材料力学-第六章 简单的超静定问题

变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A

A
l2

例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1

l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2

A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
1P
wM P MC EI
画 M P 图时，相当在基本静定系中保留外力，
画 M 1 图时，相当在基本静定系中去除外力， 令未知力X1=1 ；
例5.已知:q,l,求A处约束力偶矩。
q
A
B
l
解：基本体系如图
X1 A
q
B
画二个弯矩图
q
A B
MP
1
ql 2 / 8

1
A
计算系数
B
M1
2
2 ql l l 2 l 4 ql l 3 8 2 2 3 1P 11 EI 24 EI EI 3 EI
第六章 简单的超静定问题
(Sipmle Statically Indeterminate Problems)
廖东斌
制作
第六章 简单的超静定问题
一、超静定问题概述 二、拉压超静定问题 三、扭转超静定问题
四、简单超静定梁
五、力法求解超静定结构
一、超静定问题概述 静定问题：若未知力的个数等于独立的平衡 方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应结构称
物理方程
lt l t
FB l L t EA
FB EAt
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
代入力法方程
11 X 1 1 P 0
l 11 3 EI
1P
ql 24EI ql 2 X1 8
4
选择题练习
1、结构由于制造误差或温度变化，有（ A、静定结构中将引起应力和变形
）。
B、静定或静不定结构中都引起应力和变形 C、静定结构中引起变形，静不定结构中引起应力 D、静定结构中引起应力，静不定结构中引起变形
FN 1 FN 2
F
A F
F
y
0, ( FN1 FN 2 ) cos FN 3 F
2、考虑变形几何相容条件 由对称性知:
l1 l 2
1
l1 l3 cos
3、物理关系

A
3
2
l
FN 1l l1 E1 A1 cos
A*
FN 3l l 3 E3 A3
静定结构。
超静定问题：若未知力的个数多于独立的平 衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定
全部未知力，这类问题为超静定问题或静不定
问题。相应结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。
多余约束：在结构上加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必要的约束称多余约束。
3
FC
C
L
2
L
B
2
P
五、力法求解超静定结构（*****）
基本静定系是分析的过渡结构。
基本静定系：解除多余约束代之于未知 力后的静定结构。（★★★★★）
主要介绍一次超静定问题的力法方程，
方程中的系数项主要用图乘法求。
q
超静定问题
A
l
B
q
基本静定系
A
B X1
q
基本静定系
A
B X1
q
A B
1 P
B 1 P X1 0
对应的约束力称多余约束反力。
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变 形，在工程上应用非常广泛。
“二个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。”可
以说触及了静定和超静定问题。
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 静定结构。（★★★★★）
●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相
容条件、物理关系和静力学平衡条件。 解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 变形比较法的关键：变形协调条件
A B X1
X1
图乘计算B处挠度 1P
q
A B
MP
A
B 1
M1
1P
wM P MC EI
q
基本静定系
A
B X1
q
MP
A
B
画 M P 图时，相当于在基本静定系中保留外 力，令未知力X1=0 ；
q
基本静定系
A
B X1
M1
A
B
1
画 M 1 图时，相当在基本静定系中去除外力， 令未知力X1=1 ；
四、简单超静定梁
用“多余未知力”代替“多余”约束，
就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原
静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。 综合考虑变形的几何方程、力和变形关 系可求解多余未知力。
q
超静定问题
A
l
B
q
基本静定系1
A
B FB
MA
q
B
基本静定系2
A
例4.已知:q,l,求图示静不定梁的支反力。qA B源自F 2)。BF
A l l
F 4
5 C、 16 F
D、与弯曲刚度有关
6.两端固定的圆截面等直杆，在截面C受外力
偶矩m作用大小保持不变，则使C左截面扭矩
增加的方法有（ ）。
A、 增加a B、 减小刚度 C、 增加b D、 增加刚度
A
m
C B
a
b
7、下列结构中属于静不定问题的有图（
）。
(a)
(b)
(c)
化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。 工程中不容忽视的温度应力！！！ 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节。 路、桥、建筑物中的伸缩缝设置。
温度应力的计算： 温度由
t1 t 2 , t t 2 t1
A l
FA FB
B
平衡方程
FA FB 0
A
l
l t
变形相容条件
l t l F
图乘计算B处挠度
A
B 1
A
B 1
wM MC 11 EI
由叠加原理知B处挠度
A
B X1
X1 11 X1
B X1 1 P 0
一次超静定梁力法方程
11 X 1 1 P 0
wM MC 11 EI
令未知力X1=0 ；
思考：图示阶梯形杆上端固定，下端与支座
距离 = 1mm，材料的弹性模量E=210GPa，
上下两段杆的横截面面积分别为600mm2和
300mm2。试作杆的轴力图。
FA 85kN
A
60kN 2.4m 40kN 1.2m
FB 15kN
C
B
1.2m

●温度应力：超静定结构中，由于温度变
(d)
A、 1 个 C、 3 个
B、 2个 D、 4 个
本章作业
习题6-1
习题6-4 习题6-12 习题6-15
2 3
MA A
q
B
思考：画弯矩图时用哪种解法更快？
例5.图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆 的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD杆所 受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
mB
AB AC CB 0
ma m b mB mA l l
m A a mB b 0 即： GIp GIp
二、拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
FN l l EA 综合考虑变形的协调条件、胡克定律和静力
学平衡条件求解拉压超静定问题。
例1.已知:1、2杆抗拉刚度为E1A1, 3杆抗拉刚
度为E3A3,F，求各杆内力。
解: 1、分析A结点
一次超静定问题。
FN1 FN3 FN2
1

A
3
2
l
Fx 0,
l
解法一：将支座B 看成多余约束，变形 协调条件为：
q
A l B
wB 0
FB l 3 ql 4 0 3EI 8 EI
3ql FB 8
q
A B FB
解法二：将支座A对截 面转动的约束看成多余 约束，变形协调条件为：
A
q
B l
A 0
M Al ql 0 3EI 24EI ql MA 8
F A、 ，0 A F B、 0， A F F C、 ， 2A 2A F F D、 ， 2A 2A
A C F B
l
l
4.已知:q,l,则A处约束力偶矩为（ A、 0
ql B、 8
2
)。 q
A
逆时针 顺时针
B l
ql 2 C、 8
D、以上均错
5.已知:等截面梁F,l,则B处约束力大小为（ A、 B、