高等数学——导数练习试题.docx

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(完整版)高等数学——导数练习题

。
y ＝阳）的图象征点 M(l，只1））处的切线方程是 y ＝；川，那么
f(l)+ f ’(1) =
。
y = x3 - 2x2 - 4x + 2 在点（1, - 3）处的切线方程是
。
= 4. 假设尸（2x2-3) (x2-4），那么 y'
产3cosx-4sinx ，那么 y’＝
。
2x- 6y+l=O 垂直，且与曲线尸｝＋3} - 1 相切的直线方程是
一．选择题
fun ！（与＋~）－ f(xo) = k ，那么 lin1 j（与＋ 2·~）－ j（岛）等于（ )
•Ax 0
~
•1'.x 0
~
A. 2k
B. k
C. .!._ k
2
f (x) =sin a -cosx，那么／（α）等于（
A. sin a
C. sin α ＋cos α
B. cos a
37. 函数 f(x) = 2x - sinx 在（－∞，＋∞）上〔 )
A . 是增函数 B . 是减函数 c . 有最大值
38. 函数 y ＝旦王的最大值为（ )
x
D . 有最小值
A. e- 1
B. e
二．填空题
C. e2
D. !Q
3
1. f'(x）是 f忡：对巾＋ l 的导函数，那么 f同的值是
y,
A. 1 个
B. 2 个
c. 3 个
D. 4 个
30. 以下求导运算正确的选项是（
A、（x ＋去问古
x
np
、
O X ／
l
’E’

数学导数练习题和答案

数学导数练习题和答案1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ 的导数。

解：首先应用幂函数的导数规则，$ f'(x) = 3x^2 - 6x $。

2. 计算函数 $ g(x) = \sin(x) + e^x $ 的导数。

解：利用三角函数和指数函数的导数规则，$ g'(x) = \cos(x) + e^x $。

3. 确定函数 $ h(x) = \ln(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数值。

解：对数函数的导数为 $ \frac{1}{x} $，因此 $ h'(1) = 1 $。

4. 求函数 $ k(x) = \frac{1}{x} $ 的导数。

解：使用商的导数规则，$ k'(x) = -\frac{1}{x^2} $。

5. 计算复合函数 $ F(x) = (x^2 + 1)^3 $ 的导数。

解：应用链式法则，$ F'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x =6x(x^2 + 1)^2 $。

6. 求函数 $ G(x) = \sqrt{x} $ 的导数。

解：使用根号函数的导数规则，$ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $。

7. 计算函数 $ H(x) = e^{2x} $ 的导数。

解：指数函数的导数规则表明，$ H'(x) = 2e^{2x} $。

8. 确定函数 $ I(x) = \tan(x) $ 的导数。

解：正切函数的导数为 $ \sec^2(x) $，因此 $ I'(x) =\sec^2(x) $。

9. 求函数 $ J(x) = \arcsin(x) $ 的导数。

解：反正弦函数的导数为 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，所以 $ J'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $。

完整版)导数求导练习题

完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。

2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。

3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。

4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。

5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。

6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。

7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。

8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。

9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。

答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。

(word完整版)导数的计算(理科)练习题(含答案)[精品],推荐文档

导数的计算（理科）练习题（含答案）一、选择题1．下列求导正确的是（）A ．211)1(xx x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．3(3)3log x x e '=⋅ D ．2(cos )2sin x x x x '=-2．质点做直线运动的方程是s =，则质点在t=3时的速度是（）（位移单位：m 时间单位：s ）AB C D3．下列结论：①若y=cos x ，则'sin y x =-；②若y=，则'y =；③若21y x =，则32'|27x y ==-中，正确的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知曲线2ln (0)4x y x x =->的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．125．下列结论中正确的个数为( )① y ＝ln2，则y ′＝12 ② y ＝21x ，则y ′|x ＝3＝－227 ③ y ＝2x ，则y ′＝2x ln2 ④ y ＝log 2x ，则y ′＝1ln 2x A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数4538y x x =+-的导数是（） A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 7．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（） A ．2 B ．12 C ．―12D ．―2 二、填空题8．y ＝10x 在(1,10)处切线的斜率为________．9．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为________。

10．在曲线y ＝24x上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________。

导数练习题含答案完整版

导数练习题含答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】导数练习题班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40 B．0.41 C．0.43D．0.443．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6 B．18C．54D．815．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A．3 B．－3C． 2D．－26．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－28．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8D．29．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－111．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )A．0 B．2xC． 6D．912．已知函数f(x)＝1x，则f′(－3)＝( )A． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2xx ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为022．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．523．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－ 1C ．－1D ．－325．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．427．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B．－71C ．－15D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.2．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.3．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________．5．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________. 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.9．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．10．函数y ＝x e x 的最小值为________．11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．12．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B．18C．54D．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B．－3C． 2D．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直解析：选 B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a＝1，b＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选 C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4B.19C ．－14D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1.15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋解析：选 C.∵y′＝8x－1x2＝8x3－1 x2>0，∴x>12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2. 27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x －3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B ．11万件C．9万件D ．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B ．0秒C．4秒末D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0x＋Δx2＋4?x0＋Δx－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2.答案：a ＋4210．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．解析：设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则高h ＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设矩形的长为x m ，则宽为16－2x2＝(8－x ) m(0<x <8)， ∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0，则x ＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x1＋x2＝11＋x2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4?Δx＝limΔx→0Δx2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝1 2x .解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1 x .令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－23a，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a＝－3，b＝－9，∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－4 3 .(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。

