八年级二次根式复习讲义非常全面
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二次根式
知识点一:二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义:形如
的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,
才有意义.
【典型例题】
【例1】下列各式1
- 其中是二次根式的是_________(填序号).
举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A
D
2
______个
【例2】
有意义,则x 的取值范围是 . 举一反三:
1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2
x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=
解题思路:式
子a ≥0),50
,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =,y=2009,则x+y=2014
举一反三: 1、
2
()x y =+,则x -y 的值为( )
A .-1
B .1
C .2
D .3
2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值
3、当a
1取值最小,并求出这个最小值。
已知a
b 是
1
2
a b ++的值。
若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求y x 1
2+
的值.
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性:a a ()≥0是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.
2. ()()a a a 20=≥. 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥()()20
3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩
||()
() 注意:(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.
4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()
()
与()()a a a 20=≥的区别与联系
(1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的.
【典型例题】
【例4】
若()2
240a c --=,则=
+-c b a .
举一反三:
1、若0)1(32
=++-n m ,则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数,且()02312
=-+-y x ,则y x -的值为( )
A .3
B .– 3
C .1
D .– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2
-4|+652+-y y =0,则第三边长为______.
4、若
1
a b -+
互为相反数,则
()2005
_____________
a b -=。
(公式)0()(2
≥=a a a 的运用)
【例5】
化简:2
1a -+的结果为( )
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三:
1在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ;4244m m -+=
4
2
9__________,2__________x x -=-+=
2
1-
3
,则斜边长为
(公式⎩
⎨⎧<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用)
【例6】已知2x <,
的结果是
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三:
1、
( )
A .-3
B .3或-3
C .3
D .9
2、已知a<0
2a │可化简为( )
A .-a
B .a
C .-3a
D .3a
3、若23a
)
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a -3<0,则化简
a
a a -++-4962
的结果是( )
(A) -1 (B) 1 (C) 2a -7 (D) 7-
2a 5、
2
得( )
(A ) 2 (B )44x -+ (C )-2 (D )44x -
6、当a <l 且a ≠0时,化简a a a a -+-221
2= . 7、已知0a
<
【例7】如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a
-b │的结果等于( )
A .-2b
B .2b
C .-2a
D .2a
举一反三:实数a 在数轴上的位置如图所示:化
简:
1______a -=.
【例8】
化简1x -2x -5,则x 的取值范围是( )
(A )x 为任意实数 (B )1≤x ≤4 (C ) x ≥1 (D )x ≤1
举一反三:
若代数式2,则a 的取值范围是( )
A.4a ≥
B.2a ≤
C.24a ≤≤
D.2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+,那么a 的取值范围是( )
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1
举一反三:
1、如果3a =成立,那么实数a 的取值范围是( )
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ,则x 的取值范围是( ) (A )3>x (B )3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 (A )2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1 化简,正确的结果是( ) A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内:当b >0时, x x b = ;a a --11)1(= 。 知识点三:最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式. 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11 】在根式 ,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D . 1) 4) 0 o b a