平行关系的性质
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
空间平行
空间中的平行关系1·直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
（线线平行⇒线面平行）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行⇒线线平行） 2·平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）空间中的平行关系练习题1.若直线a 平行于α，直线b 平行于α，则直线a,b 的位置关系为（ ）(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)以上三种情况都有可能2. 平面//,a b αβαβ⊂⊂，，则直线a,b 的位置关系是( )(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面3. 对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）(A)如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n(B)如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交(C)如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //(D)如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4. 下列命题中，错误的命题是（ ）(A)平行于同一直线的两个平面平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交(D)一个平面与两个平行平面相交，交线平行5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，则（1）和平面DBB 1D 1平行的棱有；（2）和平面C 1ED 1平行的棱有；（3）和平面C 1DB 平行的面对角线有.6、如图所示,四棱锥P —ABCD 中, AB ⊥AD, CD ⊥AD, PA ⊥底面ABCD , PA= AB=AD=12CD =2,M 为PC 中点. 求证: BM ∥平面PAD;7. 在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 与C 1D 1的中点.求证：EF//平面BDD 1B 1.9.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M,N,E 分别是棱DC, BC,CC 1 的中点。
投影几何学中的平行关系与距离计算
投影几何学中的平行关系与距离计算投影几何学是几何学的一个分支，研究的是空间中的平面、直线、点等几何体在投影变换下的性质和关系。
在投影几何学中，平行关系和距离计算是两个重要的概念和计算方法。
本文将介绍投影几何学中的平行关系以及如何计算平行线之间的距离。
一、平行关系的定义在投影几何学中，平行关系是指两条直线在平面上永远不相交，无论它们延伸到多远。
平行线具有以下性质：1. 平行线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
斜率可以通过直线上两个点的坐标来计算，即斜率等于纵坐标的差值除以横坐标的差值。
2. 平行线的法向量相等：如果两条直线的法向量相等，那么它们就是平行线。
直线的法向量可以通过直线的一般方程来计算，即直线的一般方程为Ax + By + C= 0，法向量为(A, B)。
3. 平行线的截距相等：如果两条直线在同一平面上，且与该平面的两条平行线的距离相等，那么它们就是平行线。
截距可以通过直线的截距式方程来计算，即直线的截距式方程为x/a + y/b + z/c = 1，截距为(a, b, c)。
二、平行线之间的距离计算在投影几何学中，计算平行线之间的距离是一个常见的问题。
有多种方法可以计算平行线之间的距离，下面将介绍两种常用的方法。
1. 点到直线的距离公式平行线可以看作是同一平面上的两条直线，因此可以使用点到直线的距离公式来计算平行线之间的距离。
点到直线的距离公式如下：d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)其中，(x, y)为平面上的任意一点，A、B、C为直线的一般方程的系数。
2. 平行线之间的距离公式平行线之间的距离可以通过两条直线的截距式方程来计算。
假设两条平行线的截距式方程分别为x/a + y/b + z/c = 1和x/a' + y/b' + z/c' = 1，那么它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |1/c - 1/c'| / √(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)其中，a、b、c和a'、b'、c'分别为两条直线的截距。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间直线的平行与垂直关系
空间直线的平行与垂直关系直线的平行与垂直关系是几何学中的基本概念之一，这个概念在我们日常生活中也是无处不在的。
在建筑、设计、城市规划、工程等领域中，了解直线的平行与垂直关系至关重要。
本文将介绍直线的平行与垂直的定义、性质以及应用。
首先，我们来看直线的平行关系。
当两条直线在平面上永不相交，且在同一平面上的任意两点之间连线都与这两条直线相交，我们可以说这两条直线是平行的。
以字母 "||" 表示直线的平行关系，如果直线a || 直线b，则可以写作 a || b。
直线的平行关系有以下几个重要性质：1. 平行性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线平行，那么这两条直线必定平行。
