第一节 柯西(Cauchy)中值定理与 洛必达(L'Hospital)法则
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例5
解
1 x 求 lim ． x1 x 1 ln x
这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型． 0
1 x ln x 1 x 1 x ln x ( x 1) lim x lim lim x1 x1 x1 x 1 ln x x 1 ( x 1) ln x ln x x
解
1 ．
1 ln x 1 lim n lim x 1 lim n 0 ． x x x nx n x nx
0 0 0 除未定型 与 之外， 还有0 , ,0 ,1 , 等未 0 定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 未定型再举一例．
三、函数的单调性
如图观察区间[ a, b] 上的单调递 y 增函数 f (x ) 的图像，当 x 增大时， 曲线上任一点处的切线与 x 轴正 向夹角为锐角，即 f ( x ) 0（个别点 处 f ( x ) 0 ） ，反过来是否也成立 0 呢？我们有如下定理：
a
b x
定理 2 可导，则有
推论 2 如 果 对 ( a, b) 内 任 意 x ， 均 有 f ( x ) g ( x ) ，则在( a, b) 内 f (x ) 与g (x ) 之间只差一个 C 常数，即 f ( x ) g ( x ) C （ 为常数） ．
证 令 F ( x ) f ( x ) g ( x ) ，则F ( x ) 0 ，由推论 1 知 ， F (x ) 在 ( a, b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f ( x ) g ( x ) C , x ( a, b) ，证毕．
f ( x) f ( x) lim lim A . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
证 由于我们要讨论的是函数在点 x0 的极限， 而极限与函数在点 x0 的值无关， 所以我们可补充 f (x ) 与 g (x ) 在x 0 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ，则 f (x ) 与 g (x ) 在点 x0 就连 续了．在 x0 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 f ( x) f ( x) f ( x0 ) f ( ) (ξ 在 x 与 x0 之间) . g ( x) g ( x) g ( x0 ) g ( )
第四章 一元函数微分学的Leabharlann Baidu用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 函数的极值与最值
第三节
第四节 第五节 用
函数图形的描绘 一元函数微分学在经济上的应
本章学习要求
• • • • 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方 法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. • 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单 函数的图形. • 重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数 的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方 法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题. • 难点 函数最值问题的应用
当 x (,0) 时， f ( x ) 0 ； x (0,2) 时 f ( x ) 0 ; 有 当 当 x ( 2, ) 时，f ( x ) 0 ， 因此， 由定理 2 知， 函数 f (x ) 在区间(,0) 与( 2,) 上单调减少，在区间 (0,2) 单调增 加．
ln x 1 lim lim . x1 x1 1 1 1 2 1 ln x x x2 x
1 x
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0 (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 或 0
(2) 如果有可约因子， 或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； f (x) (3) 当lim 不存在(不包括 的情况)时，并不 g (x) f(x) 能断定 lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
推论 1 如果函数 f (x ) 在区间 ( a, b) 内满足 C f ' ( x ) 0 ，则在 ( a, b) 内 f ( x ) C （ 为常数） ．
.
证 设 x1 , x2 是 区 间 ( a, b) 内 的 任 意 两 点 ， 且 x1 x2 ，于是在区间[ x1 , x2 ] 上函数 f (x ) 满足拉格朗日 中值定理的条件，故得
需回答的问题: (1) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与 区别? (2) 若将罗尔中值定理中条件(1)换成“在开区间 ( a, b) 内连续”,定理的结论还成立吗?画图说明． (3) 不求 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数, 说明方程 f (x ) 有几个实根,并指出它们所在的区间．
同理可证，如果 f ( x) 0 ，则函数 f (x) 在[ a, b] 上 单调减少，证毕．
函数单调区间的确定：
（1） 求出使 f ( x ) 0 的点 （称这样的点为驻点） ，
（2）用这些驻点将 f (x) 的定义域分成若干个子 区间，再在每个子区间上判断函数的单调性.
例
讨论函数 f ( x) 3x 2 x 3 的单调性．
解
x 3 3x 2 lim 3 = x 1 x x 2 x 1 3x 2 3 lim 2 x 1 3 x 2 x 1 6x 6 3 lim = = = ． x1 6 x 2 4 2
例2
1 cos x 求 lim ． xπ tan x
解
1 cos x sin x lim = lim = 0． xπ xπ 1 tan x cos 2 x
π arctan x 例 3 求 lim 2 ． x 1 x π 1 arctan x 2 1 x2 lim 解 = lim x x 1 1 2 x x x2 = xlim = 1 x 2 ln x 例 4 求 lim n (n 0) . x x
罗尔(Rolle)中值定理 若 f (x ) 满足如下 3 条: (1) 在闭区间[ a, b] 上连续; (2) 在开区间( a, b) 内可导; (3) 在 区 间 [ a, b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即 f ( a ) f (b ) ,则在开区间( a, b) 内至少存在一点 ,使 得 f ( ) 0 ．
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 ) .
