高等数学 第六章 第3节 微积分基本公式(中央财经大学)
微积分三定理 基本公式牛顿—莱布尼茨公式
x4 lim 2 4 x 0 5 x 1 . 10
练一练
1.lim
x 0 x 0
x2
0
arctan tdt x
4
1 2
2
ln 1 t dt 1 2.lim
x
0
x
2
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
练一练
x 1. dx 2 0 1 x cos 2 x 2 2. dx 0 cos x sin x
1
2
3. tan d
4 0 2 2
1 e2 x 4. dx x 1 1 e 5. x 1dx
f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 数是 ( x ) a dx y x x 证 ( x x ) f ( t )dt a
a
x
( x x ) ( x )
0
2
原式 2 sin x cos x x 0
2
求
2
1
1 x dx x
2
2
3 . 2
1 2 原式 1 x 2 2 dx x
1 x 1 1 4 5. 2 x 8 1 2 2 1 1 6 2 x 1 3 3
6 微积分的基本公式
x
2 2 0
1 4 5
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广东科贸职业学院
例6 求 02 cos x d x
cos xdx sin x C
2 0 2 0
问题的关键是 如何求被积函 数的一个原函 数.
cos x d x sin x
Байду номын сангаас
sin sin 0 1. 2
b a
f ( x )dx F ( x ) | F (b) F (a )
b a
注意: 当 a b 时, 该公式仍成立.
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x 2 dx. 例4 求 0
1
x3 2 是 x 的一个原函数, 由牛顿-莱布尼茨公式得: 解 3 3 1 x 1 0 1 1 2 . 0 x dx 3 0 3 3 3
1 例5 求 2 dx. x
1
1 解 当 x 0 时, 的一个原函数是 ln | x |, x 1 1 1 2 dx ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. x
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2
1
2 xdx ?
0 2 1 0
解： 原式 2 xdx 2 xdx x
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2
0
sin x dx
2
sin xdx sin xdx
0
cos x 0 cos x
2
(1 1) (1 (1)) 4
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例7 计算 解
微积分基本公式
3x x 600 2 2
令 L( x) 0，得驻点 x=1200由于是唯一的驻点，由问 题的实际意义当x=1200台时利润最大. 2）获最大利润时的总收入为Fra bibliotekR(1200)
1200 0
R( x )dx
1200 0
x 2 1200 (1000 x )dx (1000 x ) 0 1920000 2
解 （1）因为销售 100 件时该产品的总收入 是 R(100) ，所以
R(100)
1 0 0 0
R( x )dx
1 0 0 0
x (1000 )dx 2
又因为
R(100)
100 0
x x2 (1000 )dx 1000 x C ，所以 2 4
x x 2 100 (1000 )dx (1000 x ) |0 97500 （元） 2 4
1 2 1 t（万元） 益与时间的函数关系为 R( t ) 8 ， 4
2 C ( t ) 2 t（万 维修成本与时间的函数关系为
元）.假定机器报废时没有任何成本或残留价值. 试问其利用率最高（即累积利润最大）时,这台 机器应使用多少年？并计算总利润.
解
设利润与时间的关系为 L( t ) ，则 L(t ) R(t ) C (t ) .
元时，消费支出增加多少？
案例3.20
解 消费支出增加为
W
1600 900
15 dx 30 x x
1600 900
300 （元）
因此， 当个人收入由 900 元增加到 1600 元时，消费支出增加 300 元.
返回
案例 3.21
设某种服装的销售量在时
第三节微积分基本公式
第三节微积分基本公式第三节微积分基本公式积分学中要解决两个问题：第⼀个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了讨论；第⼆个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是⼗分困难的. 因此寻求⼀种计算定积分的有效⽅法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相⼲的两个概念. 但是,⽜顿和莱布尼茨不仅发现⽽且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系. 即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——⽜顿-莱布尼茨公式. 从⽽使积分学与微分学⼀起构成变量数学的基础学科——微积分学. ⽜顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基⼈⽽载⼊史册.分布图⽰★引⾔★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1★例2-3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7★原函数存在定理★⽜顿-莱布尼兹公式★⽜顿-莱布尼兹公式的⼏何解释★例8-9 ★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★例16 ★例17 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-2 ★返回内容要点⼀、引例⼆、积分上限的函数及其导数：?=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的⼀个原函数.三、⽜顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的⼀个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=?. (3.6)公式(3.4)称为⽜顿—莱布尼茨公式.例题选讲-124212sec 2πdx x dx xdx dx ++-=--121004204sec 2ππ31231tan 210304+=++-=-πππ例2 (E02) 求 ??x tdt dx d 02cos .解 ??x t d t dx d 02cos .c o s 2x =例 3(E03) 求 ??321x t dt e dx d .解这⾥dt e x t ?321是3x 的函数，因⽽是x 的复合函数，令,3u x =则? =Φut dt e u 1,)(2根据复合函数求导公式，有321x t dt e dx d dxdu dt e du d ut ?3)(x u ?Φ'=232x e u ?=?=623x e x例4 设)(x f 是连续函数, 试求以下函数的导数. (1) ?