高等数学——导数练习试题.docx

一．选择题1. 若 lim f ( x 0x) f ( x 0 ) k ，则 lim f ( x 0 2 x) f ( x 0 ) 等于 ()x 0x x 0x1 kA. 2kB. kC. D. 以上都不是22. 若 f （x ）=sin α－ cosx ，则 ()A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α （ x ） ax 3 x 2 ，若 , 则 a 的值等于 ( ) = +3 +2A ．19B ．1633C ．13D ．10334. 函数 y= x sin x 的导数为 ()．y ′ =2 x sin x + x cos xB ． y ′ = sin x x cos xA2 x +C ．y ′=sin x+ x cosxD ．y ′=sin x－ x cosxxx5. 函数 y x2cos x 的导数为( )= x 2x x 2A ． y ′ x x － sin x．y ′ x sin x=2 cosB=2 cos+C ． y ′ x 2 x － x x ．y ′ x x － x 2sin x= cos 2 sinD = cos6. 函数 y= x 22a（ a>0）的导数为 0，那么 x 等于（）ax．± aA ．BC ．－ a．a 2D7. 函数 y=sin x的导数为（）xA ． y ′ = x cos x sin x．y ′= x cos x sin xx 2Bx 2C ． y ′ = x sin x cos x．y ′ = x sin x cos xx 2Dx 211)2的导数是（8. 函数 y= (3x）A ．6B ．6C ．－6D ．－6(3x1) 31) 2 (3x1) 3(3x 1) 2(3x9. 已知y= 1sin2 x+sin x ，那么y ′是（）2A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数 10. 函数 y =sin 3 （ x ）的导数为（）3 + 4A ．3sin 2（3x+ ）cos （3x+） B ． 9sin 2（3x+ 4 ） cos （3x+ ）444．9sin 2（ x）D．－ 2 x ） cos （ x）C3 +9sin （3 +43 +4411. 函数 y=cos （ sin x ）的导数为（）x ）A ．－［ sin （sin x ）］cos x．－sin （sinB．［sin （sin x ）］cos x．sin （cos x ）CD12. 函数 y xx 的导数为（）=cos2 +sinA ．－ 2sin2 x + cos x． 2sin2 x + cos x2xB 2 xC ．－ 2sin2 x+sin x ． 2sin2 x － cos x2 x D 2 x13. 过曲线 y = 1 上点 P （， 1）且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为 x 1 1 2（）y xy x－．A ．2 8 +7=0B 2 +8 +7=0yx －9=0．y－xC ．2 +8－ x 2 ）的导数为（ D 28 +9=014. 函数 y=ln （－x）3 2A ．2B ．1x33 2xx 22x 22x 2C ．x 22x 3D ． x 2 2x 315. 函数 y=lncos2 x 的导数为（）xA ．－ tan2 x．－2tan2BC ．2tan xD ．2tan2 x16. 已知 y1x 3 bx 2 (b2) x 3 是 R 上的单调增函数，则b 的取值范围是3 ( )A. b1，或 b 2 B. b 1，或 b 2 C.1 b 2D. 1 b 217. 函数 f ( x) (x 3)e x 的单调递增区间是( )A. ( ,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2, )18.函数 y= a x22x（a>0 且 a≠1），那么（）．a x2 2 xlnaB．2（ lna）ax2 2 xAC．2（x－）a x2 2 x ·lna．（x－）a x22 xlna 1D119.函数 y=sin3 2x的导数为（）A．2（cos32x）· 32x·ln3B．（ ln3 ）· 32x·cos32xC．cos32x2x·cos32xD．320.已知曲线 y x2的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）42A．1B． 2C．3D．421.曲线y x3321在点（，－）处的切线方程为（）11A．y 3x 4B．y3x 2 C． y4x 3 D． y 4x 522.函数 y( x1) 2 (x 1) 在 x1处的导数等于（）A． 1B．2C． 3D．423.已知函数 f (x)在 x1处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为（）A．()(x 1) 23(x1)．f (x)2(x 1)f x BC． f ( x) 2( x1) 2D． f (x)x 124.函数 f ( x)x 3ax23x9 ，已知f ( x)在x3时取得极值，则 a （）=25.函数 f( x)x3 3x21是减函数的区间为 ( )A. (2,)B.(, 2)C.(,0)D. (0, 2)26.函数 y = x3 -3x2 -9x (- 2 < x <2)有（）A. 极大值 5，极小值－ 27B.极大值 5，极小值－ 11C.极大值 5，无极小值D.极小值－ 27，无极大27.三次函数 f x ax3x 在x,内是增函数，则（）A. a0B. a0C. a1D. a1328. 在函数 y x 3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的4点的个数是（）A ． 3B ．2C ．1D ．0 29. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a,b) ，导函数 f ( x) 在 ( a,b) 内的图象如图所示，则函数 f ( x) 在开区间 (a,b) 内有极小值点（）y?y f ( x)A ．1 个B ．2 个bC ．3 个D ．4 个30. 下列求导运算正确的是（）aOxA 、11、 (xx 2)1 x 3 BC 、D、31. 已知函数 f ( x)= ax 2 ＋c, 且 f (1)=2, 则 a 的值为 ()A ． 0B． 2C．－ 1 D． 132. 函数 y = x 3 + x 的递增区间是（）． (0, )B． (,1)C． ( ,)D． (1, )A33. 函数 y= ln x 的导数为（）A ．2x ln xB ．x2 ln xC ．1D ．1ln x2x ln xx34. 设 AB 为过抛物线y 22 ( 0) 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）px pA ．pB． pC ． 2 pD ．无法确定235. 函数 yx 3 3x 的极大值为 m ，极小值为 n ，则 m n 为（）A ．0B ．1C．2 D ． 436. 函数 y4x 21单调递增区间是（）xA ． (0, )B ． ( ,1)C ． ( 1,) D． (1, )237. 函数 f ( x) 2xsin x 在 ( , ) 上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值38. 函数 yln x的最大值为（）xA ． e 1B ． e C． e 2D ．103二．填空题1. f ( x) 是 f ( x) 1 x 3 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是。

导数练习题(含标准答案)