如果 f ( x ) 0 ，必有 f ( ) 0 ，又 x2 x1 0 ， 于是有 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，
即 f ( x2 ) f ( x1 ) ,由于 x1 , x2 ( x1 x2 ) 是[ a, b] 上任意 两点，所以函数 f (x ) 在[ a, b] 上单调增加．
使得
f(b) f(a) f ( ) . F(b) F(a) F ( )
二、洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 0 0 称为 型或 型不定式(也称为 型或 型未定型) 0 0 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法．
定理 2
x x0
由于 x x0 时，ξ x0 ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕．
0 注：上述定理对 x 时的 未定型同样适用，对于 0 x x0 或 x 时的未定型 ，也有相应的法则．
x 3 3x 2 例 1 求 lim 3 ． x1 x x 2 x 1
第二节 拉格朗日（Lagrange）中值 定理及函数的单调性
一、 拉格朗日中值定理 二、 两个重要推论 三、 函数的单调性
一、拉格朗日中值定理
定理 1 （1） （2） 至少有一点 如果函数 f (x ) 满足下列条件： 在 区间[ a, b] 上连续； 在开区间( a, b) 内可导，那么，在( a, b) 内 ξ ，使得 f (b) f ( a ) f ( )(b a ) . 如果令 x a, Δx b a ，则上式为 f ( x Δx ) f ( x ) f ' ( ξ ) Δx ,
思考题
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x ) “在 闭区间[ a, b] 上连续”换为“在开区( a, b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．
2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．
解 因为 f ( x) 3x 2 x 3 , 2 所以 f ' ( x) 6 x 3x 3x(2 x) , x x 令 f ( x ) 0 得驻点：1 0 ，2 2 ,用它们将 f (x ) 的 定义区间( ,) 分成三个部分区间: (,0) ， (0,2) ， ( 2,) .
设函数 f (x ) 在[ a, b] 上连续，在( a, b) 内
（1）如果在(a, b) 内 f ( x ) 0 ，则函数 f (x) 在 [a, b] 上单调增加；
（2）如果在(a, b) 内 f ( x ) 0 ，则函数 f (x) 在 [a, b] 上单调减少．
证 设 x1 , x2 是[ a, b] 上任意两点,且x1 x2 ，由拉格 朗日中值定理有
其 中 ξ 介 于 x 与 x Δx 之 间 ， 如 果 将 ξ 表 是 成 ξ x Δx (0 1) ，上式也可写成 f ( x x ) f ( x ) f '( x x ) x (0 1) .
拉格朗日中值定理几何演示
二、两个重要推论
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
思考题
1．用洛必达法则求极限时应注意什么？
2．把柯西中值定理中的“ f ( x ) 与F (x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续”换成“ f(x) 与F (x ) 在开区间 ( a, b) 内连续” 后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画 出函数图象）说明．
(洛必达法则)
x x0
若
(1) lim f ( x) 0 ， lim g ( x) 0 ；
(2) f (x ) 与 g (x ) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外） 可导，且 g ' ( x ) 0 ；
f ( x) A ( A 为有限数，也可为 或 )，则 (3) lim x x0 g ( x )
f ( x2 ) f ( x1 ) f (ξ )( x2 x1 ) ( x1 ξ x2 ),
由于 f (ξ ) 0 ，所以 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) .
