最小二乘法
最小二乘法的概念
最小二乘法1. 概念定义最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化方法，用于找到一组参数，使得观测数据与模型预测值之间的平方误差最小。
它通过对误差的平方和进行最小化来估计未知参数的值。
在最小二乘法中，我们假设存在一个线性模型来描述观测数据与未知参数之间的关系。
给定n个观测数据点(xi, yi)，其中xi是自变量，yi是因变量，我们可以将线性模型表示为：yi = β0 + β1 * xi + εi其中β0和β1是待估计的未知参数，εi是服从正态分布的随机误差。
我们的目标是找到最佳拟合线，使得所有数据点到该线的距离之和最小。
2. 重要性最小二乘法在统计学和数据分析中具有广泛应用，并且具有以下重要性：2.1 参数估计通过最小二乘法可以估计出线性回归模型中的未知参数。
这些参数对于理解和解释观测数据与自变量之间关系非常重要。
例如，在经济学中，可以使用最小二乘法来估计供需曲线、收入弹性等经济模型中的参数。
2.2 模型拟合最小二乘法可以用于拟合数据，并找到最佳拟合线或曲线。
通过最小化误差平方和，我们可以找到与观测数据最接近的模型。
这对于预测和预测未来数据点非常有用。
2.3 假设检验在统计推断中，最小二乘法还可以用于假设检验。
我们可以利用最小二乘估计的参数进行假设检验，以确定自变量与因变量之间是否存在显著关系。
2.4 模型诊断除了参数估计和模型拟合外，最小二乘法还可以用于诊断模型的适应性和有效性。
通过分析残差（观测值与预测值之间的差异），我们可以检查模型是否满足所假设的条件，并进行必要的修正。
3. 应用最小二乘法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：3.1 线性回归分析线性回归是最常见的应用之一。
通过将观测数据与线性模型进行拟合，我们可以估计出自变量与因变量之间的关系。
线性回归可以用于预测、关联分析和因果推断等。
3.2 时间序列分析时间序列分析是对随时间变化的数据进行建模和预测的方法。
最小二乘法的推导
最小二乘法的推导最小二乘法是统计学中一种常用的数据拟合方法，它是将待拟合函数的拟合优度衡量为误差平方和最小化的问题，属于最优化策略。
它可以用来拟合非线性模型，使得得到的模型拟合更加精确。
一、最小二乘法概念最小二乘法是一种数据拟合方法，它是将待拟合函数的拟合优度衡量为误差平方和最小化的问题，属于最优化策略。
最小二乘法的主要思想是，对给定的一组观测值，在满足某种条件下，这组观测值可以用一个或几个理论模型来描述，从而使拟合模型尽可能逼近实际观测值，达到拟合精度最高的目的。
二、最小二乘法推导考虑一个最小二乘问题，我们希望拟合一组数据，它们的点坐标可以用一个关于d个未知参数（p1，p2，p3，…，pd）的多项式表示，即：F(x，p1，p2，p3，…，pd)将多项式中的参数（p1，p2，p3，…，pd）的值求出，就可以对已知数据进行拟合。
最小二乘法表示形式：要使拟合模型参数值与所拟合数据做到最拟合，就要将拟合模型和实际数据的差值最小化，也就是求出多项式中的参数的值，使得误差平方和最小根据最小二乘法的优化性质，我们可以写出最小二乘优化问题的形式将误差平方和最小化的条件写出来就为：S=（f(x1，p1，…，pd)-y1）^2＋（f(x2，p1，…，pd)-y2）^2＋…＋（f(xn，p1，…，pd)-yn）^2最小二乘问题表示为：min{S(p1，p2，…，pd)}其中p1，p2，…，pd是未知参数，我们要求这些参数值使得S 最小。
为了求得最小二乘拟合参数和进行形式转换，我们对S求偏导：S/pi=2*(f(xi，p1，…，pd)-yi)*f(xi，p1，…，pd)/pi 当S/pi=0时，即有(f(xi，p1，…，pd)-yi)*f(xi，p1，…，pd)/pi=0 于是，我们将最小二乘拟合参数pi的表达式改写为：pi=(A-1)*B其中A=∑(f(xi，p1，…，pd)/pi)^2，B=∑(f(xi，p1，…，pd)-yi)*f(xi，p1，…，pd)/pi根据最小二乘法，我们就可以求得最小二乘拟合参数pi的值了。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
最小二乘法及其应用
最小二乘法及其应用什么是最小二乘法？最小二乘法（LeastSquaresMethod）是一种常用的统计分析方法，用于找到在一组已知数据上拟合度最高的线性模型。
最小二乘法通常用于在一组可选的模型中自动选择最能够最佳地拟合数据的模型。
它也可以用来估计在未观测到的预测值，从而预测某个变量的取值范围。
最小二乘法可以用于多元统计回归分析，而且也是用来计算一元线性回归系数的主要方法。