导数练习题(含标准答案)选择题：1.已知 $f(x)=ax+3x+2$，若 $f'(-1)=4$，则 $a$ 的值等于$\frac{19}{3}$。

2.已知直线$y=kx+1$ 与曲线$y=x+ax+b$ 切于点$(1,3)$，则 $b$ 的值为 $-3$。

3.$(x+2a)(x-a)$ 的导数为 $3x$，则函数 $y$ 可以表示为$3(x^2-a^2)$。

4.曲线 $y=\frac{1}{9}x+\sqrt{x}$ 在点$(1,\frac{4}{3})$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$。

5.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的导数为 $f'(x)$，$f'(0)>0$，对于任意实数 $x$，有 $f(x)\geq f(1)$，则最小值为$\frac{3}{2}$。

6.已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $3$，则 $f(x)$ 的解析式可能为 $f(x)=2(x-1)$。

7.下列求导数运算正确的是：$(x+\sqrt{x})' =1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。

8.曲线 $y=2x-x^2+5$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $-\frac{\pi}{3}$。

9.曲线 $y=x^3-3x^2+5$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $y=-2x+5$。

10.设函数 $y=x\sin x+\cos x$ 的图像上的点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $k$，若 $k=g(x)$，则函数 $k=g(x)$ 的图像大致为$y=\cos x$。