因为 x1 , x2 是 ( a, b) 内的任意两点，于是上式表明 f (x ) 在 ( a, b) 内任意两点的值总是相等的，即 f (x ) 在 ( a, b) 内是一个常数，证毕．
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必
达（L’Hospital）法则
一、 柯西中值定理
二、 洛必达法则
一、 柯西中值定理
定理 1 （柯西中值定理） 如果函数 f (x ) 与 F (x ) 满 足下列条件：
(1) 闭区间[a, b] 上连续； (2) 在开区间 (a, b) 内可导；
(3) F ' ( x ) 在( a, b) 内的每一点均不为零， 那么， 在 ( a, b) 内至少有一点ξ ，
解
1 x 求 lim ． x1 x 1 ln x
这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型． 0
1 x ln x 1 x 1 x ln x ( x 1) lim x lim lim x1 x1 x1 x 1 ln x x 1 ( x 1) ln x ln x x
解
1 ．
1 ln x 1 lim n lim x 1 lim n 0 ． x x x nx n x nx
0 0 0 除未定型 与 之外， 还有0 , ,0 ,1 , 等未 0 定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 未定型再举一例．
三、函数的单调性
如图观察区间[ a, b] 上的单调递 y 增函数 f (x ) 的图像，当 x 增大时， 曲线上任一点处的切线与 x 轴正 向夹角为锐角，即 f ( x ) 0（个别点 处 f ( x ) 0 ） ，反过来是否也成立 0 呢？我们有如下定理：
a
b x
定理 2 可导，则有
推论 2 如 果 对 ( a, b) 内 任 意 x ， 均 有 f ( x ) g ( x ) ，则在( a, b) 内 f (x ) 与g (x ) 之间只差一个 C 常数，即 f ( x ) g ( x ) C （ 为常数） ．
证 令 F ( x ) f ( x ) g ( x ) ，则F ( x ) 0 ，由推论 1 知 ， F (x ) 在 ( a, b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f ( x ) g ( x ) C , x ( a, b) ，证毕．
f ( x) f ( x) lim lim A . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
证 由于我们要讨论的是函数在点 x0 的极限， 而极限与函数在点 x0 的值无关， 所以我们可补充 f (x ) 与 g (x ) 在x 0 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ，则 f (x ) 与 g (x ) 在点 x0 就连 续了．在 x0 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 f ( x) f ( x) f ( x0 ) f ( ) (ξ 在 x 与 x0 之间) . g ( x) g ( x) g ( x0 ) g ( )
第四章 一元函数微分学的Leabharlann Baidu用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 函数的极值与最值
第三节
第四节 第五节 用
函数图形的描绘 一元函数微分学在经济上的应
本章学习要求
• • • • 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方 法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. • 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单 函数的图形. • 重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数 的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方 法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题. • 难点 函数最值问题的应用
当 x (,0) 时， f ( x ) 0 ； x (0,2) 时 f ( x ) 0 ; 有 当 当 x ( 2, ) 时，f ( x ) 0 ， 因此， 由定理 2 知， 函数 f (x ) 在区间(,0) 与( 2,) 上单调减少，在区间 (0,2) 单调增 加．
ln x 1 lim lim . x1 x1 1 1 1 2 1 ln x x x2 x
1 x
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0 (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 或 0
(2) 如果有可约因子， 或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； f (x) (3) 当lim 不存在(不包括 的情况)时，并不 g (x) f(x) 能断定 lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
推论 1 如果函数 f (x ) 在区间 ( a, b) 内满足 C f ' ( x ) 0 ，则在 ( a, b) 内 f ( x ) C （ 为常数） ．
.
证 设 x1 , x2 是 区 间 ( a, b) 内 的 任 意 两 点 ， 且 x1 x2 ，于是在区间[ x1 , x2 ] 上函数 f (x ) 满足拉格朗日 中值定理的条件，故得
需回答的问题: (1) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与 区别? (2) 若将罗尔中值定理中条件(1)换成“在开区间 ( a, b) 内连续”,定理的结论还成立吗?画图说明． (3) 不求 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数, 说明方程 f (x ) 有几个实根,并指出它们所在的区间．
同理可证，如果 f ( x) 0 ，则函数 f (x) 在[ a, b] 上 单调减少，证毕．
函数单调区间的确定：
（1） 求出使 f ( x ) 0 的点 （称这样的点为驻点） ，
（2）用这些驻点将 f (x) 的定义域分成若干个子 区间，再在每个子区间上判断函数的单调性.
例
讨论函数 f ( x) 3x 2 x 3 的单调性．
解
x 3 3x 2 lim 3 = x 1 x x 2 x 1 3x 2 3 lim 2 x 1 3 x 2 x 1 6x 6 3 lim = = = ． x1 6 x 2 4 2
例2
1 cos x 求 lim ． xπ tan x
解
1 cos x sin x lim = lim = 0． xπ xπ 1 tan x cos 2 x
π arctan x 例 3 求 lim 2 ． x 1 x π 1 arctan x 2 1 x2 lim 解 = lim x x 1 1 2 x x x2 = xlim = 1 x 2 ln x 例 4 求 lim n (n 0) . x x
罗尔(Rolle)中值定理 若 f (x ) 满足如下 3 条: (1) 在闭区间[ a, b] 上连续; (2) 在开区间( a, b) 内可导; (3) 在 区 间 [ a, b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即 f ( a ) f (b ) ,则在开区间( a, b) 内至少存在一点 ,使 得 f ( ) 0 ．
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 ) .
