第六章 机器人的轨迹规划、生成与控制技术
第6章_机器人的轨迹规划、生成与控制技术
对于PTP控制:
通常只给出机械手末端的起点和终点，有时也 给出一些中间经过点，所有这些点统称为路径点。 应注意这里所说的“点” 不仅包括机械手末端的 位置，而且包括方位，因此描述一个点通常需要6 个量。通常希望机械手末端的运动是光滑的，即它 具有连续的一阶导数，有时甚至要求具有连续的二 阶导数。不平滑的运动容易造成机构的磨损和破坏 ，甚至可能激发机械手的振动。因此规划的任务便 是要根据给定的路径点规划出通过这些点的光滑的 运动轨迹。
6.1.2 关节空间法
关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点， 通过逆运动学计算，得到期望的关节位置，然后在关 节空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的 终点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终 点的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期 望的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之 间的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互 相独立的。
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简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任 务变为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信 号，产生相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力， 从而完成期望的任务。这一过程表述如下图所示。这里，机器 人实际运动的情况通常还要反馈给规划级和控制级，以便对规 划和控制的结果做出适当的修正。
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要 的规定，这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规 律，这是关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
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6.1.5 路径的描述
前面讨论了在给定路径点的情况下如何规划出 运动轨迹的问题。但是还有一个如何描述路径点并 以合适的方式输入给机器人的问题。最常用的方法 便是利用机器人语言。
《6R工业机器人轨迹规划与控制研究》范文
《6R工业机器人轨迹规划与控制研究》篇一一、引言随着工业自动化和智能制造的快速发展，6R（六轴）工业机器人在生产线上扮演着越来越重要的角色。
其高效、精准的作业能力极大地提高了生产效率与产品质量。
为了实现这一目标，对6R工业机器人轨迹规划与控制技术的研究变得至关重要。
本文将就6R工业机器人的轨迹规划与控制进行深入研究，以期为工业机器人技术的发展与应用提供参考。
二、6R工业机器人概述6R工业机器人，即具备六个旋转关节的机器人，其运动方式灵活多变，能够适应各种复杂的工作环境。
在制造业中，6R机器人广泛应用于装配、焊接、喷涂、搬运等工序，极大地提高了生产效率与产品质量。
三、轨迹规划研究（一）轨迹规划的重要性轨迹规划是机器人控制的关键技术之一，它决定了机器人在执行任务时的运动轨迹，从而直接影响作业效率与产品质量。
在6R工业机器人中，合理的轨迹规划能提高机器人的工作效率、减少能量消耗，并降低不必要的机械磨损。
（二）轨迹规划方法目前，常用的轨迹规划方法包括插补法、优化算法和智能算法等。
插补法通过在关键点之间插入适当的中间点，使机器人的运动更加平滑；优化算法则通过优化轨迹参数，使机器人在满足约束条件下达到最优轨迹；智能算法则利用人工智能技术，如神经网络、遗传算法等，实现复杂环境下的自适应轨迹规划。
四、控制技术研究（一）控制系统的结构6R工业机器人的控制系统通常采用分层结构，包括上层规划层、中层控制层和底层驱动层。
上层规划层负责任务规划与决策，中层控制层负责运动控制与协调，底层驱动层则负责机器人的具体运动执行。
（二）控制策略控制策略是机器人控制技术的核心，它决定了机器人在执行任务时的稳定性和精度。
常见的控制策略包括PID控制、模糊控制、神经网络控制等。
PID控制具有简单、可靠的优点，广泛应用于机器人控制；模糊控制则适用于复杂环境下的自适应控制；神经网络控制则能够根据机器人的实际运行情况，自动调整控制参数，提高机器人的作业效率与精度。
机器人的运动控制和编程技术
机器人的运动控制和编程技术近年来，机器人技术飞速发展，越来越多的机器人开始进入我们的生活，从工业生产到家庭服务，它们的应用场景越来越广泛。
机器人的运动控制和编程技术是机器人技术中的重要一环，这一技术的发展为机器人带来了更加出色的表现和更高的效率。