11.一质点的运动方程为 $s=5-3t$，则在一段时间$[1,1+\Delta t]$ 内相应的平均速度为 $-3\Delta t+6$。

12.曲线 $f(x)=\ln(2x-1)$ 上的点到直线 $2x-y+3=0$ 的最短距离是 $5$。

(完整word版)高二数学导数大题练习(详细答案)(word文档良心出品).doc

1．已知函数 f ( x) ax 3bx 2(c 3a 2b) x d 的图象如图所示．（I）求c, d的值；（II ）若函数f (x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0，求函数 f (x)的解析式；（III ）在（ II ）的条件下，函数y f ( x) 与y 1 f (x) 5x m 的3图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．2．已知函数 f (x) a ln x ax 3(a R) ．（I）求函数f ( x)的单调区间；（ II ）函数 f ( x)的图象的在x 4 处切线的斜率为 3 , 若函数2g( x) 1x 3 x2 [ f '( x)m] 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3 23．已知函数 f ( x) x3 ax2 bx c 的图象经过坐标原点，且在 x 1 处取得极大值．（I）求实数a的取值范围；（II ）若方程f ( x) (2a 3) 2 恰好有两个不同的根，求 f ( x) 的解析式；9（III ）对于（II ）中的函数f (x)，对任意、R，求证：| f ( 2sin ) f ( 2sin ) | 81 ．4．已知常数a0 ，e为自然对数的底数，函数 f ( x) e x x ，g(x)x 2 a ln x ．（I）写出f (x)的单调递增区间，并证明e a a；（I I ）讨论函数y g( x)在区间(1,e a)上零点的个数．5．已知函数 f (x)ln( x 1) k( x 1) 1．（I）当k 1时，求函数 f ( x)的最大值；（I I ）若函数f ( x)没有零点，求实数k的取值范围；6．已知x 2 是函数f (x)(x2ax 2a 3)e x的一个极值点（e 2.718）．（I）求实数a的值；（I I ）求函数f ( x)在x [3,3]的最大值和最小值．27．已知函数 f ( x)x24x (2 a) ln x, (a R, a 0)（I）当 a=18 时，求函数 f ( x)的单调区间；（I I ）求函数f (x)在区间[ e, e2]上的最小值．8．已知函数 f (x) x(x 6) a ln x在x (2, ) 上不具有单调性．．．．（I）求实数a的取值范围；（ II ）若f ( x)是f (x)的导函数，设g( x) f ( x) 6 22，试证明：对任意两个不相38 x等正数 x1、x2，不等式 | g( x1 ) g ( x2 ) | | x1 x2 | 恒成立．279．已知函数 f ( x) 1 x2 ax (a 1) ln x, a 1.2（I）讨论函数 f (x)的单调性；（II ）证明：若a 5, 则对任意 x1 , x2 (0, ), x1 x2 f ( x1 ) f (x2 ),有 1.x1 x210．已知函数 f (x) 1 x2 a ln x, g ( x) (a 1)x , a1．2（I）若函数f ( x), g( x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围；（II ）若a (1, e] ( e 2.71828 ) ，设 F (x) f (x) g (x) ，求证：当 x , x [1,a] 时，不1 2等式 | F ( x1 ) F ( x2 ) | 1 成立．11．设曲线C：f (x)ln x ex （e 2.71828）， f ( x)表示 f ( x)导函数．（I ）求函数f ( x)的极值；（II ）对于曲线C上的不同两点A( x1, y1)，B( x2, y2)x0( x1 ,x2 ) ，使直线AB的斜率等于 f ( x0 ) ．， x1 x2，求证：存在唯一的12．定义F (x, y) (1 x) y , x, y ( 0, ) ，（I ）令函数f (x) F (3,log2 (2 x x2 4)) ，写出函数 f ( x) 的定义域；使得（II ）令函数g( x) F (1,log2 ( x3 ax2 bx 1)) 的图象为曲线，若存在实数bC曲线 C 在x0( 4 x0 1) 处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；（III ）当x, y N*且x y 时，求证 F ( x, y) F ( y, x) ．高二数学数部分大答案1．解：函数 f (x) 的函数 f ' ( x) 3ax 2 2bx c 3a 2b （I ）由可知函数 f (x) 的象点（ 0，3），且 f ' (1)⋯⋯⋯⋯ （2 分）得d 3d 33a2b c 3a2b 0c 0（II ）依意f ' (2)3 且 f ( 2) 5⋯⋯⋯⋯ （4 分）12a 4b 3a 2b3 8a 4b 6a 4b 35解得 a 1,b 6 所以 f ( ) x 3 6 x 29 x 3 ⋯⋯⋯⋯ （8 分） x（III ） f ( x) 3x 2 12 x 9 ．可化： x 3 6x 2 9 x 3 x 2 4x 3 5x m 有三个不等根，即： g x x 3 7 x 2 8x m 与 x 有三个交点；g x 3x 214 x 8 3x 2 x 4 ，x,2 22，44，3 343g x+-+ g x增极大减极小增 g268 m, g 416 m ．⋯⋯⋯⋯ （10 分）327当且当 g268 m 0且g 416 m 0 ，有三个交点，327故而，16 m68所求．⋯⋯⋯⋯ （12 分）272．解：（I ） f '( x)a(1 x) ( x 0)（2 分）x当 a 0时, f ( x)的单调增区间为 0,1 , 减区间为 1,当 a 0时 , f (x)的单调增区间为 1,, 减区间为 0,1 ;当 a=1 ， f ( x) 不是函数（5 分）（II ） f ' (4) 3a3得 a 2, f ( x) 2 ln x 2x 34 2g (x)1 x3( m2) x 2 2x, g' (x) x 2 ( m 4)x 2 （6 分）3 2g (x)在区间 (1,3)上不是单调函数 , 且 g' (0) 2g' (1) 0, g' (3) 0.m 3,19, 3) （8 分）m 19 ,（10分）m (33（12 分）3．解：（I ） f (0)0 c 0, f ( x) 3x 2 2axb, f (1) 0 b 2a 3 f ( x)3x 22ax (2a 3) ( x 1)(3x 2a 3),由 f ( x)0 x1或 x2a 3，因当 x1 取得极大，3所以2a 3 1a3 ，所以 a 的取值范围是 : (, 3) ；3（II ）由下表：x(,1)12 a 32a 32a 3(1,)3(, )33f (x)+ 0- 0-极大极小f (x)增减增a6(2a3)2a 227依意得：a6 ( 2a 3)2( 2a 3)2，解得： a9279所以函数 f (x) 的解析式是： f ( x) x 3 9x 2 15x（III ）任意的数,都有 22sin 2, 2 2 sin2,在区 [-2，2] 有：f (2)8 36 30 74, f (1) 7, f ( 2)8 36 30 2f ( x)的最大值是 f (1) 7, f ( x)的最小值是 f ( 2)8 36 3074函数 f ( x)在区间 [ 2,2] 上的最大与最小的差等于81，所以 | f (2 sin ) f (2sin ) | 81．4．解：（I ） f (x) e x1 0 ，得 f (x) 的增区是 (0, ) ， ⋯⋯⋯⋯ （2 分）∵ a 0 ，∴ f (a) f (0) 1，∴ e aa 1 a ，即 e aa ． ⋯⋯⋯⋯ （4 分）（II ） g (x)a2( x2a)( x 2a )2a，列表2x 2x2，由 g (x)0 ，得 xx2x( 0, 2a2a2a ))2(,22g (x)-+g( x)减极小增当 x2a，函数 yg( x) 取极小 g( 2a )22由（ I ） eae 2 ae aa，∴ e aa ，∵a ，∴ e 2 aa22g (1) 1 0 ， g(e a ) e 2 aa 2 (e a a)(e aa) 0a (1 ln a) ，无极大．2 2 2a 2⋯⋯⋯⋯ （8 分）（ i ）当（ ii ）当2a 1 ，即 0 a 2 ，函数 yg( x) 在区 (1, e a ) 不存在零点22a1 ，即 a 22若 a (1 ln a) 2 2若 a (1 ln a) 2 2若a(1 ln a) 2 2上所述， y0 ，即 2 a 2e ，函数 y g (x) 在区 (1,e a ) 不存在零点0 ，即 a 2e ，函数 yg( x) 在区 (1, e a ) 存在一个零点 xe ；0 ，即 a 2e ，函数 y g( x) 在区 (1, e a ) 存在两个零点；g(x) 在 (1,e a) 上，我有：当 0 a 2e ，函数 f (x) 无零点；当 a 2e ，函数 f ( x) 有一个零点；当 a 2e ，函数 f (x) 有两个零点．5．解：（I ）当 k1 ， f( x)2 xx 1f ( x) 定域（ 1，+），令 f ( x) 0, 得x2 ，∵当 x (1,2)时 , f ( x) 0 ，当 x (2, )时, f (x) 0 ，∴ f (x)在 (1,2) 内是增函数，在(2, ) 上是减函数 ∴当 x 2 ， f ( x) 取最大 f (2) 0 （II ）①当 k 0时，函数 y ln( x 1) 象与函数 y k( x 1) 1 象有公共点，∴函数 f ( x) 有零点，不合要求；②当 k 0时，11 k kx k ( x 1 k )f ( x)kk⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （6 分）1x1x令x1f ( x)0, 得xk1，∵ xk 1 时, f ( x) 0, x1,) 时, f( x) 0 ，k (1,k) (1 ∴11 k在(1,1) 内是增函数，在 [1 ) 上是减函数，f (x)k,1k∴ f ( x) 的最大是 f (1ln k，)k∵函数 f ( x) 没有零点，∴ ln k 0 ， k1 ，因此，若函数 f ( x) 没有零点，数 k 的取范 k(1,)6．解：（I ）由 f (x)( x 2 ax 2a 3)e x 可得f (x)(2 x a)e x (x 2 ax 2a 3)e x [ x 2 (2 a) x a3]e x ⋯⋯ （4 分）∵ x 2 是函数 f (x) 的一个极点，∴ f (2)∴ (a 5)e 2 0 ，解得 a5,1) 增，在 ( 2,) 增，（II ）由 fx( x2)( x 1) ex0 ，得 f ( x) 在 (( )由 f (x) 0 ，得 f (x) 在在 (1,2) 减∴ f (2)e 2 是f ( x) 在 x [ 3,3] 的最小；⋯⋯⋯⋯⋯ （8 分）e 232e 23e 23f ( 3 ) 7 ， f (3)e 3∵ f (3) f (3 ) e 37 1 ( 4e e 7) 0, f (3) f (3 )242442∴ f (x) 在 x [ 3,3] 的最大是 f (3)e 3 ．27．解：（Ⅰ） f (x)x 2 4x 16 ln x ，f ' ( x) 2x 4162( x 2)( x 4)2 分x x由 f ' (x) 0 得 ( x 2)( x 4) 0 ，解得 x4 或 x2注意到 x 0，所以函数 f ( x) 的增区是（ 4，+∞）由 f ' (x) 0 得 ( x 2)( x 4) 0 ，解得 -2＜ x ＜4，注意到 x 0，所以函数 f ( x) 的减区是 (0,4] .