如果 f ( x ) 0 ，必有 f ( ) 0 ，又 x2 x1 0 ， 于是有 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，
即 f ( x2 ) f ( x1 ) ,由于 x1 , x2 ( x1 x2 ) 是[ a, b] 上任意 两点，所以函数 f (x ) 在[ a, b] 上单调增加．
使得
f(b) f(a) f ( ) . F(b) F(a) F ( )
二、洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 0 0 称为 型或 型不定式(也称为 型或 型未定型) 0 0 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法．
定理 2
x x0
由于 x x0 时，ξ x0 ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕．
0 注：上述定理对 x 时的 未定型同样适用，对于 0 x x0 或 x 时的未定型 ，也有相应的法则．
x 3 3x 2 例 1 求 lim 3 ． x1 x x 2 x 1
第二节 拉格朗日（Lagrange）中值 定理及函数的单调性
一、 拉格朗日中值定理 二、 两个重要推论 三、 函数的单调性
一、拉格朗日中值定理
定理 1 （1） （2） 至少有一点 如果函数 f (x ) 满足下列条件： 在 区间[ a, b] 上连续； 在开区间( a, b) 内可导，那么，在( a, b) 内 ξ ，使得 f (b) f ( a ) f ( )(b a ) . 如果令 x a, Δx b a ，则上式为 f ( x Δx ) f ( x ) f ' ( ξ ) Δx ,
思考题
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x ) “在 闭区间[ a, b] 上连续”换为“在开区( a, b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．
2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．
解 因为 f ( x) 3x 2 x 3 , 2 所以 f ' ( x) 6 x 3x 3x(2 x) , x x 令 f ( x ) 0 得驻点：1 0 ，2 2 ,用它们将 f (x ) 的 定义区间( ,) 分成三个部分区间: (,0) ， (0,2) ， ( 2,) .
设函数 f (x ) 在[ a, b] 上连续，在( a, b) 内
（1）如果在(a, b) 内 f ( x ) 0 ，则函数 f (x) 在 [a, b] 上单调增加；
（2）如果在(a, b) 内 f ( x ) 0 ，则函数 f (x) 在 [a, b] 上单调减少．
证 设 x1 , x2 是[ a, b] 上任意两点,且x1 x2 ，由拉格 朗日中值定理有
其 中 ξ 介 于 x 与 x Δx 之 间 ， 如 果 将 ξ 表 是 成 ξ x Δx (0 1) ，上式也可写成 f ( x x ) f ( x ) f '( x x ) x (0 1) .
拉格朗日中值定理几何演示
二、两个重要推论
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
思考题
1．用洛必达法则求极限时应注意什么？
2．把柯西中值定理中的“ f ( x ) 与F (x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续”换成“ f(x) 与F (x ) 在开区间 ( a, b) 内连续” 后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画 出函数图象）说明．
(洛必达法则)
x x0
若
(1) lim f ( x) 0 ， lim g ( x) 0 ；
(2) f (x ) 与 g (x ) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外） 可导，且 g ' ( x ) 0 ；
f ( x) A ( A 为有限数，也可为 或 )，则 (3) lim x x0 g ( x )
f ( x2 ) f ( x1 ) f (ξ )( x2 x1 ) ( x1 ξ x2 ),
由于 f (ξ ) 0 ，所以 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) .
因为 x1 , x2 是 ( a, b) 内的任意两点，于是上式表明 f (x ) 在 ( a, b) 内任意两点的值总是相等的，即 f (x ) 在 ( a, b) 内是一个常数，证毕．
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必
达（L’Hospital）法则
一、 柯西中值定理
二、 洛必达法则
一、 柯西中值定理
定理 1 （柯西中值定理） 如果函数 f (x ) 与 F (x ) 满 足下列条件：
(1) 闭区间[a, b] 上连续； (2) 在开区间 (a, b) 内可导；
(3) F ' ( x ) 在( a, b) 内的每一点均不为零， 那么， 在 ( a, b) 内至少有一点ξ ，