=xxt f dt e x F sin cos )()(; (2) ?=x dt t xf x F 0)()(; (3) .)()(0-=xdt t x f x F解 (1) )(x F '.sin cos )(cos )(sin x e x e x f x f += (2) 因为,)()(0=xdt t f x x F 所以)(x F '.)()(0+=xdt t f x xf(3)因为?-=xdt t x f x F 0)()(t x u -=?-)(xdu u f .)(0=xdu u f ，所以，).()(x f x F ='例5(E05) 设函数)(x f y =由⽅程0sin 0t d t t d e xy t 所确定. 求.dxdy 解在⽅程两边同时对x 求导: 0sin 022=??+dt t dx d dt e dx d x y t 于是0sin 022=??+dt t dx d dx dy dt e dy d x y t即0)sin ()2(4=-+??x dxdy例6 (E04) 求 21cos 02lim x dt e xt x ?-→.分析:这是型不定式,应⽤洛必达法则. 解dt e dxd xt ?-1cos 2dt e dxd xt ?--=cos 12)(c o s c o s12'?-==-?x d t e d u d x u u t )(cos 2 cos '?-=-x e x ,sin 2cos x e x -?=故 21c o s02l i me=例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,且.0)(>x f 证明函数??=x x dtt f dt t tf x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.证因为 ),()(0x xf dt t tf dx d x =?),()(0x f dt t f dxd x=?所以 )(x F '2)()()()()(?-=xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf ,)()()()(2-=dt t f dt t f t x x f),0(0)(>>x x f ,0)(0>∴xdt t f,0)()(>-t f t x ,0)()(0>-∴?xdt t f t x∴).0(0)('>>x x F故)(x F 在),0(+∞内为单调增加函数.⽜顿—莱布尼兹公式例8 (E06) 求定积分12dx x .解 33x 是2x 的⼀个原函数，由⽜顿-莱布尼茨公式得: dx x ?102133x =3031-=.31=例9（E07）求.112?--dx x解当0--12112||ln --=x 2ln 1ln -=.2ln -=例10 设 ,215102)(??≤<≤≤=x x x x f 求.)(2dx x f解如图(见系统演⽰)，在]2,1[上规定: 当1=x 时, ,5)(=x f 则由定积分性质得: dx x f ?2)(dx x f dx x f ?+=211)()(dx dx x ?+=21152.6=例11（E08）计算.|12|10?-dx x解因为|12|-x ??-≤-=21,1221,21x x x x 所以dx x ?-1|12|dx x dx x ?-+-=12/12/11)12()21(02/122/102)()(x x x x -+-=.21=例12 求定积分 ?--3 /2/2cos 1ππdx x .解dx x ?--3/2/2cos 1ππdx x ?-=3/2/2sin ππdx x ?-=3/2+-=-3/02/sin sin ππ3/02/cos cos ππx x -=-.23=例13 (E09) 求.},max{222dx x x ?-解由图形(见系统演⽰)可知)(x f },max{2x x =≤≤<≤<≤-=21,10,02,22x x x x x x dx x x ?-∴222},max{dx x dx x dx x ?++=-21210022.211=例14 （E10）计算由曲线x y sin =在,0=x π=x 之间及x 轴所围成的图形的⾯积.A 解如图(见系统演⽰), 根据定积分的⼏何意义,所求⾯积A 为=πsin dx x A π0cos x -=)0cos (cos ---=π.2=例15汽车以每⼩时36km 速度⾏驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度5-=α2/s m 刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车驶过了多少距离?解⾸先要算出从开始刹车到停车经过的时间. 设开始刹车的时刻为,0=t 此时汽车速度为 360=v km/h 3600100036?=s m /./10s m =刹车后汽车减速⾏驶, 其速度为t a v t v +=0)(.510t -= 当汽车停住时, 速度,0)(=t v 故由0510)(=-=t t v ?).(25/10s t == 于是这段时间内, 汽车所驶过的距离为-==2020)510()(dt t dt t v s 2022510-=t t ).(10m =即在刹车后, 汽车需驶过m 10才能停住.例16 (E11) 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, 证明在开区间),(b a 内⾄少存在⼀点,ξ使).)()(()(b a a b f dx x f ba<<-=?ξξ证因)(x f 连续, 故它的原函数存在, 设为),(x F 即设在],[b a 上).()('x f x F =根据⽜顿-莱布尼茨公式, 有).()()(a F b F dx x f ba-=?显然函数)(x F 在区间],[b a 上满⾜微分中值定理的条件, 因此按微分中值定理, 在开区间),(b a 内⾄少存在⼀点,ξ使),)(()()('a b F a F b F -=-ξ),,(b a ∈ξ故),)(()(a b f dx x f ba-=?ξ).,(b a ∈ξ注: 本例的结论是对积分中值定理的改进. 从其证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.课堂练习1.设)(x f 在],[b a 上连续, 则xadt t f )(与bxdu u f )(是x 的函数还是t 与u 的函数? 它们的导数存在吗? 如果存在等于什么?2.⽤定积分定义和性质求极限.212111lim ??+++++∞→n n n n 3.计算定积分?+10221dx x x .。
微积分公式
§5.3 微积分基本公式一、积分上限的函数及其导数设函数f x ()在区间[,]a b 上连续，并设x 为[,]a b 上的一点，考察f x ()在部分区间[,]a x 上的积分f x dx a x()⎰这一特殊形式的积分有两点应该注意：其一、 因f x ()在[,]a x 连续，该定积分存在。
此时，变量x “ 身兼两职 ”，既是积分变量，又是积分的上限。
为了明确起见，将积分变量改用其它符号如t 来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。
上面的定积分改写成下述形式 f t dt ax ()⎰ 其二、 若上限x 在[,]a b 上任意变动，则对应于每一个取定x ，该定积分有一个对应值。
