排队论和库存论讲解
《运筹学排队论》课件
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
第13章 排队论
四,排队系统的主要数量指标 我们解一个排队问题的目的是:研究排队系统 运行的效率,估计其服务质量,确定系统参数 的最优值,以确定系统的结构是否合理并研究 改进措施等.所以必须确定用以判断排队系统 运行优劣的基本数量指标,这些指标通常有: 1.队长:指在排队系统中的顾客(包括正在接 受服务和在排队等候服务的所有顾客)的平均 数(即其期望值).用Ls表示
①队长有限:即系统的等待空间是有限的,例 队长有限 如最多只能容纳k个顾客在系统中,当新顾客 到达时,若系统中的顾客数小于k,则可进入 系统排队或接受服务;否则,便 离开系统, 并不再回来,如水库的库容是有限的,旅馆 的床位是有限的. ②等待时间有限:即顾客在系统中的等待时间 等待时间有限 不超过某一给定的长度T,当等待时间超过T 时,顾客将自动离去,并不再回来.如易损 坏的电子元器件的库存问题,超过一定存储 时间的元器件被自动认为失效.
(4)泊松(Poisson)流 泊松流又叫做最简单的. a.某排队系统通过调查又了解到顾客到达系统的 时间是随机的. b.有一个顾客到达的概率与某一时刻t无关,但 与时间的间隔长度有关,即在较长的时间间 隔里有一个顾客到达的概率越大. P1(t, t+△t)= λ △t+o(△t) 当时间间隔△t充分小时,有一个顾客到达的 概率与△t的长度成正比例.
顾客到达 服务台 服务完成后离去
服务台1 顾客到达 服务台2 服务台n
服务完成后离去
00….0 顾客到达 00….0 00….0
服务台1 服务台2 服务台n
服务完成后离去
顾客到达
服务台1
服务完后离去 服务台n
尽管各种排队系统的具体形式不同,但可用下 图加以一般性的描述:
服 务 机 构
顾客
运筹学课件第十章排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学-排队论
定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
排队论方法讲解
M－负指数分布 D－确定型分布 Ek k阶爱尔朗分布 － 阶爱尔朗分布
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G －一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000/∞ / F
排 队 论 方 法 讲 解
1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls： 队长 －系统中顾客数的期望 ： ⑵ Lq： ： 排队长 －系统中等待服务的顾客数 Ln： ：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln ⑶ Ws：逗留时间 ：
排 队 论 方 法 讲 解
(3)普通性： 普通性： 普通性
内有2个或 对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有 个或 ， 内有 多个顾客到达的概率极小,可以忽略不 多个顾客到达的概率极小 可以忽略不 计,即 ∞ 即
∑ P (t , t + ∆t ) = o(∆t )
n=2 n
下面研究系统状态为n的概率分布：
= 1 − λ∆t − o(∆t )
P0 ( t , t + ∆ t ) = 1 − P1 ( t , t + ∆ t ) − ∑ Pn ( t , t + ∆ t )
n=2
∞
分为[0,t)和[t,t+△t), 将[0,t+△t)分为 分为 和 则在时间段[0,t+△t)内到达 个顾客的 内到达n个顾客的 则在时间段 内到达 概率为
n
由上结果可知,在长度为 的时间段内到达 由上结果可知 在长度为t的时间段内到达 在长度为 n个顾客的概率 服从泊松分布 个顾客的概率,服从泊松分布 个顾客的概率 服从泊松分布. 其中期望、 其中期望、方差为 E[ N (t )] = D[ N (t )] = λt
排 队 论 方 法 讲 解
