2020年中考数学三轮复习专项练习：《三角形》

备战2020中考数学三轮复习专项练习：《三角形》

1．如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F是AE上一点，∠FBE＝45°，FC⊥CD于点C．（1）若AB＝2，BF＝2，求△ABF的面积；

（2）如图2，连接AC，求证：AF+BC＝AC．

2．如图，点A的坐标为（﹣6，6），AB⊥x轴，垂足为B，AC⊥y轴，垂足为C，点D，E 分别是射线BO、OC上的动点，且点D不与点B、O重合，∠DAE＝45°．

（1）如图1，当点D在线段BO上时，求△DOE的周长；

（2）如图2，当点D在线段BO的延长线上时，设△ADE的面积为S1，△DOE的面积为S2，请猜想S1与S2之间的等量关系，并证明你的猜想．

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．

（1）求证：△BCE≌△CAD；

（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．

4．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．

（1）如图1，当∠DBA＝30°时：

①求证：AC＝BD；

②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；

（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？

对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；

想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；

想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．

请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．

5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异

侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．

6．已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB、DC，∠BDC＝120°．（1）如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．

①求证：△ABD≌△ACE；

②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系；

（2）若AB＝2，DC＝6，直接写出点A到直线BD的距离．

7．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：AD＝AE；

（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．

①求证：AE∥CF；

②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O，M分别是Rt△ABC的内心和外心，连接OA，OB，OM．

（1）求∠AOB的度数；

（2）延长AC至点D，使AD＝AB，连接BD，求证：AO⊥BD；

（3）在（2）中，延长BC至点E，使BE＝AB，连接DE，找出DE与OM之间的等量关系，并证明这个结论．

9．若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做好玩三

角形．

（1）在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝3，求证：△ABC是好玩三角形．

（2）一个等腰三角形的腰长为m，底边长为n，当这个等腰三角形为好玩三角形时，求的值．

（3）如图1，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，点A，B都在直线DE上，连结AC，BC．若∠A+∠B＝45°，求证：线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形．

（4）如图2，在Rt△ABC中，点D，E，F，G都在线段AB上，以DE，EF，FG为边分别向上作正方形，H，K，M，N分别落在Rt△ABC的边上．以DE，EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，直接写出的值．

10．如图，△ABC是等边三角形，过AB边上点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使ED＝CG，连接AE，CD．

（1）求证：AE＝DC；

（2）过E作EF∥DC，交BC于点F，求证：∠AEF＝∠ACB．

11．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．D是边AB的中点，点E 为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE＝x．

（1）当x＝1时，求△DEF的面积；

（2）如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；

（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．

12．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．

（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；

（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE 与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．

13．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；

（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．