辽宁省实验中学等五校联考2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校

2018届高三上学期期末考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i 是虚数单位，则复数()

2

11i z i

+=

-的虚部是（ ）

A ．1-

B ．1

C ．i -

D ．i

2.设集合{}{}

201,=1M x x N x x =≤≤≥，则()R M C N ⋃=（ ） A ．[]0,1 B ．()1,1- C ．(]1,1- D ．()0,1

3.若4

cos 5

α=-，且α为第二象限角，tan α=（ ）

A ．43-

B ．34-

C ．43

D ．34

4.已知向量a r 与b r 的夹角为120︒，()1,0,2a b ==r r ，则2a b +=r r

（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．4

5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）

A ．1

B 3

C ．22

D ．12

6.已知数列{}n a 的前n 项和2n n n S a b =+，若0a <，则（ ）

A ．1n n na na S ≤≤

B ．1n n S na na ≤≤

C ．1n n na S na ≤≤

D ．1n n na S na ≤≤ 7.若,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪

--≤⎨⎪-+≥⎩

，则z x y =-的最大值是（ ）

A ．2-

B ．0

C ．2

D ．4

8.把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ） A.12种

B. 24种

C.36种

D.48种

9.已知函数()2sin 26f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的

横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

的值域为（ ）

A ．[]1,2-

B ．[]0,1

C ．[]0,2

D ．[]1,0-

10.已知椭圆22

132

x y +=的左右焦点分别为12F F 、，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点P ，设P 点

的坐标()00,x y ，若12l l ⊥，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．2200132x y +>

B ．2200132x y +<

C ．2200321x y +>

D ．00132

x y

+>

11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ） A.甲、乙、丙

B.甲、丙、乙

C.乙、甲、丙

D.丙、甲、乙

12.已知函数()()()21

ln 12

f x x x ax a x a R =-+-∈在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

B ．(),1-∞

C ．1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

D ．()1,+∞

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知实数x 满足135108x x x -=，则x = ． 14.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ．

15.已知双曲线的两个焦点为())

1210,010,0F F -、，渐近线为1

2

y x =±，则双曲线的标准方程

为 ．

16.等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若

23n n S S =，则32n n

S

S = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.ABC ∆ 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，sin 2cos 6A A π⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭.

（1）求A 的值；

（2）若3a =BC 边上的高为

2

3

，求b c +的值. 18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下： 甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133 乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146

（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；

（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数X 的分布列和数学期望.

(注：方差()()()

2222121

n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢

⎥⎣⎦L ，其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）

19.如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，60,2ABC PA AB ∠=︒==，点E F 、分别为BC PD 、的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q .

（1）已知平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：//AB l . （2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.

20.已知直线()20y x m m =+≠与抛物线24y x =交于A B 、两点， （1）若OA OB ⊥，求m 的值；

（2）以AB 为边作矩形ABCD ，若矩形ABCD 的外接圆圆心为1,22⎛⎫

⎪⎝⎭

，求矩形ABCD 的面积.

21.已知函数()()()2212ln 21f x x a x ax x a a R =-++++∈. （1）2a =-时，求()f x 在()0,2上的单调区间； （2）0x ∀>且1x ≠，

2ln 211

ax x

a x x >+--均恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 3sin x t y t α

α

=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，0απ≤<且2πα≠），

以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23ρ=已知直线l 与曲线C 交于A B 、两点，且23AB =. （1）求a 的大小；