所以，它在[,]a b 上定义了一个新的函数， 记作Φ()x Φ()()()x f t dt x a x b a=⎰≤≤称Φ()x 为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。
是否确有这类函数?观察一个例子,正态曲线y e x =-2在[,]-33上的变上限函数为Φ()x e t dt x =-⎰-23它表示一个曲边梯形的面积。
运行程序gs0503.m ，可分别作出y e x =-2，y x =Φ()在[,]-33上的图象这表明，Φ()x 确实是一个新的函数。
【定理一】如果函数f x ()在区间[,]a b 上连续， 则变上限函数Φ()()x f t dt ax =⎰在[,]a b 上具有导数，且它的导数是 '=⎰=≤≤Φ()()()()x d dx f t dt f x a x b ax 证明：当上限x 获得增量∆x 时， Φ()x 在x x +∆处的函数值为Φ∆∆()()x x f t dt a x x+=⎰+由此得函数的增量 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+∆+∆+=-+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx x x x a x x x x a x axx a dtt f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f x x x )()()()()()()()(据积分中值定理：∆Φ∆=⋅f x ()ξ ξ在x 与x x +∆之间∆Φ∆x f =()ξ lim lim ()lim ()()∆∆∆Φ∆x x xx f f f x →→→===00ξξξ即： '=Φ()()x f x定理一表明：Φ()x 是f x ()的一个原函数。
6-3-5微积分的基本公式
a
(2)若f ( x)在[a, a]上连续且为奇函数，则
a
a
f ( x)dx 0
6-4 定积分的换元
四、定积分的计算
(3)若f ( x)在[0,1]上连续，则
2 0 n
2 0
f (sin x)dx 2 f (cos x )dx
0
例6 计算 （ 1）
0
xf (sin x)dx
L/O/G/O
第 6 章 定积分及其应用
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 定积分的概念 定积分的性质 微积分的基本公式 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法
6-6 反常积分与T函数 6-7 定积分的几何应用 6-8 定积分的经济应用
6-3 微积分的基本公式
x a
x f t dt x [a, b]
显然
b
a 0 b a f t dt
6-3 微积分的基本公式
二、原函数存在定理
设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b]上连续，则积分上限 函数 x
x
a
f t dt 是区间 [a, b] 的一个原函数，
tn1 tn T2
ti ti ti 1 si v( i )ti
（2）求和 s
v( )t
i 1 i
n
n
i
（3）取极限 s lim v( i )ti
l 0
i 1
6-3 微积分的基本公式
引例 变速直线运动
设某物体作直线运动，已知速度 v(t ) 是时间间隔 [t1 , t2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0 ，求物体在
微积分的公式大全
微积分的公式大全1.导数公式：- 限定义导数：f'(a) = lim[h->0] (f(a+h)-f(a))/h-幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)-指数函数的导数：(e^x)'=e^x- 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x-三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)-反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)2.积分公式：- 不定积分的基本公式：∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx - 幂函数的积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (其中C为常数) - 指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数的积分：∫1/x dx = ln，x， + C (其中C为常数)-三角函数的积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C-反三角函数的积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C- ∫-1/√(1-x^2) dx = arccos(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3.基本定理：- 第一基本定理：∫[a, b] f'(x)dx = f(b) - f(a) (即导函数的积分等于原函数在区间上的差)- 第二基本定理：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a) (即函数的积分等于其原函数在区间上的差)4.微分方程：- 一阶线性ODE通解：y = ∫[a, x] f(t)*e^(∫[a, t] p(u)du) dt + Ce^(∫[a, x] p(t)dt)-二阶常系数齐次线性ODE通解：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)-二阶常系数非齐次线性ODE通解：- 非齐次线性ODE的特解：y = yp- 齐次线性ODE的通解：y = yp + C1e^(r1x) + C2e^(r2x)5.极限公式：- 极限定义：lim[x->a] f(x) = L (当x趋近于a时，f(x)趋近于L) -极限的四则运算法则：- lim[x->a] [f(x) + g(x)] = lim[x->a] f(x) + lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) - g(x)] = lim[x->a] f(x) - lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) * g(x)] = lim[x->a] f(x) * lim[x->a] g(x) - lim[x->a] [f(x) / g(x)] = lim[x->a] f(x) / lim[x->a] g(x) (其中g(a)不等于0)- 极限函数的连续性：如果lim[x->a] f(x) = f(a)和lim[x->a]g(x) = g(a)，则lim[x->a] [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a)和lim[x->a] [f(x) * g(x)] = f(a) * g(a)。
微积分基本公式ppt课件
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
基本微积分公式
基本微积分公式1微积分公式微积分是数学中的一个分支，是由著名的德国数学家Gottfried Wilhelm Leibniz和英国数学家Isaac Newton发明的，是为了研究连续的函数的变化的方法。
