市场经济中的蛛网模型

P0
(
)
f
g P0(x0,y0)
y0
x0
数量 x1 给定后，价格y1 由曲线f上的P 点决定，下 1 x2 由曲线g上的 P2 点决定， 2 又由f上 P 3 一时段的数量 y 点决定 ,这样得到一系列的 x 点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y1 ), P3 ( x2 , y2 ), P4 ( x3 , y2 ), LL ， 1 在图8-1上这些点将按箭头所示方向趋向 P0 ( x0 , y0 ) ，表 明 P0 是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和 价格）将趋向稳定。 但是如果需求函数和供应函数由图8-2的曲线所示， P , P2 , P3 , P4 , L 则类似的分析发现，市场经济将按照 1 规律变化而远离 P0 ，即 P0 是不稳定平衡点，市场经 济趋向不稳定。 图8-1和图8-2中折线 P P2 P3 P4 L 形成蛛网，于是 1
（13）
（13）是二街线形差分方程。为寻求 k
xk → x0 ，即 po 点稳定的条件，不必解方
程（13），只须利用判断稳定的条件——方程特 征根均在单位圆内。
→∞时
因为方程（13）的特征方程是：
2 λ + αβλ + αβ = 0
2
容易解出其特征根为：
λ1, 2 =
αβ ±
(αβ ) 2 8αβ 4
差分方程形式
P0
线形近似，设（1）和（2）式分别近似为 yk y0 = α ( xk x0 ), α > 0 xk +1 x0 = β ( yk y0 ), β > 0 消去 y k ，（5）、（6）可合并为：
(5) (6)
k +1 k 0 （7） （7）是一阶线形差分方程，对k递推不难得到 （8） xk +1 = (αβ ) k x1 + [1 (αβ ) k ]x0
基于上述分析我们还可以 看到，当市场经济趋向不稳 定时政府有两种干预办法。一种办法是是 α 尽量小， 极端情况是令α =0，即需求曲线水平，这时不论供应 曲线如何（即不管 β 多大），总是稳定的。这相当于 政府控制物价，无论商品数量是多少，命令价格不得 改变。另一种办法是使 β 尽量小，极端情况是令β =0， 即供应曲线竖直，于是不论需求曲线任何（不管α 多 大），也总是稳定的。这相当于控制市场上的商品数 量，当供过于求时，政府收购过剩部分，维持商品上 市量。
则当
K
f
< K
g
（3）
时 P0 点是稳定的（图8-1），而当 K f > K g
（4）
时 P0 点是不稳定的（图8-2）。由此可见，需求曲线 越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。在对这种 现象作出解释之前，我们先看看模型的差分方程形式。 利用差分方程可以将蛛网模 型的结果用公式表示出来。在 点附近取函数f和h的
1
，所以条件（9），（10）与蛛网模
α, β
的定义，有
β 型中的（3），（4）式是一致的。
β 模型解释 首先考虑参数 α 、 的含义。需求函数f 的斜率 α （取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时
价格上涨幅度；供应函数 h 的斜率 β 表示价格上涨1 个单位时（下一时期）商品供应的增加量。所以α 的 数值反映消费者对商品需求的敏感度，如果这种商品 商品是必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量 稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么α 会比较大；反之， 若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消 β 费水平低下，则α 较小。 的数值反映生产经营者对 商品价格的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追 逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产， 那么β 会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的 计划，则β 较小。
模型的推广： 模型的推广：
如果生产者的管理水平更高一些，他 们在决定商品生产数量 xk +1时，不是 仅根据前一时期的价格 y k ，而是根 据前两个时期的 y k 和 yk 1 。为简 单起见不妨设根据两者的平均 值 1 ( yk + yk 1 )，于是供应函数（2）式 2 2 表为：
x k +1 = g (
x
= αβx + (1 + αβ ) x , k = 1,2,L
由此可得，当 k → ∞时，xk → x0
，即 P0 点稳定
的条件是
αβ
< 1或 α
<
1
β
（9）
而当 k → ∞时，xk → ∞ 即 P0 点不稳定的条件是
K f = α, Kg =
αβ
> 1或 α
f
>
1
β
（10）
注意到（5），（6）式中 K 5 6
y
k
+ y 2
k 1
)
（11）
在p0 点附近取线形近似时（6）式表为
xk +1 xo =
β
2
( yk + yk 1Fra Baidu bibliotek 2 yo )
（12）
（5）式表示。则（5）、（12）式得到：
β 含义不变。又设需求函数仍由（1）、
2xk +2 + αβxk +1 + αβxk = (1+ αβ) x0 , k = 1,2,..
