第三次课 机械振动第2章单自由度线性系统振动
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机械振动(单自由度系统-理论)
第二章单自由度系统——理论2-1引言单自由度系统是更进一步研究振动的基础。
一些单自由度系统的例子表示在图2-1中。
虽然这些系统在外表上不同，但它们都可以用图1-1所示的一般模型表示。
这里我们使用四种方法：（1）能量法；（2）牛顿第二定律；（3）频率响应法；（4）叠加原理。
由于振动是一种能量交换现象，所以首先介绍简单的能量法。
应用牛顿第二定律，单自由度系统由一个二阶运动微分方程描述。
如果激振是一解析表达式，那么，方程能够用“经典”的方法求解。
如果激振是任意函数，可用叠加原理求得系统的运动。
频率响应法假定激振是正弦的，而且在感兴趣的频率范围内研究系统的性质。
注意，一个系统以它自己的方式振动，而与分析方法无关。
应用不同方法的目的是为了寻求最方便的方法来表示系统的特征和描述它的固有性质。
我们把牛二和叠加原理作为时间域分析来对待，轩为一质量的运动是时间的函数，例如以时间作为独立变量的微分方程的解。
频率响应法假定激振和系统响应都是正弦的而且具有同样的频率，因此，它是一种频率域分析。
时间响应是直观的，但是在频率域内描述一个系统更方便。
值得注意的是，时间域分析和频率域分析肯定是相关的，因为它们是考虑同一问题的不同方法。
事实上，被作为时间域技术来对待的叠加原理是研究线性系统的基础。
由叠加原理导出的褶积积分可以应用于时间域或频率域。
我们在这里仅仅介绍这个非常重要的原理的一个方面，而不讨论相关的方法。
时间分析和频率分析的数学相关性并不是新东西。
然而，直到最近几年来，电子计算机、测试设备和试验技术的进步，它才在实际中得到应用。
2-2自由度一个振动系统的自由度个数是确定这个系统状态所必需的独立的空间坐标个数。
我们定义状态为这个系统的所有质量的几何位置。
如这些质量的相互关系只需要一个空间坐标就完全确定，那么就说这个系统具有一个自由度。
对于空间一个刚体的完全确定需要六个坐标，即三个确定直线运动的坐标和三个确定旋转运动的坐标。
机械振动运动学2单自由度系统振动2
【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走
的力学模型。路面的波形可以用公式
表示，其中幅
度d=25mm波长l=5m。卡车的质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为
k=294kN/m。忽略阻尼，求卡车以速度v=45kM/h匀速前进时，车
体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多少？
图2.29石油载重卡隔离
隔振分为：主动隔振，被动隔振两类。
（a）主动隔振
（b）被动隔振
图2.39单自由度隔振系统的动力学模型
两种模型比较
①主动隔振
防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。如图2.39(a) 所示为主动隔振的简化模型。
弹簧传到支承上的最大载荷 支承上的最大载荷
最大合力
力
的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式
在
阶段
式中：
当常力 去除后，系统自由振动的振幅A随着矩 形脉冲作用时间和振动系统固有周期之比值 的改变 而改变。
当
时，系统自由振动的振幅
在 时是以振幅等于 作简谐运动
当
时，A=0
2.5单自由度系统振动应用专题
2.5.1等效粘性阻尼
实际的石油机械振动系统中存在的阻尼是非常复杂的，只 有在特定情况下，阻尼力才表现为与运动速度成线性关系。工
1cosnt
式中
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统受到
的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表
示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在t=0时受到突加常
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
2-单自由度自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
31
给出初始条件：t＝0时 x x0 , x v0
则可确定系数B和D B v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
D v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
不大，特别是当阻尼很小（<<1）时，可
以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
40
2.6 对数衰减率
振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。
第2章 单自由度系统自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
22
P15例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
23
2.4 瑞利法
一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的 影响，若这些质量不可忽略的时候，“瑞利法” 的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去， 从而变成典型的单自由度振动系统。
