帕累托最优再保险合同的设计
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V( P , Pr , I , R) ∀
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V [ W0 + P - Pr - I ( x ) +
R( I ( x ) ) - C( I ( x ) ) ] f ( x ) dx 约束条件为 : U( P, I ) ∀ R) ∀
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*
= I , I > I2 时 , 0 < R
< I , 在这种情况下 , 若 K ( I ) >
0 则可能出 现无解 的情形 , 此时即 为没有 上限 的情形 , 在这 种情况下 , 对任 意的 I , 都有 R * = I 。 下面我们来讨论保费变动的情形下 , 如何 确定 P 及 P r , 使原保险人效用最大化 , 从而完成对帕累托最优再保险合同 的设计。 可以证 明 , 首先 , 帕累托最优再保险合同一定没有限 额 , 也就是说 , 有限额的再保险合同一定不是帕累托最 优的 ; 其次 , 帕 累 托 最 优 再 保 险 合 同 自 留 额 为 0 的 充 要 条 件 是 C r ( R) = 0, 也就是 说 , 当且仅当再 保险成本 取决于 再保险 赔付时才 会 有 一 个 自 留 额。 这一结论的证明过程类似于 Artur Raviv( 1979) , 并没有增 加新 的内 容 , 限 于篇 幅 , 我 们省 略了证明过程。 下面分析在再保险存在的条件下 , 原保险合同的最优设 计是否仍然是 Artur Raviv( 1979) 的结论。 我们将 I 汉 密尔顿 函数对 I 求偏导并整理 得 : !H = !I
从而能够使汉密尔顿 函数最 大化的 最优再 保险函 数的 必要条件为 : 当 J = V [ W 0+ P - P r - I - C( I ) ] b) [ 1 + C r( 0) ] 0 时, R
* 2V r(
Wr + P r -
= 0;
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当 K = V [ W0 + P - P r - C( I ) ] C r ( I ) ] [ 1 + C r( I ) ] ∃ 0 时 , R
其中 , x 1 > 0, 当且仅当 l > 0 。
作者简介 : 阳波 ( 1981- ) , 男 , 湖南 人 , 2004 级金融学硕士 , 主要研究方向 : 风险管理与保险精算 .
32
江西金融职工大学学报
2007 年
Artur Raviv( 1979) 把 Arrow( 1971) 的 结果一 般化到 了风 险厌恶型保险人的情况 , 保险人的风险厌恶性导致了对 于超 过免 赔额 的那部 分损 失的 共同保 险 , 然 而这不 是唯 一的 原 因 , 如果保 险成本是 保险金额的 严格凸函数 , 即 使保险 人是 风险中性的 , 帕累托最优保单也会导致对于超过免赔额 的那 部分损失的共同保险。 本文致力于将 Artur Raviv( 1979) 的方法应用到再保险合 同的设计上来 , 在保持投保人与再保险人效用水平不变 的条 件下 , 寻求 使原保险 人效用达到 最大的再保 险合同 , 该 再保 险合同即为帕累托最优再保险合同。 本文第二部分将建 立模 型的基本假设 , 第三 部分是主要 结论及其证 明 , 第四部 分将 讨论模型的进一步扩展。
* * * *
Wr + Pr - I -
= I;
* 2V r[ *
当 V [ W0 + P - P r - I + R - C( I ) ] 我们注意到对于 某个 I , 要么 J 0 时 , 令 I 1 为 J = 0 的解 , 则 I < R R
* *
Wr + Pr
- R - Cr ( R ) ] [ 1 + C r( R ) ] = 0 时 , 0 < R 0 ; 要么 K
1
( 四 ) 假定再保险人 最大 化其效 用期 望值 , 且再 保险 人 是风险厌恶型的。 用 Vr ( Wr ) 表示 再保险人的财富效用函数 , 则 V r ( Wr ) > 0, V!r ( Wr ) 0。 为了找到帕累托最优再保险合同 , 我们要找到在投 保人 与再保险人的期望效用为 常数的 约束条 件下能 够使得 原保 险人最终财富期 望效 用最 大化 的再 保费 P r 和 再保 险函 数 R (I )。 这个问题可以表示如下 : M ax
P , I ( x)
一、 引言