当 αβ > 8 时显然有
λ2 =
αβ
(αβ ) 2 8αβ 4
从而 | λ 2 |> 2, λ2 在单位圆外。 下面设αβ < 8
可以算出
| λ 1 , 2 |=
αβ
2
由 | λ1， |< 1得到 p0点稳定条件为 2
αβ < 2
与原有模型中 p 0 点稳定的条 件（9）式相比，保持经济稳定 的参数 α , β 的范围放大了 （ α , β 的含义未变）。 可以想到，这是生产经营者的生产 管理水平提高，对市场经济稳定起 着有利影响的必然结果。
数量由生产者的供求关系决定，商品价格越低生 产的数量就越少。这样的需求和供应关系决定了 市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的。在 现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的 振幅渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，如果 没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。 这里先用图形方法建立所谓“蛛网模型”， 对上述现象进行分析，给出市场经济趋向稳定的 条件。再用差分方程建模，对结果进行解释，并 讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的 干预措施。
市场经济中的蛛网模型
在自由贸易市场上你注意到过这样的现象吗：一个 时期以来某种消费品如猪肉的上市量远大于需求，由 于销售不畅导致价格下降，生产者发现养猪赔钱，于 是转而经营其他农副业。过一段时间猪肉上市量就会 大减，供不应求将导致价格上涨。生产者看到有利可 图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、 价格下降的局面。在没有外界干预的情况下，这种现 象将如此循环下去。 在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可 避免的。因为商品的价格是由消费者的需求关系决定 的 ，商品的数量越多价格越低。而下一个时期商品的
蛛网模型
记第 k 时段商品的数量为 x k , 价格为 y k , k = 1, 2 ,...
这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当 于商品的1个周期，如蔬菜、水果可以是一个 种植周期，肉类可以是牲畜的饲养周期。
同一时段商品的价格
yk
取决于数量
xk ,设
yk = f (xk )
(1)
它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。 因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下 降曲线f表示它，f称需求曲线。 下一时段商品的数量 xk +1 由上一时段价格 yk 决定，设
1
这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图 示法在经济学中称蛛网模型。实际上，需求曲线f和供 应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和 价格的一系列统计资料 x1 , y1, x2 , y2 , L 得到的 。一般地 说，f 取决与消费者对这种商品的需求程度和他们的消 费水平， 则与生产者的生产能力 则与生产者的生产能力， 费水平，g则与生产者的生产能力，经营水平等因素有 关。 一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，如何判 断他们的交点——平衡点 P0 的稳定性呢？从 图8-1 和 图 8-2 不难看出，当市场经济偏离平衡点 P0 点不大 时，P0 点的稳定性取决于曲线f和g 在 P0 点的斜率。记f在P0 点斜率的绝对值（因为它 是下降的）为K f ，g在 P0 点的斜率为 K g ，
β 根据α 、 的意义很容易对市场经济稳定与否的条件 （9）、（10）作出解释。当供应函数g，即 β 固定时， 越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏 α 感程度（使（9）式成立），越利于经济稳定。当需求 函数f，即 固定时， 越小，需求曲线越陡，表明生 β α 产者对价格敏感程度越小（使（9）式成立），越利于 经济稳定。反之，当 、 较大，表明消费者对商品的 α β 需求和生产者对商品的价格丢很敏感，则回导致经济 不稳定。
xk +1 = h( yk ), 或yk = g ( xk +1 )
(2)
这里g是h的反函数。h或g反映生产者的供求关系，称 为供求函数。因为价格越高生产量（即下一时段的商 品数量）就越大，所以在图中供应曲线g是一条上升的 曲线。
图中两条曲线交于 Po x0 , y0 点。Po 是平衡点，其 意义是，一旦在某时段k有 x k = x 0 ，则由(1),(2)可知 y k = y 0 , x k + 1 = x 0 , y k + 1 = y 0 , L 即k以后 各时段商品的数量和价格将永远保持在Po ( x0 , y0 ) 点。 但在 实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停 止在 P 点，不妨设 x 1 偏离 x 0 （如图1）。我们 o 分析随着k的增加 xk , yk 的变化。