2312矩阵乘法的概念与简单性质课件

MN＝????aa1211
a 12????b11 a 22????b21
bb1222????＝????aa
11b11＋a 12b21 21b11＋a 22b21
aa1211bb1122＋＋aa1222bb2222????.
2.矩阵乘法的几何意义 (1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、 反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫 做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵 . (2)矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法 MN 的几何意义为：对向量 α＝????xy????连续实施的 两 次几何变换 (先 TN 后 TM )的复合变换 .
2??2 1????1
21???＝???21
2? 1??，
?2 2??2 2? ?2 2?
B2＝????－11
1???? 1 －1????－1
－11????＝????00
00????.
这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着 重要的意义.(1)中尽管 A、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中 AB≠BA；(3)中尽管 B≠C，但有 AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4) 中 A2＝A，B2＝0，这里 0 是一个二阶零矩阵.
矩阵的乘法运算
(1)已知 A＝????10 00????，B＝????00 01????，计算 AB.
(2)已知 A＝????10 02????，B＝????01 －10????，计算 AB，BA.
?1 ?2 (3)已知 A＝??1 ?2 【精彩点拨】
1? 21???，B＝????－11 2?
－11????，计算 A2、B2.
右＝????1× 0×1＋ 1＋13× 1×00 1× 0×0＋0＋13×1×00????＝????10 00????，
∴左＝右 .
??1 ??0
00????对应的变换将平面上的点垂直投影到 x 轴，而 x 轴上的点沿 x 轴的切
变变换是不动点 .????10
31????，????10
1? 3 ??均为沿 x 轴的切变变换 ，自然有等式成立 .
证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.
??1 ??0
3????1 1????0
Fra Baidu bibliotek
00????＝????10
131????????10
0?? 0??
【导学号：30650025】
【解】 ∵左＝????10× ×11＋ ＋31××00 10××00＋＋31××00????＝????10 00????，
1?
矩阵乘法的简单性质
已知正方形 ABCD，点 A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)、D(0，0)，变
[思考·探究] 1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？
【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法 ，而两个矩阵只有 当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.
(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律 ，而矩阵的乘 法只满足结合律.
2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关 系？
【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合 ，这样使得若干个简单变换可以 复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.
3.矩阵乘法 MN 与 NM 的几何意义一致吗？为什么？
【提示】 不一致；因为前一个对应着先 TN 后 TM 的两次几何变换，而后者 对应着先 TM 后 TN 的两次几何变换.
[质疑 ·手记 ] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.
【自主解答】
(1)AB＝????10
0????0 0????0
01????＝????10××00＋＋00××00
10××00＋＋00××11????＝????00
00????.
(2)AB＝????10
0????0 2????1
－10????＝????10××00＋＋02××11
(3)当连续对向量实施 n·(n＞1，且 n∈N*)次变换 TM 时，对应地我们记 Mn＝
. 3.矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律 对于二阶矩阵 A、B 来说，尽管 AB、BA 均有意义，但可能 AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设 A、B、C 均为二阶矩阵，则一定有 (AB)C＝A(BC). (3)矩阵乘法不满足消去律 设 A、B、C 为二阶矩阵，当 AB＝AC 时，可能 B≠C.
1×（－1）＋ 0×（－1）＋
02××00????＝????02
－10????，
BA＝????01
－1????1 0????0
02????＝????01××11＋＋（0×－01）×01×0×0＋0＋0×（2－
1）×2??
? ?
＝????01 －20????.
?1 1??1 1? ?1 1?
(3)A2＝???21
阶
阶
段
段
一
三
2.3.1 矩阵乘法的概念
阶 段 二
2.3.2 矩阵乘法的简单性质
学 业 分 层 测
评
1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们. 2.会从几何变换的角度求 MN 的乘积矩阵. 3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.
[基础·初探]
1.矩阵的乘法
一般地，对于矩阵 M＝????aa1211 aa1222????，N＝????bb1211 bb1222????，规定乘法法则如下：