原保险合同是保险购买 人向保 险公司 转移和 分散 风险 的一种方式 , 再保险是保险公司向再保险公司转移和分 散风 险的重要手 段。再保 险使得 风险能 够在整 个社会 范围 内进 行分散 , 因而再保险的存在使风险分散达到帕累托最优 成为 可能 , 然而再保险合同 存在多 种设计 方式 , 而如何 设计 再保 险合同 , 直接关系到原保险人与再保险人双方 的利益。 国外学者针对原保险进行最优保单设计的研究较多 , 主 要从两个角度进行。一个角度是假设保单是外生的 , 即 假定 保单条款是外生给定的 , 由保险购买人被动接 受。这方 面的 文章可以参考 John Gould( 1969) , Jan Mossin( 1968) 以及 Vernon Smith( 1968) 。另 一个角度是假设保单是内生的 , 即保险 人与 被保险人可以共同协调保险合同 , 从而使合同设计达到 帕累 托最优。如 Karl Borch( 1960) , Kenneth J. Arrow ( 1971, 1973) , Artur Raviv( 1979) 使 用相 同的 框架 扩展 了他 们的 结论 , 其 模 型的基本假定说明如下 : ( 一 ) 保险购买者面临着损失为 X 的风险 , 0 X T, 该 损失是外生的 , 无法被被保险人控制 , 因而不存在道德风险 ; 假定保险人和被保险人都知道 X 的概率分布f ( x ) , 因而不存 在逆向选择。 ( 二 ) 损失发生时 , 保 险人 对被保 险人 的支 付定 义为 保 险函数 I ( x ) , 且 0 I( x) x。 ( 三 ) 保费用 P 表示 , 管理 费用与 其他费 用对 于保 险人 和被保险人来说是一个纯损失 , 用 C( I ) 表示当 保险支 付为 时的成本。 且 C( 0 ) = a 0, C ( g ) 0 , C! ( g) 0。 ( 四 ) 假 定 保险 人与 被 保险 人 最大 化 他们 的 效 用期 望 值 , 且假定 保险人是风 险厌恶型 的 ( 非 严格的 ) , 被保险 人也
T 0 r
- P - x + I ( x ) ] f ( x ) dx ∃ mVr ( Pr ,
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#V [ W + P - R ( I ( x ) ) - C ( R ) ] f ( x ) dx ∃ n
三、 结论及其证明
当保费 P 及再保费 Pr 固定时 , 最优 再保险合同 有两种 形式 : 一种为既有自留额 条款且自留额以上还有损失共同保 险 ; 另一种为一定损失限 额以下的全赔且超过限额之外的损 失共同保险 , 在 这种情形下 , 存在一种没有限额的特殊 情况 , 也即原保险人将所有风险都转移给再保险人。 共同保险水平 是保险所保障的损失的一定比例 , 这里的比例随着损失的规 模而变化。 下面 给出以上结论的证明。 约束条件在最优状态下取等号 , 该问题可以通过最优控 制理论来解决。 其汉密尔顿函数为 : H = { V[ W0 + P - Pr - I + R - C( I ) ] + X + I] +
第 20 卷第 1 期 2007 年 2 月
江西金融职工大学学报 Journal of Jiangxi Finance College
Vol. 20 No. 1 Feb. 2007
帕累托最优再保险合同的设计
阳 波
( 南京财经大学 金融学院 , 南京 210046)
摘要 : 使投保人 、 原 保险人 、 再保险人三者达到帕累 托最优 状态的再 保险合 同的设 计 , 基 本模型 是保持 投保人 与再 保险人的效用水平不变 , 寻求最优再保险合同使原保 险人的效用达到最大 。 在原保费与 再保险费固 定的条件 下 , 最优再保险合同要么是有再保限额的合同 , 要么是存在自留额的合同 。 在保费变动 的条件下 , 帕累托 最优再保 险合同必须具备两个特征 : 其一是有再保限额的 合同不是最优 的 , 其 二是当 再保险 成本取决 于再保 险赔付 时才会 有一 个自留额 。 再保险合同的存在不会影响原保险合同 的最优设 计 。 基于 年度损 失的赔付 率超赔 再保险 具有帕 累托最优性 。 关键词 : 再保险 ; 最优再保险 ; 帕累托最优 中图分类号 : F840. 69 文献标识码 : A 文章编号 : 1672 5557( 2007) 01 0031 02 是风险厌恶 型的。 用 V ( W) 表 示 保险 人 的 财 富效 用 函 数 , U( ) 表示投 保人的财 富效用 函数 , 则 : V ( W) > 0 , V !( W ) 0; U ( ) > 0, U !( ) < 0。 在以上假设条件下 , 为了找 到帕累 托最优 保险 合同 , 需 要找到在保险人期望效 用为常 数的约 束条件 下能够 使得被 保险人 最 终 财 富 期 望 效 用 最 大 化 的 保 费 P 和 保 险 函 数 I(x )。 该问题可以表达如下 :
2 Vr [ W r + P r - R - Cr ( R) ] } f ( x ) 1
U[ - P -
二、 假设与模型
