B
C
B
C
“A”型
数学符号语言
“X”型
∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
预备定理：平行于三角形一边的直线与其它两边 (或延长线)相交，所得的三角形与原三角形相似.
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的
相似三角形，并说明理由.
E为CB的延长线上的一点，且 求证：AD=EB
EF AC FD BC
1.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A.
AD BC DF CE
B.
BC DF C. CE AD
CD BC EF BE
D.
CD AD EF AF
2.如图，在△ABC中，DE∥ BC，DE 1，AD 2，DB 3，