一、机器人运动控制技术机器人运动控制技术包括机器人的定位、路径规划、轨迹规划、运动控制等方面。
定位是指机器人在三维空间内的定位与姿态确定，通常使用传感器完成。
路径规划是指机器人在完成任务时，按照预定的路线进行行进，通过编写程序让机器人自主执行任务。
轨迹规划是根据预定路径上的点的位置和速度，计算机器人在连续时间内的位置、速度和加速度等参数，通过控制器实现精确控制。
运动控制是控制机器人完成特定任务的运动，包括速度和力量等控制。
机器人的运动控制技术需要进行精确的计算和控制，以确保机器人能够正确地执行任务。
近年来，机器人运动控制技术得到了大幅度提升，通过使用高效的控制器和精准的传感器，机器人的精准度和速度得到了大大提高，成为机器人技术的重要进展之一。
二、机器人编程技术机器人编程技术是实现机器人控制的重要手段，通过编写程序，可以实现机器人的自主控制和行动。
机器人编程技术根据不同的机器人类型和应用场景，可以使用不同的编程语言以及开发环境，如C ++、Python、ROS、MATLAB等等。
机器人编程需要深入了解机器人控制系统和机器人的运动特点，编写出高效的控制程序，以实现机器人的高效、顺畅运动。
在编程过程中，程序员需要考虑到机器人控制的多样性，特别是在控制过程中要避免机器人运动引起的错误和事故。
三、机器人的应用机器人的运动控制和编程技术的应用范围非常广泛，从智能家居到工业生产到医疗服务等等领域都有机器人的身影。
以工业领域为例，机器人的运动控制可以用于生产线上的装配、包装和运输等任务，提高了生产效率和质量。
在家庭服务方面，机器人的运动控制可以用于智能家居的控制和服务机器人的操作，使得人们的生活更加便利和高效。
智能制造中的机器人运动轨迹规划
智能制造中的机器人运动轨迹规划随着科技的飞速发展，智能制造已经成为了当今制造业的主流趋势。
而在智能制造中，机器人则是不可或缺的一部分。
机器人可以完成人类不能完成或难以完成的重复性、高强度、危险或困难的任务，从而提高生产效率、质量和安全性。
而在机器人的运动过程中，机器人运动轨迹规划则显得尤为重要。
一、机器人运动轨迹规划的概述机器人运动轨迹规划是指在完成任务时，设计机器人从起点到终点的运动路径的过程。
具体来说，机器人运动轨迹规划包括以下几个方面：1. 运动规划：针对机器人的动力学和控制特性进行仿真，确定机器人在执行任务时应该采取的运动方式。
2. 路径规划：在运动规划的基础上，设计出机器人需要运动的路径，确保机器人可以安全地执行任务。
3. 碰撞检测：在路径规划的过程中，需要考虑机器人和周围环境之间的碰撞问题，防止机器人在行驶过程中受到损坏或导致安全事故。
机器人运动轨迹规划的目标是最小化机器人运动的时间、距离或能耗，同时满足机器人执行任务时的各种要求。
二、机器人运动轨迹规划的应用机器人运动轨迹规划的应用涵盖了生产制造、服务机器人、医疗保健、农业和安保等领域。
1. 生产制造：在生产制造领域中，机器人运动轨迹规划可以帮助机器人完成各种生产任务，例如装配、搬运和焊接等。
2. 服务机器人：在服务机器人领域中，机器人运动轨迹规划可以帮助机器人指导、协助人类完成各种工作，例如清洁、交通管理和娱乐等。
3. 医疗保健：在医疗保健领域中，机器人运动轨迹规划可以帮助机器人进行手术、康复和诊断等任务。
4. 农业：在农业领域中，机器人运动轨迹规划可以帮助机器人完成各种农业工作，例如收割、浇灌和播种等。
5. 安保：在安保领域中，机器人运动轨迹规划可以帮助机器人完成各种安保任务，例如巡逻、监控和搜捕等。
三、机器人运动轨迹规划的挑战在机器人运动轨迹规划的过程中，存在一些挑战，需要不断改进和解决，才能提高机器人运动轨迹规划的效率和安全性。
机器人的运动规划与控制
机器人的运动规划与控制机器人是一种能够自主工作的机械设备。
为了实现高效的工作任务和提高安全、保障功能的实现，机器人的设计与控制方面的技术也取得了显著的进展。
机器人的运动规划与控制是机器人行走的核心机制，是一项极为重要的技术。
本文将重点讨论机器人的运动规划及其应用。
一、机器人运动规划的概念及意义机器人运动规划是指机器人在对环境有所了解的情况下，通过某种算法或方法，自主计划机器人的运动轨迹和速度。
机器人运动规划是机器人控制的核心问题之一，其目的是要求机器人能够顺利地完成各种任务，使机器人能够实现更加稳定和柔性的行动能力，从而提高机器人的自主性和应用能力。
机器人运动规划在工业、医疗、安防、教育等领域中应用广泛，已成为现代工业趋势的重要组成部分，如机器人钢铁作业、精密装配工业、智能家居应用、空中和水下机器人等。
二、机器人运动规划的基本方法机器人运动规划的基本方法包括位姿规划和轨迹规划两种方式，其中位姿规划是指确定机器人位姿（包括位置和方向），轨迹规划是指确定机器人从当前位姿到达目标位姿的轨迹。
1、位姿规划位姿规划常用的方法有最小二乘法、插值法和三次B样条曲线等。
其中最小二乘法能够实现机器人的误差最小化，插值法能够保证机器人轨迹优化，而三次B样条曲线则能够平滑地调节机器人的运动方向和速度，使机器人能够更加快速和平滑地完成任务。
2、轨迹规划轨迹规划主要分为离线规划和在线规划。
离线规划是指机器人的运动规划在实际运行前就已经规划好，而在线规划是指机器人根据不断变化的环境信息进行即时规划。