我们将保持前面的基本假定不变 , 由于模型中多了 一个 再保险人 , 我们补充如下假定 : ( 一 ) 原保险公司面临着损失为 I ( x ) 的风险 , 该损 失是 外生的 , 无法被原保险人控制 , 因而不存在道德风险 ; 假 定原 保险人和再 保险人都知道 I ( x ) 的概 率分布 , 因 而不存 在逆 向选择。 ( 二 ) 损失发生时 , 再 保险 人对原 保险 人的 支付 定义 为 再保险函数 R ( I ( x ) ) , 且 0 R( I ( x ) ) I (x) ( 三 ) 再保险费用 P r 表示 , 再保险 管理费用 与其他 费用 对于原保险人和再保险人来说是一个纯损失 , 用 C r ( R) 表示 当保险支付为 R 时的成本。 且 Cr ( 0) = b ∃ 0, C r ( g) C! r ( g ) 0。 0,
Max U( P , I ) ∀ V( P, I ) ∀
T 0
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- P - x + I ( x ) ] f ( x ) dx 满足 :
#V[ W + P - I ( x ) - c( I ( x ) ) ] f ( x ) dx ∃ k
其中 、 W0 分别为投保人与保险人的初始财富 ; k 为常数 , 且 k ∃ V( W0 ) 。 在保费 P 固定的条件 下 , Artur Raviv( 1979) 得到 最优保 单为两种可能的保单形式中的一种 : 一种为既有免赔额条款 且在免赔额以上还有损失共同保险 ; 另一种为一定损失限额 下的损 失全赔 且超 过限额 之外 的损 失共同 保险。 在此 基础 上 , Artur Raviv( 1979) 得到了帕累托最优保单应具有的特征。 首先 , 有上限的 保单不会是帕累托最优的 ; 其次 , 至于帕累托 最优保单是否包含有免 赔额则 取决于 保险成 本是否 由保险 支付决定 , 即如 果保险成本与保险支付无关 , 也就是说 , 对所 有 I , C( I ) = a, 则帕累托最优保单 的免赔额为 0。 反之 , 则免 赔额不为 0 。 该结论推广了 Arrow( 1971) 。 Arrow( 1971) 认为 , 如 果 C( I ) = lI 且保险人是风险中性的 , 则帕累托最优保单可 以写成 : I* (x ) = 0 x x - x1 x1 x > x1
V( P , Pr , I , R) ∀
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V [ W0 + P - Pr - I ( x ) +
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= 0, I > I 1 时 , 0
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*
= I , I > I2 时 , 0 < R
< I , 在这种情况下 , 若 K ( I ) >
0 则可能出 现无解 的情形 , 此时即 为没有 上限 的情形 , 在这 种情况下 , 对任 意的 I , 都有 R * = I 。 下面我们来讨论保费变动的情形下 , 如何 确定 P 及 P r , 使原保险人效用最大化 , 从而完成对帕累托最优再保险合同 的设计。 可以证 明 , 首先 , 帕累托最优再保险合同一定没有限 额 , 也就是说 , 有限额的再保险合同一定不是帕累托最 优的 ; 其次 , 帕 累 托 最 优 再 保 险 合 同 自 留 额 为 0 的 充 要 条 件 是 C r ( R) = 0, 也就是 说 , 当且仅当再 保险成本 取决于 再保险 赔付时才 会 有 一 个 自 留 额。 这一结论的证明过程类似于 Artur Raviv( 1979) , 并没有增 加新 的内 容 , 限 于篇 幅 , 我 们省 略了证明过程。 下面分析在再保险存在的条件下 , 原保险合同的最优设 计是否仍然是 Artur Raviv( 1979) 的结论。 我们将 I 汉 密尔顿 函数对 I 求偏导并整理 得 : !H = !I
从而能够使汉密尔顿 函数最 大化的 最优再 保险函 数的 必要条件为 : 当 J = V [ W 0+ P - P r - I - C( I ) ] b) [ 1 + C r( 0) ] 0 时, R
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当 K = V [ W0 + P - P r - C( I ) ] C r ( I ) ] [ 1 + C r( I ) ] ∃ 0 时 , R
其中 , x 1 > 0, 当且仅当 l > 0 。
作者简介 : 阳波 ( 1981- ) , 男 , 湖南 人 , 2004 级金融学硕士 , 主要研究方向 : 风险管理与保险精算 .
