第九章第一节 二重积分的概念与性质
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第一节 二重积分的概念与性质
二、 二重积分的性质
性质5 如果在 D 上，f (x, y) g(x, y) ，则：
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
近似替代第 i 个曲顶柱体的体积，即
vi f i ,i i
（3）求和 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱 体体积的近似值，即
n
n
V Vi f (i ,i ) i
i 1
i 1
（4）取极限 当分割越来越细，小区域越来越小，令 n 个小
性质1 被积函数中的常数因子可以提到二（重积分号的面 ， 即
kf (x, y)d k f (x, y)d （ k为常数）
D
D
性质2 函数代数和的二重积分等于各个函数的二重积分的 代数和，即
f x, y g(x, y)d f (x, y)d g(x, y)d
D
D
D
第九章 二元函数的积分
闭区域的直径（ 有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离
的最大值）中的最大值趋于零时，v 的极限存在，则将这个极限
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
值定义为曲顶柱体的体积 v
n
v =
lim
0 i1
f (i ,i ) i
定义 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D上的二元函数，将区域
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
函数在区域 D 上的二重积分，记为 f (x, y)d ,即
D
n
f (x, y)d lim f (i ,i ) i
D
0 i1
其中称 f (x, y)为被积函数，称 f (x, y)d 为被积表达式, d 称为面 积元素，x 与 y 称为积分变量，D 称为积分区域．
i 表示第 i 个小区域的面积．这样就将曲顶柱体分成了 n 个小 曲顶柱体 .设以 i 为底的第个 i 小曲顶柱体的体积为Vi , 则有
n
V Vi i 1
(2) 求近似值 在每个小区域 i ( i 1,2,3,, n ) 内,任取一点
i ,i ，将以 f i ,i 为高， i 为底的平顶柱体的体积 f i ,i i
第九章 二元函数的积分
学习目标
１.理解二重积分的概念与性质. ２.掌握二重积分的计算方法. ３.会用二重积分解决简单的应用问题.
第九章 二元函数的积分
我们知道在一元函数积分学中，定积分是定义在闭区间 上的一元函数的某种特定形式的和的极限，把这种和的极限 的概念推广到定义在平面区域的二元函数的情形，便得到二 重积分的概念.
y
直线网来划分 D（图7－2），可以证面积元
D
素为 d dx dy , 二重积分可记为
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
o
x
图7-2
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
二、 二重积分的性质
二重积分与一元函数定积分具有相应的性质（证明从略）, 以下论及的函数均假定在区域 D上可积．
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
引例1 求曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指以 xoy 坐标面上的有界闭 区域 D 为底,以母线平行于 z 轴的柱面为侧 面，以曲面 z f (x, y（) 这里 f (x, y) 0且在 D 上连续）为顶的柱体. (图7-1)
解 平顶柱体的高是不变的,它的体积
v = 高 底面积 而曲顶柱体的顶是曲面,它的高f(x,y)在 D上 x 是变量,因此它的体积不能直接用上式计算.
z
z f (x, y)
O
y
i
i ,i
图7—1
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
我们采用类似 于求曲梯形面积的思路. (1) 分割 将区域 D 任意分成 n个区域 1, 2,, n , 且以
D 任意分成 n 个小区域 i ( i 1,2,3,, n ) ,并以 i 表示第 i 个小
域的面积．在
i 上任取一点 i ,i ．作积分和
n
f (i ,i ) i
．当
各个小区域中的直径的最大值趋于零时，此积分i和1 式的极限存
在，则称 f (x, y) 在 D 上可以积分（简称可积），并称此极限为
第一节 二重积分的概念与性质
二、 二重积分的性质
性质3 如果积分区域 D 可分成两个区域 D1, D2 ( D D1 D2) 则
f x, yd f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
D2
性质4 如果在 D 上，的值恒为1，且 D 的面积为 ，则
d
D
第九章 二元函数的积分
体积；当 z f (x, y) ≤0 时曲顶体在xoy平面的下方， f (x, y)就d
D
是曲顶柱体体积的负值.