微积分公式中包含着很多实用的公式，可以用来计算函数的最值、极限、导数等。
2一阶导数公式一阶导数是求导中最常见的一种，也是应用最多的一种，它用来表示某个函数在某一点的变化量，一阶导数的公式通过函数的变化量来计算函数的极限值，公式的形式为：y'=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，其中y'表示函数的一阶导数，x1和x2分别表示两个不同的点，f(x)表示函数的值。
3二阶导数公式二阶导数是比一阶导数更高级的概念，表示函数在某一点处的变化量，二阶导数的公式为：y''=(f'(x2)-f'(x1))/(x2-x1)，其中y''表示函数的二阶导数，x1和x2表示不同的点，f'(x)表示函数的一阶导数。
4梯度公式梯度公式是函数变化率最大的方向，可以被用来描述函数的变化量。
梯度公式可以用来表示以点为中心，函数瞬间变化量最大的方向，通常公式记作∇f，表示函数f的梯度方向。
梯度的计算方法有两种，一种是用数值的方法，另一种是矢量的方法，数值的公式为：grad(f)={(f(x+1)-f(x-1))/2,(f(y+1)-f(y-1))/2}，其中x、y是变量，f(x)、f(y)分别表示x、y的函数值。
5曲线面积公式曲线面积是求面积的一种重要方法，在曲线面积公式中，首先要定义好曲线。
曲线面积的计算方法有多种，如：从数值解求面积；从边界条件求面积；高元分片梯形公式；梯形公式；抛物线面积公式等等，最常见的曲线面积求法是通过抛物线的公式来求，公式为∫abf(x)dx，其中a和b分别表示抛物线两个端点，f(x)表示抛物线函数值，dx表示定积分积分形式。
以上就是基本微积分公式的介绍，仅供参考，具体的解答还要根据函数的具体情况来求解。
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
微积分的基本公式
微积分的基本公式微积分是数学的一个分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和理论。
在微积分中，有很多基本公式被广泛应用于解决各种问题。
下面是一些微积分的基本公式及其应用：1.导数公式：-常数导数公式：对于任意常数c，其导数为0。
- 幂函数导数公式：对于任意实数n，导数公式为d(x^n) / dx = n * x^(n-1)。
- 指数函数导数公式：对于任意实数a，指数函数e^x的导数为d(e^x) / dx = e^x。
- 对数函数导数公式：对于任意实数a和b，自然对数函数ln(x)的导数为d(ln(x)) / dx = 1 / x。
2.积分公式：- 幂函数积分公式：对于任意实数n（n ≠ -1），积分公式为∫(x^n)dx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
- 指数函数积分公式：对于任意实数a，指数函数e^x的积分公式为∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。
- 对数函数积分公式：对于任意实数a和b，自然对数函数ln(x)的积分公式为∫(1 / x)dx = ln，x， + C，其中C为常数。
3.基本微积分定理：基本微积分定理是微积分的核心定理之一，它定量描述了函数与其导函数之间的关系。
根据基本微积分定理，如果F(x)是函数f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
4.链式法则：链式法则是求复合函数导数的一个重要工具。
设有函数y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是可导函数，那么复合函数关于自变量x的导数可以表示为dy / dx = dy / du * du / dx。
5.积分换元法：积分换元法是求定积分的一个常用方法。
当遇到被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入一个合适的变量代换，将原函数转化为较简单的形式来进行积分计算。
上述只是微积分中的几个基本公式，实际上微积分涉及到更多的公式和方法。
微积分在物理、工程、经济学等领域中具有广泛的应用，可以用于描述和分析各种变化过程，计算曲线的斜率、面积、体积等。
高等数学微积分公式大全
高等数学微积分公式大全微积分是高等数学中的重要分支，是研究函数变化规律以及求解各种问题的一种数学工具。
微积分公式是微积分学习中最为基础和重要的内容之一，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
本文将为大家逐一介绍高等数学微积分公式大全。
1. 导数公式导数是函数在某一点上的变化速率，反映了函数的局部特征。
以下是常见的导数公式：- 常数函数导数公式：若y = C，C为常数，则导数dy/dx = 0。
- 幂函数导数公式：若y = x^n，n为实数，则导数dy/dx = nx^(n-1)。
- 指数函数导数公式：若y = a^x，a>0且a≠1，则导数dy/dx = a^x * ln(a)。
- 对数函数导数公式：若y = loga(x)，a>0且a≠1，则导数dy/dx = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数导数公式：若y = sin(x)，则导数dy/dx = cos(x)。
若y = cos(x)，则导数dy/dx = -sin(x)。
若y = tan(x)，则导数dy/dx = sec^2(x)。
2. 积分公式积分是反导数的计算过程，可以计算函数的面积、曲线长度、体积等。
以下是常见的积分公式：- 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
- 指数函数积分公式：∫a^x dx = (1/ln(a))a^x + C，其中C为常数。
- 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C，其中C为常数。
- 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为常数。
3. 极限公式极限是函数在某一点附近的近似取值，是微积分理论的基础。
以下是常见的极限公式：- 基本极限公式：lim(x→0) (sin(x)/x) = 1。
微积分基本公式(3)_OK
作业P18
4. 5.单号
6.
25
练习题
计算下列各定积分：
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
;
3. 0 3x 4 3x 2 1 dx;
1 x 2 1
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
;
4. 2 sin x dx . 0
26
练习题解答
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
2 x2dx
1
21 1 x2dx
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
y
证
xx
( x x) a
f (t)dt
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
oa
x x x b x
5
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
4 x2
20
π 6
1
x
dx arcsin C .
