第8章_位移法
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第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
第八章位移法new
1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）( )。
附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
F。
BC
q
锁A 住
B 0
B
C
q
M
F BA
0,
M
F BC
ql2 。 8
B
M
F BC
C
2）令B结点产生转角
(
B
)。此时AB、BC杆类似
于B端为固端且产生转角 B 的单跨超静定梁。 4
20
三. 固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为 固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。
1. 两端固定的梁：
q
ql 2 12
A
ql 2 24
l
ql 2 12 FP l 8
B
A
FP
FP l 8
B
FP l
l/2
8
l/2
M
F AB
ql 2 12
,
M
F BA
ql 2 。 12
增加附加链杆：
B EA C
Z1 BH CH
B EA = 有限值 C
Z1 BH
Z2 CH
A
DA
Z3 D
D
Z1 B
Z2 C
C
Z1 B
Z4 BH B
A
C
Z5 CH
Z2
B
BH
E A
D
当BD杆： EI无限大
D
？
12
§8-2 等截面直杆的刚度（转角位移）方程
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
位移法
F B 端为铰支座固端弯矩 M AB 由上式得： F M BA F F 铰 支 M AB M AB (c) 2 B 端为滑动支座：q B FQBA 0
P M A 0 FQBAl M AB M BA M A 0
把式(a) 、(b)代入上式，得：
D F F P 6iq A 12i M AB M BA M A P M AB M BA M A l FQBA 0 l l F F P 6iq Al M ABl M BAl M A l 1 l F F P D q Al ( M AB M BA M A ) (d) 12i 2 12i
§8-3 无侧移刚架的计算
1、无侧移刚架基本未知量的判定：
其位移法基本未知量数目
结构上刚结点的独立角位移数 等于结构上的自由刚结点数 。
(a)
1 D E 2 C F
A
(b)
B
D
EA=
C
1 C
B
1 A
2 B
A
(c)
(d)
说明：
1）强调位移法基本未知量是结 构中自由结点上的独立结点位移。 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移。
(2) B 端为铰支座
式(8-5)中
M BA 0
，得：
D M AB 4iq A 2iq B 6i L D 0 2iq A 4iq B 6i L
整理上式得：
M AB
D 3iABq A 3i L
(8-9)
(3) B 端为滑动支座
代入(8-5)式，得：
D 1 qA 式(8-6)中 q B FQAB FQBA 0 ，得： L 2
(8-10)
结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
第8章 位移法
第八章 位移法
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
第8章位移法
在图（c）、（d）、（e）中分别利用结点和杆件的平衡条件可计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核，在图（f）中取结点1为隔离体，验算是否满足 的平衡条件。由
可知计算无误。
题8-5试用位移法计算图（a）所示刚架，并绘制弯矩图。
（6）校核。在图（e）中取结点1为隔离体，验算是否满足平衡条件。由
可知计算无误。
题8-3试用位移法计算图（ห้องสมุดไป่ตู้）所示刚架，并绘制内力图。
题8-3图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 ，基本结构如图（b）所示。
（2）列出位移法方程
（3）求系数和自由项。绘出 和荷载作用在基本结构上的弯矩图，如图（c）、（d）所示。
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘弯矩图。由 叠加绘出最后M图，如图（f）所示。
（6）校核心。在图（f）中取结点1为隔离体，有
再取杆12为隔离体，有
可知计算无误。
题8-6试用位移法计算题19。6图（a）所示刚架，并绘出弯矩图。
题8-6图
解：（1）形成基本结构。此刚架的基本未知量为结点1的角位移 和结点1的水平线位移 ，基本结构如图（b）所示。
在图（c）、（d）中分别利用结点的平衡条件计算出系数和自由项如下：
（4）解方程求基本未知量。将系数和自由项代入位移法方程，得
解方程得
（5）绘地内力图。由 叠加绘出最后M图，如图（e）所示。利用杆件和结点的平衡条件可作出 图，分别如图（f）、（g）所示。其中在绘 图时需补充水平方向的变形条件才能求出，即A1杆的伸长量与B1杆的伸长量之和等于零。
第八章 位移法
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
6i F ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l M AB 4i A 2i B
转角位移方程
第8章 位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
EI FP B
FP
EI EI
EI
EI
3、图示结构，各杆长为l， 用位移法求解时， 典型方程的系数r11= ，自由项R1P= 。
FPl FP
4、已知刚架的弯矩图如图所示，各杆 EI为常数，杆长l=4m，则结点B的转角 ΦB= 。 30
30
l
l/2
l/2
第8章 位移法