1.5.2 负指数分布
简述排队论的基本原理、主要参数
简述排队论的基本原理、主要参数
解析：
排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支，基本原理是研究系统中有等待现象的排列与服务的规律性，主要参数有：输入过程、服务时间、服务台个数、系统容量、顾客源数目、服务规则等。
排队论广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队论研究的内容有3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
运筹学课件：排队论总结
Operation Research
模型二：不允许缺货，生产需一定时间（1）
第八讲
该模型最早用于确定生产批量，因此也称为生产批量模型 （Production lot size）
模型假设条件
缺货费用无穷大，C2→∞
存储量随时间的变化情况
-R
Operation Research
第八讲
模型一：不允许缺货，备货时间很短（2）
问题分析
决策的要素： 确定合适的订货时间间隔；确定合适的订货量；
矛盾所在
1. 订货间隔时间短，可以减少每次的订货量，降低存储费用；但在一 个固定时间段内，必然会增加订购次数，使订购费用增加；
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（2）
存储量随时间的变化情况
Operation Research
解释
第八讲
Operation Research
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（3）
公式推导
Operation Research 求最小值
第八讲
Operation Research
单位时间内单位缺货的损失，C2为常数
当存货降至零时，允许拖一段时间，然后订货就逐步均匀到货， 到货（生产）速率为P为常数
需求是连续的、均匀的，设需求的速率R（单位时间的需求量）为 常数，并且P>R，则t时间的需求量为Rt
每次订货量不变，订购费不变，C3为常数 单位存储费不变，C1为常数
Operation Research
Operation Research
第八讲
军事运筹学——精选推荐
军事运筹学军事运筹学是应用数学工具和现代计算技术，对军事问题进行定量分析，为决策提供数量依据的一种科学方法。
它是一门综合性应用学科，是现代军事科学的组成部分。
解决现代条件下国防建设和军事活动中一系列复杂的指挥控制问题，不但要有高度的指挥艺术，还必须有一整套进行高速计算分析的现代科学方法，军事运筹学就是这种科学方法。
军事运筹学发展简史运筹一词出自中国古代史书《史记·高祖本纪》“夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外。
”虽然军事运筹学作为一门学科，是在第二次世界大战后逐渐形成的，不过军事运筹思想在古代就已经产生了。
中国春秋末期军事家孙武的《孙子兵法·形篇》中，就有许多关于军事运筹的论述，他把度、量、数、称等数学概念引入军事领域，通过双方对比计算，进行战争胜负的预测分析。
他在《孙子兵法·计篇》中还说“夫未战而庙算胜者，得算多也；未战而庙算不胜者，得算少也。
多算胜，少算不胜，而况于无算乎！”这里的“算”就是计算筹划之意。
此外，《孙膑兵法》、《尉缭子》、《百战奇法》等历代军事名著及有关史籍，都有不少关于运筹思想的记载。
《史记·孙子吴起列传》载：战国齐将田忌与齐威王赛马，二人各拥有上、中、下三个等级的马，但齐王各等级的马均略优于田忌同等级的马，如依次按同等级的马对赛，田忌必连负三局。
田忌根据孙膑的运筹，以自己的下、上、中马分别与齐王的上、中、下马对赛，结果是二胜一负。
这反映了在总的劣势条件下，以己之长击敌之短，以最小的代价换取最大胜利的古典运筹思想，也是对策论的最早渊源。
成功地应用运筹思想而取胜的战例很多，如齐鲁长勺之战中曹刿对反攻时机的运筹，齐魏马陵之战中孙膑对出兵时间、决战时机、决战地点的运筹等。
此外，在中国历史上还有不少善于运用运筹思想的人物，如张良、曹操、诸葛亮、李靖、刘基等。