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江西金融职工大学学报
2007 年
Artur Raviv( 1979) 把 Arrow( 1971) 的 结果一 般化到 了风 险厌恶型保险人的情况 , 保险人的风险厌恶性导致了对 于超 过免 赔额 的那部 分损 失的 共同保 险 , 然 而这不 是唯 一的 原 因 , 如果保 险成本是 保险金额的 严格凸函数 , 即 使保险 人是 风险中性的 , 帕累托最优保单也会导致对于超过免赔额 的那 部分损失的共同保险。 本文致力于将 Artur Raviv( 1979) 的方法应用到再保险合 同的设计上来 , 在保持投保人与再保险人效用水平不变 的条 件下 , 寻求 使原保险 人效用达到 最大的再保 险合同 , 该 再保 险合同即为帕累托最优再保险合同。 本文第二部分将建 立模 型的基本假设 , 第三 部分是主要 结论及其证 明 , 第四部 分将 讨论模型的进一步扩展。
* * * *
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= I;
* 2V r[ *
当 V [ W0 + P - P r - I + R - C( I ) ] 我们注意到对于 某个 I , 要么 J 0 时 , 令 I 1 为 J = 0 的解 , 则 I < R R
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- R - Cr ( R ) ] [ 1 + C r( R ) ] = 0 时 , 0 < R 0 ; 要么 K
1
( 四 ) 假定再保险人 最大 化其效 用期 望值 , 且再 保险 人 是风险厌恶型的。 用 Vr ( Wr ) 表示 再保险人的财富效用函数 , 则 V r ( Wr ) > 0, V!r ( Wr ) 0。 为了找到帕累托最优再保险合同 , 我们要找到在投 保人 与再保险人的期望效用为 常数的 约束条 件下能 够使得 原保 险人最终财富期 望效 用最 大化 的再 保费 P r 和 再保 险函 数 R (I )。 这个问题可以表示如下 : M ax
P , I ( x)
一、 引言
原保险合同是保险购买 人向保 险公司 转移和 分散 风险 的一种方式 , 再保险是保险公司向再保险公司转移和分 散风 险的重要手 段。再保 险使得 风险能 够在整 个社会 范围 内进 行分散 , 因而再保险的存在使风险分散达到帕累托最优 成为 可能 , 然而再保险合同 存在多 种设计 方式 , 而如何 设计 再保 险合同 , 直接关系到原保险人与再保险人双方 的利益。 国外学者针对原保险进行最优保单设计的研究较多 , 主 要从两个角度进行。一个角度是假设保单是外生的 , 即 假定 保单条款是外生给定的 , 由保险购买人被动接 受。这方 面的 文章可以参考 John Gould( 1969) , Jan Mossin( 1968) 以及 Vernon Smith( 1968) 。另 一个角度是假设保单是内生的 , 即保险 人与 被保险人可以共同协调保险合同 , 从而使合同设计达到 帕累 托最优。如 Karl Borch( 1960) , Kenneth J. Arrow ( 1971, 1973) , Artur Raviv( 1979) 使 用相 同的 框架 扩展 了他 们的 结论 , 其 模 型的基本假定说明如下 : ( 一 ) 保险购买者面临着损失为 X 的风险 , 0 X T, 该 损失是外生的 , 无法被被保险人控制 , 因而不存在道德风险 ; 假定保险人和被保险人都知道 X 的概率分布f ( x ) , 因而不存 在逆向选择。 ( 二 ) 损失发生时 , 保 险人 对被保 险人 的支 付定 义为 保 险函数 I ( x ) , 且 0 I( x) x。 ( 三 ) 保费用 P 表示 , 管理 费用与 其他费 用对 于保 险人 和被保险人来说是一个纯损失 , 用 C( I ) 表示当 保险支 付为 时的成本。 且 C( 0 ) = a 0, C ( g ) 0 , C! ( g) 0。 ( 四 ) 假 定 保险 人与 被 保险 人 最大 化 他们 的 效 用期 望 值 , 且假定 保险人是风 险厌恶型 的 ( 非 严格的 ) , 被保险 人也
T 0 r
- P - x + I ( x ) ] f ( x ) dx ∃ mVr ( Pr ,
r
#V [ W + P - R ( I ( x ) ) - C ( R ) ] f ( x ) dx ∃ n
三、 结论及其证明
