广义积分习题课

例 5 讨论 I x p sin xq dx 的敛散性，其中 p、q 非负。 0
分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理 的是因子 sin xq ，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技 巧是先易后难。
解、先考虑最简情形： q 0 时的情形。
记 I1( p)
I1
1 0
e
sin
x sin x
2
x
dx
，
esin x sin 2x
I2 1
x dx
对 I1 ，当 1 1 ,i.e 2时，
lim
x0
x 1
esin x sin 2x x
2e
故， I1 收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。
当 1 1 ,i.e 2时，
lim
x0
x 1
例 4 讨论 I
esin x sin 2xdx 的敛散性，其中
0。
0
x
分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积
分，可以用比较判别法或 Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于
被积函数是变号函数，因此，应该用 Abel 判别法或 Dirichlet 判别法。
解：记
esin x sin 2x x
2e
故， I1 发散。
对 I 2 ，由于
esin x sin 2x x
e x
，
故当 1时， I 2 （绝对）收敛。
当 0 1时，由于，对任意 A 1，
eA sin x sin 2xdx 2 sin A tet dt 2
1
sin 1
且
当
x
时，
1 x
单调递减趋于 0，由 Dirichlet 判别法， I 2 收敛。
分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身
有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得
收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。
解：先分析绝对收敛性，由于
sin(x 1)
|
x |
1
，
xm
xm
故，m>1 时，广义积分绝对收敛。
当 0 m 1时，利用配因子法验证积分片段的有界性，
又，此时
esin x sin 2x x
e1
sin 2x x
e 1
sin 2 2x x
e 1 2
1 x
cos4x x
且
＋ 1
1 x
dx发散， ＋ 1
c
os 4 x
x
dx
收敛，因此，
1
esin x sin 2x x
dx
e x
发散。
因而，当 0 1时， I 2 条件收敛。
综上，1 2时，I绝对收敛；0 1时, I条件收敛 ； 2时，I发散。
x |
x
x，
xm
xm
xm
而类似可以证明
cos 2(x 1)
2
xm x dx 收敛，
2
1 xm
dx
发散，因而，
| sin(x 1) |
2
xm x dx
发散，故 0 m 1时，广义积分条件收敛。
注、从解题过程中可知，利用定义可以证明 m=0 时积分发散。
注、不能将积分分成如下两部分
I
lim
x
x
0 ，则
lim
x
x
p
ln(1 xm
x)
l
0
, ,
pm ， pm
当 m 1时，取 p 使得1 p m ，则
故 I 2 收敛。
lim x p ln(1 x) 0
x
xm
当 m 1时，取 p 1，则
ln(1 x)
lim x
x
xm
故 I 2 发散。
因而，当1 m 2时， I 收敛； m 1或m 2 时 I 发散。
x x 2 ln cos 1
t0 ln cos t
x
因而，I
与广义积分
1
1 x 2
dx 同时敛散。故
3 时，I
收敛；
3时，
I 发散。
下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。
例 8 证明：设 f (x) 、g(x)在[a,) 上连续，g(x) 单调且 C2 g(x) C1 0 ，
则 f (x)dx 与 f (x)g(x)dx 同时敛散。
(1
sin x
x
1
)3
1dx
。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理
的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。
对 I1 ，分析奇点附近被积函数的阶。由于
sin x x x3 o(x3 ) , sin x 1 x2 o(x2 ) ，
3!
x
3!
因而， (1
二、典型例子
下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。
例 1
判断广义积分 I
dx 0 xp xq
的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记 I1
1 dx 0 xp xq
， I2
dx 1 xp xq
对 I1 ，先讨论简单情形。
p q 时， p 1时收敛， p 1时发散。
t 2n sin tdt
sin tdt 2
2n
0
因而，由 Cauchy 收敛准则， I 2 发散。
综 上 ： q 0 时 ， I 发 散 ； q 0 时 ， －1 p 1 0 时 ， I 绝 对 收 敛 ； q
0 p 1 1 时， I 条件收敛； 1 p 1 时， I 发散。
例7
I
ln(1
sin
1 x
) dx
（ 0）。
1 x ln cos 1
x
分析：这是无穷限广义积分，分析 x 时被积函数的性质，此时
sin
1 x
0 ，故
ln(1
sin
1 x
)
~
sin
1 x
~
1 x
，
又 cos 1 1 1 o( 1 ) ，故
x
2x2
x3
ln cos 1 ln(1 1 o( 1 ) ~ 1
上述结论也可以总结为：min{p,q}<1 时收敛，min{p,q} 1时发散。
对 I 2 ，类似可以讨论，即 p q 时， p 1时收敛， p 1时发散。
p q ，不妨设 p q ，则 I 2
dx
，由于
1 x q (1 x pq )
lim x q
1
1
x x q (1 x pq )
因此， I 2 与 p 积分同时敛散，即 q 1 时收敛， q 1时发散。 此时，广义积分 I 2 的敛散性完全由分母中的高阶项决定。
0
( 1) 1 , ie 2 时， I1 （绝对）收敛； 2 时， I1 发散。
对 I 2
t sin tdt ，由于
1
t sin t
t ，故， 1 时， I 2 绝对收敛；当