常用的轨迹规划算法有基于逆向学习的马尔科夫决策过程算法、基于优化目标函数的算法、基于机器学习的算法等。
三、机器人运动控制的实现方法机器人运动控制是指在确定机器人轨迹和速度的基础上，根据机器人的控制策略，实现机器人的实时控制和调整。
机器人运动控制有许多实现方法，包括PID控制、模糊模型控制、神经网络控制、强化学习控制等。
其中，PID控制是应用最广泛的一种运动控制方法，其控制精度较高，但要求系统模型具有线性特性。
机器人轨迹规划
机器人轨迹规划机器人轨迹规划是指根据机器人的任务要求和环境条件，制定机器人运动的轨迹以达到预定的目标。
机器人轨迹规划是机器人技术中的一个重要研究领域，其目的是使机器人能够安全、高效地在给定的环境中移动。
机器人轨迹规划通常涉及到如下几个方面的问题：1. 环境感知与建模：机器人需要通过感知技术获取环境中的信息，并将其建模成可理解的形式。
这些模型可以包括地图、障碍物位置、目标位置等。
2. 路径规划：基于环境模型，机器人需要确定一条避开障碍物、同时能够到达目标位置的最佳路径。
路径规划问题可以分为全局路径规划和局部路径规划两个层次。
全局路径规划是在整个环境中搜索最佳路径，而局部路径规划是在当前位置的附近搜索最佳路径。
3. 运动规划：确定机器人在路径上的具体运动方式，包括速度、加速度、姿态等。
机器人的运动规划要考虑到机械结构的限制、动力学约束以及安全性等因素。
4. 避障规划：当机器人在移动过程中遇到障碍物时，需要能够进行避障规划，避免碰撞。
避障规划可以基于感知信息进行实时调整，使机器人能够安全地绕过障碍物。
这些问题可以使用不同的算法和方法来解决，常用的算法包括A*算法、Dijkstra算法、蚁群算法等。
此外，机器人轨迹规划还需要结合机器人的动力学和控制系统，使机器人能够按照规划的轨迹进行运动。
机器人轨迹规划的应用范围非常广泛，包括工业自动化、无人驾驶、机器人导航等领域。
例如，在工业自动化中，机器人可以根据轨迹规划进行物料搬运，实现生产线的自动化。
在无人驾驶领域，机器人车辆可以通过轨迹规划来规划行驶路线，保证安全、高效地到达目的地。
在机器人导航中，机器人可以根据轨迹规划进行地图绘制、自主导航等任务。
总之，机器人轨迹规划是机器人技术中的重要问题，通过合理的路径规划和运动规划，可以使机器人能够安全、高效地移动，完成各种任务。
随着机器人技术的发展，轨迹规划算法和方法也在不断进步，为机器人的运动能力提供了更好的支持。
机器人运动轨迹规划
机器人运动轨迹规划随着科技的不断发展，机器人已经成为了现代工业和日常生活中的重要角色。
而机器人的运动轨迹规划则是机器人能够高效执行任务的关键。
在这篇文章中，我们将探讨机器人运动轨迹规划的原理、挑战以及应用。
第一部分：机器人运动轨迹规划的基础原理机器人的运动轨迹规划是指利用算法和规则来确定机器人在工作空间内的行动路径。
它需要考虑机器人的动力学特性、环境条件以及任务需求。
运动轨迹规划主要分为离线规划和在线规划。
在离线规划中，机器人事先计算出完整的轨迹，并在执行过程中按照预定的轨迹行动。
这种规划方式适用于对工作环境已经事先了解的情况，例如工业生产线上的自动化机器人。
离线规划的优点是能够保证轨迹的精准性，但对环境的变化相对敏感。
而在线规划则是机器人根据当下的环境信息实时地计算出合适的轨迹。
这种规划方式适用于未知环境或需要适应环境变化的情况，例如自主导航机器人。
在线规划的优点是能够灵活应对环境的变化，但对实时性要求较高。
第二部分：机器人运动轨迹规划的挑战机器人运动轨迹规划面临着一些挑战，其中包括路径规划、避障和动力学约束等问题。
路径规划是机器人运动轨迹规划的基本问题之一。
它涉及到如何选择机器人在工作空间中的最佳路径，以达到任务要求并减少能耗。
路径规划算法可以基于图搜索、最短路径算法或优化算法进行设计。
避障是机器人运动轨迹规划中必须考虑的问题。
机器人需要能够感知并避免与障碍物的碰撞，以确保安全执行任务。
避障算法可以基于传感器信息和障碍物模型来确定机器人的安全路径。
动力学约束是指机器人在运动过程中需要满足的物理约束条件。
例如，机械臂在操作时需要避免碰撞或超过其运动范围。
动力学约束的考虑需要在规划过程中对机器人的动力学特性进行建模，并在轨迹规划中进行优化。
第三部分：机器人运动轨迹规划的应用机器人运动轨迹规划在许多领域中都具有广泛的应用。
在工业领域，机器人可以根据离线规划的路径自动执行复杂的生产任务，提高生产效率和质量。
机器人运动规划中的轨迹生成算法
机器人运动规划中的轨迹生成算法机器人运动规划是指描述和控制机器人在给定环境中实现特定任务的过程。
其中，轨迹生成算法是机器人运动规划中的关键环节。
本文将介绍几种常用的机器人轨迹生成算法，包括直线轨迹生成算法、插补轨迹生成算法和优化轨迹生成算法。
一、直线轨迹生成算法直线轨迹生成算法是最简单和基础的轨迹生成算法。
它通过给定机器人的起始位置和目标位置，计算机器人在二维平面上的直线路径。
该算法可以通过简单的公式求解，即直线方程，将机器人从起始点移动到目标点。
首先，根据起始点和目标点的坐标计算直线的斜率和截距。
然后，根据斜率和截距计算机器人在每个时间步骤上的位置。
最后，将计算得到的位置点连接起来，形成直线轨迹。
直线轨迹生成算法的优点是简单直观，计算效率高。