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
第8章 位移法
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
FS13 FS24 0
φA P q βAB φA FSAB FSBA l EI t1˚C t2˚C
MAB
A
B ΔAB
B'
EI EI F M 3 3 Δ M AB A AB l l2 M BA 0
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
08第八章_位移法
第八章位移法本章的问题：A.什么是位移法的基本未知量？B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程中起什么作用？E.直接平衡法和典型方程法有何异同？F.力法和位移法的优缺点？G.在位移法中如何运用结构的对称性？§8-1位移法概述对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。
需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。
由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。
由“广义荷载”产生的杆端内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。
杆端内力的符号及正、负规定见第3章。
两端固定一固一铰一固一定向图8-1 位移法基本单跨梁示意图*P。
P 。
P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。
例如A 端杆端弯矩为F4322122646ABAB M l EI lEI l EI l EI M ++-+=∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为图8-2单跨梁杆段位移和荷载作用AB3∆4∆2∆1∆FQ 42332213Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++-+=∆∆∆∆ （b ）式（a ）和式（b ）中FAB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。
同理，也可叠加得到B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。
这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。
位移法形常数载常数
＝
M AC
4iq A
PL 8
3 56
PL
M CA
2iq A
PL 8
9 56
PL
＋
M AB
3iq A
3 56
PL
M BA 0
qA
PL 56i
第 八 章 位移法
§8-1 位移法旳概念
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本构造：无结点位移旳构造
特殊旳单根杆
三、基本方程： 平衡方程
+ 6i转AB 角P/ l 位+移方程6iABAB/ l
t1
M
F AB
t2
固端M弯BF矩A
第 八 章 位移法
§8-2 等截面直杆旳转角位移方程
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
A
x
4i A
2i B
+
2i A
B 4i B
y
M
AB
4i A
2i B
6i l
ABBiblioteka MF AB由M线BA 性 4小i变B 形 2，i由A 叠6l加i 原AB 理 M可BF得A
＋
M AC
4iq A
PL 8
M CA
2iq A
PL 8
第 八 章 位移法
§8-1 位移法旳概念
２．构造分析
M AB 3iq A
M AC
4iq A
PL 8
q ３．解方程：
A
PL 56i
由 MA 0 得:
M AB M AC 0
7iq A
PL 8
第8章 位移法
FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF Q BA
§8.2
等截面直杆的转角位移方程
（2）一端固定一端铰支的单跨超静定梁
A
M
MAB
A
A
FQAB
q
FP
B
EI
B1
B
(非独立角位移)
FQBA l
M AB
3iA
3i l
M
F AB
M BA 0
FQ AB FQ BA
3i l
A
3i l
A
3i l2 3i l2
σ M1 = M13 + M12 = 0
（a）
σ Fx = Fs13 + Fs24 = 0
（b）
利用转角位移方程（8-2）、（8-3）及
（8-5）
r11Z1 + ⋯ + r1iZi + ⋯ + r1nZn + R1p = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯
ri1Z1 + ⋯ + riiZi + ⋯ + rinZn + Rip = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯
rn1Z1 + ⋯ + rniZi + ⋯ + rnnZn + Rnp = 0
在上述典型方程中，主斜线上的系数rii称为主系数或主反力；其 他系数rij称为副系数或副反力；Rip称为自由项。系数和自由项的 符号规定是：以与该附加联系所设位移方向一致者为正。主反力
§8.3
位移法的基本未知量和基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都可以看成是一根单跨 超静定梁，因此位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变成两 端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。为此，可以在每个 刚结点上假想的加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动（但不能 阻止结点的移动），同时加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。 例如图8-3a所示刚架，在两刚结点1、3处分别加上刚臂，并在结点 3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件就都成为两端固 定或一端固定一端铰支的梁。原结构的基本结构如图8-3所示，它 是单跨超静定梁的组合体。 又如图8-4a所示刚架，其结点角位移数目为4（注意其中结点2也是 刚结点，即杆件62与32在该处刚结），结点线位移数目为2，一共 有6个基本未知量。加上4个刚臂和两根支座链杆后，可得到基本结 构如图8-4b