最小二乘法的基本思想是拟合所选择的模型，以便使拟合模型的预测结果（横坐标的值）与实际观测结果（纵坐标的值）之间的差异最小化。
最小二乘法的运算步骤是：计算每个观测值（纵坐标）与回归模型（横坐标）之间的差值；然后将这些差值的平方和求和，并选择使平方和最小的回归系数，从而获得最佳拟合。
最小二乘法也可以用来估计不可观测的参数。
例如，在预测一个系统的行为时，可以用最小二乘法进行拟合，找到模型参数的最佳估计值，从而估计系统的行为趋势。
在另一方面，最小二乘法也可以用来预测诸如未来产量或销售额等量化指标。
在应用最小二乘法进行科学研究时，它已成为科学界公认的标准统计方法。
它已经被用于统计分析、估计、预测、演示和建模等多个科学研究领域。
例如，最小二乘法可以用于统计推断，用于探究一些不同因素之间的关系，以及推断出假设条件下的基本模型。
它也可以用于估计参数，比如用于估计一个模型的参数值，从而使模型能够更精确地模拟数据。
最小二乘法也被用于拟合非线性曲线。
当数据不满足线性关系时，可以使用最小二乘法拟合曲线。
曲线拟合有很多方法，比如传统的曲线拟合方法，最小二乘法，最小绝对值拟合，和其他各种复杂的曲线拟合方法等等。
总之，最小二乘法是一种非常常用的统计分析方法。
它可以用来自动选择在一组可选的模型中最能够拟合数据的模型，并且可以用于估计不可观测的参数。
此外，最小二乘法也可以用于拟合非线性曲线，从而更精确地模拟实际数据。
由于这种效率和可靠性，最小二乘法已成为科学研究中一种公认的统计分析方法。
最小二乘法实现公式
最小二乘法实现公式最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计线性模型中的参数。
它通过最小化观测值与预测值之间的误差平方和，来确定最优的参数估计值。
下面将详细介绍最小二乘法的原理和应用。
一、最小二乘法原理最小二乘法的基本思想是，通过找到一条线（或曲线），使得该线与观测数据点之间的误差最小化。
具体来说，对于一个线性模型 y = β0 + β1x + ε，其中 y 是因变量，x 是自变量，β0 和β1 是待估计的参数，ε 是误差项。
最小二乘法的目标是找到最优的参数估计值β0* 和β1*，使得观测值与预测值之间的误差平方和最小化。
为了实现最小二乘法，需要定义一个衡量误差的函数，通常选择误差的平方和作为目标函数。
即最小化目标函数：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2通过对目标函数求导，可以得到参数估计值的解析解。
令目标函数的导数等于零，可以得到以下两个方程：Σyi - nβ0 - β1Σxi = 0Σxiyi - β0Σxi - β1Σxi^2 = 0解这个方程组，可以求得最优的参数估计值β0* 和β1*。
最小二乘法的核心思想就是通过最小化误差平方和来确定最优的参数估计值。
二、最小二乘法的应用最小二乘法广泛应用于各个领域的回归分析中。
下面将介绍最小二乘法在经济学、统计学和工程学中的应用。
1. 经济学中的应用最小二乘法在经济学中被广泛应用于建立经济模型和估计经济参数。
经济学家可以利用最小二乘法来估计需求函数、供给函数和生产函数等。
通过回归分析，经济学家可以研究各种经济变量之间的关系，并对经济现象进行解释和预测。
2. 统计学中的应用最小二乘法是统计学中最常用的参数估计方法之一。
通过最小二乘法，统计学家可以估计线性回归模型中的参数，并进行统计推断。
最小二乘法还可以用于解决多重共线性、异方差性和自相关等统计问题。
3. 工程学中的应用最小二乘法在工程学中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，最小二乘法可以用于信号滤波和信号重构。
最小二乘法名词解释
最小二乘法名词解释
最小二乘法是一种数学优化方法，用于通过对观测数据进行拟合来求解线性回归问题。
它的基本原理是通过最小化观测数据与模型预测值之间的平方误差和，来确定最优的模型参数。
在最小二乘法中，有一些关键的术语和概念需要解释。
1. 观测数据：观测数据是在实际测量或观察中收集到的一系列数值。
在最小二乘法中，这些观测数据通常由两个向量表示，一个是自变量向量X，另一个是因变量向量Y。
2. 模型参数：模型参数是用于预测因变量的线性回归模型中的常数项和各个自变量的系数。
在最小二乘法中，我们通过最小化残差的平方和来确定最优的模型参数。
3. 残差：残差是观测数据的真实值与模型预测值之间的差异。
在最小二乘法中，我们希望通过调整模型参数使得残差的平方和最小化。
4. 残差平方和：残差平方和是残差的平方值的总和，用于衡量模型预测结果与观测数据之间的总体误差。