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
已知质量为m，弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程：
《单自由度系的振动》课件
应用领域
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
机械振动第2章(习题)
1 / 21第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：2n=g/δ运动微分方程（式2.5）：x +2nx=0初始条件：x (0)=3δ,x(0)=0 由式2.8有：A=2020)(ωnxx +=3δ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x =3δcos(δg t)2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：ω2n =g/δ=9.8/0.2=49运动微分方程（式2.5）：x +ω2n x=0 初始条件：x (0)=-0.2,x(0)=0 由式2.8有：振幅：A=2020)(ωnxx +=0.2ϕ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2/ωn弹簧刚度：k=mg/δ=19.8/0.2=49(N/m)最大弹簧力：F Smax =-kA=-490.2=9.8(N)2.3 重物m l 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m 2从高度为h 处自由落到m l 上而无弹跳，如图T —2.3所示，求其后的运动。
图 T —2.3解：ω2n =k/(m 1+m 2)运动微分方程（式2.5）：x+2nx=0初始条件：x (0)=- m 2g/km 2gh=21(m 1+m 2)x2(0)⇒ x (0) (以下略)2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆3 / 21心受到一弹簧k 约束，如图T —2.4所示，求系统的固有频率。
图 T —2.4解：系统的势能：U=21kr 2θ2系统的动能：E t =21I •θ2+21mr2•θ2由d(U+E t )=0得：（I+ mr 2）••θ+kr 2θ=0ω2n =22m r I kr +2.5 均质杆长L 、重G ，用两根长h 的铅垂线挂成水平位置，如图T —2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO 微幅振动的周期。
第二章1-单自由度系统无阻尼自由振动上课讲义
x&0 0
3 2
,2
结论1
▪ 单自由度无阻尼自由振动为简谐振动—— 位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或 余弦）
结论2 响应满足叠加原理
▪ 系统在初始位移单独 x 0 作用下的自由振动，
此时
x&0 ， 0
x1 x0cosnt
▪ 系统在初始速度 x& 0 单独作用下的自由振动，
此时
x 0 ， 0
x2
x&0
n
sin nt
系统总响应
▪ 振动系统总的响应=上述两部分响应之和
xx1x2x0cosnt x& 0 nsinnt
▪ 叠加性是线性系统的重要特征
数字特征
▪ A ——振幅，振动物体离开静平衡位置的最
大位移
▪
▪T
n
——圆频率 ——振动周期，旋转矢量转动一周
（2 ），振动物体的位移值也就重复一次，
m& x&F
方程化简
▪ 对于无阻尼自由振动，我们有
Fkx
▪ 因此，原方程改写为：
m& x& kx0
确定微分方程的初始条件
▪ 在t=0时，初始位移为 x 0 ，初始速度为 x& 0
▪ 则方程的初始条件为：
x(0) x0 和 x&(0) x&0
完整形式
▪ 单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程 为：
第二章1-单自由度系统无阻尼自 由振动
几种单自由度系统的示例
O θ
S
隔离体受 力分析
kx
k
x(t)
m
O
S
O θ J
2-1无阻尼自由振动
▪ 自由振动：系统在初始激励下，或外加激 励消失后的一种振动形态。
第2章 单自由度系统的振动
内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。
Fd
x1
Fd
x2
Fd
斜率 c
x 2 x1
c
0
(a)
(b)
图2-2阻尼模型
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指粘 滞阻尼，其阻尼力Fd 与阻尼器两端的相对速度成正 比，如图2-2（b），比例系数 c 称为粘性阻尼系数 ，它的单位为牛顿-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用 c 表示。
图2-1 弹簧模型 第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
图2-1 弹簧模型
当x2-x1 比较小时(条件)，可以认为弹簧力与弹簧 变形量成正比，比例系数为图中曲线的斜率k，如果 弹簧工作于弹簧力与其相对变形成正比的范围内，则 称弹簧为线性弹簧，常数称为弹簧常数k ，或弹簧刚 度。一般用k 表示。单位为（N/m）。
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。C/2m是衰减系数 ，设（2-18）式的解有如下形式:
x(t ) Ae
st
（2-19）
将（2-19）代入（2-18）中，可得代数方程
s 2n s 0
2 2 n
