反比例函数K的几何意义
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
反比例函数中K的几何意义 (1)
1 2
｜k｜.
∴ k＝±4.
又双曲线的一支在第二象限，
∴ k＝－4.
从而知两个函数的解析式分别为y＝
－4 x
和y＝－x＋4.
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2009.4
例1
如图2，在函数y＝
1 x
的图
y A
像 上 有 三 点 A 、B 、C ， 过 这 三 点 分 别
B C
向 x 轴 、y 轴 作 垂 线 ，过 每 一 点 所 作 的
x
两 条 垂 线 与 x 轴 、y 轴 围 成 的 矩 形 面
O
图2
积分别为SA、SB、SC，则（ ）.
A. SA＞SB＞SC
B. SA＜SB＜SC
∵
y＝
k x
，∴
xy＝k.
y
∴ S＝｜k｜.
PN
过双曲线上任意一点作x轴、
x
y轴的垂线，所得的矩形面积为
MO
常数｜k｜.
S△PNO＝S△PMO＝
1 2
｜k｜.
图1
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课程
资源
思 路·方 法
在解有关反比例函数的面积问题时，若能灵活运用k的几何意
义，会给解题带来方便，现举例说明．
一、比较面积大小
C. S A＜SC＜SB
D. SA＝S B＝SC
简解：根据反比例函数k的几何意义可知SA＝1，SB＝1，SC＝1.
∴ SA＝S B＝SC . 选D.
二、求面积
例2
如 图 3 ，如 果 函 数 y ＝ － x 与 y ＝ －
4 x
的 图 像 交 于 A 、B 两 点 ，过 点
A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
反比例函数中K的几何意义课件
k值决定了反比例函数图像的形状和 位置。
详细描述
在反比例函数y=k/x中，k值决定了图 像的形状和位置。当k>0时，图像出 现在第一象限和第三象限；当k<0时 ，图像出现在第二象限和第四象限。
k的正负与图像的位置
总结词
k的正负决定了图像所在的象限。
详细描述
当k>0时，图像分布在第一象限和第三象限；当k<0时，图像分布在第二象限和 第四象限。
拓展反比例函数的应用领域
随着科学技术的发展，反比例函数的应用领域也在不断扩大。未来我们可以尝试将反比例 函数应用于其他领域，如经济学、生物学等，以解决实际问题。
探索与其他数学知识的联系
反比例函数作为数学中的一个重要概念，与其他数学知识有着密切的联系。未来我们可以 进一步探索反比例函数与其他数学知识之间的联系，以促进数学学科的发展。
k值对反比例函数图像的影响
随着k值的增大或减小，反比例函数的图像会向内或
反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，如电流与电阻、电容与电压
等物理量之间的关系可以用反比例函数来描述。
对反比例函数的研究展望
深入探究反比例函数的性质
尽管我们已经对反比例函数的性质有了一定的了解，但仍有许多未知的性质等待我们去发 现和研究。例如，反比例函数的极限行为、奇偶性等性质。
反比例函数的性质
反比例函数具有以下性质：当 x 增大时，y 值会减小；当 x 减小 时，y 值会增大。这是因为 xy =
k 的关系。
在图像上，反比例函数的两个分 支在 x 轴和 y 轴上分别趋于无穷
大和无穷小。
反比例函数在坐标系中的图像是 不闭合的，且无限接近于坐标轴
。
Part
02
反比例函数k的几何意义及隐藏结论
反比例函数k的几何意义及隐藏结论反比例函数是初中代数章节中非常重要的一部分。
虽然存在许多隐藏的难点，但经常在中考选填和简答题中出现。
掌握一定的解题技巧和结论可以帮助我们快速秒杀选填压轴。
中考中，反比例函数的考点或难点通常有两个：一是利用面积转化的方法和k的几何意义建立联系，二是通过代数的方法设而不求。
一、已知反比例函数y=k/x（x>0），点A是反比例函数图像上的点。
结论1：①S矩形ABOC=|k|。
常见变式如下：S阴影=|k|。
通过利用平行线间的距离处处相等，可以得到同底等高的两个三角形和平行四边形面积相等。
在常见的图形中，我们可以识别出基本图形，然后通过将面积与k的几何意义相联系，就可以简化题型，快速解决问题。
②S△ABO=|k|/2.常见变式如下图：S阴影=|k|/2.更进一步的变式：S阴影=2|k|。
二、已知反比例函数y=k/x（x>0），点A、B是反比例函数图像上的任意两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)。
结论1：①S△AOC=S△BOD=|k|。
证明：kbc-ad。
②S△AOE=S梯形ECBD。
③S△AOB=S梯形ACBD/2.结论2：①过点A、B分别作x轴、y轴垂线，则MN∥AB。
证明：连接BM、AN，S△BNM=S△BNO=|k|/2，S△AMN=S△AMO=|k|/2，因此S△BNM=S△AMN，S△BNM 和S△AMN同底等高，所以MN∥AB。
②过点A、B分别作y轴、x轴垂线，则MN∥AB。
2x，它们的交点为点P。
证明：过点P作这两个反比例函数的渐近线，分别交x轴于点A、B，则.证明：设两个反比例函数分别为y=k1/x和y=k2/x，交点为P(x1,y1)。
过点P作这两个反比例函数的渐近线，分别为y=k1x/b和y=k2x/a，其中a、b为常数。
这两条直线分别与x轴交于点A(b/k1,0)和B(a/k2,0)。
由反比例函数的性质可知，AP和BP分别垂直于y=k1x/b 和y=k2x/a，且.因为y=k1x/b和y=k2x/a是渐近线，所以当x趋近于无穷大时，它们的值趋近于0，即AP和BP近似于垂直于x轴的线段。
反比例函数k几何意义模型大全
反比例函数k几何意义模型大全摘要：一、反比例函数的概念与基本性质二、反比例函数的几何意义1.反比例函数与坐标轴的交点2.反比例函数图象上的点与k的关系3.反比例函数图象的缩放与翻转三、反比例函数的应用1.实际问题中的反比例关系2.数学模型中的反比例函数应用四、反比例函数的计算与分析1.反比例函数的求解2.反比例函数的图像分析五、总结与拓展正文：一、反比例函数的概念与基本性质反比例函数是数学中一种重要的函数类型，其一般形式为y = k/x，其中k 为常数且k≠0。
反比例函数具有以下基本性质：1.当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。
2.当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
3.反比例函数的图象为双曲线，且两条分支分别位于第一、第三象限。
二、反比例函数的几何意义1.反比例函数与坐标轴的交点：反比例函数y = k/x与x轴、y轴的交点分别为（0，k）和（k，0）。
2.反比例函数图象上的点与k的关系：反比例函数图象上的点（x，y）满足xy = k。
3.反比例函数图象的缩放与翻转：反比例函数图象随着k的变化而缩放，k增大时图象变得更瘦，k减小时图象变得更胖。
同时，反比例函数图象可以沿x轴或y轴翻转。
三、反比例函数的应用1.实际问题中的反比例关系：许多实际问题中存在反比例关系，如速度与时间、面积与边长等。
通过建立反比例函数模型，可以更好地描述这些关系。
2.数学模型中的反比例函数应用：反比例函数在数学模型中有广泛应用，如电阻与电流、电压的关系、物流配送中的距离与时间关系等。
四、反比例函数的计算与分析1.反比例函数的求解：当给出反比例函数的形式，可以通过代入法、图像法等方法求解k值。
2.反比例函数的图像分析：通过对反比例函数图象的分析，可以了解其性质、变化趋势等。
五、总结与拓展反比例函数是数学中的重要概念，掌握其基本性质、几何意义及应用有助于解决实际问题和数学模型。
同时，反比例函数也是进一步学习其他数学知识的基础，如微积分、三角函数等。
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
反比例函数中K的几何含义
的 y k 的图象过点B，则k的值为（ ）
x
y
B
A
Co
x
4.如图,点P是反比例函数
y
k x
图象上的一点,
若矩形OMNP的面积是3，则K=（ ）
y Mo
x
NP
5.如图,点P是反比例函数
y
k x
图象上的一点,
若矩形ONPM的面积是4，则K=（ ）
y
M
x
o
N
P
训练题 6.如图A、B在
y
3 x
4 x
上任意一点，
P是x轴上一点，过A作AB⊥y轴，垂足为B,则
S△ABP=( ).
