第五章定积分、广义积分

0 (令x t)
0
2
(5) xf (sin x)dx
f (sin x)dx

2 f (sin x)dx
0
20
0
(令x t)
二、基本问题及解法
问题(一) 有关变上限积分的运算
如果f ( x)在[a, b]上连续,则变上限积分( x)
x
f (t)dt
a
是x的连续函数.可进行函数的各种运算,如,求极限、 求
(3) a ( x a)k k 1时发散
利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:
例1.下列广义积分发散的是 ( )
1 dx
( A)0
; x
2 dx
(B)
;
1 3 x1
dx
(C )1
; x
dx
(D)2 x (ln x)
利用上述结论不难判定 (C), (D)正确.
6.微积分的常用公式
dy 2xe y2 cos x2dx
例5.设f ( x)在[0, )上连续且满足
x2 (1 x )
f (t)dt x
0
求f (2)
解 : 方程两边对x求导,得 f [x2(1 x)][x2(1 x)] 1,
即 f ( x2 x3 ) (2x 3x2 ) 1.令 x 1,得 f (2) 1 5
(a, c为任意常数)
2 a kf (x)dx k a f (x)dx
3 a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
4
分部积分公式
udv uv
vdu
a
a
a
5 也有相应的换元法；
6
f (x)dx F (x) F () F (a)
a
a
7
b f (x)dx F (x) b F (b) F ()
cos x
cos x
sin x, 0 x
2
sin x, x
2
所以 sin x sin3 xdx 0
2 cos x
0
sin xdx cos x
sin xdx
2
2
(sin
x)
3 2
2
2
(sin
x)
3 2
4
3
3
0
3
2
例4 求 16
dx
0 x9 x
解： 16
dx
16 x 9 x
解 f ( x ) x2 1,在[1,4]上的最小值、最大值分别为：
m 2, M 42 1 17.
2( 4 1 )
4
(
x2
1 )dx
17( 4
1)
1
所以
6
4
(
x2
1
)dx
51
1
(8)积分中值定理：
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至
少存在一点
,使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
导、 求极值等。
例1.求下列函数导数
(1) f ( x) x 1 t 2 dt; 1
(3) f ( x) x2etdt; x3
(2) f ( x) 0 f (t 2 )dt x2 x
(4) f ( x) a xf (t)dt
解: (1) f (x) 1 x2 ; (2) f ( x) f ( x4 ) 2x 2xf ( x4 )
反之不然
特别地，若f ( x)在[a,b]上连续，f ( x) 0( 0)
b
a f ( x)dx 0 f ( x) 0,
(7)估值定理：m f ( x) M, x [a,b],有
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a)
例1.估计积分值: 4 ( x2 1 )dx 1
(3) f ( x) ex2 2x ex3 3x2 xex2 (2 3xex )
x
x
(4) f ( x) [ xa f (t)dt] a f (t)dt xf ( x)
x
arctantdt
例2.求 lim 0 x0
x2
解 : 原式( 0 型) lim arctan x 1 lim arctan x 1
b
vdu
a
aa
注：1 u,dv 的选取与不定积分相同；
2
若被积函数中含有变上限积分或被积函数的 导数时一般用分部积分。
5.广义积分
(1)无穷区间上的广义积分
(2)无界函数的广义积分(瑕积分) 注： 广义积分的计算转化为计算一个定积分的
极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；
（3）性质：
c
1 a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
注2 Newton——Leibniz公式表明：
(1) 一 个 连 续 函 数 在 区 间 [a ,b ]上 的 定 积 分 等 于 它 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [a ,b ]上 的 增 量 .
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分 的问题.
(3 )当
a
b
时
， b a
f
( x )dx
(1)若f ( x)在[a, a]上 连 续 ， 则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
0, f ( x) f ( x)
2
a 0
f ( x)dx,
f (x)
f (x)
奇函数 偶函数
(2)若, f ( x T ) f ( x) 则
aT
T
T
a
f ( x)dx
0
x0 2x
2 x0 x
2
例3. lim e x2 x x
x t 2et2 dt lim
0
x
x t 2et2 dt
0
xe x2
x2e x2
x2
1
lim
x
e
x2
xe x2
2x
lim
x
1
2
x
2
2
例4.设方程 y et2 dt x2 cos tdt,确定y为x的
0
0
函数, 求dy
解 : (这是求变上限隐函数的微分) 两端微分 e y2 dy cos x2 2xdx,于是
a
dx a
b
c
b
(5)a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
(a,b, c的位置不一定，只要上述积分存在);
(6)比较性质：f ( x) g( x), x [a, b]
b
b
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx, a f ( x)dx a f ( x) dx
dx
0 x9 x 0
9
例5.