高二数学数部分大上所述，函数 f ( x) 的增区是（ 4，+∞），减区是 ( 0,4] 6 分（Ⅱ）在 x [e,e 2 ] ， f ( x) x 2 4x (2 a) ln x 所以 f ' ( x) 2x 42 a2x 2 4x 2 a ，g ( x) 2x 2xx 4x 2 a当 a 0 ，有 △=16+4×2 ( 2 a) 8a 0 ，此 g (x) 0，所以 f ' (x) 0 ， f ( x) 在[ e, e 2 ] 上增，所以 f (x)min f (e) e 2 4e 2 a 8 分当 a 0 ， △=16 4 2(2 a) 8a 0 ，令 f ' (x) 0 ，即 2x 2 4x 2 a 0 ，解得 x 令 f ' (x) 0 ，即 2x 2 4x 2 a0 ， ①若 12a≥e 2，即 a ≥2( e21)2 ，2f (x) 在区 [ e, e 2 ] 减，所以 f ( x)min②若 e 12a e 2 ，即 2(e 1) 2a 2(e 2212a 或 x 1 2a ； 22解得 12a x 12a .22f (e 2 ) e 4 4e 2 4 2a .1)2 ，f (x) 在区 [ e,12a] 上减，在区 [12a, e 2 ] 上增，22所以 f (x)minf (12a ) a 2a3 ( 2 a) ln(12a) .222③若 12a e(e 1) 2，f ( x)在区[ e, e 2 ]增，2 ≤ ，即 0a ≤2所以 f (x)min f (e) e 2 4e 2 a上所述，当 a ≥2(e 21)2 ， f ( x) mina 4 4e 2 4 2a ；当 2(e 1) 2 a 2(e 2 1) 2 ，当 ≤1)2， f ( x) min e 2a 2(e8．解：（I ）f ( x)2x a 2x 26xf ( x)mina2a 3 ( 2 a) ln(12a ) ；2 24e2 a14 分6x a ，x∵ f ( x) 在 x (2,) 上不具有性， ∴在 x (2,) 上 f ( x) 有正也有也有0，．．．即二次函数 y 2x 2 6x a 在 x (2,) 上有零点 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （4 分）∵ y 2x 2 6xa 是称是 x3，开口向上的抛物，∴ y 2 22 6 2 a2的数 a 的取范 ( ,4)（II ）由（ I ） g( x)2x a 22，x x方法 1： g( x)f (x)2 6 2 xa 2 ( x 0) ，x 2x x 2高二数学数部分大∵ a 4 ，∴g ( x)2a 42442x 34x 4 ，⋯⋯⋯⋯ （8 分）x2x 3x2x 3x3h( x) 244， h ( x)8 12 4(2 x 3)x 2x 3x 3x 4x 4h( x) 在 (0, 3 ) 是减函数，在 ( 3 , ) 增函数，当 x3， h( x) 取最小382 2 227∴从而 g ( x) 38 ，∴ ( g( x) 380 ，函数 y g( x) 38x 是增函数，x)27 27 27x 1、x 2 是两个不相等正数，不妨x 1x 2 ， g (x 2 )3838x 2 g ( x 1 )x 12727∴ g ( x 2 ) g (x 1 )38( x 2 x 1 ) ，∵ x 2x 10 ，∴ g ( x 1 ) g( x 2 ) 3827x 1 x 2 27∴g( x 1 ) g ( x 2 )38 ，即 | g ( x 1 )g ( x 2 ) | 38x 2 |⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （12 分）x 1 x 227| x 127方法 2： M ( x 1 , g( x 1 )) 、 N (x 2 , g( x 2 )) 是曲 yg( x) 上任意两相异点，g ( x 1 ) g( x 2 )22( x 1 x 2 ) a ，12 21 2，x 1 x 2x 12x 22x 1 x 2x xx xa 42( x 1 x 2 )a(4a44⋯⋯⋯ （8 分）2 x 12 x 22x 1x 22x 1 x 2 )3x 1 x 22( x 1 x 2 )3 x 1x 2t1 ,t 0 ，令 k MNu(t)2 4t3 4t 2 ， u (t)4t(3t2)，x 1 x 2由 u (t)0，得 t2, 由 u (t) 0 得 0 t2 ,2323u( t) 在 (0, ) 上是减函数，在 ( ,) 上是增函数，33u(t) 在 t2 取极小38， u(t)38 ，∴所以 g( x 1 )g( x 2 ) 3832727x 1x 227即 | g ( x ) g( x ) |38| x x 2 |1227 1x 29．（1） f ( x) 的定域 (0,) ， f ' ( x)x a a 1 ax a 1 ( x 1)( x 1 a)xxx（i ）若 a 1 1, 即 a 2 ， f ' ( x)( x 1) 2 . 故 f ( x) 在 (0,) 增加．（ii ）若 ax1 1,而 a 1,故1 a 2,则当 x (a 1,1)时 , f ' (x) 0.当 x (0, a 1) 及 x (1,)时 , f ' ( x)0,故 f ( x)在(a 1,1) 减少，在（ 0，a-1），(1,) 增加．（iii ）若 a1 1,即 a 2,同理可得 f ( x)在 (1, a 1)单调减少 ,在 (0,1), (a 1,) 增加．（II ）考函数 g( x)f ( x) x1 x2 ax (a1) ln x x.2由 g ' ( x) x ( a 1)a 1 2 x a 1(a 1) 1 ( a 1 1) 2 .x x由于 a a5,故 g' ( x) 0,即 g( x)在 (0, )单调增加，从而当 x 1 x 2 0 有g(x 1 ) g( x 2 )0,即 f (x 1 )f (x 2 ) x 1x 2 0,高二数学导数部分大题练习故f (x 1)f ( x 2 ) 1 ，当 0 x 1 x 2 时，有 f (x 1 ) f ( x 2 ) f (x 2 ) f ( x 1 )1x 1x 2x 1x 2x 2 x 110．解：（I ） f (x)aa 1 ，x, g ( x)x∵函数 f (x), g(x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当 x [1,3] 时， f (x) g ( x) ( a 1)( x 2 a) 0 恒成立，即 (a 1)( x 2a) 0 恒x成立，∴∵a 1在 x [1,3] 时恒成立，或 a 1在 x [1,3] 时恒成立，ax 2 ax 2 9 x1 ，∴ a1 或 a 9（II ） F ( x)1 x2 a ln x,(a 1)x ， F (x) xa (a 1) ( x a)( x 1)2xx ∵ F ( x) 定义域是 (0, ) ， a (1, e] ，即 a 1∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数，在 (1,a) 实际减函数，在 ( a, ) 是增函数 ∴当 x 1 时， F ( x) 取极大值 MF (1)a 1 ，2当 x a 时， F ( x) 取极小值 mF (a) aln a1 a2 a ，2∵ x , x2 [1,a] ，∴121| F ( x ) F ( x ) | | M m | M m设 G (a) M m1 a2 a ln a 1，则 G (a) a ln a 1 ，2 2∴ [G (a)]11，∵ a (1, e] ，∴ [ G (a)] 0a∴ G ( a) a ln a 1 在 a (1, e] 是增函数，∴ G ( a)G (1)∴ G(a) 1 a2a ln a1在 a (1, e] 也是增函数221)2∴ G (a) G(e) ，即 G (a) 1 e 2 e 1 (e 1，22 2而 1 e 2 e 1 (e 1)21 (3 1)2 1 1 ，∴ G (a) M m 12 2 2 2 ∴当 x 1 , x 2 [1,a] 时，不等式 | F (x 1 ) F (x 2 ) | 1 成立．11．解：（I ） f ( x) 1 e 1 ex 1x x 0 ，得 xe当 x 变化时， f (x) 与 f ( x) 变化情况如下表：x(0, 1)e1( 1, )eef ( x)＋ 0－f ( x) 单调递增极大值单调递减 ∴当 x 1 时， f ( x) 取得极大值 f (1)2 ，没有极小值；ee（II ）（方法 1）∵ f (x 0 ) k AB ，∴1e ln x 2 ln x 1e( x 2x 1)，∴x 0x 2 x 1x 2x 1lnx2x 0 x 1高二数学数部分大即 x 0 lnx2( x 2 x 1 )x 1g (x 1) x 1 lnx 2( x 2x 1∵ x 1 x 2 ，∴ g (x 1)0 ， g (x) x lnx 2( x 2 x 1 )x 1/lnx2x 1) ， g (x 1) x 11 0 ， g (x 1) 是 x 1 的增函数，x 1g(x 2 ) x 2 lnx 2( x 2 x 2 ) 0 ；x 2g (x 2 ) x 2 lnx 2( x 2/ lnx 2 1 0 ， g( x 2 ) 是 x 2 的增函数，x 1 ) ，g(x 2 ) x2x 1x 1∵ x 1x 2 ，∴ g (x 2 ) g( x 1 )x 1 lnx 1(x 1 x 1) 0 ，x 1∴函数 g ( x) x lnx 2(x 2 x 1 ) 在 ( x 1 , x 2 ) 内有零点 x 0 ，x 1又∵ x 21, ln x 2 0，函数 g(x) xln x 2( xx )在 1 2) 是增函数，x 1x 1x 121( x , x∴函数 g ( x) x 2 x 1 ln x 2在 ( x 1 ,x 2 ) 内有唯一零点 x 0 ，命成立xx 1（方法 2）∵ f (x 0 )kAB ，∴1e ln x 2 ln x 1 e( x 2x 1)，x 0x 2 x 1即 x 0 ln x 2 x 0 ln x 1 x 1 x 2 0 ， x 0 ( x 1 , x 2 ) ，且 x 0 唯一g ( x) x ln x 2 x ln x 1 x 1 x 2 ， g ( x 1 ) x 1 ln x 2 x 1 ln x 1 x 1 x 2 ，再 h(x) x ln x 2x ln x x x 2 ， 0x x 2 ，∴ h (x) ln x 2ln x 0∴ h( x) x ln x 2 x ln x x x 2 在 0 x x 2 是增函数∴ g ( x 1 ) h( x 1 ) h(x 2 ) 0 ，同理 g (x 2 ) 0 ∴方程 x ln x 2 x ln x 1 x 1 x 2 0 在 x 0 ( x 1 , x 2 ) 有解∵一次函数在 ( x 1 , x 2 ) g( x) (ln x 2ln x 1) x x 1 x 2 是增函数∴方程 x ln x 2 x ln x 1 x 1 x 2 0 在 x 0 ( x 1 , x 2 ) 有唯一解，命成立 ⋯⋯⋯（12 分）注：用函数性明，没有去明曲C 不存在拐点，不分． 12．解：（I ） log 2 (2 x x 2 4) 0 ，即 2x x 2 4 1得函数 f ( x) 的定域是 ( 1,3) ，（II ） g( x) F (1,log 2 ( x 2 ax 2 bx 1)) x 3 ax 2 bx 1,曲 C 在x 0 ( 4x 01) 有斜率－ 8 的切，又由 log 2 (x 3ax 2bx 1)0, g ( x) 3x 22axb,3x 02 2ax 0 b8∴存在数 b 使得①4 x 01②有解，由①得x 03ax 02bx 0 1③ 1b8 3x 02 2ax 0 , 代入③得 2x 02 ax 0 8 0 ，由 2x 02 ax 08 0 有4 x 01解， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （8 分）高二数学数部分大方法 1：a 2( x) 8 ，因 4 x0 1 ，所以 2( x0 ) 8 [8,10) ，( x0 ) ( x0 )当 a 10 ，存在数 b ，使得曲C在x0( 4 x0 1) 有斜率－8的切方法 2：得2 ( 4)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）a ( 4) 8 0或 2 ( 1) 2 a ( 1) 8 0 ，a 10或a 10, a 10.方法 3：是 2 ( 4) 2 a ( 4) 8 0的集，即 a 102 ( 1)2 a ( 1) 8 0ln(1 x) , x xln(1 x)（III ）令h( x)1,由h( x) 1 xx2 x又令 p( x) x ln(1 x), x 0, p ( x) 1 1 x 0 ，x (1 x) 2 1 x (1 x) 21p( x)在[ 0, )减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12）分当 x 0时有 p( x) p(0) 0, 当x 1时有 h ( x) 0,h( x)在[1, ) 减，1 x y时,有 ln(1 x) ln(1 y), y ln(1 x) x ln(1 y), (1 x) y (1 y)x，x y当 x, y N 且 x y时 F (x, y) F ( y, x).。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