第一次世界大战前期，英国工程师兰彻斯特发表了有关用数学研究战争的大量论述，建立了描述作战双方兵力变化过程的数学方程，被称为兰彻斯特方程。
排队论在供应链管理中的应用探究
排队论在供应链管理中的应用探究供应链管理是一个复杂的领域，它涉及到从原材料采购到产品销售的整个流程，需要考虑生产计划、库存管理、物流配送等多个方面的问题。
在这个过程中，排队论是一种非常有用的工具，它可以帮助企业优化生产流程，提高效率，减少浪费。
排队论是一种数学方法，它通过模拟排队现象的变化来预测排队等待时间、系统容量、利用率等指标。
在供应链管理中，排队论可以用来优化生产线的布局、产品的库存管理、订单的处理等方面。
下面就从这几个方面来探究排队论在供应链管理中的应用。
1、生产线布局的优化在生产流程中，如果每个工作站的加工时间不同，那么就会出现排队等待的情况。
如果每个工作站的产能都相等，那么就会出现浪费和瓶颈。
排队论可以帮助企业合理安排生产线的布局，减少排队等待的时间，提高生产效率。
排队论的核心是看待整个生产线为一个排队系统，包括到达队列、服务台和离开队列等多个部分。
通过模拟不同的生产线布局，可以计算出每个工作站的最优加工时间和订单的最大处理能力。
从而优化生产线的布局，提高生产效率。
2、库存管理的优化在供应链管理中，库存管理是非常重要的一环。
如果企业的库存过多，就会造成浪费和资金占用，如果库存过少，就容易出现缺货和延迟交货的情况。
排队论可以帮助企业优化库存管理，实现精准的库存控制。
首先，要理解库存的本质。
库存是为了满足未来的需求而提前储备的物料或者货品。
在排队论中，库存被认为是等待加工的空间，它会占用服务台的容量。
通过模拟不同的库存管理策略，可以计算出最优的库存水平和订单处理能力，从而实现库存控制和订单的优化。
3、订单的处理在供应链管理中，订单处理是一个非常重要的环节。
如果订单处理能力不足，就会出现延迟交货、顾客投诉等问题。
排队论可以帮助企业优化订单处理流程，实现高效的订单处理和交货。
对于订单处理，排队论的核心是分析订单到达的频率和订单的处理时间。
通过模拟不同的订单处理策略，可以计算出最优的处理能力和订单的最大处理量。
上海交通大学管理科学-运筹学课件第六章排队论
第6章 排队论在日常生活和工作中，人们常常会为了得到某种服务而排队等候。
比如顾客到商店购买东西，病人到医院看病，汽车进加油站加油，轮船进港停靠码头等，都会因为拥挤而发生排队等候的现象。
这时，商店的售货员和顾客，医院的医生和病人，加油站的加油泵和待加油的汽车，码头的泊位和停泊的轮船等，形成了各自的排队服务系统，简称排队系统。
在一个排队系统中，通常包括一个或多个“服务设施”，服务设施可以指人，如售货员，医院大夫等。
也可以是物，如加油泵、码头泊位等。
同时还包括许多进入排队系统要求得到服务的“顾客”。
这里的顾客是指请求服务的人或物。
如到医院看病的病人，或等待加油的汽车等。
作为顾客总希望一到系统马上就能得到服务，但客观情况并非如此。
由于顾客的到达和服务机构对每个顾客的服务时间具有随机性，因此出现排队现象几乎是不可避免的。
当然，为了方便顾客减少排队时间，排队系统可以多开设服务设施。
但那将增加系统的投资和运营成本，还可能发生空闲浪费。
排队论（Queueing Theory ）是为解决上述问题而发展起来的一门学科。
排队论起源于上世纪初，当时的美国贝尔（Bell ）电话公司发明了自动电话后，满足了日益增长的电话通讯的需要。
但另一方面，也带来了新的问题，即如何合理配置电话线路的数量，以尽可能减少用户的呼叫次数。
如今，通讯系统仍然是排队论应用的主要领域。
同时在运输、港口泊位设计、机器维修、库存控制等领域也获得了广泛的应用。
6. 1 排队系统的基本概念6. 1. 1排队系统的一般表示一个排队系统可以抽象描述为：为了获得服务的顾客到达服务设施前排队，等候接受服务。
服务完毕后就自行离开。
其中把要求得到服务的对象称为顾客，而把服务者统称为服务设施或服务台。
在排队论中，把顾客的到达和离开称为排队系统的输入和输出。
而潜在的顾客总体又称为顾客源或输入源。
因此任何一个排队系统是一种输入－输出系统，其基本结构如图6-1所示。