1 9
2（x 3
3
9）2
2 3
x
3 2
求 1 xe x|x|dx 1
16
14
0
解 : 原式 0 xe x2 dx 1 xe x2 dx
1
0
1 e x2 0 1 e x2 1 1 (e e1 )1
2
1 2 0 2
练习: 求 2 1 cos xdx 0
b
a
(2).a f ( x)dx b f ( x)dx;
(3)(线性性质)
b
[ f ( x) g( x)]dx
a
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx,
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx
(4) a f ( x)dx 0; d ( b f ( x)dx) 0( f ( x)连续)
dx a
a
b( x)
g( x)a f (t)dt g( x) f [b( x)]b( x)
4.定积分的计算方法
（1）Newton—Leibniz公式：
b f (x)dx F (x) b F (b) F (a)
a
a
其中F(x)为f (x)在[a,b]上的任一原函数
b
注1： f (b) f (a) a f (x)dx
2 x 2 4 x 2 dx
0
解: 设x 2sint,dx 2cos tdt
当 x 0时, t 0 ;当 x 2时, t
2
于是,
2 x2
0
4 x 2 dx 2 (2sint)2 0
4 4sin2 t 2cos tdt
4 2 (sin2t)2dt 2 2 (1 cos4t)dt
y f ( x) 0,
oa
bx
b
a
a f ( x)dx S
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
y
a
o
b x
b
b
a f ( x)dx S
曲边梯形的面积
的负值
s1
0 s2
a
s3 b
b
a f ( x)dx S1 S2 S3
3.定积分的性质:
b
b
(1)a f ( x)dx a f (t )dt,
★问题(二)： 定积分的计算
10 直接积分法
直接利用积分性质, 基本积公式,凑微分的方法 找到一个原函数代入牛顿— 莱布尼兹公式计算.
当 被 积 函 数 在 积 分 间 上连 续, 或 出 现 有 限 个 第一类间断点时,可直接或分段利用牛— 莱
公式积分;当被除数积函数出现绝对值、 分 段函数以及要开方的函数形式时， 必须注意
0
f ( x)dx
2 T
f ( x)dx
2
(3) 2 sinn xdx 2 cosn xdx
0
0
2
1
4 3
3 5 (n 2 4 6 6(n 5 7 n
1)
n
1) ，
,
若n为 正 偶 数
2
若n为 正 奇 数(n 1)
(4) 2 f (sin x,cos x)dx 2 f (cos x,sin x)dx
f (x)
dx a
(1) (2) (3)
d
(
b( x)
f (t)dt)
f [b( x)]b( x)
dx a
d b
(
f (t)dt) f [a( x)]a( x)
dx a( x)
d
(
b( x)
f (t)dt)
f [b( x)]b( x)
f [a( x)]a( x)
dx a( x)
(4) d ( b( x) f (t)g( x)dt) [g( x) b( x) f (t)dt]
注 (1)定理中的 可在[a, b]内取得；
(2) f ( ) 1 b f ( x)dx(平均值 )
ba a
9.变上限积分求导: 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b], 则变上限积分
x
( x) a f ( x)dx
对x可导,并且有( x)
d
(
x
f (t)dt)
8
f (x)dx F (x) F () F ()
9
b f (x)dx b为瑕点 F (x) b F (b) F (a)
a
a
记住以下几个广义积分的敛散性：
dx k 1时收敛
(1) 1
xk k 1时发散
(2)
2
dx x(ln x)k
k k
1时收敛 1时发散
1 dx
k 1时收敛
第五章: 定积分与广义积分
一、基本概念及结论
1.定义：
b a
f (x)dx lim 0
n i 1
f (i )xi ,极限存在应与[a,b]
分法和
的取法无关，b
i
a
f
(
x)dx表示一个数
2.可积(充分)条件：
(1)有限区间上的连续函数可积；
(2)若f ( x)在[a, b]上单调有界，则 b f ( x)dx存在； a
提示 : 2 1 cos xdx 2 2cos2 x dx
0
0
2
2 2 | cos x |dx 4 2
0
2
20 换元积分法
应用中要求被积函数在积分区间上连续,
所作换元x (t)在[ , ]上单值有连续
的导数, 换元的同时必须换限.在什么情况 下需要换元与不定积分一样.
例1 计算
被 积 函 数 在 不 同 积 分 区间 所 取 的 正 负 号 或 不 同 的 表 达 式.
例1.
1 2
1
2x 1 dx 2 2
0 1 x2
0
x
1
dx 2
1 x2
0
1 dx
1 x2
1
(2 1 x2 ) 2
1
arcsin x 2
2
3
0
0
6
2
例2. | 1 x | dx 0
1
2
(3)若f ( x)在[a, b]上分段连续但只有有限个第
一类间断点,则 b f ( x)dx存在。 a 注：可积的必要条件：若 b f ( x)dx存在 a f ( x)在[a, b]上有界；
(4)定积分的几何意义:
定积分 b f ( x)dx表示底边在x轴上各曲边梯形 a
面积的代数和.在x轴上方面积取正号;在x轴下方 的面积取负号.
(1 x)dx (x 1)dx
0
1
(x 1 x2) 1 (1 x2 x) 2
20 2
1
1 1 (2 2 1 1) 1
2
2
例3.求 sin x sin3 xdx 0
解：由于被积函数
sin x sin3 x sin x(1 sin2 x) sin x | cos x |
0
0
1
2
2(t sin4t)
4
0
4 x2
例2 计算
dx.
0 2x 1
解 设 2x 1 t, x t 2 1 , dx tdt, 2
x 0, t 1; x 4, t 3.
t2 1
4
x 2 dx 3
2
F (b) F (a )仍 成 立 .
(2)定积分的换元积分
b
x ( t )
f ( x )dx
f [( t )]( t )dt
a
( t )0( 0 )
注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同 除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为 0.
（3）定积分的分部积法
b udv uv b