最小二乘法的目标就是通过最小化残差平方和来求解最优的模型参数。
5. 矩阵表示：最小二乘法可以利用矩阵运算来进行求解，这样可以简化计算并提高效率。
通常，自变量矩阵X、因变量矩阵Y、模型参数向量β和残差向量ε都是以矩阵形式表示。
6. 最优解：在最小二乘法中，我们寻找的是使得残差平方和最小的模型参数向量。
这个最优解可以通过数学推导或迭代算法来求解。
最小二乘法是一种常用且有效的回归分析方法，它在统计学、经济学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
通过最小二乘法，我们可以利用已知的观测数据来估计未知的模型参数，从而进行预测、分析和决策。
最小二乘法(least sqaure method)
最小二乘法（least sqauremethod）专栏文章汇总文章结构如下：1：最小二乘法的原理与要解决的问题2 ：最小二乘法的矩阵法解法3：最小二乘法的几何解释4：最小二乘法的局限性和适用场景5：案例python实现6：参考文献1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta_nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
最小二乘法
最小二乘法一、最小二乘法概述最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的，它奠定了最小二乘估计理论的基础．到了20世纪60年代瑞典学者Austron 把这个方法用于动态系统的辨识中，在这种辨识方法中，首先给出模型类型，在该类型下确定系统模型的最优参数。
我们可以将所研究的对象按照对其了解的程度分成白箱、灰箱和黑箱。
于其内部结构、 机制只了解一部分，对于其内部运行规律并不十分清楚，这样的研究对象通常称之为 “灰箱”；如果我们对于研究对象的内部结构、 内部机制及运行规律均一无所知的话，则把这样的研究对象称之为“黑箱”。
研究灰箱和黑箱时，将研究的对象看作是一个系统，通过建立该系统的模型，对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律。
对于动态系统辨识的方法有很多，但其中应用最广泛，辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法，研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义。
应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值。
假设一个SISO 系统如下图所示：图1 SISO 系统结构图其离散传递函数为：（1）输入输出的关系为：)()()()(1k y k e z G k u =+•- （2）进一步，我们可以得到：)()()()()(11k e z B k u z A k y +⋅=⋅-- （3）其中，扰动量)(k e 为均值为0，不相关的白噪声。
将式（3）写成差分方程的形式：)()()2()1()()2()1()(2121k e n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n n +-⋯+-+-+--⋯-----=（4）令T n k u k u k u n k y k y k y k ])()2()1()()2()1([)(-⋯----⋯----=ϕnn n n z a z a z a z b z b z b z A z B z G ---------+⋯++++⋯++==221122111111)()()(][2121n nb b b a a a ⋯⋯=θ则式（4）可以写为：)()()(k e k k y T+=θϕ （5）将上述式子扩展到N 个输入、输出观测值{)(),(k y k u }，k=1,2,…，N+n 。
最小二乘法 算法
最小二乘法算法
最小二乘法是求解线性回归问题的一种常用算法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来估计模型的参数。
具体而言，对于给定的数据集，最小二乘法通过求解一个最优解，使得模型预测与实际观测值之间的误差最小化。
这个最优解可以通过求解一个线性方程组得到，其中未知数是模型的参数。
在实际应用中，最小二乘法广泛用于数据拟合、特征选择、信号处理等领域。
其优点在于能够提供可靠的结果和丰富的统计信息。
同时，最小二乘法也有一些局限性，例如对于非线性问题的处理能力较弱，并且对于噪声较大的数据容易出现过拟合现象。
因此，在使用最小二乘法时需要根据具体情况进行调整和优化。
- 1 -。
最小二乘法