排队系统图6-16. 1. 2排队系统的特征由排队系统的基本结构可知，任何一个排队系统的特征可以从以下三个方面加以描述。
排队论在物流规划中的应用
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务效率和服务机构利用程度的重要标志； P # Q 在系统中的平均顾客数（队长期望值） 2 和在队列中等待的顾客数 23，所 谓的顾客就是指需要服务的人或物； P " Q 顾客平均停留时间 4 和平均等待时间 43@ 其中， 4 5
中， ! 表示平均到达率，即单位时间内平均到达的顾客数， " 表示平均服务数，即单位时间内能被服务完的顾客数。
第7章 排队论
(3)忙期和闲期 • 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服 务再次成为空闲止的这段时间，服务机构连续忙 的时间。这是个随机变量。 • 与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲 的时间。 显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现的。
2. 记号 N(t) ： t 时刻系统中的顾客数（又称为系统的状态）， 即队长； Nq(t)： t 时刻系统中排队的顾客数，即排队长； w(t) ： t 时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间； wq(t)： t 时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间 这些数量指标一般都和系统运行时间有关，其瞬时分 布的求解一般很困难。
(2)顾客到达的形式。这是描述顾客是怎样来到系统 的，是单个到达，还是成批到达。 如货品成批进入仓库。
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到达的时间间 隔分布。这是首先需要确定的指标。 令T0=0，Tn表示第n个顾客到达的时间，则有 T0≤T1≤…≤ Tn ≤…，记Xn ＝ Tn － Tn-1，n=1,2,…，则 ≤… X n=1,2,… Xn是第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔。一 般地，假设{Xn}是独立同分布的。 关于{Xn}的分布（顾客流的概率分布），在排队论 中经常用到的有定长分布、负指数分布、爱尔朗分 布等等。
3.服务台（也称为服务机构） 服务台可以从以下三个方面来描述： (1)服务台数量及构成形式 从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成形 式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并联式、 单队多服务台串联式\多队多服务台并联式等等；
顾客到达
进入队列
服务台 顾客离去 接受服务 服务台
…
顾客到达
…
服务台 服务台
指标之间的关系： (1)Little公式： L＝ λW， Lq＝ λWq 其中，λ为顾客到达的平均到达率，即单位时间内平 均到达的顾客数； W为平均逗留时间，即系统处于平稳状态时顾客逗 留时间的期望值； (2) W＝ Wq +1/µ 其中，1/µ为平均服务时间
排队论(讲稿)PPT课件
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
运筹学-第十章-排队论
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
第十章 物流运筹学——排队论
2．排队问题解决 （1）排队问题分析。将每次到达的药品看作一 个客户，每次到达的药品可能有一个品规也可能 有多个品规，每个品规验收员都要进行验收。由 于国药集团医药控股沈阳有限公司物流中心的供 应商分布在全国各地，没有关联性药品到达相互 独立。验收的服务时间由于到达货物的品规数， 到货包装破损情况，药品剂型等的不同每个客户 的验收时间也不同，客户的服务时间可能服从负 指数分布。 （2）客户到达服务观察。从4月12日到7月12 日62个工作日中利用随机抽样原则随机抽取了10 天进行观察，记录每天9个时段内客户到达的数量。
