解析几何解题的思维策略

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解析几何的解题思路

解析几何的解题思路(张克成）一、以方程为基础，找变量和方程个数的关系：例1、已知曲线22:1yC xa+=，直线:0l kx y k--=，O为坐标原点．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若直线l与x轴的交点为P，当0a>时，是否存在这样的以P为直角顶点的内接于曲线C的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由．例2、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。

若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点00(,)P x y 、(,)M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点，MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ．（1）试用00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x ；（2）若C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>（如图），求证：E F x x ⋅是与MN 和点P 位置无关的定值；解：（1）因为MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，所以(,)N m n -则00:()MP y n l y n x m x m--=--令0,y =则000E my nx x y n -=- 同理可得：000F my nx x y n+=+，（2）由（1）可知：222200220E F m y n x x x y n-⋅=- ,M P 在椭圆C ：22221x y a b +=上，2222220022(1),(1)x m n b y b a a ∴=-=-，则222222022202220222222200222(1)(1)()()(1)(1)E F x m m b b x b m x a a x x a x b m m x b b a a a----⋅===----（定值） E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值y E P N MxO F练习：1、已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点,A B 关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围。

解析几何解题思维策略

策略3.特殊与一般
例
4（2014
年浙江高考）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点
P ，且点 P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线 l 的斜率为 k ，用 a,b, k 表示点 P 的坐标；
y kx m
【分析】设直线 l 的方程为 y
kx mk
且由韦达定理得
xP
xP
2a2km b2 a2k2
．由点
P
在第一象限，
xP
a2k b2 a2k2
故点 P 的坐标为
a2k
,
b2
．
b2 a2k2 b2 a2k2
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
PQ MO AO a
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
例3.
已知椭圆C：x 2 4
y2
1 ，过点P(0,-
3 5
)作直线交C于A、B两点，
是否存在一个定点Q在以AB为直径的圆上？若存在，求出定点坐标；
若不存在，说明理由.
策略2：熟悉一些常用方法（例如点差法）
策略2: 熟悉常用方法之点差法
2
2
对称.
(I)求实数m的取值范围；
(II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).
常用方法：点差法！
方法本质：对称点的中点和它们连线的斜率的关系.

考研数学解析几何解题思路

考研数学解析几何解题思路解析几何是高数中的一大难点，涉及到平面和空间中的图形与方程的关系。

在考研中，解析几何题目占据了相当大的比重。

因此，熟练掌握解析几何的解题思路，对考研数学的高分至关重要。

本文将从平面解析几何和空间解析几何两个部分进行论述，帮助考生更好地应对考研数学解析几何题目。

一、平面解析几何解题思路平面解析几何是解析几何的基础，也是解析几何中的第一个重要部分。

在平面解析几何中，主要涉及到直线、圆、曲线等图形。

解析几何题目常常要求通过已知几何条件来确定某一图形的方程，或者通过已知方程来分析该图形的性质。

下面是一些平面解析几何解题的思路和方法。

1.直线的解析几何要确定直线的方程，可以采用两点式、点斜式、斜截式等方法。

根据已知的几何条件，选取其中适合的方法，推导直线的方程。

值得注意的是，不同的题目可能需要使用不同的方法，考生要根据题目特点进行灵活运用。

2.圆的解析几何对于圆的解析几何题目，可以通过已知条件得到圆心和半径的关系，进而得到圆的方程。

常用的方法有标准方程、一般方程等。

3.曲线的解析几何对于一些特殊的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，可以通过其几何定义和性质，求解其方程。