y
BA
PO
X
如图，A是反比例函数
y 4 x
上任意一点，P是
x轴上一动点，过A作AB⊥y轴，垂足为B,则关于
S△ABP正确的说法是（ ）
y
A、逐渐增大 B、逐渐减小
BA
C、保持不变 D、无法确定
PO
X
1
2、正比例函数y=x与反比例函数y= x 的图象相交于
回顾知识
反比例函数的性质
反比例函数： y
k x(k≠0)
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三 象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减
小；
2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、 四象限内，在每一个象限内，y随x的增大
而增大。
y
x 0
y x
0
归纳：反比例函数既是轴对称图形，又是中
心对称图形，对称轴是直线y=x和y=－x， 对称中心是原点（０,０）
3 x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴
反比例K的几何意义
反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k xy 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|y|•|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。
反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=21│k │ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。
典例精析专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是 ．变式练习2： 如图：点A 在双曲线 ky x=上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．OABxy:变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。
例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小： 。
反比例函数K的几何意义
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴 的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一 点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同 时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4， 点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12， 则kx的值为_______.
专题12 反比例函数比例系数k的几何意义(解析版)
1专题12 反比例函数比例系数k 的几何意义知识对接考点一、反比例函数比例系数k 的几何意义（1）意义：从反比例函数y ＝(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k ＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3y x =或3y x =-专项训练一、单选题1．如图，已知反比例函数2y x=-的图像上有一点P ，过点P 作PA x ⊥轴，垂足为点A ，则POA的面积是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．12【答案】B 【分析】设(),P x y ，则POA 的面积是1122x y xy ••=，再结合2y x=-即可求解．【详解】解：设(),P x y ，则POA 的面积是1122x y xy ••=，∵2y x=-∵22xy =-=∵POA 的面积是1212⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数与图形的面积计算，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 2．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 是反比例函数ky x=在第一象限的图象上的两点，且其横坐标分别为1，4，若AOB 的面积为54，则k 的值为（）A ．23B ．1C ．2D ．154【答案】A 【分析】过点A 作AC y ⊥轴，过点B 作BD x ⊥轴，反向延长AC BD 、交于点E ，利用割补法表示出AOB 的面积，即可求解． 【详解】解：过点A 作AC y ⊥轴，过点B 作BD x ⊥轴，反向延长AC BD 、交于点E ，如下图：则四边形ODEC 为矩形3点AB 、的横坐标分别为1，4， 则(1,)(4,)4kA kB 、，(0,)(4,0)(4,)C kDE k 、、11154143224244AOBAOCOBDABEODEC k k SS SSSk k k ⎛⎫=---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭矩形解得23k = 故选A【点睛】此题考查了反比例函数的有关性质，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握反比例函数的有关性质是解题的关键．3．若图中反比例函数的表达式均为4y x=，则阴影面积为4的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数k 的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：图1中，阴影面积为xy ＝4； 图2中，阴影面积为12xy ＝12×4＝2； 图3中，阴影面积为2×12xy ＝2×12×4＝4； 图4中，阴影面积为4×12xy ＝4×12×4＝8； 则阴影面积为4的有2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数ky x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．4．如图，点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ∵x 轴，AC ∵y 轴，垂足分别为B ，C ，则矩形ABOC 的面积为（ ）A ．-4B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC 的面积等于比例系数的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ∵x 轴，AC ∵y 轴，∵矩形ABOC 的面积44-= ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数()0ky k x=≠ 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积等于k 是解题的关键．5．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点B 在y 轴上，//BC x 轴，反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ．若AB BD =，则k 的值为（ ）5A ．60B ．48C ．36D ．20【答案】A 【分析】过A 作AE ∵BC 于E 交x 轴于F ，则AF ∵y 轴，根据矩形的性质得到EF =OB ，根据勾股定理得到3AE =，设OB =a ，则A (4,3),(5,)a D a +，即可得到4(3)5k a a =+=，解方程求得a 的值，即可得到D 的坐标，进而求得k 的值． 【详解】解：过A 作AE ∵BC 于E 交x 轴于F ， ∵5AB AC ==，8BC =， ∵142BE BC ==，∵3AE ==， 设OB =a ， ∵BD =AB =5， ∵A (4,3),(5,)a D a +， ∵反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ． ∵4(3)5k a a =+=， 解得：a =12， ∵51260k =⨯=， 故选择：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．6．在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11ky x =（x ＞0），经过点B ，双曲线22k y x=（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（ ）A ．﹣3B ．3 C．D【答案】A 【分析】作AM ∵x 轴于M ，BN ∵x 轴于N ，由反比例函数系数k 的几何意义得到k 1＝2S ∵AOM ，k 2＝﹣2S ∵BON，解直角三角形求得o tan 30OB OA =∵AOM ∵∵OBN ，得到2=3AOM BOMSOA SOB ⎛⎫= ⎪⎝⎭进而得到123k k =-． 【详解】作AM ∵x 轴于M ，BN ∵x 轴于N ， ∵S ∵AOM ＝12|k 1|，S ∵BON ＝12|k 2|，∵k 1＞0，k 2＜0，∵k 1＝2S ∵AOM ，k 2＝﹣2S∵BON ， 在Rt ∵AOB 中，∵BAO ＝30°，7∵o tan 30OB OA = ∵∵AOM +∵BON ＝90°＝∵AOM +∵OAM ， ∵∵OAM ＝∵BON ， ∵∵AMO ＝∵ONB ＝90°， ∵∵AOM ∵∵OBN ，∵2=3AOM BOMS OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵12232AOMBOMk S k S ==--, 故选A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 7．