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（Ⅰ）当 a＝1，b＝2 时，求曲线 y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程; （Ⅱ）设 x1，x2 是 f（x）的两个极值点，x3 是 f（x）的一个零点，且 x3≠x1，x3≠x2．
证明：存在实数 x4，使得 x1，x2，x3，x4 按某种顺序排列后构成等差数列，并求 x4．（4）解：（Ⅰ）解：当 a=1,b=2 时，
当 x (, 2 3) 时 f (x) 0, f (x) 在 (, 2 3) 单调增加；当 x (2 3, 2 3) 时 f (x) 0, f (x) 在 (2 3, 2 3) 单调减少；当 x (2 3, ) 时 f (x) 0, f (x) 在 (2 3, ) 单调增加；
所以曲线 y f (x)在 (1, f (I)) 处的切线方程为 3x--2y=0 ．
2a （II）解：令 f '(x) 0 ，解得 x1 0, x2 3 ．
2a 当 0 ，即 a≤0 时， f (x) 在[0，2]上单调递增，从而
3
fmax f (2) 8 4a ．
2a 当 2 时，即 a≥3 时， f (x) 在[0，2]上单调递减，从而
（2）解：
3、
已知函数 f (x) ax3 x2 bx (其中常数 a,b∈R), g(x) f (x) f (x) 是奇函数.
(Ⅰ)求 f (x) 的表达式;
(Ⅱ)讨论 g(x) 的单调性，并求 g(x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.
（3）解：
4、
已知函数 f（x）＝（ x －a）²（x－b）（a，b∈R，a<b）．
2
（Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
11 （Ⅱ）若在区间 , 上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围.

