有理数知识点及典型例题

第1章：有理数知识点及典型例题

（一）数的分类（强化记忆）

⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩

正整数正有理数正实数正分数

正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零

正分数正整数正有理数有理数

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 （按符号分） （按定义分、按性质分）

注意点：

(1)凡能写成)0p q ,p (p

q ≠为整数且形式的数，都是有理数 （2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.

（3）0即不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量

的基准。如

0不能理解为没有温度。

（4）初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数

（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数

误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数

例-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；

（6）π不是有理数，而是无理数；

（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。

{}

⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数

例1、把下列各数填在相应的集合里

5，-2，4.6，，0，-2.25，1，+0.34，+13，-3.1416，

整数集合｛ 5，-2，0，+13，…｝非负整数集合{5，0，+13，… }

负分数集合｛，-2.25， -3.1416，…｝正有理数集合｛5， 4.6，1，+0.34，+13，｝

例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％，

（1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。

（3）如果以标准价为“基准”，超过“基准”记为“+”，低于“基准”记为“-”，那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。

解：（1）±10％的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10％。

（2）最高价格：200×（1+10％）=220（元）最低价格：200×（1-10％）=180（元）

（3）180-200=-20（元）220-200=20（元）

以标准价格是200元为“基准”，该商品价格浮动的范围为±20元。

例3、光盘的质量标准中规定：厚度为(1.2±0.1)mm的光盘是合格品，说说1.2mm和±0.1mm所表示的意义。

解：1.2mm表示光盘的标准厚度；±0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm,

最小不低于标准厚度的0.1mm.

（二）正数与负数表示具有相反意义的量。这样使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，只用一个词语就可以把事情说清。如减少5hm2就可以说成增加 -5hm2.(注意“两变”）

常见的相反意义的量：高于与低于，零上与零下，盈利与亏损，增加与减少，上升与下降。

例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是（ A）

A、甲比乙小2岁

B、甲比乙大2岁

C、乙比甲大-2岁

D、乙比甲小2岁

（三）数轴、相反数、绝对值、倒数的概念（强化记忆）

1、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致

2．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0 ⇔a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.（3）互为相反数的两数绝对值相等。

3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)

0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 注：2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．

4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是

a 1； a

1也可表示为a -1,若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab ＝－1⇔ a 、b 互为负倒数. 例1.已知A 、B 两点坐标分别为﹣3、﹣6，若在数在线找一点C ，使得A 与C 的距离为4；找一点D ，使得B 与D 的距离为1，则下列何者不可能为C 与D 的距离（ ）

A 、0

B 、2

C 、4

D 、6

分析：将点A 、B 、C 、D 在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD 的长度．

解：根据题意，点C 与点D 在数轴上的位置如图所示：

在数轴上使AC 的距离为4的C 点有两个：C 1、C 2数轴上使BD 的距离为4的D 点有两个：D 1、D 2 ∴①C 与D 的距离为：C 2D 2=0；②C 与D 的距离为：C 2D 1=2；

③C 与D 的距离为：C 1D 2=8；④C 与D 的距离为：C 1D 1=6；

综合①②③④，知C 与D 的距离可能为：0、2、6、8．故选C ．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，

体现了数形结合的优点．

（四）非负数定理：几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0 （强化记忆）

注：非负数：零和正数统称非负数。常见的非负数的形式：|a| 、2a ；

例1、已知2(3)30x y -++= ,求332010()()()x

x y y -+-- 的值。