第十一章 位移法

Δ
B E C
A
D l
③结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点 位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。 ④对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等 高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
§11-4 位移法典型方程
Δ2 Δ1
F1P F2P F1
位移法计算步骤可归纳如下：（P22）
§11-5 位移法计算连续梁 及无侧移刚架
20kN A
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
i 3m
B
i
C
3m
20kN 15 B
6m
9
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
C
k11D1 F1P 0
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
M1
l
ql2/2
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 m AB 8
mBA 0
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。 单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
M AB M BA 0 QAB QAB l
QAB
θB
QBA
P
转角位移方程
MAB QAB MAB
‘ Q’ AB
QBA MBA
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。 0 Q 2、 AB 是简支梁的剪力。
P
0 QAB
+
‘ ’ QBA
16
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
↓↓↓↓↓↓↓↓
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 48 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
支位位无位位等位 座移移侧移移截移 移法法移法法面 、 动计之有之 直法 基 和算直侧典 杆基 本 温对接移型 的本 度称平刚方未杆 架 改结衡算程知端概 变构法例法量力念
§11-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受 力方面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件）。 位移法的特点： 基本未知量—— 独立结点位移 基本体系——一组单跨超静定梁 基本方程—— 平衡条件
B
C
k11
M1
3i k11=4i+3i=7i
11.57 30
B
9
C
M图 (kN.m)
例：作弯矩图
1、基本未知量 D1 B , D 2 C
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m 5I i i
2、基本体系
3、典型方程
4m
A 4I i i
B
3I 0.75 i 0.75 i
C 0.5 3I i 0.5 i F
A
3i B 4i
5m
41.7
4m
A
2i
41.7 40 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B D E F1P=40－41.7= －1.7
C MP
D
C M1
1.5i
F
E
F
F2P=41.7
5）解方程，求基本未知量；
10 D1 2i/D D1 i 1 .15 i 2 1.7 0 2i D1 9. i89 D 2 / D 4 i 41.7 0 2
Displacement Method

基本要求：
掌握掌握位移法基本结构的确定， 位移法典型方程的建立，方程中的系数和 自由项的计算，最后弯矩图的绘制。 熟练掌握用位移法计算超静定梁、刚架和 排架问题。 重点掌握荷载作用下的超静定结构计算 掌握剪力图和轴力图的绘制、利用对称性 简化计算。 了解温度改变、支座移动下的超静定结构 计算。
？
因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各 种因素作用下的杆端力。②确定结构独立的结点位移。③建立 求解结点位移的位移法方程。
§11-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数） 1、杆端力和杆端位移的正负规定 ①杆端转角θA、θB ，弦转角 MAB ②杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
P
A q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B B
P
ql 2 8
3Pl 16
0
A
l/2 l/2
B
0
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
2
D
•由已知的Q图结点投影平衡求轴力： •由已知的弯矩图求剪力： B 33 31.5 30 M AB M BA B 0 •校核： QAB QAB28 ∑MB=0 0 NAB l 0 15kN/m 28 16 15 448kN 2 27 kN ↓↓↓↓↓↓↓↓ NBD 4 2 30 48 27 QBC NAB=0 64.5 31.516.5 kN ∑X=0 4 2 NBD=－64.5 28 16 15 4 －15×4－48 ∑Y=0 ∑Y=27+64.5+16.5 QBA 33kN 2 =0 4
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0 l 2 2l l 3 1 d 11 EI 2 3 3 EI 1 1 ql 2 3l ql 4 D 1P l EI 3 2 4 8 EI X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8 各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表11-2（P5）
3i
A
41.7 40 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
41.7
B
C MP
D
2i
A
3i B 4i
C M1
1.5i
D
E F
4i
E
A F
B
2i
2i C 3i
D
40
A
43.5 46.9
62.5
B 3.4
24.5 14.7
C
E
M2 F
i
9.8
D
M图(kN.M) E
43.5
B 46.9 24.5 C 14.7 k22=4i+3i+2i= 9i
0 QBA
Δ
MBA MBA
MAB
θA
βБайду номын сангаас
↓↓↓↓↓↓↓↓