同时，还可以借助坐标轴平移到标准位置，简化问题的解析过程。

以上仅为平面解析几何的一些解题思路和方法，具体问题需要根据题目情况来确定解题方法。

下面我们来看看空间解析几何的解题思路。

二、空间解析几何解题思路空间解析几何是解析几何的拓展，涉及到了三维坐标系中的图形与方程的关系。

空间解析几何题目通常考察空间中的点、直线、平面等的位置关系和性质。

下面是一些空间解析几何解题的思路和方法。

1.点的解析几何对于空间中的点，可以通过已知条件推导出其坐标，或者通过已知坐标求解其性质。

在解题过程中，可以运用距离公式、中点公式等相关知识，辅助求解。

2.直线的解析几何要确定空间中直线的方程，可以采用点向式、两点式、两平面交线等方法。

同样，根据已知条件选择适合的方法，并结合相关公式和性质，求解直线方程。

解析几何解题策略

用三角函数求最值要有主
元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是难点。
三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的几何特征
及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或定义来处理最值问题。
1．赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，由
ห้องสมุดไป่ตู้
3．线性规划当实数对x、y所应的点
在一个区域或一条线段上
时，求最值题可以从线性规划的角度去处理。如若x、
y满足，则–2 x + y 的最大
值是（略解）
4．利用平面几何知识解析几何与平面几何是
密切相关的，灵活运用平面
几何知识亦会使一些最值问题易于解决。
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求
三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求
四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的。
4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技巧与方法，同时三条件“一正二定三相等”缺一不可。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的
参数方程，为我们将某些最值问题转化为三角问题且利用三角函数的有界性来研究提供了可能性。利

解析几何中三定问题的辩证思维策略

（１）
３ｘ２十４ｙ２ｙ＝１２，
（２）
（２）一（１）得３（ｌ— ２）＋４（ｙｌ—ｙ２）Ｙ＝０，
即有４ｙ＝一３ｎｘ代人（１）得４＝（，一ｎｙ１），
同理可得４＝（２一ｎｙ２），
所以８：：＝［（１＋２）一ｎ（ｙ１＋Ｙｚ）］＝２ｘ，
解得：４，
即Ａ，两点处的切线交点在定直线＝４上．
标轴不平行的直线ｚ与椭圆Ｅ交于Ａ，曰两点，椭圆在Ａ，曰
处的切线的交点是否在一条定直线上．
解设ａ（ｘ，Ｙ。），（：，Ｙ２），直线ｚ的方程为＝＋１．
又４，两点处的切线方程分别为
３ｘｌ＋４ｙｌｙ＝１２，
在解析几何三定问题的解题过程中要经常总结，不断
地研究同类型问题的思维过程，并总结这类问题的解决方
法的异同点，达到做一题通一类，正确处理好特殊与一般、
运动与静止、整体与个体之间的关系．
由已知Ｆ（２，０），直线ＡＢ的方程为：Ｙ＝一２，
代人椭圆方程得２～６＋３＝０，
解得１＋２＝３，１２＝—｝．
二
由已知得＝Ａｌ＋２，，，＝Ａｙ１＋ｔｘｙ２，
由Ｍ（，ｙ）在椭圆上得，
所以（Ａ戈１＋２）。＋３（Ａ１＋１￣ｙ２）＝６，
数学学习与研究２０１８．３
即Ａ（＋３）＋／ｘ２（２＋３）＋２（ｌ＋３ｙｌｙ２）＝６．①

一道解析几何题的几种解题思维

一道解析几何题的几种解题思维庞士昌淮南市职教中心数学是解决问题的学科，解决具体问题的时候，选择解题的方法是十分重要的，它直接关系到能否解决该问题或比较简单地解决该问题，在最近几年的高考中，解析几何问题往往是考试的重点，也是考试的难点，有相当大的难度，因此，对于解析几何题，选择适合的解题方法是非常重要的，解题的方法由解题的思维作为起点，所以思维过程的选择对解题起着关键的作用。

下面以一道解析几何题为例说明。

问题：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动，求y x +2的最值。

一：方程思想设t y x =+2，得到x t y 2-=，将其代人圆1)1(22=-+y x ，消去y ，化简我们得到02)1(4522=-+--t t x t x ，由0≥∆，得到5151+≤≤-t ，所以y x +2的最大值时51+，最小值是51-。

二：换元思想将圆的方程变为：)0(1sin ,cos πθθθ≤≤+==y x ，则1)sin(51sin cos 22++=++=+θθθt y x 其中：55cos ,552sin ==t t 。

所以y x +2的最大值时51+，最小值是51-。

三：解析几何思想因为),(y x P 同时满足t y x =+2与1)1(22=-+y x ，所以有圆与直线的位置关系得到：圆心到直线的距离112|1|2≤+-=t d ，所以5151+≤≤-t ，所以yx +2的最大值时51+，最小值是51-。