最小二乘法原理
若随机误差为正态分布，且不存在系统误差，对一 个量 X进行等权n次测量，得到数据x1,x2,…xn时
x
n
xi
i 1
n
n
n 2
u x
2 v i
n
nn 1
i 1
上式表明， vi2 越小，不确定度越小，所得x测量结果的可 信赖程度越高。当 v 为最小时，所得的结果可信赖程度
i 1 i i 1
最高。
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值 （n次）中，寻找t个最佳估计值（n ＞t ） 的问题。
待测量： X 1 , X 2 ,..., X t
直接测量量： Y1 , Y2 ,..., Yn
, Xt ) l2 Y2 f 2 ( X 1 , X 2 , , X t ) M ln Y f ( X , X , , X ) n n 1 2 t
uD 2
对高度h 的测量不确定度影响显著的因素主要有： 高度的测量重复性引起的不确定度 uh1 测微仪示值误差引起的不确定度
uh 2
4. 不确定度评定：评定不确定度分量，并给出其数 值和自由度 （1）计算直径D的标准不确定度 uD
测量重复性引起的标准不确定度分量 uD1
uD1 sD
sD 6
yi fi x1, x2 ,
即
vi li fi x1, x2 , , xt
, xt
测量数据 l1 , l2 ,, ln 的残差为 vi li yi
称为残差方程。
实例：取6次不同温度，测定该不同温度下铜棒的长度 共6次，测量数据如下表，试估计0℃时的铜棒长度l0和铜 的线膨胀系数α。
测量数据处理的完整步骤
最小二乘法
数值分析作业最小二乘法最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得最佳”结果或最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y= a+ bx,对其进行n(n> 2)次观测而获得n对数据。
若将这n对数据代入方程求解a，b之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法，其基本思想就是寻找最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所说,最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”最小二乘法创立的历史过程充满着丰富的科学思想,这些对今日的数学创造仍有着重要的启示意义。
本文旨在全面认识最小二乘法的历史系统发育过程以及创立者的思路。
一先驱者的相关研究天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。
丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。
“天文学自古代至18 世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均,以及参数模型中的种种估计方法,以最小二乘法为顶峰。
” 这也说明了最小二乘法的显著地位。
有关统计计算思想记载的著作要首推天文学家罗杰柯茨的遗作,即1715年其所发论文中所蕴含的统计方法,亦即对各种观测值赋予加权后求其加权平均。
尽管当时得到认可,然而事实证明如此计算的结果不太精确。
1749年,欧拉(L. Euler,1707—1783)在研究木星和土星之间相互吸引力作用对各自轨道影响时,最后得到一个含8个未知量75个方程的线性方程组。
欧拉的求解方法繁杂而奇特,只能看作是一次尝试。
最小二乘法
最小二乘法中文名称：最小二乘法英文名称：least square method定义：在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。
其中V为残差向量，P为其权矩阵。
应用学科：测绘学（一级学科）；大地测量学（二级学科）最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法最小二乘法(least square)历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
（来自于wikipedia）最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2Y=kX+b: k=（（XY）平--X平*Y平）/（X^2--(X平）^2 ;b=Y平--kX平X平=1/n∑X i；(XY)平=1/n∑X i Y i最小二乘法原理用各个离差的平方和M=Σ(i=1到n)[y i-(ax i+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小。