(2-20)
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
dm是给定角φ位置的微元体质量
R sin 2 R 2 (1 cos ) 2 dm↙ Ic 2
2
2 R 2 1 cos d 2 R 3 ( 2 cos )
（c）
第2章 单自由度系统的振动
工程振动基础
Fd
x1
Fd
x2
Fd
斜率 c
x 2 x1
c
0
(a)
(b)
图2-2阻尼模型
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指粘 滞阻尼，其阻尼力Fd 与阻尼器两端的相对速度成正 比，如图2-2（b），比例系数 c 称为粘性阻尼系数 ，它的单位为牛顿-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用 c 表示。
图2-1 弹簧模型 第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
图2-1 弹簧模型
当x2-x1 比较小时(条件)，可以认为弹簧力与弹簧 变形量成正比，比例系数为图中曲线的斜率k，如果 弹簧工作于弹簧力与其相对变形成正比的范围内，则 称弹簧为线性弹簧，常数称为弹簧常数k ，或弹簧刚 度。一般用k 表示。单位为（N/m）。
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。C/2m是衰减系数 ，设（2-18）式的解有如下形式:
x(t ) Ae
st
（2-19）
将（2-19）代入（2-18）中，可得代数方程
s 2n s 0
2 2 n
(2-20)
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
dm是给定角φ位置的微元体质量
R sin 2 R 2 (1 cos ) 2 dm↙ Ic 2
2
2 R 2 1 cos d 2 R 3 ( 2 cos )
（c）
第2章 单自由度系统的振动
工程振动基础
单自由度系统的振动(上课用)
48
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
k (t ) x(t ) 0 x m k (t ) x(t ) x(t ) x(t ) 0 x m 1 2 1 k 2 积分，有 x (t ) x (t ) C 2 2m 1 2 1 2 mx (t ) kx (t ) Cm
36
从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题
19
20
§4-1
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
21
1、自由振动微分方程及其解
m(t ) kx(t ) 0 x m g k st 0 m(t ) k ( st x) x
2 2 n k / m, 则(t ) n x(t ) 0 x 2 r 2 n 0
r1 i n , r2 i n x(t ) A1 cos nt A2 sin n t x(t ) A1 n sin nt A2 n cos nt
2 2 (t ) A1n cos nt A2n sin n t x
22
正弦和余弦函数是周期函数
sin(nt 2 ) sin[n (t 2 / n )] sin nt cos(nt 2 ) cos[n (t 2 / n )] cosnt
这表明物体的运动是振动，周期为
2 / n
记初始条件为 (0) x0 , x(0) v0 , 得 x A1 x0 , A2 v0 / n x(t ) x0 cosnt v0 / n sin nt x(t ) A cos(nt ) A x (
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
k (t ) x(t ) 0 x m k (t ) x(t ) x(t ) x(t ) 0 x m 1 2 1 k 2 积分，有 x (t ) x (t ) C 2 2m 1 2 1 2 mx (t ) kx (t ) Cm
36
从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题
19
20
§4-1
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
21
1、自由振动微分方程及其解
m(t ) kx(t ) 0 x m g k st 0 m(t ) k ( st x) x
2 2 n k / m, 则(t ) n x(t ) 0 x 2 r 2 n 0
r1 i n , r2 i n x(t ) A1 cos nt A2 sin n t x(t ) A1 n sin nt A2 n cos nt
2 2 (t ) A1n cos nt A2n sin n t x
22
正弦和余弦函数是周期函数
sin(nt 2 ) sin[n (t 2 / n )] sin nt cos(nt 2 ) cos[n (t 2 / n )] cosnt
这表明物体的运动是振动，周期为
2 / n
记初始条件为 (0) x0 , x(0) v0 , 得 x A1 x0 , A2 v0 / n x(t ) x0 cosnt v0 / n sin nt x(t ) A cos(nt ) A x (
第2章 单自由度线性振动
式中的C1和C2由初始条件确定
有阻尼自由振动方程解的性质
方程式（2）的解的性质即取决于这两个特征根。
引入无量纲量
c m c 1 n 2m k 2 mk
a
（7）
称为阻尼比或相对阻尼系数。则特征根可写为
s1,2 2 1 n
根据特征根的取值分三种情况讨论。
（8 ）