1 0时，由 Dirichlet 判别法， I 2 （条件）收敛。
当 0 时，利用周期函数的积分性质，则
a
a
证明：若 f (x)dx 收敛，由 Abel 判别法， f (x)g(x)dx 收敛。
第九章 广义积分习题课 一、主要内容
1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义 既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于 计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法 可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和 Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和 Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的 Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和 Cauchy 法所起作用基 本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
x 时的性质，进行阶的比较。
解、记 I1
1 0
ln(1 xm
x)dx
，
I
2
ln(1 x)dx 。
1
xm
对 I1 ， 由于
lim xm1 ln(1 x) 1，
x0
xm
故，当 m 1 1 ，即 m 2 时， I1 收敛；当 m 2 时， I1 发散。
对I2，
利用已知的结论：
0
,
ln(1 x)
1 0
x
p
dx
，
I
2
(
p)
1
x
p
dx
，此时，
I1
(
p)
、
I
2
(
p)
分别是无界函数
和无穷限广义积分，因此， p 1时， I1 ( p) 收敛； p 1时， I1 ( p) 发散；
而对 I 2 ， p 1 时 I 2 ( p) 时收敛， p 1时 I 2 ( p) 发散，故 q 0 时， I 发散。
sin(x 1)
2
xm x dx ＝
2
sin x xm
cos
1dx x
2
cos xm
x
sin
1 x
dx
，
通过右端两部分的收敛性得到 I 的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，
才成立上述的分解结论。
例 3 讨论 I ln(1 x)dx 的敛散性。
0
xm
分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论 ln（1＋x）的当 x 0 和
1 (1 0
sin x
x
)
1 3
1dx
，I2
(1
1
sin x
x
)
1 3
1dx
。
对 I1 ，利用 L’Hosptial 法则，
因而，
2
lim x 3 (1
x0
1 sin x
lim
x0
x x2
1
，
6
sin x)
1 3
x
(1) 6
1
3 ，故， I1 收敛。
对I2
由于 sin x x
1 , (x 1) ，则
(1
sin
x
)
1 3
1
1
sin
x
sin 2 0(
x)
x
3x
x2
其中
sin 2 0(
x)
C
，因而
x2
x2
＋ 1
o（sin 2 x2
x
)dx
收敛，又由于
1
sin x
x
dx
条件
收敛，故 I 2 条件收敛。
因此， I 条件收敛。 注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个 有效的方法。
p q ，不妨设 p q ，则 I1
1 0
x
p
dx (1 x q p
)
，故，
p
0
时为常义积分，
此时收敛。 p 0 时，由于
lim x p
1
1
x0 x p (1 x q p )
因此， I1 与 p 积分同时敛散，即 p 1时收敛， p 1时发散。 因此，对 I1 ，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。
x
2x 2
x3
x2
所以
ln(1
sin
1 x
x ln cos 1
)
~
1 x 2
，证明过程就是验证上述函数关系。
x
解、由于
lim
x 2
ln(1 sin
1 x
)
lim
ln(1 sin
1 x
)
1
x
x | ln cos 1 | x x
1 x
x2 ln cos 1 x
lim
1
lim t 2 2
sin x )
1 3
x
2
x 3 ，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。
sin x 对 I 2 ，对被积函数作阶的分析，由于 x 充分大时 x
用函数展开理论得
1，因此，利
(1 x) 1 x 0(x2 ) , x (1,1) ，
由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。
解、记 I1
q
q
注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要 矛盾。
注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。
例 6
讨论 I
0
(1
sin x
x
)
1 3
1dx
的敛散性。
分析
首 先 将 积 分 分 段
处理，
记
I1
1 (1 0
sin x
x
)
1 3
1dx
源自文库
，
I 2
1
上述结论也可以总结为：max{p,q}>1 时收敛，max{p,q} 1时发散。
综上：p 1 q或q 1 p 时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1<max{p,q} 时收敛，其余时发散。
sin(x 1)
例 2 讨论 I 2
xm x dx 的绝对收敛和条件收敛性，其中 m>0。
当 q 0 时，令 t xq ， p 1 q ，则 q
I 1 q
p1q
t
q
sin tdt ＝
0
1 q
1t
0
sin tdt
t
1
sin
tdt
对 I1
1t sin tdt ， 由 于
0
t sin t lim t t0 1
1 ，故 I1 与
1t 1dt 同 时 敛 散 。 因 而 ，
|
A sin(x 1)dx ||
2
x
A
(1
2
1 x2
1 x2
) sin(x
1 )dx x
|
| A sin(x 1)d(x 1) |
2
x
x
A 2
1 x2
dx
M
由 Dirichlet 判别法，广义积分收敛。 由于
sin(x 1) 2sin2 (x 1) 1 cos 2(x 1)
2|