专题12 韦达定理及其应用(原卷版)

专题12 韦达定理及其应用

1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -

=+21，a

c

x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；

（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。

【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2

﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12

+4x 1x 2+x 22

的值是 ． 【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2

﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2

+β2

的值为（ ） A ．12

B ．10

C ．4

D ．﹣4

【例题2】（2020•江西）若关于x 的一元二次方程x 2

﹣kx ﹣2＝0的一个根为x ＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ． 【对点练习】 已知方程

的一个根是-1/2，求它的另一个根及b 的值。

【对点练习】（2019年湖北省荆门市）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2

+（3k +1）x +2k 2

+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2

，则k 的值为 ．

【例题3】（2020•随州）已知关于x 的一元二次方程x 2

+（2m +1）x +m ﹣2＝0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．

【对点练习】（2019▪湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．

【例题4】（2020湖北黄石模拟）已知方程的两根，求作以为两根的方程。

【对点练习】（2019山东淄博模拟）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0

一、选择题

1. （2019•江苏泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2则x1+x2等于（）

A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3

2. （2019•广东）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）

A．x1≠x2 B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2

3.（2019•广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，

则m等于（）

A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3

二、填空题

4．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为．

5.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝．

6.（2019年四川攀枝花）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．

7.（2019年四川成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．

8.（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是．

三、解答题

9．（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3

x1+3

x2

=x1x2﹣4，求实数k的值．

10．（2020•南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使得等式1

x1+1

x2

=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．

11. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.

(1)求k的取值范围;

(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.

12.（2019孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；

（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．

13.已知：x1、x2是两个不相等的实数，且满足，那么求

的值。

14. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。