单自由度系统：在简化模型 中，振动体的位置或形状只 需用一独立坐标来描述的系 统称为单自由度系统。
k o
图为我国返回式卫星的搭载桶正在进行振 动试验
2
x
工程实际问题的可简化为单自由度系统
第二节 单自由度系统的自由振动
一、无阻尼自由振动
如图所示为单自由度振动系统模型，其中m为质量，k为弹簧刚度
线性恢复力
x Ce st
特征方程为
2 s 2 2as n 0
（3 ） （4 ）
这个二阶常系数微分方程的特征根为
2 s1,2 a a 2 n
（5）
则式（2）的通解为
x(t ) C1e
2 ( a a2 n )t
C2e
2 ( a a 2 n )t
（6 ）
砧板的位移响应为
0 ax0 x x e x0 cos d t sin d t d e9.8t 0.015sin 98t
at
有阻尼自由振动系统例题2 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
第一节第一节概述概述第二节第二节单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第三节第三节单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动第四节第四节单自由度系统振动分析实例单自由度系统振动分析实例第一节概述许多机械系统的振动都可以简化为单自由度或多自由度系统而多自由度振动经过适当的处理也可以转化为单自由度系统振动的叠加
第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动
tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示
02-机械振动学-课件-第二章单自由度系统-gbi
m x
0
2.3. 能量法
用能量法确定弹簧等效质量 已知：弹簧单位长度重量为r；弹簧位移速度线性变化
系统位移x , 速度x
处位移为： x
弹簧的动能
l
速度为： x l
ξ
m
x
令弹簧的总质量m1
rl 1 m1 2 则T2 x g 2 3
0
x
1 l r T2＝ （ x ) 2 d 0 g 2 l 1 rl 2 x 2 3g
第二章 单自由度系统
厦门大学 物理与机电工程学院 机电工程系
主要内容
2.1. 概述
2.2. 无阻尼自由振动
2.3. 能量法 2.4. 有阻尼自由振动 2.5. 简谐激励作用下的强迫振动 2.6. 简谐激励强迫振动理论的应用 2.7. 非简谐激励作用下的系统响应
2.1. 概述
单自由度系统的理论模型
2.4.2. 粘性阻尼自由振动
对数衰减率 例、有一个有阻尼系统，质量为m，弹簧常 数为k，测量得到其振动数据，试确定其阻 尼大小。
xi x ( t i ) Ae
n ti
cos(d ti )
xi T x ( ti T ) Ae n ( ti T ) sin(d ti )
F1 (t ) x1 (t )
2
F2 (t ) x2 (t )
d d ( x1 x2 ) a1 ( x1 x2 ) a0 ( x1 x2 ) F1 (t ) F2 (t ) 2 dt dt
2.1.2. 非线性系统的线性化
单摆的运动微分方程为非线性
g sin 0 l
l
θ
将sinθ做Taylor展开
《振动力学》2单自由度系统自由振动
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： &x& + ω02 x = 0
通解 ： x(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t) = Asin(ω0t + ϕ)
c1, c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A = c12 + c22
初相位 ： ϕ = tg −1 c1
c2
4
单自由度系统自由振动
解法2：
平衡位置2
动能 T = 1 Iθ&2 = 1 ml2θ&2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
ω0 = k / m
T +V = const
Tmax = Vmax
Tmax = 0
Vmax
=
1 2
kxm2 ax
m
k
最大位移位置
0
xmax
静平衡位置
x
x&max = ω0 xmax
x 是广义的 对于转动： θ&max = ω0θmax
x(t) = Asin(ω0t + ϕ) 30
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ω0 为频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω 0
初始条件的说明：
初始条件是外界能量输入的一 x0
A
种方式，有初始位移即输入了 弹性势能，有初始速度即输入 了动能。
ϕ0
ω0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
=
x0
&x& + ω02 x = 0
ω0 =
k m
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
单自由度系统的无阻尼自由振动固有频率
弹簧串并联等效刚度实例 例4 求等效弹簧刚度。
弹簧串并联等效刚度实例 例5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
2.1.2 阻尼器
阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的 响应为其端点产生一定的运动速度。
阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数： 阻尼力的方向和速度方向相反。