§11-3 位移法的基本未知量和基本体系 位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将 基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。 1、基本未知量的确定： 结点角位移的数目=刚结点的数目 为了减小结点线 位移数目，假定： P Δ ①忽略轴向变形， P θC ②结点转角和弦转 角都很微小。 2、基本体系的确定： 即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。 结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。 Δ θD Δ
P P
Δ
Δ
θC
位移法基本未知量
结点转角 数目=刚结点的数目 3 独立结点线位移 数目=铰结体系的自由度
2 =矩形框架的层数 在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。 1 相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个 也等于层数 3
结点转角的数目：7个
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
2m
2m
4m
48
16.5
1）确定基本未知量； 2）确定位移法基本体系； 3）建立位移法典型方程； 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图; 5)由平衡求系数和自由项； 6）解方程，求基本未知量； 7）按 M=∑Mi· Δi+MP 叠加最后弯矩图。 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。 9）校核平衡条件。
Δ2
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
k11
Δ1 Δ1=1
位移法 基本体系
F1=0 F2=0
k11D1 k12 D 2 F1P 0 k21D1 k22 D 2 F2 P 0
k21
× Δ1
Δ2=1
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作 用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； •F12、F22(k12、k22) ── 基本体系在Δ2(=1)单独作用 时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力； •F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约 束1、 2中产生的约束力矩和约束力； 位移法方程的含义：基本体系在结点位
4I i i
D
k11D1 k12 D 2 F1P 0 k21D1 k22 D 2 F2 P 0
E
4）画MP 、Mi kij、FiP 2;由平衡求2
2m 4m
ql 20 4 .m 40 kN m BA k11=4i+3i+3i= 10i 2 2 8 8 ql 20 5 kN .m 41.7 m kBC 2i 21= 12 12 3i .m mCB 41.7 kN
杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定 对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上 的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针 转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时 逆时针转动为正号。
β＝Δ/l都以顺时针为正。
QAB
θA
β
θB
QBA
MAB>0
MBA<0
1
2、形常数：由单位杆端位移引起 的单跨超静定梁的杆端力 用力法求解 i=EI/l
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20
MP
36
0
F k11D1 F 1P 0
M M1D1 M P 叠加弯矩图
解之:Δ1=－F1P/k11=2/i 利用
16
A
28 30
15kN/m 48kN B
27
C
31.5
↓↓↓↓↓↓↓↓
+ Q图 (kN)
+
33
30 i
i
M图 (kN.m)
4m
4i
M
M AB 4i,
M BA 2i
Δ
MBA
2i
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。 单跨超静定梁简图
A A A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ=1
B
3i
i
l
0
A
－i
k12
k22
× Δ2
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
n个结点位移的位移法典型方程 k11D1 k12 D 2 k1n D n F1P 0
k 21D1 k 22 D 2 k 2 n D n F2 P 0 k n1D1 k n 2 D 2 k nn D n FnP 0
注意: ①铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点 杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 ② 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端 Δ 力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确 Δ 定。如图示结构中 B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作 基本未知量，不需加附加约束。（ DE杆是剪力静定杆）。 D
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； • 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； • 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； 由形常数作M i (Di 1引起的弯矩图 )，由载常数作 M P (荷载引起 的弯矩图 ) ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。
15
4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项；
5）解方程，求基本未知量； A 2i F1P 6 D1 k11 7i 6）按 M=∑Mi· Δi+MP 16.72 叠加最后弯矩图 A 7）校核平衡条件 11.57 11.57 ∑MB=0
4i
MP F1P 9 F1P=15－9=6
4i Δ1=1 3i
4m
2m
1.7 5m
4m
4.9F
4m
k21=2i M C 0 9.8 M B 03.4
§11-6 位移法计算有侧移刚架 Δ2 Δ2