当保费 P 及再保费 Pr 固定时 , 最优 再保险合同 有两种 形式 : 一种为既有自留额 条款且自留额以上还有损失共同保 险 ; 另一种为一定损失限 额以下的全赔且超过限额之外的损 失共同保险 , 在 这种情形下 , 存在一种没有限额的特殊 情况 , 也即原保险人将所有风险都转移给再保险人。 共同保险水平 是保险所保障的损失的一定比例 , 这里的比例随着损失的规 模而变化。 下面 给出以上结论的证明。 约束条件在最优状态下取等号 , 该问题可以通过最优控 制理论来解决。 其汉密尔顿函数为 : H = { V[ W0 + P - Pr - I + R - C( I ) ] + X + I] +
第 20 卷第 1 期 2007 年 2 月
江西金融职工大学学报 Journal of Jiangxi Finance College
Vol. 20 No. 1 Feb. 2007
帕累托最优再保险合同的设计
阳 波
( 南京财经大学 金融学院 , 南京 210046)
摘要 : 使投保人 、 原 保险人 、 再保险人三者达到帕累 托最优 状态的再 保险合 同的设 计 , 基 本模型 是保持 投保人 与再 保险人的效用水平不变 , 寻求最优再保险合同使原保 险人的效用达到最大 。 在原保费与 再保险费固 定的条件 下 , 最优再保险合同要么是有再保限额的合同 , 要么是存在自留额的合同 。 在保费变动 的条件下 , 帕累托 最优再保 险合同必须具备两个特征 : 其一是有再保限额的 合同不是最优 的 , 其 二是当 再保险 成本取决 于再保 险赔付 时才会 有一 个自留额 。 再保险合同的存在不会影响原保险合同 的最优设 计 。 基于 年度损 失的赔付 率超赔 再保险 具有帕 累托最优性 。 关键词 : 再保险 ; 最优再保险 ; 帕累托最优 中图分类号 : F840. 69 文献标识码 : A 文章编号 : 1672 5557( 2007) 01 0031 02 是风险厌恶 型的。 用 V ( W) 表 示 保险 人 的 财 富效 用 函 数 , U( ) 表示投 保人的财 富效用 函数 , 则 : V ( W) > 0 , V !( W ) 0; U ( ) > 0, U !( ) < 0。 在以上假设条件下 , 为了找 到帕累 托最优 保险 合同 , 需 要找到在保险人期望效 用为常 数的约 束条件 下能够 使得被 保险人 最 终 财 富 期 望 效 用 最 大 化 的 保 费 P 和 保 险 函 数 I(x )。 该问题可以表达如下 :
2 Vr [ W r + P r - R - Cr ( R) ] } f ( x ) 1
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二、 假设与模型
我们将保持前面的基本假定不变 , 由于模型中多了 一个 再保险人 , 我们补充如下假定 : ( 一 ) 原保险公司面临着损失为 I ( x ) 的风险 , 该损 失是 外生的 , 无法被原保险人控制 , 因而不存在道德风险 ; 假 定原 保险人和再 保险人都知道 I ( x ) 的概 率分布 , 因 而不存 在逆 向选择。 ( 二 ) 损失发生时 , 再 保险 人对原 保险 人的 支付 定义 为 再保险函数 R ( I ( x ) ) , 且 0 R( I ( x ) ) I (x) ( 三 ) 再保险费用 P r 表示 , 再保险 管理费用 与其他 费用 对于原保险人和再保险人来说是一个纯损失 , 用 C r ( R) 表示 当保险支付为 R 时的成本。 且 Cr ( 0) = b ∃ 0, C r ( g) C! r ( g ) 0。 0,
Max U( P , I ) ∀ V( P, I ) ∀
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其中 、 W0 分别为投保人与保险人的初始财富 ; k 为常数 , 且 k ∃ V( W0 ) 。 在保费 P 固定的条件 下 , Artur Raviv( 1979) 得到 最优保 单为两种可能的保单形式中的一种 : 一种为既有免赔额条款 且在免赔额以上还有损失共同保险 ; 另一种为一定损失限额 下的损 失全赔 且超 过限额 之外 的损 失共同 保险。 在此 基础 上 , Artur Raviv( 1979) 得到了帕累托最优保单应具有的特征。 首先 , 有上限的 保单不会是帕累托最优的 ; 其次 , 至于帕累托 最优保单是否包含有免 赔额则 取决于 保险成 本是否 由保险 支付决定 , 即如 果保险成本与保险支付无关 , 也就是说 , 对所 有 I , C( I ) = a, 则帕累托最优保单 的免赔额为 0。 反之 , 则免 赔额不为 0 。 该结论推广了 Arrow( 1971) 。 Arrow( 1971) 认为 , 如 果 C( I ) = lI 且保险人是风险中性的 , 则帕累托最优保单可 以写成 : I* (x ) = 0 x x - x1 x1 x > x1