Fd f (x)
假设与说明： (1)假设阻尼器的质量忽略不计。 (2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。
式中，A1、A2——待定系数； x(t) Asin nt
A、 ——待定系数；
A、φ——待定系数。
x(t) Acos nt
无阻尼自由振动：x(t) Asin nt
1、固有角频率
x(t)振动的角
频率为ωn。
n
k m
无阻尼自由振动的固 有角频率，rad/s。
2、固角频率与振动周期
固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1／s。 振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。
系统的等效刚度：keq=k1+ k2
还是串联弹
簧？
弹簧串并联等效刚度实例
例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。
解：
k1、k2为并联，再与k3串联：
1 1 1 keq k1 k2 k3
keq
k3 (k1 k2 ) k1 k2 k3
弹簧串并联等效刚度实例 例3 求图示振动系统的等效弹簧刚度。
串联弹簧
工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。 (3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量
等效刚度系数 弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。
kF x
同一弹性元件，根据所要研 究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。
第三次课 机械振动第2章单自由度线性系统振动
x (t )e [ x0 ( x0 x0 s ) t ]
st
第2章 单自由度线性系统的振动 特征值
2. 3 自由振动
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应
讨论 (4) 1 方程的解
x (t ) A1e A2 e
s1t
s 2t
x 0） x 0 （ x 0） x 0 （
由m、c、k代表的单自由度线性系统在激励力的作用下， 会具有什么样的运动或响应？？？ 方程的解
其中， x1 t 为相应齐次方程的解
x(t)x1 (t) x2 (t)
瞬态响应
x 2 t 为方程的特解
稳态响应或零初始条件的解
第2章 单自由度线性系统的振动
2. 3 自由振动 振动微分方程
由于
xt 2 Xe nt2 cos d t 2
所以
通常为了提高测量与计算的准确度，可将两值分别选在相应的峰值处，则
t2 t1 T t1 2 / d xt1 e nT xt 2
A1 e nT A2
振动波形按指数形式衰减，且阻尼比越大，衰减越快。
d 2x F m 2 dt
• 质量的单位为kg。
(1- 1)
第2章 单自由度线性系统的振动
• 典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的 函数，即Fs=Fs（x）。 • 当Fs（x）是线性函数时，有 Fs kx （1-2） • 比例常数k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。 • 阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x’的函数，阻尼力可 表示为 （1-3） • 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位 N.s/m。 • 质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基 本元件。
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(1 -1)
第2章 单自由度线性系统的振动
• 典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函 数，即Fs=Fs（x）。
• 当Fs（x）是线性函数时，有 Fs kx （1-2） • 比例常数k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。
•
阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x’的函数，阻尼力可
弹性元件
无质量、不耗能，储存势能的元件
2.1 离散系统的组成
对于外力作用的响应，表现为一定的位移或变形。
平动： Fs k x
力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和m 。
转动： Ts kt
力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为Nm、 Nm / rad和
rad
弹性刚度系数在数值上等于使弹簧产生单位位移所需施
表示为
Fd cx
（1-3）
• 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位 N.s/m。
•
质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基
本元件。
第2章 单自由度线性系统的振动
自由度与广义坐标
自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为 自由度数。
刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方 向的转动，如飞机、轮船；