如图，A 、B 是双曲线y ＝kx图象上的两点，过A 点作AC ∵x 轴于点C ，交OB 于点D ，BD ＝2OD ，且ADO 的面积为8，则DCO 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【分析】过点B 作BH x ⊥轴于点H ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义，即可得到ADO △的面积与梯形CDBH 的面积相等，再根据DCO BOH △∽△，即可求得DCO 的面积．【详解】解：过点B作BH∵x轴于点H，∵AC∵x轴于点C，∵AOC的面积与BOH的面积相等，∵ADO的面积与梯形CDBH的面积相等，∵ADO的面积为8，∵梯形CDBH的面积为8，∵DC//BH，∵DOC∵BOH，∵BD＝2OD，∵DOC与BOH的相似比为1：3，∵DOC与BOH的面积比为1：9，设DCO的面积比为x，则x：（x+8）＝1：9，解得：x＝1，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的相似及相似的性质，得到ADO△的面积与梯形CDBH的面积相等和DOC BOH∽是解决本题的关键．8．如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数kyx=（x＞0）和1yx=-（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若∵PMN的面积为2，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B9【分析】由题意易得点M 到y 轴的距离即为∵PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有11k k MN a a a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，进而根据三角形面积公式可求解．【详解】解：由平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，可得：点M 到y 轴的距离即为∵PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵11k k MN a a a+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∵∵PMN 的面积为2， ∵111222PMNk SMN a a a+=⋅=⨯⨯=， 解得：3k =； 故选B ． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． 9．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y 3=x（x ＞0）和y 6=x-（x ＞0）的图象交于B 、A 两点．若点C 是y 轴上任意一点，则∵ABC 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．92【答案】D 【分析】设P （a ，0），由直线APB 与y 轴平行，得到A 和B 的横坐标都为a ，将x ＝a 代入反比例函数y 6x-＝和y 3x ＝中，分别表示出A 和B 的纵坐标，进而由AP ＋BP 表示出AB ，三角形ABC的面积12⨯＝AB×P的横坐标，求出即可．【详解】解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y6x=-中得：y6a=-，故A（a，6a-）；将x＝a代入反比例函数y3x＝中得：y3a=，故B（a，3a），∵AB＝AP＋BP639a a a+＝＝，则S∵ABC12=AB•x P19922aa=⨯⨯=，故选D．【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义.10．如图．在平面直角坐标系中，∵AOB的面积为278，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝kx相交于点C，且BC∵OC＝1∵2，则k的值为（）A．﹣3B．﹣94C．3D．92【答案】A【分析】过C作CD∵x轴于D，可得∵DOC∵∵AOB，根据相似三角形的性质求出S∵DOC，由反比例11函数系数k 的几何意义即可求得k ． 【详解】解：过C 作CD ∵x 轴于D ，∵BC OC＝12， ∵OCOB ＝23， ∵BA ∵x 轴， ∵CD ∵AB ， ∵∵DOC ∵∵AOB ， ∵DOC AOB S S ∆∆＝（OC OB ）2＝（23）2＝49， ∵S ∵AOB ＝278， ∵S ∵DOC ＝49S ∵AOB ＝49×278＝32，∵双曲线y ＝kx在第二象限，∵k ＝﹣2×32＝﹣3，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S ∵DOC 是解决问题的关键． 二、填空题11．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图象上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ．若四边形AMON 的面积为12，则k 的值是__________．【答案】-12【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12k=，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：四边形AMON的面积为12，12k∴=，反比例函数图象在二四象限，k∴<，12k∴=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查了反比例函数函数k的几何意义：在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k．12．如图，在反比例函数3yx=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图象上运动，tan∵CAB=2，则k的值为_____【答案】﹣12【分析】连接OC，过点A作AE∵x轴于点E，过点C作CF∵y轴于点F，通过角的计算找出∵AOE=∵COF，结合“∵AEO=90°，∵CFO=90°”可得出∵AOE∵∵COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∵CAB=2，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．【详解】如图，连接OC，过点A作AE∵x轴于点E，过点C作CF∵y轴于点F．∵由直线AB与反比例函数3yx=的对称性可知A、B点关于O点对称，∵AO=BO．又∵AC=BC，∵CO∵AB．∵∵AOE+∵AOF=90°，∵AOF+∵COF=90°，∵∵AOE=∵COF．又∵∵AEO=90°，∵CFO=90°，∵∵AOE∵∵COF，∵AE OE AO CF OF CO==，∵tan∵CABOCOA==2，∵CF=2AE，OF=2OE．又∵AE•OE=3，CF•OF=|k|，∵|k|=CF•OF=2AE×2OE=4AE×OE=12，∵k=±12．∵点C在第二象限，∵k=﹣12．故答案为：﹣12．13【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解答本题的关键是求出CF•OF=12．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．13．如图，点P在反比例函数4yx=-的图像上，过点P作PA x⊥轴于点A，则POA的面积是_______．【答案】2【分析】设出点P的坐标，∵OAP的面积等于点P的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可．【详解】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数4yx=-的图象上，∵4 xy=-，∵122POAS xy==，故答案为：2．【点睛】题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数ky=x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．如图所示，反比例函数kyx=（0k≠，0x>）的图像经过矩形OABC的对角线AC的中15点D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为________．【答案】2 【分析】过点D 作DE ∵OA 于点E ，由矩形的性质可知：S ∵AOC =12S 矩形OABC =4，从而可求出∵ODE 的面积，利用反比例函数中k 的几何意义即可求出k 的值． 【详解】如图，过点D 作DE OA ⊥于点E ，设,k D m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OE m =，k DE m=， ∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， ∵2OA m =，2k OC m=， ∵矩形OABC 的面积为8， ∵228kOA OC m m⋅=⋅=， ∵2k =， 故答案为：k =2．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是求出矩形的面积． 