然而，该算法无法应对复杂的环境和机器人动力学模型，因此在实际应用中有着较大的局限性。
二、插补轨迹生成算法插补轨迹生成算法是一种基于离散路径点的轨迹生成算法。
它通过在起始位置和目标位置之间插补一系列路径点，使机器人在这些路径点上运动，并最终到达目标位置。
常用的插补轨迹生成算法包括线性插值算法和样条插值算法。
线性插值算法将起始点和目标点之间的轨迹划分为多个小段，每个小段的位置可以通过线性方程求解。
样条插值算法则通过引入额外的控制点，使得轨迹更加光滑。
插补轨迹生成算法的优点是适用于复杂环境和机器人动力学模型。
它可以在运动过程中改变速度和加速度，从而实现更加灵活的路径规划。
不过，插补轨迹生成算法的计算量较大，需要更多的计算资源。
三、优化轨迹生成算法优化轨迹生成算法通过优化目标函数来生成最优的机器人轨迹。
它将机器人运动规划问题转化为优化问题，通过调整机器人轨迹上的参数，使得目标函数达到最小或最大值。
常见的优化轨迹生成算法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法。
这些算法主要通过搜索机器人轨迹参数的空间来寻找最优解。
遗传算法模拟生物进化过程，粒子群算法模拟鸟群觅食行为，模拟退火算法则模拟物体在不同温度下的热力学过程。
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对于PTP控制: 对于PTP控制: PTP控制
通常只给出机械手末端的起点和终点，有时也 通常只给出机械手末端的起点和终点， 给出一些中间经过点，所有这些点统称为路径点。 给出一些中间经过点，所有这些点统称为路径点。 应注意这里所说的“ 应注意这里所说的“点” 不仅包括机械手末端的 位置，而且包括方位，因此描述一个点通常需要6 位置，而且包括方位，因此描述一个点通常需要6 个量。通常希望机械手末端的运动是光滑的， 个量。通常希望机械手末端的运动是光滑的，即它 具有连续的一阶导数， 具有连续的一阶导数，有时甚至要求具有连续的二 阶导数。 阶导数。不平滑的运动容易造成机构的磨损和破坏 甚至可能激发机械手的振动。 ，甚至可能激发机械手的振动。因此规划的任务便 是要根据给定的路径点规划出通过这些点的光
规
期望的 运动和力
控
控制作用
划
制
机 器 人 本 体
实际的 运动和力
图 机器人的工作原理示意图
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上图中，要求的任务由操作人员输入给机器人， 上图中，要求的任务由操作人员输入给机器人， 为了使机器人操作方便、使用简单， 为了使机器人操作方便、使用简单，必须允许操作人 员给出尽量简单的描述。 员给出尽量简单的描述。 上图中， 上图中，期望的运动和力是进行机器人控制所必 需的输入量， 需的输入量，它们是机械手末端在每一个时刻的位姿 和速度，对于绝大多数情况， 和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一时刻期 望的关节位移和速度， 望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望 的加速度等。 的加速度等。
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给主人倒一杯水
取一个杯子
找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中
把水送给主人
提起水壶到杯口上方
把水壶倾斜
把水壶竖直
把水壶放回原处
手部从A点移到 手部从 点移到B 点 点移到
关节从A点移到 点 关节从 点移到B点 点移到
图 智能机器人的规划层次
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轨迹规划的目的是——将操作人员输入的 将操作人员输入的 轨迹规划的目的是 简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述 任务描述变为详细的运动轨迹描述。 简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。
5
为说明机器人规划的概念， 为说明机器人规划的概念，我们举下面的 例子： 例子：
在一些老龄化比较严重的国家， 在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各 样的机器人专门用于伺候老人， 样的机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是 采用声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我 采用声控的方式．比如主人用声音命令机器人“ 倒一杯开水” 倒一杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的 自然语言， 自然语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个 命今后，如何来完成主人交给的任务。 命今后，如何来完成主人交给的任务。