最小二乘法的计算方法
题目
最小二乘法计算公式是什么？
答案解析
最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为曲线拟合，此处所讲最小二乘法，专指线性回归方程！最小二乘法公式为a=y(平均)-b*x（平均）。
最小二乘法（（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
扩展资料：
普通最小二乘估计量具有上述三特性：
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。
最小方差性又称有效性。
这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（（Gauss-Markov）定理。
这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
最小二乘法讲解
历史简介
• 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。 经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失 去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始 寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。 时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里 希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
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习题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年 时，维修费用约是
多少？
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习题
解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
（1）列表
xi
yi
xi 2
xi yi
2
2.2
4
4.4
3
3.8
9
11.4
4
5.5
16
22
5
6.5
25
32.5
6
7.0
36
42
合计 20
25
90 112.3
x4
y5
17
习题
112.3 5 4 5 b 90 5 42 1.23 a 5 1.23 4 0.08
2
历史简介
• 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》 中。
最小二乘法
(1)正交性的有关性质
在线性代数欧氏空间理论中 , 将 R 3 中两个向量 x,y之间的夹角φ满足的关系式 xTy=‖x‖2‖y‖2cosφ 推广到Rn. T
x y 1 设x,y∈Rn, 由Cauchy不等式 1 || x ||2 || y ||2
从而得到Rn中两个向量之间的夹角为
x y arccos || x ||2 || y ||2
(i , f ) ( xk )i ( xk ) f ( xk )
k 0
m
则:
(i , f ) ci (i ,i )
拟合函数 f ( x) c00 ( x ) c11 ( x ) cnn ( x)
例1
设函数y=f(x)的离散数据如下表所示, 试用二次 多项式拟和上述数据,并求平方误差. i 0 xi 0 yi 1.000 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718
T
定理1
设x, y是Rn中的向量, x与y正交的充分必要条
件为xＴy=0.
证明 必要性. 当x与y正交，它们的夹角φ=π/2， 有xＴy=0. 充分性. 当xＴy=0, φ=π/2, 即x与y正交. 注：如果x与y正交, 记为x⊥y
定理2
设x, y∈Rn, 且x⊥y, 那 么： ‖x+y‖22＝‖x‖22＋‖y‖22．
假设x⊥R(A), 即αiＴx=0 (i=1,2,…,k). 从而AＴx=0 另一方面,如果AＴx=0, 那么有z∈Rk, 使Az=y∈R(A). 这时，yＴx=zＴAＴx=0,即x⊥y. 由z的任意性， 得Az是任意的， 因此x⊥R(A). 由这个定理， 容易得到： 推论1 设A是n×k阶矩阵， 那么R(A)有唯一的正交 补子空间N(AＴ).