设 x (t) A e s t 特征方程 m s 2 c s k 0
有
s1, 2
c 2m
c2 k 4 m2 m
s1,2 n n 2 1
定义 临界阻尼系数
阻尼比或阻尼因子
cc 2 mk
c c
cc 2 m k
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 3 自由振动
特征值 s1,2 n n 2 1
而串联方式中各弹簧是“共力”的，即各弹簧所受到的作用力相等。
2.1 离散系统的组成
阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
线性阻尼（粘性viscous阻尼）
平动： Fd c x
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。
转动： Td ct
力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为Nm、 Nms / rad
质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫 球；
质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束 则成为单自由度。
在简化模型中，振动体的位置或形状只需用一个独立坐标 来描述的系统称为单自由度系统。
第2章 单自由度线性系统的振动
2.1 离散系统的组成 2.2 振动微分方程 2.3 自由振动 2.4 强迫振动 2.5 隔振原理 2.6 非周期激励下的响应
系统对初始扰动的响应
讨论 (1) 0
方程的解
x (t) R cos（ t ） n
R
x
2 0
( x 0 / n
)2
arc tan x 0
x0 n
π arc tan x 0
x0 n
x0 0 x0 0
第2章 单自由度线性系统的振动 2. 3 自由振动
特征值 s1,2 n n 2 1
2.1 离散系统的组成
机械结构中的元件通常具有比较复杂的组合形式，可用 一“等效弹簧”来取代整个组合弹簧，以简化分析。
k k 等效弹簧刚度 并联弹簧 eq
n i 1
1 i 串联弹簧 k eq
n i 1
1 ki
确定弹簧元件的组合方式是并联还是串联，关键在于看它们是“共位移” 还是“共力”。 并联方式中各弹簧是“共位移”的，即各弹簧端部的位移相等。
特征值 s1,2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应
讨论 (3) 1
方程的解
x (t) A1 A2t es2t
2. 3 自由振动
x（0） x0 x（0） x0
x (t)e s t [ x0 ( x0 x0 s ) t]
第2章 单自由度线性系统的振动
2.1 离散系统的组成
质量元件
无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
平动： Fm m x
转动： Tm J
力、质量和加速度的单位分别 为N、kg和m / s 2。
力矩、转动惯量和角加速度的 单位分别为Nm、kg m 2和rad /s2
第2章单 自由度线性系统的振动
系统对初始扰动的响应
讨论 (2) 0 1
方程的解
x (t) Re n t cos ( dt )
R
d 1 2n
x
2 0
x 0 n x 0 d
2
arc tan
x 0
d
n
x0
x 0
arc tan
x 0
d
n
x0
x 0
x0 0 x0 0
第2章 单自由度线性系统的振动
非线性阻尼
和rad/s
（1）库伦（Coulomb）阻尼
（2）流体阻尼
（3）结构阻尼
等效阻尼系数 并联系统
n
ce ci
i 1
串联系统
1
n
1
ce i 1 ci
第2章 单自由度线性系统的振动
2. 2 振动微分方程
振动微分方程
mx cx kx F(t)
反映振动系统本身 的固有特性
反映振动系统 的输入特性
加的力。
（1）通常假定弹簧无质量。
若弹簧质量相对较小，则可忽略不计；否则需对弹簧质量做专门处理， 或采用连续模型。
（2）实际工程中的许多构件，在一定的受力范围内都具有作用力与变形 之间的线性关系，因此都可作为线性弹性元件处理。
比如拉杆、扭振。橡皮、木材、土壤、压缩空气等都经常作为弹性元件 处理。
第2章单 自由度线性系统的振动
第2章 单自由度线性系统的振动
任何一个实际的振动系统都是无限复杂的，为了能对之进行分析， 一定要加以简化，并在简化的基础上建立合适的力学模型。
• 构成机械振动系统的基本元素
构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。
惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。
恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。
阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能 的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据 牛顿第二定律，作用在物体上的外力F，物体由此产生的加速度 和物体质量m之间有下述关系
d2x F m dt2
• 质量的单位为kg。
由m、c、k代表的单自由度线性系统在激励力的作用下， 会具有什么样的运动或响应？？？
方程的解
x(t)x1 (t)x2 (t)
其中， x1t 为相应齐次方程的解 瞬态响应
x2 t 为方程的特解 稳态响ห้องสมุดไป่ตู้或零初始条件的解
第2章 单自由度线性系统的振动
2. 3 自由振动
振动微分方程
m x c x k x 0