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学第8章
(h)
1 1 ∆ AB ′ θ A = θ A +θ ′′ = M AB − MBA + 3i 6i l (c) 1 1 ∆ AB ′ θ B = θ B +θ ′′ = − M AB + MBA + 6i 3i l
(2) B端为定向支承，如图(d)所示。 B端为定向支承 如图(d)所示。 端为定向支承， (d)所示
1. 位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位 位移法的基本未知量的数目( 移未知量) 移未知量) 2. 单跨超静定梁分析 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 3. 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。
在本节中，我们讨论第一个问题， 在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 后面讨论。 后面讨论。 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁， 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原 刚架的结点上引入某些附加约束 刚架的结点上引入某些附加约束 如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 引入附加的刚臂 附加链杆后 使得结构的结点 附加的刚臂或 结点变 引入附加的刚臂或附加链杆后，使得结构的结点变 固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。 成固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的 结构即为位移法计算时的基本结构 位移法计算时的基本结构。 结构即为位移法计算时的基本结构。 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 独立的基本未知量数目 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 基本结构时， 附加的刚臂和附加链杆数目之和 数目之和。 基本结构时，所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样 在确定了基本结构的同时， ，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本 未知量的数目。 未知量的数目。如：
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k11
MP
3i
3
1
k11 4i 3i 7i
4i
将以上两式代入基本方程，得：
kR1111
4i
1
2
3Pl 7i Z1 16 0
1=Z1
Z1=
3i 1
3Pl Z1 112i
3
2i
M1
4、根据叠加原理作最后弯矩图
M M1Z1 MP
3Pl Z1 112i
3Pl 28
1
2
11Pl 56
3
3Pl 56
1
M 2
X2=1 1/l
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
A
fA
X1
fB
令 i EI l 线刚度
X1
4i A
2iB
6i l
X1=1
X2
2i A
4iB
6i l
1
M AB
4i A
2i B
6i l
M BA
2i A
4i B
6i l
M 1
M 2
X2=1
VAB
M AB
M BA l
C
D
C
D
1
C
D
A
B
A
B
1
试确定图示结构的独立线位移数
4
0
3、位移法的基本未知数
n n nl
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
n 4 n n nl 4 2 6
nl 2
思考：确定结构按位移法求解的基本未知数
n n nl 6 2 8
二、位移法的基本结构
增加附加约束后,使得原结构的结点不能发生位移的结构。
P
A A A A
力法计算,4个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
关于刚架的结点未知量
刚架在荷载q作用下将发生如虚线所示的变形。
在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。 则12杆可以视为一根两端固定的梁（见图）。
1
其受荷载q作用和支座1发生转角Z1这两种情
况下的内力均可以由力法求。
1
1
同理，13杆可以视为一根一端固定
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
2
C
D
1
C
D
A
B
线位移数的确定——几何方法
1）将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和 铰支座，2）分析新体系的几何构造性质，若为几何可变 体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不 变体系，3）所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算 时的线位移数。4)若新（铰接）体系是几何不变的，则原 结构的各点均无线位移。
6i l
A
6i l
B
12i l2
Δ
Δ
B
X2
1/l
1