a2 x2
a
21
例8
计算
e
1
1 ln x x
dx
解
e 1
1 ln x
x
dx
e 1
(1
ln
x)d (1
ln
x)
2 1 3 22
例9 计算
π
4 π
cos2 xdx
6
解
π
(完整版)微积分公式大全
(完整版)微积分公式大全1. 极限极限是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点处的趋近情况。
常见的极限公式包括：- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在正无穷远处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的右侧极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的左侧极限为 $L$。
2. 导数导数用于描述函数在某一点处的斜率，常见的导数公式有：- $\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) +\frac{d}{dx}g(x)$：和的导数等于各个函数导数之和。
- $\frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：常数倍的函数导数等于常数与函数导数的乘积。
- $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}g(x) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
- $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$：复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
3. 积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
常见的积分公式有：- $\int f(x) dx$：函数 $f(x)$ 的不定积分。
03-第三节-微积分基本公式
03-第三节-微积分基本公式第三节微积分基本公式积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系. 即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式. 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册.分布图示★引言★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数三、牛顿—莱布尼兹公式定理 3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f b a-=⎰.(3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.例题选讲积分上限的函数及其导数例1 (E01) 求右图中阴影区域的面积解 由题意，得到阴影区域的面积()()[]d xx dx x ⎰⎰--+-=-1204212sec 2πdxx dx xdx dx ⎰⎰⎰⎰++-=--1214204sec 2ππ31231tan 210304+=++-=-πππx x.例2 (E02) 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰xtdt dx d 02cos .O x1y 24-π/1sec x=y 21x =y 2-解⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰xtdt dx d 02cos .cos 2x =例 3(E03) 求 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰321x t dt e dx d .解 这里dte x t ⎰321是3x 的函数，因而是x 的复合函数，令,3u x =则⎰=Φu t dt eu 1,)(2根据复合函数求导公式，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰321x t dt e dx d dxdu dt e du d u t ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰1223)(x u ⋅Φ'=232x e u ⋅=⋅=623x e x例 4 设)(x f 是连续函数, 试求以下函数的导数.(1)⎰=xxt f dtex F sin cos )()(; (2)⎰=xdtt xf x F 0)()(; (3).)()(0⎰-=x dt t x f x F解 (1) )(x F '.sin cos )(cos )(sin x e x e x f x f +=(2) 因为,)()(0⎰=x dt t f x x F 所以)(x F '.)()(0⎰+=xdt t f x xf(3) 因为⎰-=xdt t x f x F 0)()(t x u -=⎰-0)(xdu u f .)(0⎰=xdu u f ，所以，).()(x f x F ='例5(E05) 设函数)(x f y =由方程0sin 0022=+⎰⎰t d t t d e xy t 所确定. 求.dxdy 解 在方程两边同时对x求导:0sin 022=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dt t dx d dt e dx d x y t于是 0sin 022=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dt t dx d dx dy dt e dy d x y t即0)sin ()2(4=-+⋅⋅x dxdyy e y故 .2sin 4yye x dx dy =例6 (E04) 求 21cos 02limx dt e xt x ⎰-→.分析:这是00型不定式,应用洛必达法则. 解dt e dxdxt ⎰-1cos 2dt e dxd xt ⎰--=cos 12)(cos cos 12'⋅-==-⎰x dte dud xu ut)(cos 2cos '⋅-=-x e x ,sin 2cos x e x -⋅= 故 21cos 02lim x dt e xt x ⎰-→xe x xx 2sin lim 2cos0-→⋅=.21e=例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,且.0)(>x f 证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数. 证 因为 ),()(0x xf dt t tf dx d x=⎰),()(0x f dt t f dxd x =⎰所以)(x F '2)()()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf ,)()()()(2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰xxdt t f dt t f t x x f),0(0)(>>x x f ,0)(0>∴⎰xdt t f,0)()(>-t f t x ,0)()(0>-∴⎰xdt t f t x∴).0(0)('>>x x F故)(x F 在),0(+∞内为单调增加函数.牛顿—莱布尼兹公式例8 (E06) 求定积分 ⎰102dx x .解 33x 是2x 的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得: dx x ⎰102133x =3031-=.31=例9（E07） 求.112⎰--dx x解 当<x 时,x1的一个原函数是|,|ln x dx x⎰--12112||ln --=x 2ln 1ln -=.2ln -=例10 设,215102)(⎩⎨⎧≤<≤≤=x x x x f 求 .)(2⎰dx x f解 如图(见系统演示)，在]2,1[上规定: 当1=x 时,,5)(=x f 则由定积分性质得:dx x f ⎰2)(dx x f dx x f ⎰⎰+=211)()(dx dx x ⎰⎰+=21152.6=例11（E08） 计算.|12|10⎰-dx x解 因为|12|-x ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=21,1221,21x x x x所以dx x ⎰-10|12|dx x dx x ⎰⎰-+-=12/12/11)12()21(02/122/102)()(x x x x -+-=.21=例12 求定积分 ⎰--3/2/2cos 1ππdx x .解 dx x ⎰--3/2/2cos 1ππdx x ⎰-=3/2/2sin ππdx x ⎰-=3/2/|sin |ππdx x xdx ⎰⎰+-=-3/002/sin sin ππ3/002/cos cos ππxx -=-.23=例13 (E09) 求.