第九章 二元函数的积分
第一节 二在有界闭区域 D上连续，则无论 D 如何划分，上述和
式的极限一定存在，也就是说，在有界闭区域上的连续函数一
一定可积．在直角坐标系用平行于坐标轴
曲顶柱体的体积 v 就是曲面 z f (x, y) 0 在区域 D上的二重 积分．
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二重积分几何意义：由于在二重积分 f (x, y)d 中，总可
D
以把被积函数 z f (x, y)看成空间上的一块曲面，所以当
z f (x, y) 0 时， f (x, y)d 就是以为顶， D 为底的曲顶柱体的 D
二、 二重积分的性质
性质5 如果在 D 上，f (x, y) g(x, y) ，则：
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
近似替代第 i 个曲顶柱体的体积，即
vi f i ,i i
（3）求和 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱 体体积的近似值，即
n
n
V Vi f (i ,i ) i
i 1
i 1
（4）取极限 当分割越来越细，小区域越来越小，令 n 个小
性质1 被积函数中的常数因子可以提到二（重积分号的面 ， 即
kf (x, y)d k f (x, y)d （ k为常数）
D
D
性质2 函数代数和的二重积分等于各个函数的二重积分的 代数和，即
f x, y g(x, y)d f (x, y)d g(x, y)d
D
D
D
第九章 二元函数的积分
闭区域的直径（ 有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离
的最大值）中的最大值趋于零时，v 的极限存在，则将这个极限
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
值定义为曲顶柱体的体积 v
n
v =
lim
0 i1
f (i ,i ) i
定义 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D上的二元函数，将区域
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
函数在区域 D 上的二重积分，记为 f (x, y)d ,即
D
n
f (x, y)d lim f (i ,i ) i
D
0 i1
其中称 f (x, y)为被积函数，称 f (x, y)d 为被积表达式, d 称为面 积元素，x 与 y 称为积分变量，D 称为积分区域．
i 表示第 i 个小区域的面积．这样就将曲顶柱体分成了 n 个小 曲顶柱体 .设以 i 为底的第个 i 小曲顶柱体的体积为Vi , 则有
n
V Vi i 1
(2) 求近似值 在每个小区域 i ( i 1,2,3,, n ) 内,任取一点
i ,i ，将以 f i ,i 为高， i 为底的平顶柱体的体积 f i ,i i
第九章 二元函数的积分
学习目标
１.理解二重积分的概念与性质. ２.掌握二重积分的计算方法. ３.会用二重积分解决简单的应用问题.
第九章 二元函数的积分
我们知道在一元函数积分学中，定积分是定义在闭区间 上的一元函数的某种特定形式的和的极限，把这种和的极限 的概念推广到定义在平面区域的二元函数的情形，便得到二 重积分的概念.
y
直线网来划分 D（图7－2），可以证面积元
D
素为 d dx dy , 二重积分可记为
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
o
x
图7-2
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
二、 二重积分的性质
二重积分与一元函数定积分具有相应的性质（证明从略）, 以下论及的函数均假定在区域 D上可积．
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
引例1 求曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指以 xoy 坐标面上的有界闭 区域 D 为底,以母线平行于 z 轴的柱面为侧 面，以曲面 z f (x, y（) 这里 f (x, y) 0且在 D 上连续）为顶的柱体. (图7-1)
解 平顶柱体的高是不变的,它的体积
v = 高 底面积 而曲顶柱体的顶是曲面,它的高f(x,y)在 D上 x 是变量,因此它的体积不能直接用上式计算.
z
z f (x, y)
O
y
i
i ,i
图7—1
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
我们采用类似 于求曲梯形面积的思路. (1) 分割 将区域 D 任意分成 n个区域 1, 2,, n , 且以
D 任意分成 n 个小区域 i ( i 1,2,3,, n ) ,并以 i 表示第 i 个小
域的面积．在
i 上任取一点 i ,i ．作积分和
n
f (i ,i ) i
．当
各个小区域中的直径的最大值趋于零时，此积分i和1 式的极限存
在，则称 f (x, y) 在 D 上可以积分（简称可积），并称此极限为
第一节 二重积分的概念与性质
二、 二重积分的性质
性质3 如果积分区域 D 可分成两个区域 D1, D2 ( D D1 D2) 则
f x, yd f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
D2
性质4 如果在 D 上，的值恒为1，且 D 的面积为 ，则
d
D
第九章 二元函数的积分
体积；当 z f (x, y) ≤0 时曲顶体在xoy平面的下方， f (x, y)就d
D
是曲顶柱体体积的负值.
第九章 二元函数的积分
第一节 二在有界闭区域 D上连续，则无论 D 如何划分，上述和
式的极限一定存在，也就是说，在有界闭区域上的连续函数一
一定可积．在直角坐标系用平行于坐标轴
曲顶柱体的体积 v 就是曲面 z f (x, y) 0 在区域 D上的二重 积分．
第九章 二元函数的积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二重积分几何意义：由于在二重积分 f (x, y)d 中，总可
D
以把被积函数 z f (x, y)看成空间上的一块曲面，所以当
z f (x, y) 0 时， f (x, y)d 就是以为顶， D 为底的曲顶柱体的 D