2. 平行性质二：如果两条直线分别与同一平面上的两条平行线平行，那么这两条直线也平行。
3. 平行性质三：如果直线a与b平行，直线b与c平行，那么直线a与c平行。
直线的垂直关系与平行关系相对应。
当两条直线在平面上相交且交角为90度，我们可以说这两条直线是垂直的。
以一个类似于 "⊥" 的符号表示直线的垂直关系，如果直线a ⊥直线b，则可以写作 a ⊥ b。
直线的垂直关系也有几个重要性质：1. 垂直性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线垂直，那么这两条直线必定垂直。
2. 垂直性质二：如果一条直线与平面上的一条直线垂直，那么与该平面上的另一条直线平行的直线也与该直线垂直。
3. 垂直性质三：如果直线a与b垂直，直线b与c垂直，那么直线a与c平行。
直线的平行与垂直关系在很多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用实例：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，了解平行和垂直关系对于设计合理的建筑和室内布局至关重要。
例如，在设计房间时，我们应该确保墙壁平行或垂直于地面，以获得更美观的效果。
2. 道路和交通：平行和垂直关系在规划和设计道路和交通系统时也非常重要。
道路的平行布局可以提高交通流畅性，而垂直的交叉路口可以确保交通的安全。
空间中的平行关系
(1)试确定F的位置;
(2)求三棱锥A-CDF的体积.
解 (1)连接BE交AD于点O,连接OF,因为CE∥平面ADF,CE⊂平面BEC,平面
ADF∩平面BEC=OF,
所以CE∥OF.
因为O是BE的中点,所以F是BC的中点.
(2)因为 BC 与平面 ABD 所成角为 30°,BC=AB=1,
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为直线a,b,平面α,β,a⊂α,b⊂α,由a∥β,b∥β,得α,β平行或相交;
由α∥β,得a∥β,b∥β,
所以a∥β,b∥β是α∥β的必要不充分条件.故选B.
3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是有(
A.AD1∥BC1
B.平面AB1D1∥平面BDC1
所以 C 到平面 ABD 的距离为 h=BC·
sin
1
30°= .
2
因为 AE=2,F 是 BC 的中点,
所以
1
1
1
VA-CDF=VF-ACD= VB-ACD= VC-ABD=
2
2
2
1
3
× ×
1
1
×1×2×
2
2
=
1
.
12
解题心得在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立
的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转
α,β相交于点A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,则
PD=
答案
.
15
4
解析 由题意,平面 α∥平面 β,则
Hale Waihona Puke 所以·PD=
=
3×5
平行和垂直认识平行线和垂直线的关系
平行和垂直认识平行线和垂直线的关系平行和垂直是几何学中常用的概念，用于描述线之间的关系。
平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线，而垂直线则是指两条直线相交且形成直角的现象。
本文将详细介绍平行线和垂直线的特征以及它们之间的关系。
1. 平行线的特征和性质在平面几何中，两条直线若在同一个平面内永远不相交，那么它们就被称为平行线。
平行线的特征和性质如下：1.1. 永远不相交：平行线永远不会相交，无论它们在平面上的位置如何调整。
1.2. 等间距：平行线之间的距离是恒定的，沿着两条平行线的任意一点，到另一条线的距离始终相等。
1.3. 同向性：两条平行线的方向是一致的，无论它们是向上延伸还是向下延伸。
1.4. 平行线的斜率相等：对于直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，若直线上的两点斜率相等，则这两条直线是平行线。
2. 垂直线的特征和性质垂直线是指两条直线相交，并且相交的角度为直角的线。
垂直线的特征和性质如下：2.1. 相交于直角：垂直线的交点处形成一个90度的角，也称为直角。
2.2. 互不平行：垂直线不可能平行，因为至少相交于一个点。
2.3. 斜率之乘积为-1：对于两条直线的斜率为k1和k2，如果k1 * k2 = -1，则这两条直线是垂直线。
3. 平行线和垂直线的关系3.1. 平行线与垂直线的关系：如果两条平行线和一条垂直线相交，那么垂直线与平行线的任意一条线都会形成相同的角度。
3.2. 垂直线的平行线：如果一条线与另一条垂直线相交，并且又与第三条线相交，那么这两条相交线即使平行线，也与第三条线垂直。
3.3. 平行线的垂直线：如果两条平行线分别与一条第三条线相交，那么这两条平行线与第三条线之间形成的角度是相等的。
通过对平行线和垂直线的特征和关系的研究，我们可以应用它们来解决几何学和实际生活中的问题。
例如，在建筑设计中，平行线和垂直线的概念被应用于布局和构造，以确保建筑物的结构牢固和稳定。
1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
空间里的平行关系
空间里的平行关系引言在几何学中，平行是一个十分重要的概念。
在数学中，平行指的是两条线、平面或者其他几何体在没有交点的情况下保持在固定的距离上。
平行关系是几何学中的基础概念之一，不仅在几何学中有重要应用，也广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍空间中的平行关系，并探讨相关的性质和应用。
一、平行线的定义在平面几何中，平行线定义为永不相交的两条线。
这意味着平行线上的任意两点都不会重合。
可以通过以下几个方式来判断两条线是否平行：•相邻内角相等法则：若两条线被横截线所切，而相邻的内角相等，则两条线是平行的。