解： 根据所给约束条件，直接代入式(4 4)，可得： (4根据所给约束条件，直接代入式(4-4)，可得： a0=15， a1=0， a2=20， a3=-4.44 ， ， ， 所求关节角的位置函数为： 所求关节角的位置函数为： （4-5） ） θ ( t ) = 15 + 20t 2 4.44t 3
1
工业机器人系统组成
2
机器人的轨迹规划与生成 机器人控制综述 机器人控制系统的一般构成 机器人传感器
3
4.1 机器人的轨迹规划与生成
4.1.1 机器人规划的基本概念 4.1.2 关节空间法 4.1.3 直角坐标空间法 4.1.4 轨迹的实时生成 4.1.5 路径的描述
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4.1.1
机器人规划的基本概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是 所谓机器人的规划(P1anning)，指的是— (P1anning) —机器人根据自身的任务，求得完成这一任务 机器人根据自身的任务，
的解决方案的过程。这里所说的任务，具有广 这里所说的任务，
义的概念， 义的概念，既可以指机器人要完成的某一具体 任务，也可以是机器人的某个动作， 任务，也可以是机器人的某个动作，比如手部 或关节的某个规定的运动等。 或关节的某个规定的运动等。
利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
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2）抛物线连接的线性函数插值 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方 另外一种常用方法是线性函数插值法， 法。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一 条直线将起点与终点连接起来。但是， 条直线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性 函数插值将使得关节的运动速度在起点和终点处不 连续，它也意味着需要产生无穷大的加速度， 连续，它也意味着需要产生无穷大的加速度，这显 然是不希望的。因此可以考虑在起点和终点处， 然是不希望的。因此可以考虑在起点和终点处，用 抛物线与直线连接起来，在抛物线段内， 抛物线与直线连接起来，在抛物线段内，使用恒定 的加速度来平滑地改变速度， 的加速度来平滑地改变速度，从而使得整个运动轨 迹的位置和速度是连续的。 迹的位置和速度是连续的。
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对于CP控制: 对于CP控制: CP控制
机械手末端的运动轨迹是根据任务的需要给定 但是它也必须按照一定的采样间隔， 的，但是它也必须按照一定的采样间隔，通过逆运 动学计算，将其变换到关节空间， 动学计算，将其变换到关节空间，然后在关节空间 中寻找光滑函数来拟合这些离散点．最后， 中寻找光滑函数来拟合这些离散点．最后，还有在 机器人的计算机内部如何表示轨迹， 机器人的计算机内部如何表示轨迹，以及如何实时 地生成轨迹的问题。 地生成轨迹的问题。
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首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务 分解成为“取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、 “把水倒人杯中”、“把水送给主人”等一系列子任务。这 一层次的规划称为任务规划 任务规划(Task planning)，它完成总体任务 任务规划 的分解。 然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水 倒入杯中”这一子任务为例，可以进一步分解成为“把水壶 提到杯口上方”、“把水壶倾斜倒水入杯”、“把水壶竖直 “、“把水壶放回原处”等一系列动作，这一层次的规划称 为动作规划 动作规划(Motion P1anning)，它把实现每一个子任务的过 动作规划 程分解为一系列具体的动作。 为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要 轨迹规划(Hand trajectory planning )。 的规定，这是手部轨迹规划 轨迹规划 为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规 律，这是关节轨迹规划 关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。 关节轨迹规划 最后才是关节的运动控制 运动控制(Motion control)。 运动控制