c
ρ
P0
Pc
D
4 0.75 0.0377 0.1272 0.5090
5 0.6 0.0466 0.0945 0.2363
6 0.5 0.0489 0.0495 0.0990
7 0.43 0.0495 0.0215 0.0377
可见，应设置7个站台。
M / M / c / ∞ 排队系统模型（
λ
0 1
案例分析
以国药集团医药控股沈阳有限公司在验收服务 设施配置中的应用，给出排队模型，说明排队理论 在实际当中的应用情况。 • 国药集团医药控股沈阳有限公司物流中心每天 要验收大量的货物，货物到达后需要签收、验收、 入库。现验收组有两人，验收员和理货员各一人， 从2004年4月开始由于到货量增加，验收出现不及 时，经常被内部客户投诉。物流中心为提高客户服 务水平，需要增加验收服务能力，为此需要对验收 排队服务进行以下数量分析作为决策依据。 1．决策目标 （1）降低客户等待时间； （2）降低作业成本。 •
实训设计
• 【实训目标】 实训目标 掌握 M / M / c （包括 c =1）排队模型的各项系 统指标的求解方法。 • 【实训内容与要求 实训内容与要求】 在企业内或流通环节中调查数据，并以此建 立数学模型，利用排队模型计算得出的各项系统 指标来具体分析系统的结构，以获得更好的效益。 • 【成果与检验 成果与检验】 能够建立相应的排队模型，利用以给出的系 统指标公式，给出系统的量化结果。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
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第2章存储论与存储控制（ITS）2.1 模块简介2.2 确定需求存储模型（EOQ）2.2.1 基本EOQ模型求解2.2.2 允许缺货及时补充EOQ模型求解2.2.3 在制品EOQ模型2.3 有价格折扣的EOQ模型第3章排队论（QUEUING ANALYSIS）3.1 简单排队系统M/M第1章WinQSB简介1.1 实验平台、环境和主要功能QSB是Quantitative Systems for Business的缩写，WinQSB是QSB的Windows版本，是一种教学软件，里面有大量的模型，对于非大型的问题一般都能计算，较小的问题还能演示中间的计算过程。
可以在Windows9X/ME/NT/2000/XP及以上平台下运行。
WinQSB V1.0共有19个子系统，分别用于解决运筹学不同方面的问题，详见表1-1。
表1-1 WinQSB主要模块与应用范围1.2 软件安装•WinQSB的安装比较简单。
双击Setup.exe，弹出窗口如图1-1所示：图1-1•输入要安装到哪个目录，点Continue按钮，弹出窗口如图1-2所示：图1-2•输入用户名和公司或组织名称，点Continue按钮进行文件的复制，完成后弹出窗口如图1-3：图1-3显示安装完成，点“确定”退出。
WinQSB软件安装完毕后，会在开始程序WinQSB中生成１９个菜单项，分别对应运筹学的１９个问题。
如图1-4所示：抽样分析 综合计划编制 决策分析 动态规划 设备场地布局 预测和线性回归 目标规划存储论与存储控制系统 作业调度、编制工作进度表 线性和整数规划 马尔柯夫过程 物料需求计划 网络模型 非线性规划计划评审技术与关键路线法 二次规划 质量控制图 排队论图 1-4 针对不同的问题，选择不同的子菜单项，运行相应的程序，然后使用File 菜单下的New Problem 菜单来输入所需数据。
1.3 运行WinQSB 基本上有三种窗口：启动窗口、数据输入窗口、结果输出窗口。
现以Linear and Integer Programming 为例加以说明： １.启动窗口。
在开始菜单中选择Linear and Integer Programming ，运行后出现启动窗口如下图 1-5 所示：标题栏今 菜单栏今 工具栏今信息栏今（１）标题栏：显示了程序的名称。
图 1-5 启动窗口（２）菜单栏：共有两个菜单：File 和Help 。