15．如图，点A 与点B 分别在函数11(0)k y k x=>与220)k y k x =<（的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若∵AOB 的面积为3，则12k k -的值是___．【答案】6【分析】设A（a，b），B（-a，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=-ad，根据三角形的面积公式求出ab+ad=6，即可得出答案．【详解】解：作AC∵x轴于C，BD∵x轴于D，∵AC∵BD∵y轴，∵M是AB的中点，∵OC=OD，设A（a，b），B（-a，d），代入得：k1=ab，k2=-ad，∵S∵AOB=3，∵111()23 222b d a ab ad+--=，∵ab+ad=6，∵k1-k2=6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad=6是解此题的关键．三、解答题16．如图，一次函数122y x=-的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为17AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数ky x=（0k >）的图象于点Q ，32OQCS =．（1）求A 点和B 点的坐标； （2）求k 的值和Q 点的坐标．【答案】（1）A （4，0），B （0，-2）；（2）3k =，Q 的坐标为(2 ，32)．【分析】（1）因为一次函数y =12x -2的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B ，所以当y =0时，可求出A 的横坐标，当x =0时可求出B 的纵坐标，从而可得解．（2）因为三角形OQC 的面积是Q 点的横纵坐标乘积的一半，且等于32，所以可求出k 的值，PC 为中位线，可求出C 的横坐标，也是Q 的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标． 【详解】解：（1）设A 点的坐标为（a ，0），B 点坐标为（0，b ）， 分别代入y =12x -2，解方程得a =4，b =-2， ∵A （4，0），B （0，-2）； （2）∵PC 是∵AOB 的中位线， ∵PC ∵x 轴，即QC ∵OC ， 又Q 在反比例函数ky x=的图象上， ∵2S ∵OQC =k ，∵k =2×32=3，∵PC 是∵AOB 的中位线， ∵C （2，0）， 可设Q （2，q ）∵Q 在反比例函数ky x=的图象上， ∵q =32，∵点Q 的坐标为(2 ，32)．【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，熟练掌握并应用反比例函数ky x=（0k >）中k 的几何意义是解题的关键．17．点O 为平面直角坐标系的原点，点A 、C 在反比例函数ay x=的图象上，点B 、D 在反比例函数by x=的图象上，且0a b >>．（1）若点A 的坐标为()6,4，点B 恰好为OA 的中点，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，交b y x=的图象于点P ． ∵请求出a 、b 的值； ∵试求OBP 的面积．（2）若////AB CD x 轴，32CD AB ==，AB 与CD 间的距离为6，试说明-a b 的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）∵a =24，b =6∵92；（2）是定值为92．【分析】（1）∵把A ()6,4代入反比例函数ay x=即可求出a ，根据点B 为OA 的中点，求出B 点坐标，代入by x=即可求出b ；∵根据k 的几何意义求出∵AOP 的面积，再连接BP ，根据中线的性质即可求解；19（2）先分析,A C 分别位于a y x =的两个分支,,B D 分别位于 by x=的两个分支；再利用反比例函数系数k 的几何意义，表示S ∵AOB 和S ∵COD ，再根据三角形的面积公式，AB 与CD 之间的距离为6，即求出答案． 【详解】（1）∵把A ()6,4代入反比例函数ay x=，得a =6×4=24 ∵点B 为OA 的中点， ∵B （3，2）把B （3，2）代入反比例函数by x=，得b =3×2=6 ∵∵S ∵AOP = S ∵AON -S ∵NOP = 1122a b -=9 ∵B 点是OA 的中点， ∵BP 是∵AOP 的中线∵OBP 的面积=12×9=92；（2）如图，当,A C 在a y x =的第一象限的图像上时，,B D 在by x=的第一象限的图像上时////AB CD x 轴，32CD AB ==，∴AOBS=1122AOM BOM S S a b -=-△△， COD S =△1122CON DON S S a b -=-△△∴COD S =△AOBS1=2AOB S AB OM ⨯△，12COD S CD ON =⨯△OM ON ∴=则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合 即AB 与CD 间的距离为0，,A C ∴分别位于a y x =的两个分支,,B D 分别位于 by x=的两个分支； 如图，延长AB 、CD 交y 轴于点E 、F ，∵点A 、C 在反比例函数a y x =的图象上，点B 、D 在反比例函数by x=的图象上，a ＞b ＞0，////AB CD x 轴，∵AB 与CD 间的距离为6， ∵OE +OF =6 ∵S ∵AOE ＝12a ＝12a ＝S ∵COF ，S ∵BOE ＝12b ＝12b ＝S ∵DOF ，∵S ∵AOB ＝S ∵AOE −S ∵BOE ＝12a −12b ＝12AB •OE ＝34OE ，S ∵COD ＝S ∵COF −S ∵DOF ＝12a −12b ＝12CD •OF ＝34OF ，∵S ∵AOB ＋S ∵COD ＝a −b ＝34OE ＋34OF ＝34（OE ＋OF ）=92．92a b ∴-=． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k 的几何意义，理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．18．如图，点C 在反比例函数y 1=x 的图象上，CA ∵y 轴，交反比例函数y 3=x 的图象于点A ，CB ∵x 轴，交反比例函数y 3=x的图象于点B ，连结AB 、OA 和OB ，已知CA ＝2，则∵ABO的面积为__．【答案】4【分析】设A（a，3a），则C（a，1a），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE∵x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S∵ABO＝S∵AOD＋S梯形ABED ﹣S∵BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S∵ABO＝S梯形ABED，即可求得结果．【详解】解：设A（a，3a），则C（a，1a），∵CA＝2，∵31a a-＝2，解得a＝1，∵A（1，3），C（1，1），∵B（3，1），作BE∵x轴于E，延长AC交x轴于D，∵S∵ABO＝S∵AOD＋S梯形ABED﹣S∵BOE，S∵AOD＝S∵BOE32 =，∵S∵ABO＝S梯形ABED12=（1＋3）（3﹣1）＝4；故答案为：4.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S∵ABO=S梯形ABED是解题的关键．19．如图是反比例函数2yx=与反比例函数在第一象限中的图象，点P是4yx=图象上一动21点， P A ∵X 轴于点A ，交函数2y x =图象于点C ，PB ∵Y 轴于点B ，交函数 2y x=图象于点D ，点D 的横坐标为a ．（1）用字母a 表示点P 的坐标； （2）求四边形ODPC 的面积；（3）连接DC 交X 轴于点E ，连接DA 、PE ，求证：四边形DAEP 是平行四边形． 【答案】（1）P （2a ，2a）；（2）2；（3）见解析【分析】（1）先求出点D 的纵坐标得到点P 的纵坐标，代入解析式即可得到点P 的横坐标； （2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k 值的几何意义，利用OBD OAC OAPB S S S ∆∆--四边形，即可求出答案；（3）证明∵DPC ∵∵EAC ，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点D 的横坐标为a ，且点D 在函数2y x=图象上， ∵点D 的纵坐标2y a=， 又PB ∵y 轴，且点P 在4y x=图象上， ∵点P 的纵坐标2y a=， ∵点P 的横坐标为x ＝2a ， ∵P （2a ，2a）；23（2）∵224OAPB S a a =⨯=四边形，ΔΔ1212OBD OAC S S a a==⨯⨯=， ∵D C 422O P S =-=四边形；（3）∵P A ∵x 轴于点A ，交函数2y x=图象于点C ， ∵点C 的坐标为（2a ，1a）， 又P （2a ，2a），∵PC ＝CA ＝1a， ∵DP ∵AE ，∵∵PDE ＝∵DEA ，∵DP A ＝∵P AE ， ∵∵DPC ∵∵EAC ， ∵DP ＝AE ，∵四边形DAEP 是平行四边形． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k 值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．20．如图，点A （﹣2，y 1）、B （﹣6，y 2）在反比例函数y ＝kx（k ＜0）的图象上，AC ∵x轴，BD ∵y 轴，垂足分别为C 、D ，AC 与BD 相交于点E ．