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简言之，机器人的工作过程，就是通过规划， 简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任 务变为期望的运动和力， 务变为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信 产生相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力， 号，产生相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力， 从而完成期望的任务。这一过程表述如下图所示。这里， 从而完成期望的任务。这一过程表述如下图所示。这里，机器 人实际运动的情况通常还要反馈给规划级和控制级， 人实际运动的情况通常还要反馈给规划级和控制级，以便对规 划和控制的结果做出适当的修正。 划和控制的结果做出适当的修正。
q ( t ) = a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3
（4-3） ）
作为所要求的光滑函数。 中有4个待定系数 作为所要求的光滑函数。式4-3中有 个待定系数，而 中有 个待定系数， 该式需满足式4-1和 的 个约束条件 个约束条件， 该式需满足式 和4-2的4个约束条件，因此可以唯一地解 出这些系数： 出这些系数：
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a0 = q0 a1 = 0 3 a2 = 2 ( q f q0 ) tf 2 a3 = 3 ( q f q0 ) tf
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（4-4） ）
例： 设机械手的某个关节的起始关节角θ 设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手 原来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θ 时停下来( 原来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来( 即要求在终端时速度为零) 即要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动 的轨迹，并画出关节角位置、 的轨迹，并画出关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的 曲线。 曲线。
对上式求导， 对上式求导，可以得到角速度和角加速度
θ& ( t ) = 40t 13.33t 2
&& θ ( t ) = 40 26.66t
（4-6） ） （4-7） ）
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根据式(4-5)～(4-7)可画出它们随时间的变 根据式(4-5)～(4-7)可画出它们随时间的变 (4 化曲线如下图所示。由图看出， 化曲线如下图所示。由图看出，速度曲线为一抛 物线，加速度则为一直线。 物线，加速度则为一直线。
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显然，这些光滑函数必须满足以下条件： 显然，
q ( 0 ) = q0
q (t f ) = q f
（4-1） ）
同时若要求在起点和终点的速度为零， 同时若要求在起点和终点的速度为零，即：
& q (0) = 0
& q (t f ) = 0
（4-2） ）
那么可以选择如下的三次多项式： 那么可以选择如下的三次多项式：
例如，对一般的工业机器人来说， 例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只 输入机械手末端的目标位置和方位， 输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便 是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、 是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间 和速度等。这里所说的轨迹是指随时间变化的位置、 和速度等。这里所说的轨迹是指随时间变化的位置、 速度和加速度。 速度和加速度。
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下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法 1） 三次多项式函数插值
考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动 到目标位置和方位的问题。利用逆运动学计算， 到目标位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先 求出一组起始和终了的关节位置． 求出一组起始和终了的关节位置．现在的问题是求出一组 通过起点和终点的光滑函数 光滑函数。 通过起点和终点的光滑函数。满足这个条件的光滑函数可 以有许多条，如下图所示： 以有许多条，如下图所示：