高考第一轮复习数列知识精讲知识点总结

高考第一轮复习数列知识精讲

知识精讲

一、等差数列与前n 项和 1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *

)，d 为常数． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式

(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 若等差数列{a n }的第m 项为a m ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差数列的前n 项和公式

S n ＝

n

a1＋an 2＝na 1＋n

n －1

2

d .(其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项) 3．等差数列及前n 项和的性质

(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b

2.

(2)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *

)．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *

)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .

(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd

2；

若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．

4．等差数列与函数的关系

(1)等差数列与一次函数的区别与联系

等差数列 一次函数

解析式 a n ＝kn ＋b (n ∈N *)

f (x )＝kx ＋b (k ≠0)

不同点 定义域为N *

，图象是一系列孤立的

点(在直线上)，k 为公差

定义域为R ，图象是一条直线，k 为

斜率

相同点

数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数．①k ≠0时，数

列a n ＝kn ＋b (n ∈N *

)图象所表示的点均匀分布在函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的图象上；②k ＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；③k ＜0时，数列为

递减数列，函数为减函数

(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫a1－d 2n ，当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，它的图象是

抛物线y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫a1－d 2x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．

二、等比数列与前n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式：an

an －1＝q (n ≥2)，q 为常数．

(2)等比中项

如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2

＝ab .

2．等比数列的通项公式及前n 项和公式

(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q

n －1

；

若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m

.

(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a1

1－qn 1－q ＝a1－anq

1－q

.

3．等比数列及前n 项和的性质

(1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *

)，则a k ·a l ＝a m ·a n .

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m

. (3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n

.

(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

an bn 仍是等比数列．

三、数列求和 1．公式法

(1)等差数列的前n 项和公式：

S n ＝

n

a1＋an 2＝na 1＋n

n －1

2

d . (2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na1，q ＝1，a1－anq 1－q ＝a11－qn

1－q ，q ≠1.

2．数列求和的几种常用方法 (1)分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (4)倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (5)并项求和法

在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如a n ＝(－1)n

f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002

－992

＋982

－972

＋…＋22

－12

＝(1002

－992

)＋(982

－972

)＋…＋(22

－12

)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．常见的拆项公式 (1)

1n n ＋1＝1n －1

n ＋1

； (2)1

2n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2n －1－12n ＋1；

(3)

1n ＋n ＋1

＝n ＋1－n.

四、数列的综合应用

1．等差数列和等比数列的综合

等差数列中最基本的量是其首项a 1和公差d ，等比数列中最基本的量是其首项a 1和公比q ，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的． 2．数列和函数、不等式的综合

(1)等差数列的通项公式和前n 项和公式是在公差d ≠0的情况下关于n 的一次或二次函数． (2)等比数列的通项公式和前n 项和公式在公比q ≠1的情况下是公比q 的指数函数模型．

(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列