（1）根据图象直接写出y 1、y 2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从∵四边形OCED 的面积为2，∵BE ＝2AE 这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是 （只填序号）． 【答案】（1）12y y >，见解析；（2）见解析，∵（也可以选择∵） 【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A 、B 两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；（2）若选择条件∵，由面积的值及OC 的长度，可得OD 的长度，从而可得点B 的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k ；若选择条件∵，由DB =6及OC =2，可得BE 的长度，从而可得AE 长度，此长度即为A 、B 两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k ． 【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故12y y >； 当x =-6时，26ky =-；当x =-2时，12k y =- ∵12263k k ky y -=-+=-，k ＜0∵120y y -> 即12y y > （2）选择条件∵∵AC ∵x 轴，BD ∵y 轴，OC ∵OD ∵四边形OCED 是矩形 ∵OD ∙OC =2 ∵OC =2 ∵OD =1 即21y =∵点B 的坐标为(-6,1)把点B 的坐标代入y ＝kx中，得k =-6若选择条件∵，即BE =2AE ∵AC ∵x 轴，BD ∵y 轴，OC ∵OD ∵四边形OCED 是矩形 ∵DE =OC ，CE =OD ∵OC =2，DB =6 ∵BE =DB -DE =DB -OC =4 ∵122AE BE == ∵AE =AC -CE =AC -OD =12y y - 即122y y -=由（1）知：1223ky y -=-= ∵k =-6 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．2521．如图，一次函数()20y kx k k =-≠的图象与反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为B ，若3ABC S =△．（1）求点A 的坐标及m 的值；（2）若AB = 【答案】（1）（2，0），m =-5；（2）2455y x -=+【分析】（1）在直线y ＝kx ＋k 中令y ＝0可求得A 点坐标；连接CO ，得OBCABCS S==3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解；（2）利用勾股定理求出OB =2，设C (b ，2)，代入反比例函数，求出C 点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 【详解】解：（1）在()20y kx k k =-≠中，令y ＝0可得02kx k =-，解得x ＝2， ∵A 点坐标为（2，0）；连接CO ， ∵CB ∵y 轴， ∵CB ∵x 轴，∵OBCABCSS==3，∵点C 在反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象上， ∵126BOCm S-==，∵反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象在二、四象限， ∵16m -=-，即：m =-5； （2）∵点A (2，0)， ∵OA =2，又∵AB =∵在Rt AOB 中，OB 2=，∵CB ∵y 轴， ∵设C (b ，2)， ∵62b-=，即b =-3，即C (-3，2)， 把C (-3，2)代入2y kx k =-，得：232k k =--，解得：k =25-，∵一次函数的解析式为：2455y x -=+．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数y ＝kx中k 的几何意义的应用． 22．如图，过C 点的直线y ＝﹣12x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 两点，且BC ＝AB ，过点C 作CH ∵x 轴，垂足为点H ，交反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象于点D ，连接OD ，∵ODH 的面积为627（1）求k 值和点D 的坐标；（2）如图，连接BD ，OC ，点E 在直线y ＝﹣12x ﹣2上，且位于第二象限内，若∵BDE 的面积是∵OCD 面积的2倍，求点E 的坐标．【答案】（1）12k =，点 D 坐标为（4，3）；（2）点E 的坐标为（－8，2） 【分析】（1）结合反比例函数k 的几何意义即可求解k 值；由⊥CH x 轴可知//CH y 轴，利用平行线分线段成比例即可求解D 点坐标；（2）//CH y 可知OCD ∆和BCD ∆的面积相等，由函数图像可知BDE ∆、BCD ∆、CED ∆的面积关系，再结合题意2BDE OCD S S ∆∆=，即可求CD 边上高的关系，故作EF CD ⊥，垂足为F ，即可求解E 点横坐标，最后由E 点在直线AB 上即可求解． 【详解】解∵（1）设点 D 坐标为（m ，n ）， 由题意得116,1222OH DH mn mn ⋅==∴=．∵点 D 在ky x=的图象上，12k mn ∴==． ∵直线122y x =--的图象与x 轴交于点A ，∵点A 的坐标为（－4，0）． ∵CH ⊥x 轴，CH //y 轴． 1.4AO ABOH AO OH BC∴==∴==． ∴点D 在反比例函数12y x=的图象上， ∴点 D 坐标为（4，3）（2）由（1）知CDy 轴，BCD OCD S S ∴=△△．2,3BDE OCD EDC BCD S S S S =∴=△△△△．过点E 作EF ⊥CD ，垂足为点 F ，交y 轴于点M ， 1111,,32222EDCBCDSCD EF S CD OH CD EF CD OH =⋅=⋅∴⋅=⨯⋅．312.8EF OH EM ∴==∴=．∵点 E 的横坐标为－8.∵点E 在直线122y x =--上，∵点E 的坐标为（－8，2）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、k 的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 23．如图，直线l 分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，交反比例函数(0)ky k x=≠的图象于P 、Q 两点．若2AB BP =，且AOB 的面积为4（1）求k 的值；（2）当点P 的横坐标为1-时，求POQ △的面积． 【答案】（1）-6；（2）8 【分析】（1）过P 作PE 垂直于x 轴，垂足为E ，证明ABO APE ∽．根据相似三角形的性质可得2AO OE =，49ABO APESS=，由此可得9APES =，3PEOS=．再由反比例函数比例系数k 的几何意义即可求得k 值．（2）先求得(1,6)P -，(0,4)B ，再利用待定系数法求得直线PB 的解析式为24y x=-+．与反29比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得(3,2)Q -．再根据PO POQO BQ BS SS=+即可求解． 【详解】（1）过P 作PE 垂直于x 轴，垂足为E ，∵PE//BO ， ∵ABO APE ∽． ∵2AB BP =，4AOB S =△，∵2AO OE =，22439ABO APESS ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵9APES=，3PEDS=．∵1||32k =⨯，||6k =，即6k =-． （2）由（1）知6y x-=，∵(1,6)P -． ∵2AB PB =，∵2PBOS=，∵||4BO =，(0,4)B ．设直线PB 的解析式为y kx b =+，将点(1,6)P -、(0,4)B 代入y kx b =+，得64k bb =-+⎧⎨=⎩．解得24k b =-⎧⎨=⎩．∵直线PB 的解析式为24y x =-+．联立方程组624y x y x -⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得13x =，21x =-， ∵(3,2)Q -．∵()1||2POQQOBPOB Q P SSSOB x x =+=⨯-14482=⨯⨯=．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k 的几何意义是解决问题的关键．。
反比例函数中k的几何意义
=4
<
7、如图A、B是y=1/x上的两点，AP⊥x轴，BD⊥y轴，
AP与OB相交于点C。
(填“>、=、<”号) y A
CB
O PD
x
8、如图A在y=10/x上，AB⊥y轴，点P在x轴上，则
△APB的面积是___B____
A、10
B、5
y
C、2
D、1
BA
1 2
OA Leabharlann AP1 2
|m
||n
|
1 2
|k
|
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA x
oA
x
过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的
三角形的面积是不变的，为：
你是老师你会怎么出题？
S矩形 = |k|
反比例函数 S△ = 1/2|k| 三角形或
比例系数K
矩形面积
①|k| = S矩形
|k| = 2S△
A 面积分别为S1, S2 , S3,则有 __ .
