统计学教案习题07二项分布与Poisson分布及其应用

第七章 二项分布与Poisson 分布及其应用

一、教学大纲要求

（一）掌握内容 1．二项分布 （1）分布参数；

（2）各项统计指标（均数、标准差等）的计算方法； （3）二项分布的分布特征，近似分布及其应用条件。 2．Poisson 分布 （1）分布参数；

（2）各项统计指标（均数、标准差等）的计算方法； （3）Poisson 分布的分布特征，近似分布及其应用条件。 （二）熟悉内容 1．二项分布

（1）样本率的分布； （2）总体率的区间估计； （3）样本率与总体率的比较； （4）两样本率的比较。 2．Poisson 分布

（1）总体均数的区间估计； （2）样本均数与总体均数的比较； （3）两个样本均数的比较。 （三）了解内容

二项分布及Poisson 分布的前提条件及其概率密度函数的应用。

二、教学内容精要

（一）基本概念

1．概率分布

二项分布（binomial distribution ）和Poisson 分布是统计学中很重要的两种分布。 二项分布：若一个随机变量X ，它的可能取值是0,1,…,n ，且相应的取值概率为

k

n k

n

k k X P --==)

1()()(ππ (7-1)

则称此随机变量X 服从以n 、π为参数的二项分布，记为X ～B （n ,π）。

Poisson 分布：若离散型随机变量X 的取值为0,1,…,n ，且相应的取值概率为

μ

μ

-=

=e

k k X P k

!

)(（μ>0） (7-2)

则称随机变量X 服从以μ为参数的Poisson 分布（Poisson Distribution ），记为X ～P （μ）。

2．两种分布成立的条件

（1）二项分布成立的条件：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。 （2）Poisson 分布成立的条件：①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值

最多为1。

（二）分布参数

1．二项分布，X ～B （n ,π）

X 的均数μX = n π (7-3)

X 的方差2

X σ = n π(1-π) (7-4)

X 的标准差X σ =

)1(ππ-n (7-5)

2．Poisson 分布，X ～P （μ）

X 的均数μX =μ (7-6)

X 的方差2

X σ=μ (7-7)

X 的标准差σ

X = μ (7-8)

（三）分布特性 1．可加性

二项分布和Poisson 分布都具有可加性。

如果X 1，X 2，… X k 相互独立，且它们分别服从以n i ，p （i=1,2, …,k ）为参数的二项分布，则X =X 1＋X 2＋…＋X k

服从以n ，p （n =n 1+n 2+…+n k ）为参数的二项分布。如果X 1，X 2，…，X k 相互独立，且它们分别服从以μi （i=1,2, …,k ）为参数的Poisson 分布，则X =X 1＋X 2＋…＋X k 服从以μ（μ=μ1+μ2+…+μk ）为参数的Poisson 分布。

2．近似分布

特定条件下，二项分布、Poisson 分布可近似于某种其它的分布，这一特性拓宽了它们的应用范围。 二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π,

)1(ππ-n ）

。 二项分布的Poisson 分布近似：当n 很大，π很小，n πλ=为一常数时，二项分布近似于Poisson 分布。 Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P （μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。 （四）应用 1．二项分布的应用 （1） 总体率的区间估计 有查表法和正态近似法两种方法。

当n ≤50时可以通过查表求总体率的95％和99％可信区间。

当二项分布满足近似正态分布的条件时（n 较大，样本率p 不接近0也不接近1），可用正态近似法求总体率的1-α可信区间：

（p -u αS p , p +u αS p ） (7-9) S p =

n

p p )1(- (7-10)

（2） 样本率与总体率比较

应用二项分布的概率计算公式计算事件（一般指X 取某给定值一侧的所有值）发生的概率，再比较其与检验水准α大小，推断样本所在的总体率与给定总体率的关系。

（3） 两样本率的比较

根据独立的两个正态变量的差也服从正态分布的性质和二项分布在一定条件下的近似正态分布特性，当两个样本的含量n 1和n 2较大，且p 1、（1-p 1）、p 2、（1-p 2）均不太小，可用u 检验方法对两样本率对应的总体率作统计推断。

2

121p p S p p u --=

(7-11)

)11)(

1(2

1

2

1212

12121n n n n X X n n X X S p p +

++-

++=

- (7-12)

2．Poisson 分布的应用 （1） 总体均数的区间估计 有查表法和正态近似法两种方法。

当样本计数X ≤50时，可用查表法求得总体均数的95％或99％可信区间。

当样本计数X >50时，可利用Poisson 分布的正态近似性，计算其总体均数（1-α）可信区间如下：

（X u X α

-，X u X α

+） (7-13)

（2）样本均数与总体均数的比较

有直接计算概率法和正态近似法两种方法。

样本均数与总体均数比较的目的是推断此样本所代表的未知总体均数μ是否等于已知总体均数μ0。

当总体均数较小时，可采用直接计算概率法进行比较。X 取某一值的概率以Poisson 分布的概率密度函数来计算，即

μ

μ

-=

=e

k k X P k

!

)(（k =0,1,2,…）

注意：样本均数与总体均数比较时，应以X 取大于等于（样本均数大于总体均数时）或小于等于（样本均数小于总体均数时）样本均数的所有值的概率总和同检验界值α进行比较，切不可仅以X 取样本均数的概率同检验界值进行比较。

当总体均数较大时，可用正态近似法进行统计推断。此时Poisson 分布近似正态分布，故可计算标准正态统计量u ，

u u X u -=

(7-14)

通过u 值得出相应的概率，推断样本均数与总体均数的关系。

（3）两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。 两个样本观察单位相同时，用下式计算u 值。

2

121X

X X

X u +-=

(7-15)

两个样本观察单位不同时，用下式计算u 值。

22

22

1

12

211//n

X n

X n X n X u +

-=

(7-16)

三、典型试题分析

(一)单项选择题

1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（ ）

A ．样本患病率p =X /n 服从

B （n , π） B ．n 人中患高血压的人数X 服从B （n , π）

C ．患病人数与样本患病率均不服从B （n , π）

D ．患病人数与样本患病率均服从B （n , π） 答案：B