第三章第六讲曲率求法与方程求解

2020/3/6
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单调增函数 s s( x).
设N ( x x, y y),
y
N
T
A
M
y
x R
MN MN MT NT 当x 0o时, x0 x
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx .
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
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二、曲率及其计算公式
2
一、弧微分***
设函数f ( x)在区间(a, b) 内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ), M ( x, y)为任意一点,
y
N
T
A
M
y
x R
o
x0
x
x x x
规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致;
(2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号,相反时, s取负号.
B
那个端点（此端点记作 ( x0, f ( x0 ))) 作切线，这切
o a x1

bx
线与 x 轴的交点的横坐标 A
x1 比 x0 更接近方程的根． f (a) 0, f (b) 0
令 x0 a,
f ( x) 0, f ( x) 0
则切线方程为 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N

弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
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y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点. MM s ,
M M 切线转角为 .
a b，计算 2
f (1 ).
如果 f (1 ) 0，那末 1；
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如果 f (1 ) 与 f (a) 同号，那末取 a1 1, b1 b,
由 f (a1 ) f (b1 ) 0，即知 a1 b1，且
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区间[a,b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区间 [a,b] 称为所求实 根的隔离区间．
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如图，精确画出y f (x)的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根．
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令 y 0, 得
x1

x0
f ( x0 ) , f ( x0 )
y
y f (x)
在点 ( x1, f ( x1 )) 作切线，
o
得根的近似值
x2

x1
f ( x1 ) . f ( x1 )
a
x1
x2

A
如此继续，得根的近似值
B bx
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
y
C
设y f ( x)二阶可导, tan y,
M.
有 arctan y, d
y

1
y2
dx, M0
S
.M)
S
ds 1 y2dx. k
y o 3.
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重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
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一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
D 1
k
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
o
M
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
y f (x)
x
D 曲率中心,
曲率半径.
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注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
即 1,k 1 . k
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
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3、应用 例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
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二、二分法
设 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，f (a) f (b) 0，
且方程 f ( x)＝０在 (a,b)内仅有一个实根，于是
[a , b] 即是这个根的一个隔离区间．
作法：
取 [a,b]的中点 1
0.670 0.671. 即 0.670 作为根的不足近似值, 0.671 作为根的过剩近似值, 其误差都小于103.
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三、切线法
设 f ( x) 在 [a,b] 上具有二阶导数，f (a) f (b) 0， 且 f ( x) 及 f ( x) 在 [a,b] 上保持定号．
4 0.687, f (4 ) 0.062 0, 故 a4 0.625, b4 0.687;
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5 0.656, f (5 ) 0.054 0, 故 a5 0.656, b5 0.687; 6 0.672, f (6 ) 0.005 0, 故 a6 0.656, b6 0.672; 7 0.664, f (7 ) 0.025 0, 故 a7 0.664, b7 0.672; 8 0.668, f (8 ) 0.010 0, 故 a8 0.668, b8 0.672; 9 0.670, f (9 ) 0.002 0, 故 a9 0.670, b9 0.672; 10 0.671, f (10 ) 0.001 0, 故 a10 0.670, b10 0.671.
砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
y 0.8x, y 0.8
y x0 0, y x0 0.8
定义
M.
S
. M0 S M

)
o
x
弧段MM 的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率
K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
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注意: (1) 直线的曲率处处为零;
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例１ 用二分法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的实根的近似值,使误差不超过 103. 解 令 f ( x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,
显然 f ( x) 在 (,)内连续.
f ( x) 3x2 2.2x 0.9, 1.49 0, f ( x) 0. 如图
b1

a1

1 (b 2

a);
如果 f (1 ) 与 f (b) 同号，那末取 a1 a, b1 1,
wenku.baidu.com也有
a1



b1
及
b1

a1

1 (b 2

a);
总之，
当

１ 时，可求得
a1



b1
且
b1

a1

1 (b 2

a);
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以 [a1,b1] 作为新的隔离区间，重复上述做法，
则方程 f ( x)＝０在 (a,b)内有唯一个的实根，
[a,b] 是根的一个隔离区间．
定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从 而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线 法（牛顿法）．
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如图，
y
在纵坐标与 f ( x) 同号的
y f (x)
所以，K=0.8
因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
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四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
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五、作业 CT3-7 P177 3 4 8
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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2、应用
例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x.2 现在要用
xn

xn1
f ( xn1 ) f ( xn1 )
(1)
注意 : 如果 f (b) 与 f ( x) 同号,可记 x0 b.
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例２ 用切线法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的实根的近似值,使误差不超过 103.
计算得:
1 0.5, f (1 ) 0.55 0, 故 a1 0.5, b1 1; 2 0.75, f (2 ) 0.32 0, 故 a2 0.5, b2 0.75;
3 0.625, f (3 ) 0.16 0, 故 a3 0.625, b2 0.75;
x
(1 y2 )2
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设
x y


(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2

(t )
(t) (t 3(t)
)
(t) .

k

(t )
(t )
显然, 当x b 时, k最大.
2a 又 ( b , b2 4ac)为抛物线的顶点,
2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f (x) 在点
y
M (x, y) 处的曲率为k(k 0).
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使 DM
一、复习提问 1、微分中值定理 2、洛必达法则 3、单调性与凹凸性的判定方法 4、极值于最值的判定方法
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第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线
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当


2

1 2
(a1

b1 ) 时，可求得 a2



b2
且
b2

a2

1 22
(b

a);
如此重复 n 次, 可求得 an bn 且
bn

an

1 2n
(b

a).
如果以 an 或 bn 作为 的近似值，那末其误差
小于
1 2n
(b

a
)．
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故 f ( x) 在 (,)内单调增加,
f ( x) 0 至多有一个实根．
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f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0,
f ( x) 0 在 [0,1]内有唯一的实根.
取 a 0,b 1, [0,1]即是一个隔离区间.