1/l
可以将上式写成矩阵形式 A
M AB
4i
M
BA
2i
VAB
6i
l
2i 4i 6i
l
6i l 6i l
A
B
12i l2
fA
x1
x1=1
1
Δ
B
fB
x2
Δ
M 1
1/l
1
M 2
x2=1 1/l
几种不同远端支座的刚度方程
位移法的基本结构就是：把每一根杆件都暂时变为一根单 跨超静定梁(或可定杆件)。 通常的做法是：在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂 (仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上沿线位移的 方向加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
1
例如：(见图a)
2
3
基本未知量三个。
(a)
4
5
6
又例如：
1 2
2
1
共有五个刚结点，结点 线位移数目为二，基本
未知量为七个。基本结
构如图所示。
练习：确定基本结构
3
4
1 2
5
6
7
共有四个刚结点，结点线位移数目为二， 基本未知量为六个。基本结构如图所示。
练习：确定基本结构
三、位移法方程
1
P
3Pl 16
2 R1P
1
P
2
Z1
Z1 EI
EI
l
MP
1、选择基本体系
3
l2 l2
3
2、建立基本方程：连接各单杆部 分（使各杆协调变形）的静力平
2）确定以结构的哪些结点作 为基本未知量，选取位移法的 基本体系；
3）如何建立求解基本未知量 的位移法方程。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超 静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生 位移(线位移、角位移)时的杆端内力(弯矩、剪力),以及在 荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。
另一端铰支的梁（见图）。
而在固定端1处发生了转角Z1，其内 Z1
Z1
力同样由力法求出。
q
Z1
2
q
2
Z1
EI=常数
可见，在计算刚架时，如果以Z1为基
3
本未知量，设法首先求出Z1，则各杆
的内力即可求出。这就是位移法的基
本思路。
3
l2 l2
R11 R1P
q
1
Z1
Z1
3
实现位移状态可分两步完成：
2 1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力； 2）使结构发生与原结构一致 的结点位移,附加约束上产生 附加约束力 。
单跨超静定梁简图
q
A
B
P
A l2
l2
B
MFAB
ql2 12 Pl 8
MFBA
ql2 12 Pl 8
VFAB
ql 2 P2
A l2
l2
MB
M 8
0
9M 8l
P
A l2 l2
3Pl 16
0
11P 16
B
A
q ql2 8
0
5ql 8
B
其他荷载情况下的载常数可参见表8－2。
VFBA
ql 2 P 2
令
i
EI 6
，计算各杆端弯矩
原结构
2kN/m
16kN
A
B
C
基本体系
MAB 2i, MBA 4i, MBC 3i
4i
由结点B的力矩平衡，可得 r11 A
Z 1 1
C
MB 0, k11 4i 3i 7i
4i
B
2i
B 3i
3i
Z1 1 作用的 M1图
练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=常数。
（1）远端为固定支座
MAB
fA
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l 6i l
A
B
(1)
VAB
6i
l
6i l
12i l2
MBA
EI l
因fB = 0，代入(1)式可得：
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
（2）远端为固定铰支座
MAB
M1
ql 2 8
1
C
X1=1
ql 2 12
11
1l 1 EI
l EI
X1
1P
11
ql 2 24
ql 2
24
1P
2 EI
(1 3
1 8
ql 2
l 2
1)
ql 3 24EI
q
ql 2 12
ql 2 8
ql 2 12
A
C
B
l/2
l/2
ql 2
24
M AB
ql 2 12
M BA
ql 2 12
9M 8l 5P 16 3ql 8
§8-3 位移法的基本概念
一、位移法的基本未知量 独立的结点位移，包括角位移和线位移
1、结点角位移 由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此
每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座 处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆 端的转角，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
第8章 位移法 8-1 概述 8-2 等截面直杆的转角位移方程 8-3 位移法的基本概念 8-4 位移法—典型方程法 8-5 位移法—直接平衡法
8-6 对称性利用
§8-1 概述
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。 力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。
力法：以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力 法方程，求出内力后再计算位移。
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
f=1
A
B
A
f=1
A A
f=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
-i
VAB= VBA
6i l 12i
l2 3i l
3i l2
0
四、转角位移方程-载常数 两端固定受均布荷载：
q
A
C
B
l/2
l/2
C X1
ql 2 12
3Pl 16
0
11P 16
B
A