•同位角相等法则：若两条直线被一横截线所分，同位角相等，则两条线是平行的。
•钝角异侧法则：若两条线被横截线所切，其中一条直线上的钝角和另一条直线上的锐角在同侧，则两条线是平行的。
二、平行平面的定义在空间几何中，平行平面定义为永不相交的两个平面。
类似于平行线的定义，我们可以通过以下的性质来判断两个平面是否平行：•法向量平行法则：若两个平面的法向量平行，则这两个平面是平行的。
•截线平行法则：若两个平面分别与一条直线相交并且相交线平行，则这两个平面是平行的。
三、平行关系的性质在平行关系中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决实际问题十分有用。
以下是一些平行关系的性质：1.平行关系具有传递性，即如果线段A平行于线段B，而线段B又平行于线段C，则可以推断出线段A平行于线段C。
2.平行关系具有对称性，即如果线段A平行于线段B，则线段B也平行于线段A。
3.平行关系具有自反性，即一条线段和自身平行。
4.平行线与平行平面的交线也是平行于这两个平面的。
四、平行关系的应用平行关系在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计中，在制定建筑结构时，平行关系可以用来确保墙壁、天花板等构件的平行性，从而使建筑结构更加稳定。
2.机械工程中，平行关系可以用来设计零件的装配关系，确保零件之间的平行关系，保证机械设备的正常运行。
空间几何中的平面平行关系
空间几何中的平面平行关系在空间几何学中，平面平行关系是一个重要的概念。
当两个平面永远不相交，无论它们延伸到无穷远，都不会相交，我们就可以说这两个平面是平行的。
平面平行关系有一些性质和判定方法，本文将对这些内容进行详细讨论。
一、定义和性质1. 定义：如果两个平面不相交，则它们是平行的。
2. 性质：a. 平行的平面在任意方向上的截线是平行线。
b. 平面平行关系是对称关系，即如果平面A与平面B平行，则平面B与平面A也平行。
c. 平面平行关系是传递关系，即如果平面A与平面B平行，平面B与平面C平行，则平面A与平面C也平行。
二、平面平行的判定方法1. 通过两个平面的法向量判定：如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2. 通过平面上的一组向量判定：如果两个平面上的相同向量比值相等，则这两个平面平行。
3. 通过平面上的直线与另一平面的交点判定：如果一条直线与一个平面平行于另一个平面，则这两个平面平行。
三、平行平面的性质和相关定理1. 平行平面的截距：平行平面的任意两个截距之比相等。
2. 平行平面的夹角：平行平面之间的夹角等于它们的法向量夹角的余角。
3. 平行线与平面的垂直关系：如果一条直线平行于一个平面，那么该直线上的任意一条直线都与该平面垂直。
4. 平行平面的平行线：平行平面上的平行线在空间中保持平行关系。
根据上述性质和判定方法，我们可以在空间几何中确定两个平面之间的平行关系。
在实际生活中，平面平行关系有广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域都需要考虑平面平行关系。
理解和掌握平行关系的概念和判定方法对于解决实际问题非常重要。
总结：空间几何中的平面平行关系是一种重要的关系概念，具有一定的性质和判定方法。
理解和应用平面平行关系对于解决各种实际问题以及在相关领域中的应用具有重要意义。
通过本文的介绍，希望读者能够对平面平行关系有更深入的理解，并能够灵活应用于实际问题中。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。
它涉及到线与线、面与面之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的应用。
本文将会介绍空间几何中的平行关系的定义、性质以及应用，并且结合具体的例子来说明。
1. 平行关系的定义在空间几何中，如果两个线（又称为直线）不相交，并且在同一个平面上，那么它们被称为平行线。
类似地，如果两个平面之间没有相交的情况，那么它们被称为平行平面。
2. 平行关系的性质平行关系具有以下性质：- 平行线之间的距离相等：如果一条线与另一条线平行，并且在同一个平面上，那么这两条线之间的距离是相等的。
- 平行线的倾斜角度相等：如果两条线平行，并且这两条线与另外一条直线相交，那么与第一条线相交的角度与与第二条线相交的角度是相等的。
- 平行平面之间的距离相等：如果两个平面之间平行，并且这两个平面分别与另一平面相交，那么与第一个平面相交的直线到与第二个平面相交的直线的距离是相等的。
3. 平行关系的应用空间几何中的平行关系在实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍一些应用的例子：- 建筑设计中的平行关系：在建筑设计过程中，设计师需要确保墙壁、天花板等构件是平行的，以保证建筑结构的稳定和美观。
- 航空航天中的平行关系：在飞机、火箭等交通工具的设计中，需要考虑平行关系来确保机翼、尾翼等部件的平行安装，以提高飞行性能和稳定性。
- GPS定位中的平行关系：全球定位系统（GPS）利用卫星进行定位，而卫星之间的轨道需要保持平行关系，以确保精确的定位和导航。
通过以上例子可以看出，平行关系在各个领域都有着重要的应用。
它不仅关乎到结构的稳定性和性能，还对人类的生活和发展产生着重要的影响。
总结起来，空间几何中的平行关系是指在同一平面内两条线不相交，或者两个平面没有交点的情况。
平行关系具有距离相等和角度相等的性质，这些性质在建筑设计、航空航天、GPS定位等领域都有着广泛的应用。
通过对平行关系的研究和应用，人们能够更好地理解和利用空间中的几何关系，为各个领域的发展做出贡献。
8.4空间中的平行关系