y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2
S1 A S2 BS3 C
D. S1 > S2 >S3
o A1 B1 C1
x
5、在双曲线 y k (X>0)上
x
任一点分别作x轴、y轴的垂线段， y
总结：反比例函数中两个变量的积是一个定值，都为k。
已知点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴 的垂线PA交双曲线 y 6 于点A，过点A作AB⊥y轴于B
1.2反比例函数k的几何意义(第4课时)
A
B
C S2 S3 o A1 B1 C1 S1
x
k 已知,点P是反比例函数 y 图象上一 x
点,作PA⊥ x轴 于A,若 S△AOP是3，则这
个反比例函数的解析式为（
）
谢谢大家，再见
方形，反比例函数 y
y
B A
k 的 x
的图象过点B，则k的值为（
） C
解： S正方形OABC 1 k
2
o
x
k 1
又 该反比例函数图象位于 第二、四象限
k 0
k 1
注意： 当图像在第一、三象限时，K>0; 当图像在第二、四象限时，K<0、。
3.如图，S矩形 OAPB= ____,S △OAP= y
A C E
B o x
D
如图，已知，A,B是双曲线
（1）若A(2,3)，求K的值
k y (k 0) x
上的两点，
（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3， 连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。
y
A
B o
x
（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长 线交X轴于点C，若 SAOC 6 ，求K的值 y
k y (k 0) x
上的两点，
（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3， 连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。
y
A
B o
C x (5,0)
如图，已知，A,B是双曲线 （1）若A(2,3)，求K的值
专题1 反比例函数k的几何意义(解析版)
专题1 反比例函数中比例系数k 的几何意义及运用（解析版）类型一 一个反比例函数（一）一个点及一条垂线1．如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝4，若反比例函数y ＝（k ≠0）图象的一支经过点A ，则k 的值是 4 ．【思路引领】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵△OAB 是正三角形，∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0，∴k ＝4，故答案为：4．【总结提升】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的前提．2．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在上，且AD ⊥x 轴，CA 的延长线交y轴于点E ．若S △ABE ＝5，则k ＝ 10 ．【思路引领】连接OD ，OE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，BT ⊥EC 于T ，先证△ABT 和△DCH 全等得BT ＝DH ，由此得S △ADE ＝S △ABE ＝5，再由AD ⊥x 轴得AD ∥OE ，进而得S △ADO ＝S △ADE ＝5，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得S △ADO ＝|k |，据此可求出k 的值．【解答】解：连接OD ，OE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，BT ⊥EC 于T ，如图所示：则∠BTA ＝∠DHC ＝90°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAT ＝∠DCH ，在△ABT 和△DCH 中，，∴△ABT ≌△DCH （AAS ），∴BT ＝DH ，∴△ADE 和△ABE 同底等高，∴S △ADE ＝S △ABE ＝5，∵AD ⊥x 轴，∴AD ∥OE ，∴△ADO 和△ADE 同底等高，∴S △ADO ＝S △ADE ＝5，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S △ADO ＝|k |，∴|k |＝2S △ADO ＝10，∵反比例函数的图象在第一象限，∴k ＝10．故答案为：10．【总结提升】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数k 的几何意义，平行四边形的性质，准确识图，熟练掌握反比例函数比例系数k 的几何意义，理解等底（同底）等高（同高）的两个三角形的面积相等．3．如图，已知一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数（k ≠0，x ＞0）的图象交于第一象限内点A ，与x 轴负半轴交于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，D 为AB 的中点，线段CD 交y 轴于点E ，连接BE ．若△BEC 的面积是6，则k 的值是 12 .【思路引领】设OC ＝a ，OE ＝b ，OB ＝c ，由△BEC 的面积是6，可得b （a +c ）＝12，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD ＝AD ＝BD ，由等腰三角形的性质可得∠ECO ＝∠ABC ，进而看得出△ACB ∽△EOC ，由对应边成比例可求出AC ＝，进而表示出点A 的坐标，代入函数关系式可求出k 的值．【解答】解：设OC ＝a ，OE ＝b ，OB ＝c ，∵△BEC的面积是BC•OE＝6，∴b（a+c）＝6，即b（a+c）＝12，∴D是AB的中点，△ABC是Rt△，∴CD＝AD＝BD，∴∠ECO＝∠ABC，∴∠ACB＝∠EOC＝90°，∴△ACB∽△EOC，∴＝，即＝，∴AC＝＝，∴点A（a，），∵点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝xy＝a×＝12，故答案为：12．【总结提升】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数图象的交点，用代数式表示出点A的坐标是解决问题的关键．（二）一个点及两条垂线4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（4，﹣4），并且AO：BO＝1：2，点D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为 8 ．【思路引领】根据C点坐标表示出BO、BC的长，再利用AO：BO＝1：2表示出D点的坐标即可求出k的值．【解答】解：∵点C坐标为（4，﹣4），∴BO＝BC＝4，又∵AO：BO＝1：2，∴AO＝2，而四边形ABCD为矩形，∴点D坐标为（4，2），将D（4，2）代入函数y＝中得：k＝4×2＝8，故答案为：8．【总结提升】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，利用矩形性质结合题干已知条件表示出D点坐标是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），B（5，6），将△ABO向右平移到△CDE位置，点A、O 的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是（ ）A．6B．12C．15D．30【思路引领】设AC＝EO＝BD＝a，则E（a，0），再求出C（a，6），D（5+a，6），由F是DE的中点，得到，再由函数的图象经过点C和点F，得到，由此即可求出答案．【解答】解：由平移的性质可知AC＝EO＝BD，设AC＝EO＝BD＝a，则E（a，0），∵A（0，6），B（5，6），∴OA＝6，AB＝5，AB∥x轴，C（a，6），∴AD＝AB+BD＝5+a，∴D（5+a，6）．∵F是DE的中点，∴，∵函数的图象经过点C和点F，∴，解得k＝6a＝15．故选：C．【总结提升】本题主要考查的是求反比例函数图象上点的坐标特点及平移的性质，熟知正确用a表示出点C和点F的坐标是解题的关键．类型二反比例函数与正比例函数综合（一）两交点及一条垂线6．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值为 ﹣2 ．【思路引领】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM ＝S△OBM，而S△ABM＝2，S△OAM＝1，然后根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义即可得到k＝﹣2．【解答】解：∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点中心对称，∴S△OAM ＝S△OBM，而S△ABM＝2，∴S△OAM＝1，∴|k|＝1，∵反比例函数图象在第二、四象限，∴k＜0，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．【总结提升】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|是解答此题的关键．（二）两交点及两条垂线7．如图，正比例函数y＝kx与函数的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S＝ △ABC 8 ．【思路引领】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C 点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（﹣m，﹣），∴C点坐标为（m，﹣），∴AC＝，BC＝2m，∴△ABC的面积＝AC•BC＝•2m•＝8．故答案为：8．【总结提升】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．①根据图象求k的值；②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．【思路引领】（①求出A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可；②以A或B为直角顶点求出P的坐标是（0，2）和（0，﹣2），以P为直角顶点求出P的坐标是（0，），（0，﹣）．【解答】解：①把x＝﹣1代入y＝﹣x得：y＝1，即A的坐标是（﹣1，1），∵反比例函数y＝经过A点，∴k＝﹣1×1＝﹣1；②若∠PAB是直角，则OP2＝2OA2，则P（0，2），若∠PBA是直角，则OP2＝2OB2，则P（0，﹣2），若∠APB是直角，则PA2+PB2＝AB2，则P（0，），（0，﹣），∴点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）．【总结提升】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力，用了分类讨论思想．类型三反比例函数与一次函数（非正比例函数）综合（一）两函数比例系数同号（两交点在不同象限）9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为 2或 ．【思路引领】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：①当点P在AB下方时作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，直线AB与x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线l与x轴交点的坐标C（1，0），设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y＝②，联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）；②当点P在AB上方时，同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，联立②③并解得：x＝（舍去负值）；故答案为：2或．【总结提升】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．（二）两函数比例系数异号（两交点在同一象限）10．如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y＝（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F ，连接OE ，OF ，EF ，S △OEF ﹣＝2S △BEF ，则k 值为（ ）A ．B ．1C ．D ．