File 菜单只有三个子菜单：New Problem 、Load Problem 和Exit 。
New Problem ：创建新问题Load Problem ：装载问题 Exit ：退出Help 菜单为帮助菜单（略）（３）工具栏：提供了执行菜单栏各功能的快捷按钮。
（４）信息栏：把鼠标移动到工具栏按钮上时，信息栏会给出相应的说明信息。
２.数据输入窗口：在File 菜单中选择New Problem 菜单（或在工具栏上按新建按钮），出现对话框 如图 1-6所示：图 1-6 参数设置对话框注意：对应于不同的子程序，弹出对话框的内容是不同的。
点击OK 按钮，进入数据输入窗口。
如图 1-7所示：图 1-7 数据输入窗口（１）菜单栏：共有9个菜单：File 、Edit 、Format 、Solve and Analysis 、Results （此处为灰色不 可用）、Utilities 、Window 、WinQSB 和Help 。
File 菜单：共有９个子菜单，如图 1-8。
新建问题今 装载问题今 关闭问题今 保存问题今 问题另存今 打印问题今打印字体今 打印设置今Edit 菜单，如图 1-9图 1-8 文件菜单剪切今 复制今 粘贴今 清除今恢复今问题名称今 变量名称今 约束名称今 目标准则今插入变量今 删除变量今图1-9 编辑菜单 需要注意的是除了剪切复制等的第一部分和Undo 的第二部分外，其它部分的子菜单会由于所选 程序的不同而不同。
具体见后面实验中各问题的详细解法。
Format 菜单，如图 1-10数字格式今字体今 对齐方式今调整行高今 调整列宽今输入格式转换开关今 输入格式转换开关今图 1-10 格式菜单Number ：选择数字的显示格式。
选择此菜单，弹出窗口如图 1-11默认今 普通今 标准（带千分位） 今 货币（人民币）今 固定（2位小数）今 科学度数今图 1-11 数字格式选择框 Font ：选择显示字体（为Windows 标准的字体对话框） Alignment ：电子表格文字的对齐方式。
选择此菜单，弹出窗口如图1-12对齐方式 ◎左对齐○右对齐 ○居 中 应用范围 ◎所有列 ○第1行 ○第1列 ○所选列图 1-12 对齐方式选择框Row height ：调节电子表格行高（如图 1-13）。
○如左流动条◎默认行高 ○最适合行高应用范围 ◎所有行 ○所选行 ○第1行图 1-13 调整行高 Columnweight ：调节电子表格列宽（方法同调整行高）。
根据子程序的不同，Format 菜单中会有不同的子菜单。
具体见后面各问题的详细解法。
Solve and Analysis 菜单，如图 1-14。
图 1-14 求解与分析菜单它也会根据不同的子程序而有不同的子菜单，主要的是： Solve the Problem ：求解问题Solve and Display Steps ：求解并显示过程 Utility 菜单此菜单较简单，主要是提供了几个小工具，有Calculator （计算器）、Clock （时钟）和Graph/Chart （图表）。
Window 菜单，如图 1-15图 1-15 窗口菜单 此处会显示已经打开的子窗口的名称，可方便的进行切换。
Cascade ：层叠，各子窗口的显示如图 1-16所示：图 1-16 窗口层叠Title ：平铺，各子窗口的显示如图 1-17所示：WinQSB 菜单图 1-17 窗口平铺WinQSB 菜单提供了WinQSB 的１９个功能的菜单，可在此处方便的打开其它子程序。
Help 菜单提供了WinQSB 的帮助。
（２）工具栏：此处提供了比启动窗口更丰富的工具按钮。
（３）主窗口：在此处输入具体问题的数据。
３.结果输出窗口：在输入了数据之后，选择Solve and Analysis 菜单下的Solve the Problem 菜单， 问题求解后弹出结果输出窗口如图 1-18所示：图1-18 结果输出窗口（１）此窗口有６个菜单：File、Format、Result、Utilities、Window和Help。
File菜单，如图1-19打印快速打印结果另存复制到剪贴板打印字体设置打印设置Result菜单退出图1-19 文件菜单主要是对问题进行各种不同的分析和显示。