1.平行直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b3.平面与平面平行判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α答案 D解析当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α.2.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或②或③答案 C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故选C.3.(教材改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.4.(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5.过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条. 答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD . 证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD .又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD . 命题点2 直线与平面平行性质定理的应用例2 (2014·安徽)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积 S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE ∥平面P AB .证明由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2 3.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，所以C为ND的中点，又因为E为PD的中点，所以EC∥PN，因为EC⊄平面P AB，PN⊂平面P AB，所以CE∥平面P AB.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图.(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.(1)证明因为在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)解如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO 1∥C 1F ，在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点， 所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF .同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即FC ＝EF ， 所以A 1E ＝EF ＝FC .思维升华 (1)线面平行和面面平行的性质都体现了转化思想.(2)对较复杂的综合结论问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，有如下方法： 线线平行―――――→在平面内找或作一直线线面平行 ―――――――――→经过直线找或作平面与已知平面的交线线线平行 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . ∴F 即为所求的点.又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2， 由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－(63a )2＝33a ，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点.5.立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明. 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，[4分] V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分] 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论. 第二步：证明探求结论的正确性. 第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.[方法与技巧]1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：35分钟)1.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面答案 D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.2.(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC.若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD.若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错.故选B.4.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧ l ∥γl ⊂αα∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.7.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由基本性质4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点. 求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.B组专项能力提升(时间：20分钟)11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确.12.