【思路引领】设E 点坐标为（1，m ），则F 点坐标为（，2），根据三角形面积公式得到S △BEF ＝（1﹣）（2﹣m ），根据反比例函数k 的几何意义得到S △OFC ＝S △OAE ＝m ，由于S △OEF ＝S 矩形ABCO ﹣S △OCF﹣S △OEA ﹣S △BEF ，列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形OABC 是矩形，BA ⊥OA ，A （1，0），∴设E 点坐标为（1，m ），则F 点坐标为（，2），则S △BEF ＝（1﹣）（2﹣m ），S △OFC ＝S △OAE ＝m ，∴S △OEF ＝S 矩形ABCO ﹣S △OCF ﹣S △OEA ﹣S △BEF ＝2﹣m ﹣m ﹣（1﹣）（2﹣m ），∵S △OEF ＝2S △BEF ，∴2﹣m ﹣m ﹣（1﹣）（2﹣m ）＝2•（1﹣）（2﹣m ），整理得（m ﹣2）2+m ﹣2＝0，解得m 1＝2（舍去），m 2＝，∴E 点坐标为（1，）；∴k ＝，故选：A ．【总结提升】本题考查了反比例函数k 的几何意义和矩形的性质，正确利用面积的和差计算不规则图形的面积是解题关键．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥x轴，AO ⊥AD ，AO ＝AD ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE ＝4CE ．反比例函数（x ＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）A．B．C．D．【思路引领】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD可得△ADE≌△OAG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE；设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，EG＝AE+AG＝7a，可得点E的坐标为（3a，7a），所以k＝21a2，由四边形AGHF为矩形，FH＝AG＝4a，可得点F的坐标，得到OH，GH的长，利用△OEF的面积列出方程，求得a的值，即可得到k的值．【解答】解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB//CD，∴AG⊥x轴，∵AO⊥AD，∴∠DAE+∠OAG＝90°，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠D＝∠OAG，在△DAE和△AOG中，，∴△DAE≌△AOG（AAS），∴DE＝AG，AE＝OG，∴四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，∴AD ＝CD ＝DE ，设DE ＝4a ，则AD ＝OA ＝5a ，∴OG ＝AE ＝＝3a ，∴EG ＝AE +AG ＝7a ，∴E （3a ，7a ），∵反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点E ，∴k ＝21a 2，∵AG ⊥GH ，FH ⊥GH ，AF ⊥AG ，∴四边形AGHF 为矩形，∴HF ＝AG ＝4a ，∵点F 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴x ＝＝a ，∴F （a ，4a ），∴OH ＝a ，FH ＝4a ，∴GH ＝OH ﹣OG ＝a ，∵S △OEF ＝S △OEG +S 梯形EGHF ﹣S △OFH ，S △EOF ＝，∴×OG ×EG +（EG +FH ）×GH ﹣OH ×HF ＝，∴×3a ×7a +×（7a +4a ）×a ﹣×21a 2＝，解得：a 2＝，∴k ＝21a 2＝21×＝，故选：A ．【总结提升】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求得反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质，利用点的坐标表示相应的线段长度和利用线段长度表示相应的坐标是解题的关键．12．如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是16，且点B是AC的中点，则k＝（ ）A．4B．8C．D．【思路引领】先根据B是AC的中点，表示出△BOC的面积，再利用k的几何意义表示出△AOH和△BOG 的面积，即可得出△AHC和△BGC的面积，易证△AHC∽△BGC，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出k的值．【解答】解：连接OB，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作GB⊥x轴于点G，如图所示：∵B是AC的中点，∴＝×16＝8，根据k的几何意义，S△AOH ＝S△BOG＝，∴S△AHC ＝S△AOC﹣S△AOH＝16﹣，S△BGC ＝S△BOC﹣S△BOG＝8﹣，∵∠AHC＝∠BGC＝90°，∠ACH＝∠BCG，∴△AHC∽△BGC，∵B是AC的中点，∴相似比为1：2，∴面积的比为1：4，即S△BGC ：S△AHC＝1：4，∴（8﹣）：（16﹣）＝1：4，解得k＝．故选：C．【总结提升】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．13．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3＝ 7.5 ，S1+S2+S3+…+S n＝ （用含n的代数式表示，n为正整数）．【思路引领】过点P1、点P n+1作y轴的垂线段，垂足分别是点A、B，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点C，P1C交BP n+1于点D，所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形P1ABD的面积，即可得到答案．【解答】解：如图，过点P1、点P n+1作y轴的垂线段，垂足分别是点A、B，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点C，P1C交BP n+1于点D，则点P n+1的坐标为（2n+2，），∵点P1，p2，p3的坐标f分别为（2，5）（4，）（6，）；∴S1+S2+S3＝2×5﹣2×＝7.5；OB＝，∴AB＝5﹣，∴S1+S2+S3+…+S n＝S矩形AP1DB＝2（5﹣）＝10﹣＝，故答案为：7.5，．【总结提升】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确记忆反比例函数图象上点的坐标特征解题关键．类型四两个反比例函数（一）两函数k值同号14．如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则2k2﹣2k1＝ 6 ．【思路引领】根据反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知k1＞0，k2＞0，再由四边形OMBN的面积为3，得到，即可得到答案．【解答】解：∵矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，∴由反比例函数中k的几何意义知，，∵矩形OABC与反比例函数（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，∴由反比例函数中k的几何意义知，S矩形OABC＝|k2|，∵四边形OMBN的面积为3，∴由图可知，S矩形OABC ＝S△AOM+S△CON+S四边形OMBN，即，解得k2﹣k1＝3，∴2k2﹣2k1＝6，故答案为：6．【总结提升】本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用k 的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．15．如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2的值为（ ）A．26B．28C．30D．32【思路引领】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，C （a，4），根据BD∥y轴，可得B（a+m，4+m），A（a+2m，4），D（a+m，4﹣m），即知k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m），从而m＝4﹣a，B（4，8﹣a），由B（4，8﹣a）在反比例函数的图象上，D（4，a）在的图象上，得k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，即得k1+k2＝32．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，C（a，4），∵BD∥y轴，∴B（a+m，4+m），A（a+2m，4），D（a+m，4﹣m），∵A，B都在反比例函数的图象上，∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝4﹣a，∴B（4，8﹣a），∵B（4，8﹣a）在反比例函数的图象上，D（4，a）在的图象上，∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32；故选：D．【总结提升】本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）A．4B．C．5D．【思路引领】根据点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可设出点B坐标为（，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，设点B的坐标为（，m），∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，∴点A的坐标为（，2m）．∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴点D 的坐标为（，2m ），点E 的坐标为（，m ）．∴S 梯形ABED ＝（﹣+﹣）×（2m ﹣m ）＝．故选：B ．【总结提升】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，解题的关键是用m 表示出来A 、B 、E 、D 四点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，只要设出一个点的坐标，再由该点坐标所含的字母表示出其他点的坐标即可．（二）两函数k 值异号17．如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝（x ＞0）和y ＝（x ＞0）的图象交于P ，Q 两点，若S △POQ ＝12，则k 的值为 ﹣16 ．【思路引领】由于S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到|k |+×|8|＝12，然后结合函数y ＝的图象所在的象限解方程得到满足条件的k 的值．【解答】解：∵S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，∴|k |+×|8|＝12，∴|k |＝16，而k ＜0，∴k ＝﹣16．故答案为：﹣16．【总结提升】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k |，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题．18．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，若平行四边形ABCD的面积为11，则k的值为 6 ．【思路引领】过点B作BM⊥x轴，过点A作AN⊥x轴，可证得△BCM≌△ADN（AAS），得出S▱ABCD＝S＝11，然后根据k的几何意义求解．矩形ABMN【解答】解：过点B作BM⊥x轴，过点A作AN⊥x轴，则∠BMC＝∠AND＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD，∴∠BCM＝∠ADN，在△BCM和△ADN中，∴△BCM≌△ADN（AAS），＝11，∴S▱ABCD＝S矩形ABMN又∵S＝k+5，矩形ABMN∴k+5＝11，∴k＝6．故答案为：6．【总结提升】本题考查了反比例函数k的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与k相关的矩形或三角形）的能力．。
6.2反比例函数K的几何意义
2 y= x
2 y= x (x＞0)的图象上
B. 3
C. 4 D. 5
B C
E
A D x
o
训练反馈
10,如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的 2 4 y = y = 平行线，分别与反比例函数 和 x 的图象 x 交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接 AC、BC，则∆ABC的面积为 （ A ） A. 3 B. 4 C.
