第三讲 不等式性质与证明自主招生

第三讲 不等式的性质与证明

【说明】：

1.在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；

2.交大（“华约”）试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

【知识引入】

基本不等式：

1. ),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。

2.

,)2

a b

a b R ++≥∈，当且仅当b a =时等号成立。 【知识拓展】

自主招生中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中“不等式的证明”是难点。

证明不等式没有固定的程序，证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强，一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有：

（1）比较法：在证明A>B 或A

A

（A ，B>0）与1比较大小，最后得出结论；

（2）放缩法：（为了证明A B ≤，引进一些中间量如,C D ，依次证明

,,A C C D D B ≤≤≤等）；

（3）分析法：即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（如构造函数、构造图形）等。

【典例精讲】

例1.（2011复旦千分考）设有集合2{|log (34)2,0}x S x x x x =-≥>，

22{|log (2)2,0}x T x x k x x =-≥>满足S T ⊆，则实数k 的取值范围是（ ）。

（A ）2

2k ≥ （B ）2

2k ≤ （C ）k ≥ （D ）k ≤►答案B

►分析与解答：先解不等式22

2

1log (34)234x x x x x x x

>⎧-≥⇔⎨-≥⎩或2

2

01034x x x x

<<⎧⎨<-≤⎩解

得：2x ≥

即{|2}S x x =≥；再解不等式222

2

2

1log (2)22x x x k x x k x x

>⎧-≥⇔⎨

-≥⎩或

222

01

02x x k x x

<<⎧⎨<-≤⎩ 21()0x x x k >⎧⇔⎨-≥⎩或2

201()0(2)0x x x k x x k <<⎧⎪-≤⎨⎪->⎩

，21x x k >⎧⇔⎨≥⎩或22

01

2x k x k

<<⎧⎪⎨<≤⎪⎩ 若2

2k >，则T ：2

x k ≥不满足条件；若212k <<，则T ：2

x k ≥或2

12

k x <<满足条件；若2

1k <，

T ：1x >或222

k x k <≤满足条件；若22k =，则T ：2x ≥满足条件；若2

1k =，则T ：1x >或

1

12

x <<满足条件。综上，22k ≤。 例2.（2010复旦）设实数,0x y ≥，且满足25x y +=，则函数2(,)22f x y x xy x y =+++的最大值是（ ）。 （A ）

978 （B ）195

16

（C ）494 （D ）252 ►答案C

►分析与解答：由于,0x y ≥，52y x =-，所以5

02

x ≤≤

， 222(,)22522104f x y x xy x y x x x x x =+++=+-++-

2

2

34949

310()2

44

x x x =-++=--+

≤，当且仅当3,22x y ==时取等号。

例3.（2004同济）求证：对于任何实数,a b ，三个数||,||,|1|a b a b a +--中至少有一个不小于

1

2

。 ►分析与解答： 解法一：用反证法。

若111||,||,|1|222a b a b a +<-<-<，则1

1,221

1,221

11,

22a b a b a ⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩

①

②

③

由①+②得：1122a -<<。由③得：13

22

a <<，矛盾！ 解

法

二

：

由

绝

对

值

不

等

式

性

质

，

得

|||||1||1|a b a b a a a b a b a a ++-+-+-≥++-+-+

， 故||,||,|1|a b a b a +--中至少有一个不小于1

2

。 例4.（2011“华约”）212

(),(1)1,()23

x f x f f ax b =

==+，数列{}n x 满足1()n n x f x +=，且112

x =。

（1）求n x 的通项； （2）求证：1212n x x x e

>

。 ►分析与解答：

（1）2112(1)1,()1232

f f a b a b ====++，2

23a b a b +=⎧⎨

+=⎩，所以11a b =⎧⎨=⎩，2()1x f x x =+，所以121

n

n n x x x +=

+ 1111(1)2n n x x +=+。令1111

()2n n

x x λλ++=+，11,122λλ-==-。

1111111111(1),1(1)()22n n n n x x x x -+-=--=-⨯，11

11()2

n n x -=

+。 （

2

）

01112

1111

(1())(1())(1())22222n n x x x e e ->

⇔+++<1111

(1)(1)(1)242n e -⇔+++<。

1n >时由均值不等式

1)

(12

n -+<

1111

(1)

2

2(1)11111111242211n n n n n ----+++++++-=-- 111

111

n n n -+<=+--。所以

1

111

11(1)(1)(1)(1)2421n n n --+++

<+-。注意到1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬⎩

⎭单

调递增，且