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________.答案(8,10)解析 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的范围为(8,10).13.在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________.答案 452解析 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形.又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.14.(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD-EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH ，又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH ，同理BG ∥平面ACH ，又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .15.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝AF＝4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A ′EF 位置，使得A ′C ＝2 6. (1)求五棱锥A ′－BCDFE 的体积； (2)在线段A ′C 上是否存在一点M ，使得BM ∥平面A ′EF ？若存在，求A ′M 的长；若不存在，请说明理由.解 (1)如图所示，连接AC ，设AC ∩EF ＝H ，连接A ′H .因为四边形ABCD 是正方形，AE ＝AF ＝4，所以H 是EF 的中点，且EF ⊥AH ，EF ⊥CH ，从而有A ′H ⊥EF ，CH ⊥EF ，又A ′H ∩CH ＝H ，所以EF ⊥平面A ′HC ，且EF ⊂平面ABCD ，从而平面A ′HC ⊥平面ABCD ，过点A ′作A ′O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则A ′O ⊥平面ABCD ，因为正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF ＝4，故A ′H ＝22，CH ＝42，所以cos ∠A ′HC ＝A ′H 2＋CH 2－A ′C 22A ′H ·CH ＝8＋32－242×22×42＝12， 所以HO ＝A ′H ·cos ∠A ′HC ＝2，则A ′O ＝6，所以五棱锥A ′－BCDFE 的体积V ＝13×(62－12×4×4)×6＝2863.(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝6 2.证明如下：连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点.A′M＝62＝14A′C，HO＝14HC，所以OM∥A′H，又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF，所以OM∥平面A′EF，又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF，所以BD∥平面A′EF，又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，因为BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF.。
直线的平行和垂直关系
直线的平行和垂直关系直线的平行和垂直关系是几何学中非常基础和重要的概念。
它们与角度、形状和空间关系等有着密切的联系。
在本文中，我们将探讨直线平行和垂直的定义、性质以及它们在实际中的应用。
1. 直线平行的定义和性质两条直线如果在同一个平面内且不相交，那么它们就是平行线。
相反，如果两条直线在同一个平面内且相交于同一个点，那么它们就不是平行线。
平行线具有以下性质：(1) 平行线之间不存在交点。
(2) 平行线之间的距离永远保持相等。
(3) 平行线的斜率相等。
平行线在几何学中有着广泛的应用。
例如，在平面几何中，平行线的概念被使用在证明定理和推导其他几何性质的过程中。
同时，在实际生活中，平行线的概念也被应用在建筑、道路规划和电路设计等方面，确保物体或结构之间的距离和关系保持一致。
2. 直线垂直的定义和性质两条直线如果相交且交角为90度，那么它们就是垂直线。
相反，如果两条直线相交但交角不为90度，那么它们就不是垂直线。
垂直线具有以下性质：(1) 垂直线之间的交角为90度。
(2) 垂直线的斜率互为相反数。
垂直线同样被广泛应用在几何学和实际生活中。
在几何学中，垂直线的性质被用来证明垂直性质的定理，如两条垂直平分线的交点一定在所分割线段的中点上。
在实际生活中，垂直线的应用可以见于建筑物建造中的垂直墙面、电线杆与地面的垂直等。
3. 平行线与垂直线之间的关系平行线和垂直线之间有着密切的关系。
根据几何学的基本定理，两条平行线与一条横切线所构成的交角一定相等。
换言之，如果两条平行线中的一条与另一条直线相交产生的交角为90度，那么这两条直线就是垂直线。
此外，直线的平行和垂直关系也可以通过直线的斜率来描述。
两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等。
两条直线垂直的充要条件是它们的斜率互为相反数。
总结：直线的平行和垂直关系是几何学中重要的概念。
平行线在同一个平面内不相交且距离相等；而垂直线则是相交且交角为90度。
它们在几何学的证明和推导中起着重要作用，并且在实际生活中有着广泛应用。
必修二立体几何初步第三讲---平行关系.