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导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知，若，则a 的值等于32()32f x ax x =++(1)4f '-=ABCD1931031631332 已知直线与曲线，则b 的值为1y kx =+3y x ax b =++切于点（1，3）A3B-3C5D-53 函数的导数为2y x a a =+2（）(x-)ABCD 222()x a -223()x a +223()x a -222()x a +4 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为313y x x =+4(1,)3A B C D192913235已知二次函数的导数为，对于任意实数x ，有，则2y ax bx c =++(),(0)0f x f ''>()0f x ≥的最小值为(1)(0)f f 'A3BC 2 D52326 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为()f x 1x =()f x A B2()(1)3(1)f x x x =-+-()2(1)f x x =-CD 2()2(1)f x x =-()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是AB211(1x x x'+=+21(log )ln 2x x '=CD 3(3)3log x x e '=⋅2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线在处的切线的倾斜角为32153y x x =-+1x =AB C D6π34π4π3π9 曲线在点处的切线方程为3231y x x =-+(1,1)-A BCD 34y x =-32y x =-+43y x =-+45y x =-10设函数的图像上的点处的切线斜率为k ，若，则函数的sin cos y x x x =+(,)x y ()k g x =()k g x =图像大致为11 一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为253s t =-[1,1]t +∆ABCD 36t ∆+36t -∆+36t ∆-36t -∆-12 曲线上的点到直线的最短距离是()ln(21)f x x =-230x y -+=ABCD 013 过曲线上的点的切线平行于直线，则切点的坐标为32y x x =+-0P 41y x =-0P A B(0,1)(1,0)-或(1,4)(1,0)--或CD (1,4)(0,2)---或(2,8)(1,0)或14 点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的取值范围是323y x x =-+ααABC D [0,]2π3[0,)[,)24πππ 3[,)4ππ3(,]24ππ二、填空题15 设是二次函数，方程有两个相等实根，且，则的表达式()y f x =()0f x =()22f x x '=+()y f x =是______________16 函数的导数为_________________________________2sin x y x=17 已知函数的图像在点处的切线方程是，则_________()y f x =(1,(1))M f 122y x =+(1)(1)f f '+=18 已知直线与曲线有公共点，则k 的最大值为___________________________y kx =ln y x =三、解答题19 求下列函数的导数（1）(2) (3)(4) 1sin 1cos xy x-=+y =y =+tan y x x =⋅20 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程21:C y x =22:(2)C y x =--l 12,C C l 21 设函数，曲线在点处的切线方程为()bf x ax x=-()y f x =(2,(2))f74120x y --=（1）求的解析式()f x（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并()y f x =0x =y x =求此定值。

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完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。

m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。

完整版)高等数学——导数练习题

完整版)高等数学——导数练习题高等数学——导数练题一．选择题1.若 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x+2\Delta x)-f(x)}=k$，则$k=$（）。

