专题3：数列

专题三：数列

【一、基础知识归类：】

1．定义： （1）等差数列：

*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；

（2）等比数列：

N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2

n 1n n ∈≥⋅=⇔≠=⇔

++a a a q q a a a n

｛

2．等差、等比数列性质

等差数列 等比数列

通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a

前n 项和 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=

q

q

a a q

q a S q na S q n n

n n --=--=≠==11)1(1.2;

1.1111时，时，

性质 ① a n =a m + (n －m )d , ① a n =a m q n-m ;

② m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q ② m +n =p +q 时，a m a n =a p a q

③ ,,,232k k k k k

S S S S S --成AP ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成GP

④ ,,,2m k m k k a a a ++成AP ，md d =' ④ ,,,2m k m k k a a a ++成GP ，m q q =' 3．某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：

1．凑配、消项变换——

如将递推公式

（q 、d 为常数，q ≠0,1）

．通过凑配变成

；或消常数转化为

2．倒数变换—

如将递推公式（c 、d 为非零常数）取倒数得

3．对数变换—

如将递推公式取对数得

4．换元变换—如将递推公

式

（q 、d 为非零常数，q ≠1，d ≠1）变换

成

，令

，则转化为

的形式．

【二、专题练习：】

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）

1．（2010届惠州三调）等差数列}{n a 的前n 项和为2811,30n S a a a ++=若，那么13S 值的是（ ） A ．130

B ．65

C ．70

D ．以上都不对

2．在数列{}n a 中，12a =， 11

ln(1)n n a a n

+=++，则n a =（ ）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

3．公差不为零的等差数列}{n a 中，022112

73=+-a a a ，

数列}{n b 是等比数列，且==8677,b b a b 则（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16

4．（2010广州六校联考）等差数列}{n a 中，若12011,a a 为方程2

10160x x -+=的两根，则210062010a a a ++等于（ ）

A ．10

B ．15

C ．20

D ．40

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3，4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1(n ≥2)，则a n ＝（ ）

A ．3×2n －

1

B ．3×21－n

C ．3×2n

D ．3×2－

n

6．将正偶数集合{}......

6,4,2从小到大按第n 组有n 2个偶数进行分组， {}4,2, {}12,10,8,6, {

}24,22,20,18,16,14 第一组 第二组 第三组 则2010位于第（ ）组．

.A 30 .B 31 .C 32 .D 33

7．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且1273-=a a ，464-=+a a ，则20S 为（ ）

.A 180

.B 180- .C 90

.D 90-

8. 执行如图的程序框图，若9p =，则输出的S =（ ）

（A ）9

10 （B ）7

18

（C ）8

9

（D ）

25

9．（广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）已知等差数列{}n a 的前n 项和为

n S ，且

2510,55S S ==，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a ++(*∈N n )的直线的斜率是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

10．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前5项和为

（ ）（A ）

158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158

11．在等比数列10

20

144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅等于 （ ） A ．

32 B ．23 C ．32

23或

D ．2332--或

12．等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）

A ．a 11

B ．a 10

C ．a 9

D ．a 8

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）

13．设2

44)(+=x x

x f ，那么=+++)1110()112()111(f f f ．

14．【2010·北京东城一模】已知数列{}n a 的通项公式3log ()1

n n

a n n =∈+*N ，

设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于 ． 15．（2010湖北质检）若数列{a n }满足

1

a n ＋1－1

a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1

x n

}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________. 16．顺次连结面积为1的正三角形的三边中点构成一个黑色三角形，在余下的白色三角形上重复上面的操作．第（1）个图中黑色三角形面积总和为14，第（2）个图中黑色三角形面积总和为716

，第（3）个图中黑色三角形面积总和为

3764

，依此类推，则第()n n N *

∈个图中黑色三角形面积总和为 ．