},m ax{222dx x x ⎰-解 由图形(见系统演示)可知)(x f },m ax{2x x =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<≤-=21,10,02,22x x x x x xdx x x ⎰-∴222},m ax{dx x dx x dx x ⎰⎰⎰++=-212122.211=例14 （E10） 计算由曲线x y sin =在,0=x π=x 之间及x 轴所围成的图形的面积.A解 如图(见系统演示), 根据定积分的几何意义, 所求面积A 为⎰=πsin dx x A π0cos x -=)0cos (cos ---=π.2=例15汽车以每小时36km 速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度5-=α2/s m 刹车.问从开始刹车到停车, 汽车驶过了多少距离?解 首先要算出从开始刹车到停车经过的时间. 设开始刹车的时刻为,0=t 此时汽车速度为360=v km/h 3600100036⨯=s m /./10s m = 刹车后汽车减速行驶, 其速度为t a v t v +=0)(.510t -=当汽车停住时, 速度,0)(=t v 故由0510)(=-=t t v ⇒).(25/10s t ==于是这段时间内, 汽车所驶过的距离为⎰⎰-==2020)510()(dt t dt t v s 2022510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=t t ).(10m =即在刹车后, 汽车需驶过m 10才能停住.例16 (E11) 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, 证明在开区间),(b a 内至少存在一点,ξ使).)()(()(b a a b f dx x f b a<<-=⎰ξξ证 因)(x f 连续, 故它的原函数存在, 设为),(x F 即设在],[b a 上).()('x f x F =根据牛顿-莱布尼茨公式, 有 ).()()(a F b F dx x f b a-=⎰ 显然函数)(x F 在区间],[b a 上满足微分中值定理的条件, 因此按微分中值定理, 在开区间),(b a 内至少存在一点,ξ 使),)(()()('a b F a F b F -=-ξ),,(b a ∈ξ故 ),)(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ).,(b a ∈ξ注: 本例的结论是对积分中值定理的改进.从其证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.课堂练习1.设)(x f 在],[b a 上连续, 则⎰xadt t f )(与⎰bxdu u f )(是x 的函数还是t 与u 的函数? 它们的导数存在吗? 如果存在等于什么?2.用定积分定义和性质求极限.212111lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n3.计算定积分⎰+10221dxx x .。
微积分基本公式
第五章 定积分第二讲 微积分基本公式教学目的 1．掌握积分上限函数的求导方法及其应用；2．熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式．教学重点 积分上限函数求导及牛顿－莱布尼兹公式． 教学难点 积分上限函数的应用． 教学时数 2学时 教学过程在第一节中，我们举过应用定积分定义计算积分的例子．从这个例子我们看到，被积函数虽然是简单的二次幂函数2)(x x f =，但直接按定义来计算它的定积分已经不是很容易的事．如果被积函数是其他复杂的函数，其困难就更大了．因此，我们必须寻求计算定积分的新方法．下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(t s 及速度函数)(t v 之间的联系作进一步的研究．一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻t 时物体所在位置为)(t s ，速度为)(t v ．(为了讨论方便起见，可以设0)(≥t v ．)从第一节知道：物体在时间间隔[]21 ,T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在[]21 ,T T 上的定积分⎰21d )(T T t t v 来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上增量)()(12T s T s -来表达．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系：)()(d )(1221T s T s t t v T T -=⎰． (1)因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数)(t v 在区间[]21 ,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上的增量：)()(12T s T s -．上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，那么，)(x f 在区间] ,[b a 上的定积分就等于)(x f的原函数(设为)(x F )在区间] ,[b a 上的增量：)()(a F b F -．二、积分上限的函数及其导数设函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，并且设x 为] ,[b a 上的一点．现在我们来考察)(x f 在部分区间] ,[x a 上的定积分⎰xax x f d )(．首先，由于)(x f 在区间] ,[x a 上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成⎰xat t f d )(如果上限x 在区间] ,[b a 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在] ,[b a 上定义了一个函数，记作)(x Φ：).( d )()(b x a t t f x xa≤≤=⎰Φ这个函数)(x Φ具有下面定理1所指出的重要性质．定理1 如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，则积分上限的函数⎰=xat t f x d )()(Φ在] ,[b a 上可导，并且它的导数是).( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x xa≤≤=='⎰Φ (2)证 若) , (b a x ∈，设x 获得增量x ∆，其绝对值足够地小，使得) , (b a x x ∈+∆，则)(x Φ在x x ∆+处的函数值为⎰+=+xx at t f x x ∆∆Φd )()(．由此得函数的增量⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=-+=-=-+=xx xx ax x xxa xaxx att f tt f t t f t t f tt f t t f x x x ∆∆∆Φ∆Φ∆Φd )(d )(d )(d )(d )(d )()()(再应用积分中值定理，即有等式x f ∆ξ∆Φ)(=．这里，ξ在x 与x x ∆+之间．把上式两端各除以x ∆，得函数增量与自变量增量的比值).(ξ∆∆Φf x=由于假设)(x f 在] ,[b a 上连续，而0→x ∆时，x →ξ，因此)()(lim 0x f f x =→ξ∆．于是令0→x ∆，对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于)(x f ．这就是说，函数)(x Φ的导数存在，并且)()(x f x ='Φ．若a x =，取0>x ∆，则同理可证)()(a f a ='+Φ；若b x =，取0<x ∆，则同理可证)()(b f b ='-Φ．证毕．这个定理指出了一个重要结论：连续函数)(x f 取变上限x 的定积分然后求导，其结果还原为函数)(x f 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理1推知)(x Φ是连续函数)(x f 的一个原函数．因此，我们引出如下的原函数的存在定理．定理2 如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，则函数⎰=xat t f x d )()(Φ (3)就是)(x f 在] ,[b a 上的一个连续原函数．这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系．因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分．三、牛顿－莱布尼兹公式现在我们根据定理2来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间] ,[b a 上的一个原函数，则)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰． (4)证 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限函数⎰=xat t f x d )()(Φ也是)(x f 的一个原函数．