四：数形结合思想在同一个坐标系内分别画出t y x =+2与1)1(22=-+y x 的图象，如图1，而t y x =+2是一系列与直线02=+y x 平行的直线，而t 就是直线t y x =+2在y 轴上的截距，有图象可得，当直线t y x =+2为图中1l 时，t 最小，当直线t y x =+2为图中2l 时，t 最大。

此时都是与圆相切的时候，运用圆心到直线的距离等于半径，可得y x +2的最大值是51+，最小值是51-。

(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值；（3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号；（3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ；（2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ；（3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ．（3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分；（2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

解析几何解答题的答题策略和技巧

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

人教版数学-备课资料解析几何中减少运算量的十种思维策略

解析几何中减少运算量的十种思维策略近几年的新课程高考数学试题，仍有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，这一点直接影响着考生的高考成绩。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”等思维策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明。

一. 充分利用几何图形的几何性质解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。

解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

又因为解析几何研究的就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

例1. 已知点P （5，0）和圆O ：x y 2216+=，过P 作直线l 与圆O 交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程。

解：点M 是弦AB 中点，∴∠=︒∴OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，此圆的圆心为(520，)，半径为52，所以其方程为()()x y -+=5252222，即x y x 2250+-=。

同时，点M 又在圆x y 2216+=的内部，∴+<x y 2216，即0516522≤=+<x x y ，所以所求的轨迹方程为x y x x 22500165+-=≤<()评注：此题若不能挖掘利用几何条件∠=︒OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

例2.设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求m 的值。

解：圆x y x y 2220++-=过原点，并且OP OQ ⊥， ∴PQ 是圆的直径，圆心的坐标为M ()-121，又M ()-121，在直线340x y m ++=上， ∴⨯-+⨯+=∴=-31241052()m m ，即为所求。

数学解析几何题的解题思路和技巧

数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。

解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。

在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。

一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。

然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。

将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。

接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。

最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。

综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。

因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。

二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。

解析几何思维模型和解题方法

解析几何思维模型和解题方法
解析几何是数学中的一个分支，它研究的是平面和空间中的几何问题。

解析几何思维模型指的是在解析几何中使用的一种思维方式，即利用坐标和代数方法来研究几何问题。

解析几何的思维模型可以总结为以下几个方面：
1. 坐标系模型：解析几何中常常使用坐标系来表示几何对象，通过将点、线、面等几何对象映射到坐标系中的点、直线、曲线等代数表达式来进行分析和计算。

2. 方程模型：在解析几何中，几何对象的性质可以通过代数方程来描述。

通过建立几何对象的方程，可以推导出几何关系和属性，并通过求解方程的方法来解决几何问题。

3. 矢量模型：解析几何中常使用矢量来表示几何对象，矢量具有长度和方向的性质，可以通过向量运算来研究几何对象之间的关系。

4. 仿射变换模型：解析几何中的仿射变换是一种保持直线平行性质的几何变换。

通过使用仿射变换，可以将几何问题转化为更简单的形式，从而求解几何问题。

对于解析几何的解题方法，主要包括以下几个步骤：
1. 问题分析：理解问题的几何背景和要求，确定所给条件和所求结论。

2. 建立模型：根据问题的几何特点，选择适当的解析几何模型，如坐标系、方程、矢量等。

3. 推导方程：通过利用模型建立几何对象的方程，推导出与问题相关的方程或等式。

4. 求解方程：利用数学方法求解方程或等式，得到所求解或结论。

5. 检验结果：将所得结果代入原问题中进行检验，确定结果的正确性。

在解析几何中，还可以结合几何图形的性质和几何推理的方法，辅助求解几何问题。

同时，解析几何中的图形直观性和抽象性的结合，也可以帮助我们更好地理解和处理几何问题。

2018解析几何解题思维策略1

（3）当 P在 P 1, P 2 之间变化时
计算：
0 （1）当F1 P F 90 ， P 1 2 1F 1 P 1 F2 2 7
（2）当F1 F2 P2 900 ， P2 F1 P2 F2 8
b 【分析一】代数角度：设 Q ( x0 , x0 ) （ x0 0 ）， a
PM // OQ 交 x 轴交于 M ，则在点 P 的运动过程
中有 2
FP PQ