最小二乘法
最小二乘法概念阐述最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。
在此之前，前人多设法构造k个方程去求解，而勒让德没有因袭前人思想。
他认为：“赋予误差的平方和为极小，则意味着在这些误差间建立了一种均衡性，它阻止了极端情形所施加的过分影响。
这非常好地适用于揭示最接近真实情形的系统状态。
”该附录占据了这本80页小册子的最后9页，在前面关于卫星轨道计算的讨论中没有涉及最小二乘法，可以推测他当时感到这一方法尚不成熟。
最小二乘法主要用于解决函数模型最优解问题，是测量工作及其他科学工程领域中，应用最早也是最广泛的算法。
在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计某些未知参数的问题。
历史发展关于最小二乘法，高斯宣称自1795年以来他一直使用这个原理。
这立刻引起了勒让德的强烈反击，他提醒说科学发现的优先权只能以出版物确定，并严斥高斯剽窃了他人的发明他们间的争执延续了多年。
因而,这两位数学家之间关于优先权的争论,在数学史上的知名度仅次于牛顿和莱布尼兹之间关于微积分发明权的争论。
现在一般认为，二人各自独立地发明了最小二乘法，尽管早在10年前，高斯就使用这个原理，但第一个用文字形式发表的是勒让德。
勒让德和高斯发现最小二乘法是从不同的角度入手的：一个是为解线性方程组，一个是寻找误差函数；一个用的是整体思维，考虑方程组的均衡性，一个用的是逆向思维，首先接受经验事实；一个是纯代数方法，一个致力于应用。
1809年，高斯发表论著《天体运动理论》。
在该书末尾，他写了一节有关“数据结合”的问题，以极其简单的手法导出误差分布——正态分布（描述偶然误差通常用正态分布，其特性：在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限制，或者说，超出一定限制的误差，其出现的概率为零；绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；绝对值相等的正负误差出现的概率相同；偶然误差的数学期望为零），并用最小二乘法加以验证。
计算最小二乘法
计算最小二乘法最小二乘法是一种数学方法，广泛应用于数理统计学和回归分析中。
其本质是通过最小化观测值与估计值的差距，寻找最优的参数估计。
最小二乘法最早由高斯提出，后来由勒让德进行了推广。
它的基本思想是假设观测值与理论值之间存在误差，在这些误差服从正态分布的假设下，通过优化估计参数，使得观测值与理论值之间的差距最小化。
最小二乘法的数学表达式可由以下公式表示：Y = aX + b其中，Y为观测值，X为自变量，a和b为待求参数。
通过最小化残差平方和来确定参数a和b的值。
残差即观测值与估计值之间的差异量，可以用公式表示为：Residuals = Y - (aX + b)最小二乘法的计算步骤如下：1.收集样本数据，并绘制散点图，观察数据的分布情况。
2.根据观测值的模型假设，建立数学关系表达式。
3.计算残差。
将观测值带入模型表达式，并计算观测值与估计值之间的差异量。
4.计算残差平方和。
将所有观测值的残差平方求和。
5.对参数进行优化。
最小化残差平方和，找到使得残差最小的参数值组合。
6.通过最小二乘法的公式计算估计参数的值。
对于线性模型来说，可直接计算出斜率和截距。
最小二乘法的优势在于能够通过数学方法确定最佳参数估计，从而得到最优的模型拟合效果。
并且，最小二乘法对于数据中的异常值具有一定的抗干扰能力。
最小二乘法的应用十分广泛。
在数理统计学中，最小二乘法可用来进行参数估计。
在回归分析中，最小二乘法可用来拟合线性模型。
此外，在信号处理、图像处理、经济学、物理学等领域，最小二乘法也得到了广泛应用。
需要注意的是，最小二乘法仅适用于线性模型，并且对数据分布的假设有一定要求。
在应用最小二乘法时，需要进行模型诊断，验证所假设的模型是否合理。
总而言之，最小二乘法是一种重要的数学方法，通过最小化观测值与估计值之间的差异，确定最优的参数估计。
它在统计学和回归分析中有着广泛的应用，能够提供准确的模型拟合结果，并为解决实际问题提供重要的参考依据。
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是一种统计学上常用的参数估计方法，通过最小化观测数据与理论模型之间的误差的平方和，来估计模型的参数。
在统计学和数学中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、回归分析、数据处理以及信号处理等领域。
最小二乘法的基本思想是，通过找到可以使得各观测数据与理论模型预测的数据之间的差异最小的参数估计值，从而得到最佳的拟合结果。
它是一种数学上比较成熟且有效的方法，可以用来解决具有一定误差的线性和非线性函数拟合问题。
在应用最小二乘法时，首先需要建立数学模型来描述观测数据与自变量之间的关系。
这个数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，根据实际问题的特点来确定。
然后，根据观测数据和数学模型，利用最小二乘法的原理来求解模型的参数估计值。
最小二乘法的基本步骤如下：1. 建立数学模型：通过分析问题的背景和要求，确定观测数据与自变量之间的关系，并建立数学模型。