于是这两个原函数之差)()(x x F Φ-在] ,[b a 上必定是某个常数C ，即)( )()(b x a C x x F ≤≤=-Φ． (5)在上式中令a x =，得C a a F =-)()(Φ．又由)(x Φ的定义式(3)及上节积分的补充规定(1)可知0)(=a Φ，因此，)(a F C =．以)(a F 代入(5)式中的C ，以⎰xa t t f d )(代入(5)式中的)(x Φ，可得)()(d )(a F x F t t f xa-=⎰．在上式中令b x =，就得到所要证明的公式(4)．由上节定积分的补充规定(2)可知，(4)式对b a >的情形同样成立． 为了方便起见，以后把)()(a F b F -记成ba x F )]([．公式(4)叫做牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibniz)公式．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在区间] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数在区间] ,[b a 上的增量．这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续．通常也把公式(4)叫做微积分基本公式．下面我们举几个应用公式(4)来计算定积分的简单例子． 例1 计算第一节中的定积分⎰12d x x ．解 由于33x 是2x 的一个原函数，所以按牛顿－莱布尼兹公式，有3103130313d 3310312=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x x x ． 例2 计算⎰-+312d 11x x ．解 由于x arctan 是211x +的一个原函数，所以[]πππ12743)1arctan(3arctan arctan d 1131312=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==+--⎰x x x ． 例3 计算⎰--12d x x．解 当0<x 时，x1的一个原函数是x ln ，所以[]2ln 2ln 1ln ln d 1212-=-==----⎰x x x ． 通过例3，我们应该特别注意：公式(4)中的函数)(x F 必须是)(x f 在该积分区间] , [b a 上的原函数． 例4 计算正弦曲线x y sin =在] , 0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积． 解 这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积[]2)1()1(cos d sin 00=----=-==⎰ππx x x A ．例5 汽车以每小时36km 速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车．问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？解 首先要算出从开始刹车到停车经过的时间．设开始刹车时刻为0=t ，此时汽车速度m/s 10km/h 360==v ．刹车后汽车减速行驶，其速度为 t at v t v 510)(0-=+=． 当汽车停住时，速度0)(=t v ，故从0510)(=-=t t v 解得)s ( 2=t ． 于是在这段时间内，汽车所驶过的距离为(m) 102510d )510(d )(2022020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=-==⎰⎰t t t t t t v s ，即在刹车后，汽车需驶过10m 才能停住．例6 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续，证明在开区间) , (b a 内至少存在一点ξ，使).( ))((d )(b a a b f x x f ba<<-=⎰ξξ证 因)(x f 连续，故它的原函数存在，设为)(x F ，即设在] , [b a 上)()(x f x F ='．根据牛顿－莱布尼兹公式，有)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰．显然函数)(x F 在区间] , [b a 上满足微分中值定理的条件，因此按微分中值定理，在开区间) , (b a 内至少存在一点ξ，使) , ( ))(()()(b a a b F a F b F ∈-'=-ξξ，故) , ( ))((d )(b a a b f x x f ba∈-=⎰ξξ．本例的结论是上一节所述积分中值定理的改进．从本例的证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系．下面再举几个应用公式(2)的例子．例7 设)(x f 在) , 0[∞+内连续且0)(>x f ．证明函数⎰⎰=x xtt f t t tf x F 00d )(d )()(在) , 0(∞+内为单调增加函数．证 由公式(2)，得)(d )(d d 0x xf t t tf x x =⎰， )(d )(d d 0x f t t f x x=⎰．故200200d )(d )()()(d )(d )()(d )()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎰⎰⎰⎰⎰xxx xx t t f tt f t x x f t t f tt tf x f t t f x xf x F按假设，当x t <<0时0)(>t f ，0)()(>-t f t x ，可知0d )(0>⎰xt t f ，0d )()(0>-⎰xt t f t x ，所以)0( 0)(>>'x x F ，从而)(x F 在) , 0(∞+内为单调增加函数．例8 求 21cos 0d e lim2x txt x ⎰-→．解 易知这是一个0型的未定式，我们利用洛必达法则来计算． 分子可写成⎰--x t t cos 1d e 2，它是以x cos 为上限的积分，作为x 的函数可看成是以x u cos =为中间变量的复合函数，故由公式(2)有().e sin )sin (e cos d e d d d e d d d e d d 22222cos cos cos 1cos 11cos x x x u u -t x -t x -t x x x t u t x t x --==-⋅-='⋅-=-=⎰⎰⎰因此e212e sin limd e lim22cos 021cos 0==-→-→⎰xx x t xx xt x ． 四、总结本节学习了1．积分上限函数的求导方法； 2．牛顿－莱布尼兹公式．作业 习题5-2(240页) 1，2，3，4，5，6(11，12)，9，11，12．。
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x
故
在
内为单调增加函数 .
例
设
在
上连续，且
F ( x)
.证明 ) f (x
在 上只有一个解 . F ( x) = 0 证 令 F ( x) = 2 x − ∫ f (t )dt − 1,
0
[0,1]
x
下面再看 定理 2 .
∵ f ( x) < 1, ∴ F ′( x) = 2 − f ( x) > 0,
a
x
∫ a f ( x) d x = F (b) − F (a)
b
定积分的计算 问题转化为已 知函数的导函 数,求原函数的 问题 .
二. 微积分基本公式
定理
( 牛顿 —莱布尼茨公式)
若 f ( x) ∈ C ([ a, b]), F ( x ) 为 f ( x ) 在 [a, b] 上的
一个原函数 , 则
∫ a f ( x) d x = F ( x)
牛顿— 莱布尼茨公式
b
b a
= F (b) − F (a ).
将定积分的计算与求原 函数的计算联系起来了 .
例
(sin x )′ = cos x,
∫
π 2 cos 0
x d x = sin x
π 2 0
π = sin − sin 0 = 1. 2
问题的关键是如何求一个 函数的原函数.
f (t ) d t ,
如果 f ( x) ∈ C ([a, b]), 则由积分中值定理 得 ,
F ( x + ∆x ) − F ( x ) = ∫
x +∆x x
f (t ) d t = f (ξ ) ∆x ,
(ξ 在 x 与 x + ∆x 之间)
F ( x + ∆x ) − F ( x) f (ξ ) ∆x 故 lim = lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x
a
b
之间存在一种函数关系 . 固定积分下限不变, 让积分上限变化, 则得到积
分上限函数 :
F ( x ) = ∫ f ( x) d x = ∫ f (t ) d t
a a x x
x ∈ [ a, b] .
积分上限函数的几何意义
y
y = f ( x)
a
O
xx
b
x
积分上限函数的几何意义
y
∫ a f ( x) d x
= sin(1 + u 2 ) ⋅ 2 x = 2 x sin(1 + x 4 ) . 这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗 ?
一般地 ,
若 ϕ ( x) 可导 , f ( x) ∈ C , 则
F ′( x) = ( ∫
ϕ ( x) a
f (t ) d t )′ = f (ϕ ( x)) ⋅ ϕ ′( x ) .
例 1 ∫ −11 + x2 d x = arctan x
1
1 −1
π = arctan 1 − arctan( −1) = . 2
1 π 1 = (sin 2 ⋅ − sin 0) = . 2 4 2
∫
π 4 cos 2 0
1 x d x = sin 2 x 2
π 4 0
例 解
计算
π
∫
π
0
1 + cos 2 x d x .
π
0 2
∫0
1 + cos 2 x d x = ∫
π
2 cos x d x
怎
？= 么办
2 ∫ | cos x | d x
0
去绝对 值符号(如果 是分段函 数，则利用 积分的性质 将积分分成 几个部分的 和的形式.)
= 2 ∫ cos x d x + 2 ∫ π ( − cos x ) d x
2
π 2 0
—— 经济数学—— ——微积分
第六章 定积分及应用
——微积分基本公式 ——微积分基本公式
中央财经大学
一. 积分上限函数 (变上限的定积分)
对可积函数 f ( x ) 而言, 每给定一对 a, b 值, 就有 确定的定积分值 I = ∫ f ( x) d x 与之对应.
a b
这意味着 f ( x) 的定积分 ∫ f ( x ) d x 与它的上下限
x
d dx
∫0 tf (t )dt F ( x) = x x ( f f (t )dt = f ∫0x), ( t )dt ∫0
x
0
x
F ′( x) =
xf ( x)∫ f (t )dt − f ( x) ∫ tf (t ) dt
0
⎛ ⎜ ⎝
∫
x
0
f (t )dt ⎞ ⎟ ⎠
2
F ′( x) =
f ( x) ∫ ( x − t ) f (t )dt
0
x
F (x)
⎛ ⎜ ⎝
∫
x
0
f (t )dt ⎞ ⎟ ⎠
2
,
( 0,
x
0
∵ f ( x) > 0, ( x > 0)
∴ ∫ f (t ) dt > 0,
∴ ∫ ( x − t ) f (t )dt > 0,
0
∵ ( x − t ) f (t ) > 0,
∴ F ′( x) > 0 ( x > 0).
x2
cos2 x
罗必达法则
= lim
x →0
(− sin x ) 2x
1 = . 2e (∫
ϕ ( x) a
f (t ) d t )′ = f (ϕ ( x ) ⋅ ϕ ′( x )
f ( x)
例 设 明函数 函数. 在 内连续，且 在 .证 内为单调增加
证
d x tf (t )dt = xf ( x ), dx ∫0
d b(x ) ∫a( x ) f (t )dt = f (b( x) )b′( x) − f (a( x) )a′( x). dx
例
∫ cosex 计算 lim
x →0
1 −t 2
dt
x
2
. −∫ −e
cos x −t 2 1
解
∫ cosex lim
x →0
1 −t 2
dt
x2
= lim
e
dt
x →0
x
x
f ( x)
上连续， 则积分上限的函 在 上的一个
Φ ( x ) = ∫a f就是 ( t )dt
原函数.
例
d x ( ∫ cos t d t )′ = ∫a cos t d t = cos x. a dx
x
F ( x)
( ∫ cos x d x )′ = ?
a x
定积分与积分变量的记号无关 . ( ∫ cos x d x )′ = cos x.
a
x
d x 上可导, 且 F ′( x) = ∫ a f (t ) d t = f ( x) (a ≤ x ≤ b) . dx
由 F ( x ) = ∫ f (t ) d t 及 F ′( x) = f ( x) 你会想到什么？
a
x
若 F ( x ) 存在, 则 ( F ( x) + C )′ = F ′( x) = f ( x) .
π
= 2sin x
π 2 0
− 2 sin x
π π 2
= 2 2.
—— 经济数学—— ——微积分
谢谢大家！
中央财经大学
这说明了什么 ？
∆x → 0
条件 = lim f (ξ ) = f ( x)
定理 2 若 f ( x) ∈ C ([a, b]), 则 F ( x ) = ∫ f (t ) d t 在 [ a, b] a 上可导, 且 d x F ′( x) = ∫ a f (t ) d t = f ( x) (a ≤ x ≤ b) . dx 定理2（原函数存在定理） 定理 3 如果 数 在
b
定理 1 若 f ( x) ∈ R([ a, b]), 则 F ( x) = f (t ) d t ∈ C ([ a, b]) . ∫
a
x
定理 1 说明: 定义在区间[a, b] 上的 积分上限函数是连续的 .
积分上限函数是否可导?
由 F ( x + ∆x ) − F ( x) = ∫
x +∆x x
这样的 F ( x) 若存在, 则必有无穷多个 .
若 F1′( x ) = f ( x), F2′( x ) = f ( x), 则 F1 ( x) − F2 ( x ) = C . 若能找到这样的F ( x) , 就可以计算定积分 ∫ f ( x) d x .
a b
F ( x ) − ∫ f ( x) d x = C
y = f ( x)
x
a
O
xx
b
x
曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
由积分的性质：∫ f ( x) d x = − ∫ f ( x) d x, 有
a b
b
a
∫ x f (t ) d t = − ∫ b
b
x
f (t ) d t ,
所以，我们只需讨论积分上限函数.
∫ x f (t ) d t 称为积分下限函数 .
在
1
上为单调增加函数 .
1
2 x − ∫0
x
F (0) = −1 < 0, f ( t )dt = 1
F (1) = 1 − ∫ f (t )dt = ∫ [1 − f (t )]dt > 0,
0 0
所以
即原方程在
上只有一个解.