FM MO

FA AO

ca ，得 1 e 3 ． a
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
x2 3 例3. 已知椭圆C： y 2 1 ，过点P(0,- )作直线交C于A、B两点， 5 4
是否存在一个定点Q在以AB为直径的圆上？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由.
策略2：熟悉一些常用方法（例如点差法）
策略2: 熟悉常用方法之点差法
x2 y 2 14-16 设直线x 3 y m 0 ( m 0与双曲线 , 2 2 1 ( a 0, b 0) a b 的两条渐近线分别交于点A, B.若点P( m, 0)满足 PA PB ，则该双曲线的离心率是__________________. x2 1 2 15-19 已知椭圆 y 1上两个不同的点A, B关于直线y mx 2 2 对称. (I)求实数m的取值范围； (II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).
消去 y 得， b 2 a 2 k 2 x 2 2a 2 kmx a 2 m 2 a 2b 2 0 ，由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，故 (2a km) 4 b a k
2 2
策略3.特殊与一般

思路拓展--解析几何解题思路

解析几何解题思路1、选择、填空题主要考察学生对基础知识的理解与掌握情况，如点、线的位置关系，对称性，曲线的标准方程中系数对曲线位置、形状的影响，圆锥曲线的几何性质等问题；解决此类问题，往往需要运用“数形转化”、“回归定义”的思维策略。

2、由椭圆、双曲线、抛物线的定义推出曲线的方程，通过方程研究曲线的几何性质及有关问题是解析几何的基本问题，主要通过圆锥曲线的方程准确的找出它的基本量（a,b,c,p,e ），特征点（焦点、顶点），特征线（准线、渐近线）及特征量（离心率、焦半径、通径、焦准距、中心到准线的距离）等，并进一步综合应用方程、不等式、三角变换等知识进行研究。

解题时不仅要掌握各基本量的含义，还要理解相互之间的数量关系如:b2+c2=a2（椭圆）a2+b2=c2（双曲线），e=c/a 准线与a^2/c 有关，双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1 与它的共轭双曲线 x^2/b^2-y^2/a^2=1有相同的渐近线 x^2/a^2-y^2/b^2=0。

直线与圆锥曲线的位置关系有相离、相切、相交三种，判定给定直线与圆锥曲线的位置关系一般可以通过联立方程组，消元化为一元二次方程，利用判别式来进行判断，但要注意，直线与圆锥曲线只有一个交点不一定是切线，必须除去下面各种情况：一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行，其中相交是高考考察的重点，直线与圆锥曲线相交时，截得的线段叫做弦。

3、把直线方程代入曲线方程，得形如的一元二次方程：①当时，直线与曲线有一个交点；②当时，直线与曲线相切；③当时，直线与曲线有两个交点；④当时，或当时，直线与曲线无交点；这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。