B
P(m,n) A
o
A
x
o
x
过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足 分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的.
面积性质（二）
设 P (m ,n )是双曲线 y =
k x
(k
≠
0 )上任意一点 ,有 :
(2)过 P 作 x AP = | m | | n |= | k | 2 2 y 2
y
E
A
B
O
D
C
x
训练反馈
3 4.如图，A,B是双曲线 y = 上的点，分别经过A,B两点向X x
轴、y轴作垂线段，若
S阴影 = 1，则S1 S2 = 4
y y A
C D S1
H
.
B
F
o E o
S2
x x
拓展延伸
5.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、
Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿 色三角形）的面积大小关系是：S1 ____ = S2.
6.2反比例函数
再谈反比例函数中“k”的几何意 义
温故知新篇
面积性质（一）
k 设 P ( m , n ) 是双曲线 y = ( k 0 ) 上任意一点 , 有 : x （1）过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B,
反比例函数k 的几何意义
反比例函数k 的几何意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：反比例函数是一种常见的函数形式，它在数学中起着重要的作用。
在数学中，反比例函数通常表示为y = k/x，其中k是一个常数。
在本文中，我们将探讨反比例函数k的几何意义，以便更好地理解它在数学中的应用。
让我们来看看反比例函数y = k/x的图像是什么样子的。
当k大于0时，函数图像呈现出一种特殊的形状，即一条从第一象限经过原点的曲线。
这种曲线被称为双曲线。
双曲线在数学中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它往往用来描述两个量之间呈反比例关系的情况。
在几何意义上，反比例函数k的值可以理解为曲线在坐标系中的形态和性质。
当k越大时，曲线越扁平，即曲线的曲率越小。
反之，当k 越小时，曲线越尖锐，曲率越大。
反比例函数k的值可以用来描述曲线的形状和性质。
反比例函数k的几何意义还可以从另一个角度来理解。
在数学中，函数y = k/x表示了两个变量之间的反比例关系。
当x增大时，y的值会减小。
这表明两个变量之间存在一种相反变化的关系。
在几何上，这种反比例关系可以理解为一种“交换”的关系，即当一个变量增大时，另一个变量会减小，反之亦然。
反比例函数k在数学中具有重要的几何意义。
它不仅可以描述曲线的形状和性质，还可以揭示两个变量之间的反比例关系。
通过深入研究反比例函数k的几何意义，我们可以更好地理解它在数学中的应用，并丰富我们对数学的认识和理解。
【文章字数不足，如有需要可继续添加内容】。
第二篇示例：反比例函数是数学中常见的一类函数，其数学表达式为y = k/x，其中k为一个常数且k≠0。
反比例函数在数学中有很多重要的应用，尤其是在几何中具有重要的意义。
我们来看反比例函数在几何中的基本性质。
对于反比例函数y =k/x，我们可以通过绘制其图像来直观地理解其性质。
当x取正值时，y 的值随着x的增大而减小；当x取负值时，y的值随着x的增大而增加。
这说明反比例函数是一个非对称的函数，它在坐标系中的图像呈现出一种特殊的形态。
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.
P
y
S矩形APCO K , K 6 又 Q 图像在二、四象限 K =-6 y 6 x
x
O
二、趁热打铁，大显身手（提高篇）
1.在双曲线 (x>0) 上任一点分别作 x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面
y k x
积为12，求函数解析式 分类讨论
y
12 12 或y . x x
y
O
x
2.如图,点A,B是双曲线 B两点分别向x轴、y轴作垂线，若S阴影=1， 则S1+S2= 4
y A
3 y 上的点，过点A、 x
s1
s2
O
B x
活学活用
巩固提高
1.如图，P( x, y ) 是反比例函数的图象在第一象限分 PA x轴于点A， PB y轴于点B， 支上的一个动点， 随着自变量 x 的增大，矩形OAPB的面积 （ ）
O
A
x
K的几何意义
过P作x轴，y轴的垂线垂足分别为A,B，则求长方形PAOB的 AP m n K 面积？长方形PAOB的面积 =OA ·
y
B
y
P(m,n)
O
x
O
A
x
变式一
k y x (k ≠0)图像上任意一点， 如图，点P（m,n） 是反比例函数
过P作x轴的垂线，垂足为A，则三角形OAP的面积为？
S
矩形OAPB=
6
y
OA 3 3
AP 2 2
A
O
P(-3,-2)
B
x
用坐标表示线段长的时候要加绝对值符号
探究二：
k 1如图，点P 是反比例函数 y 图像上过P作PA ⊥x轴， x
PB⊥y轴，求长方形PAOB的面积。 长方形PAOB的面积 =OA · AP
y
P(m,n) B
mn K
第五章
反比例函数
k 反比例函数 y （k≠0）中K的 x
几何意义
试一试（巩固上节所学内容） 20 函数 y 的图象在 x
一、三 ______象限, Nhomakorabea减小 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 30 二、四 象限, 函数 y - x 的图象在第________ 增大 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 函数 y
SVOAP
1 1 1 OA AP m n k 2 2 2
P
A
想一想
k y x
S1
P
S1
S2
Q
S3
S1、S2，S3有什么关系？为什么？
变式二
如图，点P（m,n） (k ≠0)图像 上任意一点，过P作y轴的垂线，垂足为A，其结论成 立吗？ S 、S 有什么关系？为什么？
A．不变 C. 减小
B.增大 D.无法确定
3.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点, 过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色 三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系 y 是：S1 = S2.
P s1 s2 O Q
∟
∟
x
反比例函数中的面积问题
以形助数 用数解形
一个性质：反比例函数的面积不变性
x
,当x>0时,图象在第____ 一 象限,
减小 y随x 的增大而_________.
探究一：
1如图，点P (3,2)在反比例函数 y= PB⊥y轴，则OA= 3 AP= 3 ，
6 图像上过P作PA ⊥x轴， x
矩形OAPB=
S
6
y
P(3,2)
B
O
A
x
探究一：
2如图，点P (-3,-2)在反比例函数 y= 6 图像上过P作PA ⊥x轴， x PB⊥y轴，则OA= 3 AP= 2 ，
两种思想：分类讨论和数形结合
布置作业：
• 如图所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A （3，2）. • （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式. • （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例 函数的值大于正比例函数的值？ • （3）M（m,n）是反比例函数图象上的一动点，其中过点M 作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点 C，交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段MB 与DM的大小关系，并说明理由. •
1 2，
是反比例函数 y
k x
P
s1
s2
题型一：已知K值求面积
1.如图,点P是反比例函数
2 y x
图象上 .
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 1
y
P
o
D
x
题型二：已知面积求K值
2.如图,点P是反比例函数图象上的一 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若 阴影部分面积为6,则这个反比例函数 的关系式是