北交大数字信号处理

《数字信号处理》课程研究性学习报告

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DFT近似计算信号频谱专题研讨

【目的】

(1) 掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。

(2) 理解误差产生的原因及减小误差的方法。

(3) 培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。

【研讨题目】基本题

1．利用DFT分析x(t)=A cos(2πf1t)+B cos(2πf2t)的频谱，其中f1=100Hz，f2=120Hz。

(1)A=B=1; (2)A=1,B=0.2。

【题目分析】

分析题目，给出合适的DFT参数

由取样定理知，要使信号频谱不混叠，则抽样频率不小于最高频率的两倍。而要满足信号分辨率的要求，抽样点数N≧f sam/△f。在对信号做DFT时，由于对信号进行截短，因此会产生频谱泄漏，

要想从频谱中很好的分辨出个频率分量，需要考虑时域抽样频率，所加的窗函数，窗函数的长度，以及DFT的点数等参数对结果的影响。

(1)A=B=1，即x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)

矩形窗1：

条件：fsam=240Hz；N=20；L=512

矩形窗2：

条件：fsam=600Hz；N=40；L=512

矩形窗3：

fsam=1200Hz；N=80；L=512

Hamming窗1：

N=40；L=512；fs=600;

Hamming窗2：

N=60；L=512；fs=600;

Hamming 窗3：

N=120；L=512；fs=600;

(2)A=1,B=0.2，即x(t)=cos(2πf1t)+0.2cos(2πf2t)

矩形窗：

N=100；L=512；fs=600

Hamming窗：

N=100；L=512；fs=600

【仿真结果】

【结果分析】

对实验结果进行分析比较，回答：

加窗对谱分析有何影响？如何选择合适的窗函数？

选择合适DFT参数的原则？

在（1）中进行矩形窗仿真时，我们选择了不同的fsam，分别为240,600,1200它们均满足抽样定理，但是我们在实验中却发现，在240hz时出现了混叠现象。所以，在实际应用中抽样频率应大于最低抽样频率3-5倍才能有更好的结果。

进行hamming窗仿真时，在保证抽样频率相同的条件下，取不同的长度也40,120。其中，N=40不满足N>=60的要求，我们可以看到出现了混叠，利用N≧f sam/△f，我们可以算出当fs=600时N为

60时恰好可以分出频谱，而实际中N=60时无法分出两个频率分量，而N=120时，仿真效果良好在（2）的条件下进行仿真时，我们选取了相同的N、L、fsam值，但是分别使用了矩形窗和哈明窗。使用矩形窗时，幅度较小的峰值与旁瓣的幅度接近，甚至难以区分，效果不理想。使用哈明窗后，泄露现象被有效遏制，所以可以清楚区分主瓣、旁瓣。

所以，在选择参数进行DFT变换时，应该保证抽样频率满足抽样定理，并且能大于最小抽样值3-5倍。长度选择保证N≧f sam/△f，且实际中取最小长度即N=f sam/△f时，会出现混叠。为防止泄露现象，特别是峰值之间差异较大时，应该选择加特殊的窗，如哈明窗。

【发现问题】

按照理论分析最小抽样频率只需要满足2fmax就可以满足抽样定理，但在仿真中发现该频率无法满足要求，频谱发生严重的混叠。所以抽样频率应为最小抽样频率3-5倍。

另外，在使用哈明窗作为窗函数时，按照理论分析，当fs=600时N为60时恰好可以分出频谱，而实际中N=60时无法分出两个频率分量，当N=90时则可以分出。因此在做DFT是窗函数长度应大于最小长度。

【仿真程序】

N=20;

L=512;

f1=100;f2=120;fs=240;

T=1/fs;

ws=2*pi*fs;

t=(0:N-1)*T;

x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); X=fft(x,L);

w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(X));

ylabel('矩形窗1.1');

N=40;

L=512;

f1=100;f2=120;fs=600;

T=1/fs;

ws=2*pi*fs;

t=(0:N-1)*T;

x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); X=fft(x,L);

w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(X));

ylabel('矩形窗1.2')

N=80;

L=512;

f1=100;f2=120;fs=1200;

T=1/fs;

ws=2*pi*fs;

t=(0:N-1)*T;

x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); X=fft(x,L);

w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(X));

ylabel('矩形窗1.3')

N=40;

L=512;

f1=100;f2=120;fs=600;

T=1/fs;

ws=2*pi*fs;

t=(0:N-1)*T;

x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); wh=(hamming(N))';

x=x.*wh;

X=fft(x,L);

w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(X));

ylabel('哈明窗1.1')

：

N=60;

L=512;

f1=100;f2=120;fs=600;

T=1/fs;

ws=2*pi*fs;

t=(0:N-1)*T;

x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); wh=(hamming(N))';

x=x.*wh;

X=fft(x,L);

w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(X));

ylabel('哈明窗1.2')

N=120;

L=512;

f1=100;f2=120;fs=600;

T=1/fs;

ws=2*pi*fs;

t=(0:N-1)*T;