例3(2012年全国Ⅰ卷理8)已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（）A ．14B ．35C ．34D ．45(2010年全国Ⅰ卷理9) 已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点在P 在C 上，1260F PF ∠=，则P 到x 轴的距离为( )A ．32 B ．62C 3D 6 4、离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，其归根结底是利用定义寻求关于a 、b 、c 的相应等式，并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式，再转化为含e 的等式，最后求出e.该类题型较为基础，(2010年全国Ⅱ卷理12)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1B ．2C ．3D ．25、例7【2010高考陕西理21】如图，椭圆C ：22221xy a b+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为12,F F ，117A B =，112211222A B A B B F B F S S =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，1OP =，是否存在上述直线l 使0=⋅→→OB OA成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题．复习建议：1、回归课本，重视通性通法从近年的高考试题中，我们可以发现高考命题的一个重要规律：很多高考试题在课本中都能找到题源.因为高考命题的一个不变的原则就是“源于课本，又不囿于课本”，课本P.83例2：已知圆的方程是222x y r +=，求经过圆上一点M （00,x y ）的切线方程.本题的多种求解方法及结果的推广都很重要.课本P.131例3中抛物线焦点弦（有斜率或倾斜角）长的求解与推广2、夯实基础，关注核心内容常态试题是考查数学基础知识、基本技能的重要阵地，《考试说明》在命题指导思想中也指出:考查考生对基础知识、基本技能的掌握程度是高考考查的重要目标之一，对数学基础知识的考查，要求既全面，又突出重点.⑴ 重心坐标计算及向量表示(2011年全国Ⅰ卷理21)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=. (Ⅰ)证明：点P 在C 上；(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. (2007年全国Ⅱ卷理12) 设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA （）A ．9B ．6C ．4D ．3⑵ 研究透圆（含初中知识）圆幂定理及其逆定理（相交弦定理、切割线定理及割线定理）、有关外接圆和内切圆的性质和定理、有关切线的性质和定理、圆的弦的有关性质. 近四年的全国Ⅰ卷解答题均与此有关.⑷三角形和四边形的面积计算的各种方法（特别注意与圆相结合的，以及对角线互相垂直的四边形）(2009年全国Ⅰ卷理21) 如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点.（I ）求r 得取值范围；（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标.3、熟记一些重要二级结论，对解决选择填空题非常有效，对解答题也有很好的指导作用.解析几何中的二级结论特别多，而抛物线又是特别多，其中又绝大多数与焦点、焦半径、焦点弦，焦点三角形和准线有关，简单地说，就是与定义有关.如抛物线的二级结论有如下：有关定点、定值问题；有关圆线相切问题；有关共线问题；有关平分问题；有关面积问题；与数列有关的问题等.(2008年全国Ⅱ卷理15)已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．若用到抛物线的带倾斜角的焦半径公式R 上=1cos p θ-，R 下=1cos p θ-就非常快！ 1cos 43221cos 4FAFB ππ+==+-。

例说解解析几何题的思维策略

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即ＩＥ一４＝ｌＰ１１０．
例说解解析几何题的思维策略
蒋丽娟
（Ｉ常州市北郊中学高中部，苏常州２３３）江１０１摘要：文以一道解析几何题为例，层剖析，出了本层提解解析几何的思维策略，适当归纳，炼出一类问题的思考并提
‘
三、思解题策略。养学生自反培主探索没有反思的学习是被动的，教师不仅要培养学生善于学习，而且要培养学生善于反思的习惯．形成自己独到的见解和独特的思维，对于同一类的问题．不同角度，不从用Ｄ同的方法的考虑问题例３设Ａ是弧Ｂ．ＡＣ的中点，点Ａ过任作二弦Ａ及Ａ并设这两直线交ＤＥ，ＢＣ于ＦＧ，证：Ｅ、Ｇ共圆。和求Ｄ、Ｆ、证明：接ＢＣ连Ｅ、Ｄ。则ＡＦ＝ＡＤＣＢＣＣ＋Ｄ弧ＡＢ弧ＡＣ．＝
Ａ
弓导学生回忆证明三角彤全等的几种方法．其次要证明两Ｉ直线平行，用平行线定理找到满足要求的条件，据条件利根
从而得到结论。这样来反思，以加深对知识的理解．且可并
方程为ｌ＝２：ｘ
２
（）椭圆的标准方程。（＋ｌ过程略）１求ｖ＝，

解析几何题的思维策略

接解决，注意不要忽视笋别式的作用．０
【ｌ如图所示，例】抛物线＝４ｘ的顶点为面积为８２ √
０，Ａ的坐标为（，）倾斜角为｛的直线ｚ点５ｏ，与线
‘ ±
题就是有关弦长的问题，熟练地利用韦达定理应
“ 而不求” 设计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用
．
…
一
…
…
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…
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ｘｎｅｘ；
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一余锦银
解析几何是中学数学教与学中的一大难点，有
设Ｍ（ｌＹ）Ｎ（２Ｙ）ｘ，１，ｘ，２则Ｉ＋一４２－ｍ，
很多学生甚至在学完本章后；遇到具体问题还往往不知从何下手．解决这一难点，键是要有正确的关思维策略．下面作一个简单介绍．
段Ｏ相交（Ａ不经过点０或点Ａ）且蛮抛物线于Ｍ、
Ｎ两点， △４孙求＾面积最大时直线￡的方程，并求ＡＡＭＮ的最大面积
韦达定理，设而不求” 简化运算， “ 来本题若没有由
判别式确定ｍ的取值范围，求最值时就会失去则
— — —
，
一
１８２．
． △ ８，－ ≤ 当且仅当２ｍ＝５．Ｓ —２＋ｍ，ｍ即
一一
，
尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直
１时取等号故直线ｚ的方程为Ｙ— 一１ △Ａ，ＭＮ的最大【点评】直线与圆锥曲线相交，一个重要的问