2. 确定误差函数：定义误差函数，它是观测数据与数学模型之间的差异度量。
3. 最小化误差函数：通过最小化误差函数，即求解误差函数的导数为0的参数估计值，来得到最佳的模型拟合结果。
4. 评估拟合结果：通过各种统计指标和图示分析来评估最小二乘拟合的效果，并对结果进行解释和验证。
最小二乘法的优点在于它是一种数学上比较简单和直观的方法，并且在实际应用中得到了广泛的应用。
它能够充分考虑观测数据的误差，通过最小化误差的平方和来估计模型的参数，从而得到较为可靠的拟合结果。
最小二乘法的应用非常广泛，涵盖了许多学科领域，如物理学、经济学、工程学、生物学和地球科学等。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来拟合直线、曲线和曲面等；在回归分析中，最小二乘法可以用来建立回归模型，并进行参数估计和显著性检验；在数据处理中，最小二乘法可以用来进行信号滤波和数据平滑等。
总之，最小二乘法是一种重要的数学和统计方法，在许多实际问题中起着重要的作用。
它不仅可以用来拟合曲线和回归分析，还可以应用于信号处理、数据处理和参数估计等领域。
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讨论： 由于 lg y a b,
所以仿照例1中的讨论,通过求方程组
a
8
i 1 8
2 i
b
8 i 1
i
8
8
i lg yi ,
i 1
(3)
a i1 i
8b
lg yi
i 1
的解,把 a,b 确定出来.
8
通过计算得 i 108, 8i 1 lg yi 10.3, i 1
注意：计算机与数据拟合．
（参看高等数学实验课讲义 郭锡伯 徐安农编）
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很 象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而 利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的 关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望
2
yi y
yi yi 2 2
yi y yi yi
2
yi y
yi yi 2 0
2
yi y
yi yi 2
记 回归平方和 残差平方和
SSR= yi yi 2
因此所求经验公式为 y 78.78e0.1036 .
三、小结
给定平面上一组点( xi , yi ) (i 1,2,3, , n)， 作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是常 用的一种． 最小二乘法的原理：
n
求 f (t)，使 M yi (ati b)2 达到最小． i 1
这样便得到所求经验公式为
y f (t) 0.3036t 27.125. (2) 由（2）式算出的函数值 f (ti ) 与实测 yi 的有
一定的偏差.现列表比较如下：
ti
0
1
2
3
4
5
6
7
实测 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3
yi
算得 27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000
S XY
xi x yi y xi yi n
xi
y i
SYY
2
yi y
yi2
1 n
2
yi
b S XY S XX a y bx
总平方和
SST
2
yi y
yi y yi yi 2
能要求选取这样的 a, b ，使得 f (t) at b 在
t0 , t1, , t7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 , y7 相 差都很小．
就是要使偏差
yi f (ti ) (i 0,1,2, ,7) 都很小. 因此可以考虑选取常数 a,b ，使得
7
M yi (ati b)2 i0
1.半对数关系式变换
y=a+blogu (y、u为变量，a和 b为参量， 极化值与极化电流密压I之间
2.双对数关系式变换
3.抛物线关系式的变换
2 k1 k2
k1
k2
4.指数函数关系式的变换
AeBu
例题：对于Fe在700度的空气中的氧化
试验，测得表中实验数据，检验这些
n
[ yi (axi b)]2 最小
i 1
y
y=ax+b
此式对a和b的偏导数均 为0，
解相应方程组，求得：
(xi ,yi) x
O
a
b
n i 1
(
xi
x)(
n i 1
(
xi
y ax
yi x) 2
y)
练习题
某种合金的含铅量百分比(%)为 p，其溶解温度0C
• 基本方法 • 利用excel进行线性回归分析的方法
– 输入原始实测量值x（自变量）y（因变量） – 选择数据区域 – 选择图表类型——xy散点图 – 添加趋势线
• 方差分析 • 相关性检验—求相关系数R
例
• 研究腐蚀时间与腐 蚀深度两个量的关 系
• 实验数据如下：
时间 x(min)
3 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120
8
2 i
1836,
i 81
i lg yi 122.
i 1
将他们代入方程组（3）得
1836a 108b 122, 108a 8b 10.3.