A。

$2$ B。

$k$ C。

$k$ D。

以上都不是2.若 $f(x)=\sin\alpha-\cos x$，则 $f'(a)=$（）。

A。

$\sin\alpha$ B。

$\cos\alpha$ C。

$\sin\alpha+\cos\alpha$ D。

$2\sin\alpha$3.$f(x)=ax^3+3x^2+2$，若 $f'(-1)=4$，则 $a$ 的值等于（）。

A。

$4$ B。

$10$ C。

$13$ D。

$16$4.函数 $y=x\sin x$ 的导数为（）。

A。

$y'=2x\sin x+x\cos x$ B。

$y'=\dfrac{\sin x}{2x}+x\cosx$ C。

$y'=\dfrac{\sin x}{x}+\cos x$ D。

$y'=-x\cos x$5.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数为（）。

A。

$y'=2x\cos x-x^2\sin x$ B。

$y'=2x\cos x+x^2\sin x$ C。

$y'=x^2\cos x-2x\sin x$ D。

$y'=x\cos x-x^2\sin x$6.函数 $y=\dfrac{1}{x^2+a}$ 的导数为 $-\dfrac{2x}{(x^2+a)^2}$，那么 $x$ 等于（）。

A。

$a$ B。

$-a$ C。

$\sin x$ D。

无法确定7.函数 $y=\dfrac{xcosx+\sin x}{2x}$ 的导数为（）。

A。

$y'=\dfrac{x\sin x-\cos x}{x^2}$ B。

$y'=\dfrac{2x\cosx-\sin x}{x^2}$ C。

(完整版)导数大题练习带答案

导数解答题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 21-成立．2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分令xx x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'xexx -=1)(，易知eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=，由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数，当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <，由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当02a x <<或2a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x ＞2 ；由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==，…9分令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。

高等数学——导数练习题(分享文档)

一．选择题1.若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于( ) A.k 2 B.k C.k 21D.以上都不是2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )A ．sinαB ．cosαC ．sinα+cosαD ．2sinα3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(−1)=4,则a 的值等于( )A ．319 B ．316 C ．313D ．3104.函数y =x sin x 的导数为( )A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=x x 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x5.函数y =x 2cos x 的导数为( )A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x6.函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 27. 函数y =xxsin 的导数为（）A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +8.函数y =2)13(1-x 的导数是（）A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x9.已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数10.函数y =sin 3（3x +4π）的导数为（）A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）11.函数y =cos （sin x ）的导数为（）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos13.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（）A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=014.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（）A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x15.函数y =lncos2x 的导数为（）A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x16.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A. 21>-<b b ，或B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )A. B.(0,3) C.(1,4) D.x e x x f )3()(-=)2,(-∞),2(+∞18.函数y =xx a22-（a >0且a ≠1），那么y ′为（）A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln aD ．（x －1）xxa 22-ln a19.函数y =sin32x 的导数为（）A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．421.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A.2B.3C.4D.525.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2) 26.函数323922yx x x x 有（）A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大 27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（）A.0>aB.0<aC.1=aD.31=a28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．029.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 30.下列求导运算正确的是（） A 、3211)1(xx x -='+B 、(log 2x )′=1xln2C 、(x 2cosx )′=−2xsinxD 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（）A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2134.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．436.函数xx y 142+=单调递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞37.函数在上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 38.函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 二．填空题1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。

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32. 已知函数 yf (x) 的图象在点M (1， f (1)) 处的切线方程是y1 x2 ，则2f (1) f (1)。

3. 曲线y3 2x 24x 2 在点， 3) 处的切线方程是。

x(14. 若 y=(2 x 2-3)( x 2-4), 则 y ’=。

5. 若 y cosx -4sinx ,则 y ’ =。

=36. 与直线 2 x －y垂直，且与曲线y x3x 2－ 1相切的直线方程是。

6 +1=0= +37. 质点运动方程是s t 2（1+sin t ），则当 t = 时，瞬时速度为。

=28. 求曲线 y=x3+x2-1 在点 P （-1 ， -1 ）处的切线方程。

9. 若 y1x2 , 则 y ’=2 x10. 若 y3x 4 3x 2 5 , 则 y ’=x 311. 若 y 1cos x, 则 y ’=1 cos x12. 已知 f （x ）= 3 x 7x 35 x 43x。

，则 f ′（ x ）=___________。

13.已知 f （x ） =11 ，则 f ′（ x ）。

1x 1x=___________14.已知 f （x ）=sin 2x，则 f ′（ x ）。

cos 2x=___________115. 若 y=（ sinx-cosx )3 ，则 y ’= 。

16. 若 y= 1 cosx 2 ，则 y ’= 。

17. 若 y=sin 3 (4x+3) ，则 y ’=。

18. 函数 y=（1+sin3 x ） 3 是由 ___________两个函数复合而成。

19. 曲线 y=sin3 x 在点 P （， 0）处切线的斜率为 ___________。

320. 函数 y=xsin （2x －）cos （2x+）的导数是 ______________。

2221. 函数 y= cos(2x) 的导数为 ______________。

3函数 y=cos 3 122. x 的导数是 ___________。

23. 在曲线 y=x9的切线中，经过原点的切线为 ________________。

x 524. 函数 y=log 3 cosx 的导数为 ___________。

25. 函数 y x 2 lnx 的导数为。

= 26. 函数 y=ln （lnx ）的导数为。

27. 函数 y lg cosx 的导数为。

= (1+ )28. 设 y=( 2e x x 1)2，则 y ′=___________。

e29. 函数 y= 22 x 的导数为 y ′=___________。

30. 曲线 y e x －ex 在点（ e ，）处的切线方程为___________。

= ln131.f ( x) 是 f (x)1 x 3 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是。

332. 曲线 yx 3 在点 1,1 处的切线与 x 轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为__________。

33. 已知曲线 y1 x 34，则过点 P(2, 4) “改为在点 P(2, 4) ”的切线方程是3 3______________。

34. 已知 f (n ) ( x) 是对函数f( x) 连续进行n 次求导，若 f ( x) x6x5，对于任意x R ，都有 f (n)(x)，则n的最少值为。