专题平行关系本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】1．直线与平面平行的判定(1直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．实际上，如果一条直线和一个平面平行，这条直线和平面内的直线平行或异面，有两种位置关系．(2直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3夹在两个平行平面间的平行线段相等．第二部分：【经典例题】例1 下面说法正确的是（）A. 直线平行于平面内的无数条直线，则∥；B. 若直线在平面外，则∥；C. 若直线∥，直线，则∥；D. 与两条异面直线都平行的平面有无穷多个例2 下列说法中正确的是（）①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。
第10讲 空间中平行关系的判定与性质
第24讲 空间中平行关系的判定与性质一.基础知识整合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a αb αa ∥α⎭⎪⎬⎪⎫a β，b βaα，bαa ∩b ＝Aa ∥β，b ∥β⇒α∥β⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b题型一：线面平行的判定例1：如图，四边形ABCD ，ADEF 都是正方形，M ∈BD ，N ∈AE ，且BM ＝AN.求证：MN ∥平面CED .证明：如图，连接AM 并延长交CD 于点G ，连接GE ，因为AB ∥CD ，所以AM MG ＝BM MD .所以AM MG ＋AM ＝BM MD ＋BM，即AM AG ＝BM BD .又因为BD ＝AE且AN ＝BM ，所以AM AG ＝ANAE .所以MN ∥GE .又GE 平面CED ，MN平面CED ，所以MN ∥平面CED .变式迁移1：在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD.证明：取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 题型二：面面平行的判定例2：:已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明：∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP .∵BP 平面PBC ，NQ 平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .∵BC 平面PBC ，MQ 平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又MQ ∩NQ ＝Q ，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ ∥平面PBC .变式训练2：如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明：如图所示，连接B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD ，又PN 平面A 1BD ，BD 平面A 1BD ，∴PN ∥平面A 1BD ，同理可得MN ∥平面A 1BD ，又∵MN ∩PN ＝N ，∴平面PMN ∥平面A 1BD .题型三：平行关系判定的综合应用例3：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .证明如下：设Q 为CC 1中点，则PD 綊QC ，连接PQ ，则由PQ 綊DC 綊AB ，可知四边形ABQP 是平行四边形，∴AP ∥BQ .∵AP 平面D 1BQ ，BQ 平面D 1BQ ，∴AP ∥平面D 1BQ .∵O 、P 分别为BD 、DD 1的中点，∴OP ∥BD 1.又OP 平面D 1BQ ，BD 1平面D 1BQ ，∴OP ∥平面D 1BQ .又AP ∩PO ＝P ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，∴当点Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .变式训练3：如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的点，EC ＝2FB ＝2.则当点M 在什么位置时，MB ∥平面AEF ？试给出证明． 解：当M 为AC 中点时，MB ∥平面AEF .证明：如图，当M 为AC 中点时，过M 作MG ∥CE ，交AE 于G ，连接GF .∵M 为AC 中点，∴MG 綊12CE .又FB ∥CE ，EC ＝2FB ，∴MG 綊FB .∴四边形BFGM为平行四边形，∴GF ∥MB .又GF 平面AEF ，MB 平面AEF ，所以MB ∥平面AEF .题型四：线面平行性质的应用例4：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH . 证明：如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点，∴AP ∥OM .又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ，又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 变式训练4：如图所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.证明：如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ .于是AM MC ＝AQDQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND . 题型五：面面平行性质的应用例5：已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF.证明：如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF .于是在△ADC 内有AB BC ＝DG GC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF.∴AB BC ＝DE EF.变式训练5：如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理)取AE 中点N ，连接NP ，MN ，∵M 、P 分别为AB 、CD 的中点，∴NP ∥DE ，MN ∥BE .又NPβ，DE β，MNβ，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β.又NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β.∵MP 平面MNP ，∴MP ∥β.题型六：平行关系性质的综合应用例6：如图，直线CD 、AB 分别平行于平面EFGH ，E 、F 、G 、H 分别在AC 、AD 、BD 、BC 上，且CD ＝a ，AB ＝b ，CD ⊥AB . (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)点E 在AC 上的什么位置时，四边形EFGH 的面积最大？ 解：(1)因为CD ∥平面EFGH ，所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF . 同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF .所以四边形EFGH 是矩形．(2)设CE ＝x ，AC ＝1，因为HE ∥AB ，所以HE AB ＝CECA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC中点时，四边形EFGH 的面积最大．