广义积分习题课

q
q
注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要 矛盾。
注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。
例 6
讨论 I
0
(1
sin x
x
)
1 3
1dx
的敛散性。
分析
首 先 将 积 分 分 段
处理，
记
I1
1 (1 0
sin x
x
)
1 3
1dx
，
I 2
1
x
2x 2
x3
x2
所以
ln(1
sin
1 x
x ln cos 1
)
~
1 x 2
，证明过程就是验证上述函数关系。
x
解、由于
lim
x 2
ln(1 sin
1 x
)
lim
ln(1 sin
1 x
)
1
x
x | ln cos 1 | x x
1 x
x2 ln cos 1 x
lim
1
lim t 2 2
例 4 讨论 I
esin x sin 2xdx 的敛散性，其中
0。
0
x
分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积
分，可以用比较判别法或 Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于
被积函数是变号函数，因此，应该用 Abel 判别法或 Dirichlet 判别法。
解：记
x |
x
x，
xm
xm
xm
而类似可以证明
cos 2(x 1)
2
xm x dx 收敛，
2
1 xm
dx
发散，因而，
| sin(x 1) |
2
xm x dx
发散，故 0 m 1时，广义积分条件收敛。
注、从解题过程中可知，利用定义可以证明 m=0 时积分发散。
注、不能将积分分成如下两部分
I
(1
sin x
x
1
)3
1dx
。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理
的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。
对 I1 ，分析奇点附近被积函数的阶。由于
sin x x x3 o(x3 ) , sin x 1 x2 o(x2 ) ，
3!
x
3!
因而， (1
第九章 广义积分习题课 一、主要内容
1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义 既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于 计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法 可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和 Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和 Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的 Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和 Cauchy 法所起作用基 本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
t 2n sin tdt
sin tdt 2
2n
0
因而，由 Cauchy 收敛准则， I 2 发散。
综 上 ： q 0 时 ， I 发 散 ； q 0 时 ， －1 p 1 0 时 ， I 绝 对 收 敛 ； q
0 p 1 1 时， I 条件收敛； 1 p 1 时， I 发散。
当 q 0 时，令 t xq ， p 1 q ，则 q
I 1 q
p1q
t
q
sin tdt ＝
0
1 q
1t
0
sin tdt
t
1
sin
tdt
对 I1
1t sin tdt ， 由 于
0
t sin t lim t t0 1
1 ，故 I1 与
1t 1dt 同 时 敛 散 。 因 而 ，
分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身
有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得
收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。
解：先分析绝对收敛性，由于
sin(x 1)
|
x |
1
，
xm
xm
故，m>1 时，广义积分绝对收敛。
当 0 m 1时，利用配因子法验证积分片段的有界性，
(1
sin
x
)
1 3
1
1
sin
x
sin 2 0(
x)
x
3x
x2
其中
sin 2 0(
x)
C
，因而
x2
x2
＋ 1
o（sin 2 x2
x
)dx
收敛，又由于
1
sin x
x
dx
条件
收敛，故 I 2 条件收敛。
因此， I 条件收敛。 注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个 有效的方法。
lim
x
x
0 ，则
lim
x
x
p
ln(1 xm
x)
l
0
, ,
pm ， pm
当 m 1时，取 p 使得1 p m ，则
故 I 2 收敛。
lim x p ln(1 x) 0
x
xm
当 m 1时，取 p 1，则
ln(1 x)
lim x
x
xm
故 I 2 发散。
因而，当1 m 2时， I 收敛； m 1或m 2 时 I 发散。
x x 2 ln cos 1
t0 ln cos t
x
因而，I
与广义积分
1
1 x 2
dx 同时敛散。故
3 时，I
收敛；
3时，
I 发散。
下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。
例 8 证明：设 f (x) 、g(x)在[a,) 上连续，g(x) 单调且 C2 g(x) C1 0 ，
则 f (x)dx 与 f (x)g(x)dx 同时敛散。
又，此时
esin x sin 2x x
e1
sin 2x x
e 1
sin 2 2x x
e 1 2
1 x
cos4x x
且
＋ 1
1 x
dx发散， ＋ 1
c
os 4 x
x
dx
收敛，因此，
1
esin x sin 2x x
dx
e x
发散。
因而，当 0 1时， I 2 条件收敛。
综上，1 2时，I绝对收敛；0 1时, I条件收敛 ； 2时，I发散。
上述结论也可以总结为：max{p,q}>1 时收敛，max{p,q} 1时发散。
综上：p 1 q或q 1 p 时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1<max{p,q} 时收敛，其余时发散。
sin(x 1)
例 2 讨论 I 2
xm x dx 的绝对收敛和条件收敛性，其中 m>0。
|
A sin(x 1)dx ||
2
x
A
(1
2
1 x2
1 x2
) sin(x
1 )dx x
|
| A sin(x 1)d(x 1) |
2
x
x
A 2
1 x2
dx
M
由 Dirichlet 判别法，广义积分收敛。 由于
sin(x 1) 2sin2 (x 1) 1 cos 2(x 1)
2|
例7
I
ln(1
sin
1 x
) dx
（ 0）。
1 x ln cos 1
x
分析：这是无穷限广义积分，分析 x 时被积函数的性质，此时
sin
1 x
0 ，故
ln(1
sin
1 x
)
~
sin
1 x
~
1 x
，
又 cos 1 1 1 o( 1 ) ，故
x
2x2
x3
ln cos 1 ln(1 1 o( 1 ) ~ 1
0
( 1) 1 , ie 2 时， I1 （绝对）收敛； 2 时， I1 发散。
对 I 2
t sin tdt ，由于
1
t sin t
t ，故， 1 时， I 2 绝对收敛；当
1 0时，由 Dirichlet 判别法， I 2 （条件）收敛。
当 0 时，利用周期函数的积分性质，则
1 (1 0
sin x
x
)
1 3
1dx
Hale Waihona Puke ，I2 (1 1
sin x
x
)
1 3
1dx
。
对 I1 ，利用 L’Hosptial 法则，