解析几何问题的求解策略

解析几何问题的求解策略山东尹承利（一）数形结合策略解题中的数形结合，就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路．数形结合是求解解析几何问题最重要的思维策略之一，它贯穿解析几何的始终．研究直线与方程、圆与方程的坐标法就是体现数形结合的典范．坐标法通过坐标系把点与坐标、曲线（直线）与方程联系起来，实现了形和数的统一．将这一方法推广到空间，通过构建空间直角坐标系，运用坐标法解决空间图形问题．直线与圆的方程中有很多概念，如距离、角度、斜率等都是很容易转化成“形”的，因此题目中涉及到这些问题时可以由数形结合来解决．有些表达式容易化为“形”，比如22()()x a y b -+-，实际上是点()x y ，到点()a b ，的距离的平方；是()x y ，与()a b ，两点所在直线的斜率等．运用数形结合，解决直线与直线、直线与圆的交点问题，其实质是讨论方程的实数解的个数，或讨论曲线的位置关系问题，这在高考中是经常出现的．其处理方法：一是转化为方程根的个数来讨论；二是转化为直线（曲线）的位置关系来讨论．例１如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（）Ａ．[02]，Ｂ．[01]，Ｃ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｄ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭，分析：直线l 将圆平分的几何特征是：直线l 过圆的圆心．解：圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=，可知圆过坐标原点．直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心(12)C ，．从图１可以看到：当直线过圆心与x 轴平行或者直线同时过圆心与坐标原点时，都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时，都不通过第四象限．当直线l 过圆心与x 轴平行时，0k =；当直线l 过圆心与原点时，2k =．∴当[02]k ∈，时，满足题意．故选（Ａ）．例2 一圆被两直线20x y +=，20x y -=截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程．分析：弦长通常可与弦心距及半径相联系，因而可由两个圆心距同一个半径的关系而得动圆圆心的几何特征，从而进一步转化为方程．解：如图2，设动圆圆心为()M x y ，，动圆的半径为r ，M 到直线1:20l x y+=的距离为1d ，M 到直线2:20l x y -=的距离为2d ，则125x y d +=，225x y d -=，且22116r d -=，2224r d -=，∴221212d d -=-，即22221255x y x y ⎛+⎫⎛-⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得152xy =-．故动圆圆心的轨迹方程为152xy =-．（二）分类讨论策略解题过程中，解到某一步时，被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，而不能再以统一的方法、统一的形式继续进行时，我们可以选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论策略．在解析几何中，两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等，都充分体现了这一策略．特别是在讨论直线的位置关系时，一定要分斜率存在与不存在两种情况来讨论．例3 如图3，过定点()(0)A a b ab ≠，任作互相垂直的两直线1l 和2l ，且1l 与x 轴交于M 点，2l 与y 轴交于N 点，求线段MN 中点P 的轨迹方程．分析：解题过程中，可设出直线1l 的斜率1k ，但1l 与x 轴是否垂直需分类讨论，并且在求解过程中，要注意把丢掉的点补上．解：（１）当1l 不平行于y 轴时，设1l 的斜率为1k ，依题意知10k ≠．∵12l l ⊥，∴2l 的斜率为11k -， ∴1l 的方程为1()y b k x a -=-① 2l 的方程为11()y b x a k -=-- ②在①中令0y =，得M 点的横坐标为01b x a k =-；在②中令0x =，得N 点的纵坐标为11a yb k =+．设()P x y ，，则有112222a b x k b a y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，消去1k ，得222202a ax by a b x ⎛⎫+--=≠ ⎪⎝⎭ ③（2）当1l 平行于y 轴时，MN 中点为22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其坐标满足方程③．故所求MN 中点P 的轨迹方程为22220ax by a b +--=．（三）方程策略方程策略就是运用方程的观点处理问题，它在高考中占有非常重要的地位．