变式训练6：如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l . (1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论．证明：(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. (2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. ∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD.三．方法规律总结1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．4．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系四．课后练习作业一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．平行于同一个平面的两条直线平行B．同时与两异面直线平行的平面有无数多个C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D．直线l不在平面α内，则l∥α【解析】：A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与α不平行．2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是(C) A．MN∥βB．MN与β相交或MNβC．MN∥β或MNβD．MN∥β或MN与β相交或MNβ【解析】:当平面β与平面ABC重合时，有MNβ；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MNβ.1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是(D)①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．①③C．①D．②③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.2．下列说法正确的个数为(B)①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．3．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(A)A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交【解析】如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．∵E、F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.又EF平面EFG，且AC平面EFG.∴AC∥平面EFG.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是(A)A．平面A1BC1和平面ACD1 B．平面BDC1和平面B1D1CC．平面B1D1D和平面BDA1D．平面ADC1和平面AD1C【解析】:如图，在截面A 1BC 1和截面AD 1C 中，⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥A 1C 1AD 1∥BC1AC ∩AD 1＝AA 1C 1∩BC 1＝C 1⇒平面A 1BC 1∥平面ACD 1. 3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( B ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20【解析】第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ，则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD .∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x .∴PD PC ＝PB P A . ∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24.5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( B ) A ．α∥平面ABC B ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于α D ．△ABC 中只可能有一边与α相交 【解析】若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.5．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( B ) A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形【解析】:∵AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，∴EF ∥BD 且EF ＝15BD .又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴HG 綊12BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 为梯形．∵BD 平面BCD 且EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD . 二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则MN 与平面BDC的位置关系是________．【解析】:∵AM MB ＝ANND ，∴MN ∥BD .又∵MN 平面BDC ，BD 平面BDC ，∴MN ∥平面BDC .【答案】 平行7．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②γ∥α，β∥α⇒γ∥β；③a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确命题的序号是________．【解析】由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a 可能在α内．【答案】 ①②8．在空间四边形P ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是△PBC 、△PCA 、△P AB 的重心，则平面ABC 与平面A 1B 1C 1的位置关系是________．【解析】如图，连接PC 1，P A 1，并延长分别交AB ，BC 于E 、F 两点，由于C 1、A 1分别为重心．∴E 、F 分别为AB 、BC 的中点，连接EF .又∵PC 1C 1E ＝P A 1A 1F ＝2.∴A 1C 1∥EF .又∵EF 为△ABC边AC 上的中位线，∴EF ∥AC ，∴AC ∥A1C 1，又A 1C 1平面ABC ，AC 平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，同理A 1B 1∥平面ABC ，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，∴平面A 1B 1C 1∥平面ABC .【答案】 平行7．空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 88．