解这方程组，得
a 0.4343m 0.045, b lg k 1.8964.
m 0.1036,k 78.78.
SSE= yi yi 2
有
SST = SSR + SSE
估计平均误差(标准偏差)的计算
Se
1
n
n 2 i 1
yi yi 2
相关系数R的计算
r 2 = SSR／SST=1 - SSE／SST
r SXY
SXX SYY
对的不同的具体值，Y与X之间的相关关系分析如下： ① 当r=1时，称为完全线性正相关；当r=-1时，称为完全线性
为，由实验测得 p 与 的数据如下表:
p% 36.9 46.7 63.7 77.8 84.0 87.5 0C 181 197 235 270 283 292
试用最小二乘法建立 与 p 之间的经验公式 ap b．
练习题答案
2.234 p 95.33.
变数变换（非线性问题的线性化处理）
试根据上面的试验数据建立 y 和t 之间的经验公 式 y f (t).
解 首先确定 f (t )的类型.y
如图，在坐标纸上画出
27
这些点，观察可以认为
26
y f (t) 是线性函数,
25
并设 f (t) at b, 其中
a 和b 是待定常数.
24
o 12345 6 78
t
因为这些点本来不在一条直线上，我们只
例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i 12345678
i 3 6 9 12 15 18 21 24
yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
其中 表示从实验开始算起的时间，y 表示时刻 反应物的量．试定出经验公式 y f ( ). 解 由化学反应速度的理论知道， y f ( ) 应是 指数函数： y kem , 其中 k 和m是待定常数.
（1）退火温度550时，黄铜的延性是多少； （2）黄铜的延性在50%~60%，退火温度应控制在什
么范围。
一、经验公式
在工程问题中，常常需要根据两个变量的 几组实验数值——实验数据，来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式.
问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？
数据是否适合动力学公式
和
2 k1 k2
氧化时间τ.h 1.26
16.67
41.87
72.75
增重ξ g/m3 4.79
190.5
302
398
解：令y=ξ x=t/ξ x=t/ξ 0.0263 0.085 0.1386 0.1828 y=ξ 47.9 190.5 302 398 ∑xi=0.4352 x均值＝0.1088 ∑yi =938.4 y均值＝234.6 y=-8.92+2238.24x ξ2+8.92ξ=2238.24t 再检查这批数据是否可用 表示 令y=logξ x=logt 过程略可得：ξ1.9＝1300t
• 实验内容
– 根据下面给定的实验数据应用excel进行回归 分析
• 实验数据
– 退火温度对黄铜延性的影响试验数据如下表
退火温度 x(℃)
300 400
500
600
700
800
900
黄铜延性 y×100
40
50
55
60
67
70
73
上机实验3
常用数学分析方法应用实践（2）（续）
• 实验报告要求:
– 写出步骤 – 写出回归方程和相关系数 – 根据回归方程回答如下问题
最小来保证每个偏差的绝对值都很小．
定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选
择常数 a,b 的方法叫做最小二乘法．
这种确定常数的方法是通常所采用的.
把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数，
那么问题就可归结为求函数 M M (a,b) 在那
些点处取得最小值.
令
M
a
M
a
7
i0 7
t2 i
7
b ti
i0
7
7 i0
yi ti
,
(1)
a
i0
ti
8b
i0
yi .
计算得
7
ti 28,
i0 7
yi 208.5,
i0
7
t2 i
140,
i0
7
yiti 717.0
i0
代入方程组（1）得
140a 28b 717, 28a 8b 208.5. 解此方程组，得到 a 0.3036,b 27.125.