方程观点是从分析问题中的数量关系入手，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解．在解析几何中，运用待定系数法求直线方程或圆的方程就是根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组来求解．另外，直线与直线的交点问题、直线与圆的位置关系问题，都可以通过转化为两曲线（直线）的方程所组成的方程组来解决．例４已知半径相等的两个圆22810440x y x y ++--=和22220x y ax by c ++++=的一个交点(1)p -，在第四象限，且两圆圆心连线的方程是260x y +-=，求a b c p ，，，的值．分析：由半径相等，交点(1)p -，分别满足两圆的方程，以及圆心()a b --，在直线260x y +-=上，可列出四个方程，将a b c p ，，，求出．解：依题意可知，圆半径是85，两圆圆心分别为(45)-，和()a b --，，则有方程组22228583302210260a b c p p p ap b c a b ⎧+-=⎪+-=⎪⎨+-++=⎪⎪++=⎩① ② ③④ 由②得111p =-（舍去），23p =，代入③得62100a b c -++= ⑤联立①、④、⑤解得12368a b c =-==，，或4544a b c ==-=-，，．故12368a b c =-==，，，3p =或4544a b c ==-=-，，，3p =．（四）整体处理策略整体处理，就是利用问题中整体与部分的关系，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法来处理问题，它常可以简化运算过程，提高解题速度，并且我们可以从中感受到整体思维的和谐美．在解析几何中，“设而不求”技巧就是整体处理的最好体现．例5 圆C 的方程为222440x y x y +-+-=，是否存在斜率为１的直线l ，使得以被圆C 截得的线段AB 为直径的圆过原点．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．分析：设A B ，两点的坐标，但求解过程不需求出，利用根与系数的关系自然消去使问题简化解决．解：假设这样的直线l 存在，并设其方程为1122()()y x b A x y B x y =+，，，，．由题意知，当OA OB ，两条直线垂直时有12120x x y y +=．由222440x y x y y x b ⎧+-+-=⎨=+⎩，，消去y ，得2222(1)(44)0x b x b b ++++-=．则121x x b +=--，212442b b x x +-=，解得2121224()()2b b y y x b x b +-=++=，解得1b =或4b =-，检验知：当1b =或4b =-时，224(1)8(44)0b b b ∆=+-+->．因此存在斜率为１的直线l ，其方程为1y x =+或4y x =-．（五）应用极端策略应用极端是一种基本而又重要的解题策略，通过应用问题的极端情况，灵活地借助极端状态解题，往往可以避开抽象及复杂运算，探索解题思路，优化解题过程，降低解题难度．例6 已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别是(11)P ，和(22)Q ，，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 的延长线相交，求m 的取值范围．分析：直线l 恒过定点(01)-，，首先从直线l 的极端状态考察．解：若0m =，则直线:0l x =与线段PQ 相交，不合题意．故0m ≠，此时l 的方程为11y x m=--．易知直线l 恒过定点(01)M -，．不妨先考虑直线l的极端情形：由于直线l 必须与有向线段PQ 的延长线相交，如图4，l 的斜率必须不大于过M Q ，两点的直线1l 的斜率132k =．当l 离开1l 的位置绕点M 顺时针旋转时，l 与PQ 的延长线的交点N 逐渐远离Q 点．当交点N 与Q 的距离趋向无穷大时，l 逐渐趋向22()l l PQ ∥，这时l 的斜率趋向于PQ 的斜率213k =，故l 夹在1l 与2l 之间，则211k k m <-<，即11332m <-<，故m 的取值范围是233⎛⎫--⎪⎝⎭，．（六）类比联想策略在解析几何中，我们将数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系类比学习，将数轴上两点的距离公式、平面直角坐标系中两点的距离公式、空间两点的距离公式类比学习．运用类比联想策略，可以巩固旧知识，加速对新知识的理解和记忆．例7 （2001年上海高考题）已知两个圆221x y +=①与22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为_____．分析：本题是由特殊向一般类比，主要考查同学们的发散思维、判断猜想及探索能力．解：考虑到已知两圆的特征：圆心不同、半径相同，所以推广得到命题．设两圆方程分别为222()()x a y b r -+-=① 222()()x c y d r -+-=②则由①－②得两圆的对称轴方程为2222()()()()0x a x c y b y d ---+---=，即22222()2()0c a x d b y a b c d -+-++--=．上式即为所推广的命题．。