根据不同的子程序会有所不同Format、Utilities、Window和Help菜单同数据输入窗口中的菜单。
（２）工具栏：提供了命令的快捷按钮。
（３）结果显示窗口：把问题的计算结果以表格或图形的形式显示出来。
1.4 WinQSB与Excel表格交换数据（１）从Excel表格中复制数据到winQSB：先选中Excel中要复制的数据区域，点击复制或按“Ctrl+C”键，然后在winQSB的电子表格编辑状态下选中要粘贴的单元格（选中的粘贴区域与在Excel中复制时选中的区域行列数相同），点击粘贴或按“Ctrl+V”键完成复制。
（２）把WinQSB数据输入窗口中的数据复制到Excel表格：先清空剪贴板（可用Excel中Edit菜单下的office剪贴板来清空，方法：编辑/office剪切板/全部清空），然后在WinQSB表格中选中要复制的数据，选Edit菜单下的Copy，然后在Excel表格中复制即可。
第2章存储论与存储控制（ITS）2.1 模块简介存储论与存储控制（Inventory Theory and System）模块的启动程序是：开始/程序/WinQSB/Inventory Theory and System/File/New Problem，启动后弹出如下类型选项对话框：存储类型：确定需求存储模型确定需求允许折扣问题分析单时期随机需求存储问题多时间动态需求存储问题连续需求安全库存固定订货存储系统（s, Q）连续需求安全库存库存受限存储系统（s, S）定期订货模型（R, S）混合模型（R, s, S）问题标题（可省略）时间单位（year, maths, week, day, hour, min等）图2-1 存储类型选项对话框在上述模型中，确定需求存储模型（Deterministic Demand Economic Order Quantity[EOQ] Problem），适用于模型Ⅰ（基本EOQ）、模型Ⅱ（在制品EOQ）、模型Ⅲ（允许缺货EOQ）、模型Ⅳ（允许缺货在制品EOQ）；确定需求允许折扣存储模型（Deterministic Demand Quantily Duxcount Analysis Problem），适用于教材中模型Ⅴ（价格折扣EOQ）；单时期随机需求存储问题适用于教模型Ⅵ（离散型随机需求，即报童问题）、模型Ⅶ（连续型随机需求）。
2.2 确定需求存储模型（EOQ）程序启动：开始/程序/WinQSB/Inventory Theory and System/File/New Problem/选择第1个单选按钮，调整时间单位，单击OK，弹出数据编辑窗口（图 2-2）。
其应用条件：全年需求固定且均匀；生产能力固定且在生产期内均衡生产；若生产能力为M，则为经济订购模型，否则为在制品存储模型；若单位缺货损失为M，则为不允许存储缺货，否则为允许缺货存储模型；折扣点数省略为无折扣模型，否则为数量折扣模型。
需求量/年（时间单位由选项框输入决定）每次订货成本（或生产准备费）/次单位存储成本/年单位缺货成本/年（不允许缺货为M）单位缺货成本/次生产能力/年（经济订购量模型为M）交纳间隔期（提前时间）/年（即时到货空白）无折扣购货成本折扣点数（无折扣空白）图2-2 确定需求EOQ模型【例2.1】某文教用品商店（零售商）每年可销售10000包光电复印纸，可从复印纸制品厂（供货商）进货。
每次订货需发生订货费100元；零售商需租用库房存放复印纸，每月每包存贮费为1元；复印纸购价10元/包。
零售商：我们都是老熟人了，能否便宜点？供货商：你如果多买就可以给你让利。
零售商：如何让利呢？供货商：你一次订货300~600包，每包9.5元；一次订货超过600包（含600包括），每包9元。
假设复印纸零售价为14元，平均毛利3元，如果缺货，年平均缺货每包将产生机会损失15元/ 年。
问题：（1）若不允许缺货，且无价格折扣情况下零售商应该订货多少次？每次订货多少？并对单位存储费从12到15，步长为1进行敏感性分析；（2）若允许缺货，且无价格折扣情况下，零售商应订货多少次？每次订货多少？最大缺货量多少？（3）若不允许缺货，是否享受折扣？享受多少折扣？每次订货量多少？2.2.1 基本EOQ模型求解例2.1中第（1）个问题为不允许缺货，无价格折扣的EOQ，称为基本EOQ模型。