高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2

教案·课堂探究
平面与平面垂直的判定 多维探究型 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又 SA＝SB＝SC， 求证：平面 ABC⊥平面 SBC.
解析： 证法一：利用定义证明． ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值 为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，SD， 则 AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS 为二面角 A－BC－S 的平面角．
定义
如图，记作：__二__面__角__α_－__l_－__β__或二__面__角__P_－__A__B_－__Q_或__二__面__角__P_－__l_－__Q_
范围
0°≤θ≤180°
2.二面角的平面角 在二面角 α－l－β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面
文字语言 α 和 β 内分别作__垂__直__于棱 l 的_射__线___OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的_∠__A_O__B___叫作二面角的平面角
43
∴tan∠AEP＝
5 12
＝
33.∴∠AEP＝30°.
答案： A 5
[变式练]☆ 2.如图所示，四棱锥 V－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其 他四个侧面都是侧棱长为 5的等腰三角形，求二面角 V－AB－C 的大小．
解析： 如图，作 VO⊥平面 ABCD，垂足为 O，则 VO⊥AB，取 AB 中点 H，连接 VH，OH，则 VH⊥AB.
②两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂直，则这两条异面直线所
成的角与二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
解析： 由二面角的定义可知，从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫作二面角，所以①不正确；由 a，b 垂直于两个面，则 a，b 都垂直于二面 角的棱，故②正确；对于③，所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不正 确；对于④，由定义可知正确．故选 B.
图形语言 α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，__O_A__⊥__l __，__O_B__⊥__l __⇒∠AOB
符号语言 为二面角 α－l－β 的平面角
平面与平面垂直 平面与平面垂直
定 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_直__二__面___角__，就说这两个平面 义 互相垂直，记作：__α_⊥__β__
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
解析： (1) 证明：由 AB⊥BE，得 AP⊥PE，同理，DP⊥PE， 又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面 PAD， 又 PE⊂平面 PDE， ∴平面 PDE⊥平面 PAD.
(2) 如题图，取 AD 的中点 F，连接 PF，EF. 则 PF⊥AD，EF⊥AD， ∴∠PFE 就是二面角 P－AD－E 的平面角， 又 PE⊥平面 PAD，∴PE⊥PF. ∵EF＝AB＝ 2，PF＝ 22－1＝1， ∴cos∠PFE＝PEFF＝ 22. ∴二面角 P－AD－E 的大小为 45°.
答案： B
3.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A，B)且 PA＝AC，则二面角 P－BC－A 的大小为____________．
解析： 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC， 又 PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， ∴∠PCA 为二面角 P－BC－A 的平面角． 在 Rt△PAC 中， 由 PA＝AC 得∠PCA＝45°. 答案： 45°
[归纳升华] 1.对平面与平面垂直的判定定理的认识： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平 面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面 面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．
2．证明平面与平面垂直的方法：
根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角 的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂 直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中 一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广 度为7±2项内容。
二面角 分层深化型 已知 Rt△ABC，斜边 BC α，点 A∉α，AO⊥α，O 为垂足，∠ABO ＝30°，∠ACO＝45°，求二面角 A－BC－O 的大小．
解析： 如图所示，在平面 α 内，过 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD. 设 OC＝a，∵AO⊥α，BC α， ∴AO⊥BC.又 AO∩OD＝O，∴BC⊥平面 AOD. 而 AD 平面 AOD， ∴AD⊥BC.∴∠ADO 是二面角 A－BC－O 的平面角． 由 AO⊥α，OB α，OC α，知 AO⊥OB，AO⊥OC. 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°， ∴AO＝a，AC＝ 2a，AB＝2a.
如图①，∠AOB 为二面角 α－a－β 的平面角． 方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半 平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.
如图②，∠AOB 为二面角 α－l－β 的平面角． 方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足 作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图③，∠AFE 为二面角 A－BC－D 的平面角.
在 Rt△BSC 中， ∵SB＝SC＝a，
∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在
Rt△ABD
中，AD＝
2 2 a.
在△ADS 中，∵SD2＋AD2＝SA2，
∴∠ADS＝90°，
即二面角 A－BC－S 为直二面角，
故平面 ABC⊥平面 SBC.
证法二：利用判定定理． ∵SA＝AB＝AC， ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心． ∵△BSC 为直角三角形， ∴A 在△BSC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点． ∴AD⊥平面 SBC. 又∵平面 ABC 过 AD， ∴平面 ABC⊥平面 SBC.
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图： 画 法
判 定 文字表述：一个平面过另一个平面的__垂__线___，则这两个平面垂直．
定
符号表示： a_a⊥_⊂__βα___⇒α⊥β
理
[化解疑难] 作二面角的平面角的方法
方法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂 直于棱的射线．
1．在四面体 ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，且 E，F 分别是 AB，BD 的 中点．
求证：(1)直线 EF∥平面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD.
证明： (1)因为 E，F 分别是 AB，BD 的中点， 所以 EF 是△ABD 的中位线，所以 EF∥AD. 因为 EF⊄平面 ACD，AD⊂平面 ACD， 所以直线 EF∥平面 ACD. (2)因为 AD⊥BD，EF∥AD，所以 EF⊥BD.因为 CB＝CD，F 是 BD 的中 点，所以 CF⊥BD. 又 EF∩CF＝F，所以 BD⊥平面 EFC. 因为 BD⊂平面 BCD， 所以平面 EFC⊥平面 BCD.
在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，
∴BC＝ AC2＋AB2＝ 6a，
∴AD＝ABB·CAC＝2a·6a2a＝23
3 a.
在
Rt△AOD
中，sin∠ADO＝AADO＝2
a 3
＝
3 2.
3a
∴∠ADO＝60°，即二面角 A－BC－O 的大小是 60°.
[归纳升华] 求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”.
谢谢观看！
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑，
Байду номын сангаас
上课认真，笔记认真， 就是成绩不咋地……
小A
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂，
但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 的六个面中，与面 ABCD 垂直的面有( )
A．1 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析： 与面 ABCD 垂直的面有面 ABB1A1，面 BCC1B1，面 CDD1C1，面 DAA1D1，共 4 个．
答案： C
2．下列说法： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学案·新知自解
1．理解二面角，面面垂直的概念． 2．掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理． 3．能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题．
二面角 1．二面角
二面角 从一条直线出发的_两___个__半__平__面___所组成的图形叫作二面角． _这__条__直__线___叫作二面角的棱．_这__两__个__半__平__面___叫作二面角的面．
∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面 VHO，∴AB⊥OH， ∴∠VHO 为二面角 V－AB－C 的平面角． 易求 VH2＝VA2－AH2＝( 5)2－ 1 2＝4， ∴VH＝2.而 OH＝12AB＝1，∴∠VHO＝60°. 故二面角 V－AB－C 的大小是 60°.
[拓展练]☆ 3．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，E 为 BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿 AE，DE 折起，使点 B 与点 C 重合于点 P. (1)求证：平面 PDE⊥平面 PAD； (2)求二面角 P－AD－E 的大小．
[同类练]☆
1．矩形 ABCD 的两边 AB＝3，AD＝4，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝453，
则二面角 A－BD－P 的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析： 过 A 作 AE⊥BD，连接 PE，则∠AEP 为所求角．由 AB＝3，AD
＝4 知 BD＝5.
又 AB·AD＝BD·AE，∴AE＝152，