如图，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交，∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′，∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，①△ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABCS △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】 239三、解答题9．在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点．求证：平面A ′EB ∥平面ADC ′.证明:连接DE ，∵E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点，∴DE 綊AA ′，∴AA ′ED 是平行四边形，∴A ′E ∥AD .∵A ′E 平面ADC ′，AD 平面ADC ′.∴A ′E ∥平面ADC ′.又BE ∥DC ′，BE 平面ADC ′，DC ′平面ADC ′，∴BE ∥平面ADC ′，∵A ′E 平面A ′EB ，BE 平面A ′EB ，A ′E ∩BE ＝E ，∴平面A ′EB ∥平面ADC ′.10．如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，求证：面AD 1C ∥面BPQ .证明:∵D 1Q ＝12DC ，AB 綊12CD ，∴D 1Q 綊AB .∴四边形D 1QBA 为平行四边形，∴D 1A 綊QB .∵Q 、P 分别为D 1C 1、C 1C 的中点，∴QP ∥D 1C . ∵D 1C ∩D 1A ＝D 1，PQ ∩QB ＝Q .∴面AD 1C ∥面BPQ .11．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG ∥B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE .∵OB平面BDD 1B 1，GE 平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B 1D 1平面BDF ，BD 平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF .∵HD 1平面BDF ，BF 平面BDF ，∴HD1∥平面BDF ，∵B 1D 1∩HD 1＝D 1，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .9．如图，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解:设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．∵A 1B ∥平面B 1CD ，且A 1B 平面A 1BC 1，∴A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点． 求证：AC ∥平面BPQ .证明:连接CD 1，AD 1∵P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，且CD 1平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ .又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ，又∵AD 1平面BPQ ， ∴AD 1∥平面BPQ 又AD 1∩CD 1＝D 1.∴平面ACD 1∥平面BPQ . ∵AC 平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ .11．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，试探求点E 的位置，使SC ∥平面EBD ，并证明．解:点E 的位置是棱SA 的中点．证明如下：如题图，取SA 的中点E ，连接EB ，ED ，AC ，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是AC 的中点．又E 是SA 的中点，∴OE 是△SAC 的中位线．∴OE ∥SC .∵SC 平面EBD ，OE 平面EBD ，∴SC ∥平面EBD . 则平面MNE ∥平面P AD .又∵MN 平面P AD ，且MN 平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .。
1.5-4平行关系的性质
问题二： 问题二：已知
面面平行） α // β ( 面面平行） , 作出图示 1、在 α 内任意一直线 a 与 β 什么关系？ 什么关系？
平行 ——面面平行 面面平行 Nhomakorabea线面平行
2、 γ 分别与 α 、 β 相交与 a 、 b , 则 a 、 b 什么关系？ 什么关系？
定理5.4 定理 平行 ——定理 ——面面平行 面面平行 线面平行 线线平行
如图： 两两平行， 如图： α、 β 、 γ两两平行，且直线 l与 α、 β 、 γ 分别相交于 A、 B、 C , 直线 m 于 α、 β 、 γ分别相 交于点 D、 E、 F , m 于 l为异面直线 . AB = 6, BC = 2 EF = 3，求 DE 的长 . l m A D
α
β
E F
G
B C
γ
小结
线线平行
线面平行 作业
面面平行
同步P39右6 P40右6 右 同步 右 选做：书本P40 B3000 选做：书本
1.51.5-4平行关系的性质
教学目标： 教学目标：巩固平行关系的判定定理 掌握平行关系的重要性质
教学难点：平行关系的性质及其应用 教学难点：
知识回顾 如何证明线面平行？ 如何证明线面平行？ 线线平行 线面平行
如何证明面面平行？ 如何证明面面平行？ 线面平行 面面平行
往往已知条件不是线面平行，怎么证明面面平行？ 往往已知条件不是线面平行，怎么证明面面平行？ 找：线线平行 线面平行 面面平行
问题一： 线面平行）， ），作图图示 问题一： 已知a // α （线面平行），作图图示 1、过a可以作多少个与 α 平行的平面？ 、 可以作多少个与 平行的平面？ 无数个 2、取一个过a与 α 平行的平面 β ，且 α ∩ β = l 、取一个过 与
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析 可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析 若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析 如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案 平行考向一 线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解 法一 连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二 面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可． 证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ， 因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点， 所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审 取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审 取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范． 证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行； 第四步：转化为线面平行； 第五步：反思回顾．检查答题规范． 【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。