第5章习题解
第五章习题答案
5-1 把直径1d mm =的钢丝绕在直径为2m 的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。
设200E GPa =解：钢丝绕在直径为D 的卷筒上后产生弯曲变形，其中性层的曲率半径为22D d Dρ+=≈（因D d >>） 该钢丝中产生的最大应力为39maxmax/211020010100/22y d d E E E Pa MPa D D σρ-⨯====⨯⨯=5.4 矩形截面悬臂梁如图所示。
已知4l m =，23b h =，10/q kN m =，[]10MPa σ=，试确定此梁横截面的尺寸。
解：作梁的弯矩图如图所示。
梁的最大弯矩发生在固定端截面上。
22max 111048022M ql kN m ==⨯⨯=⋅ 由强度条件，有max maxmax 26[]z M M W bhσσ==≤ 将23b h =代入上式，得0.416416h m mm ≥=== 22773b h mm =≥ 5.5 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[]160MPa σ=，试求许可载荷F 。
解：（1）求支座反力。
选整个梁为研究对象，受力分析如图所示。
列平衡方程，有0yF =∑，0A B F F F F ++-=()0AM=∑F ，6240B F F F ⨯-⨯+⨯=解得：13A F F =，13B F F =-M O212qlM O（2）作梁的弯矩图如图所示。
由图可知该梁的最大弯矩为max 23C M M F ==查表得No.20a 工字钢的抗弯截面系数为3237z W cm =，由强度条件，有max max 2/3[]z zM F W W σσ==≤ 解得663[]3237101601056.922z W F kN σ-⨯⨯⨯⨯≤==所以许可载荷56.9F kN =。
5.8 压板的尺寸和载荷情况如图所示。
材料为45钢，380s MPa σ=，取安全因数1.5n =。
试校核压板的强度。
解：由受力分析可知最大弯矩发生在m m -截面处，且其值为3max 10.0215.4100.02308M P N m =⨯=⨯⨯=⋅m m -截面的抗弯截面系数z W 为333max11302030121212156810zz I W mm y ⨯⨯-⨯⨯=== 压板的最大应力为max max 9308197156810z M MPa W σ-===⨯ 而许用应力为380[]2531.5sMPa nσσ===截面m-m因最大应力小于许用应力，所以压板的强度足够。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第五章部分习题解答
u (2) a (2)
1 89765
(32,33)
2205
1465 4.8897 89765
u (1) u (2)
当X (1)
20 20
时,
u(
X
(1)
)
1 89765
(32,33)
20 20
4.3390
因u( X (1) ) 4.3390 u* , 判X (1) G2.
当X (1)
15 20
解 : (a) (ad )2 (ad )(ad )
aSa
aSa
a( X
(1)
X
(2) )( X aSa
(1)
X
(2) )a
def
aBa aSa
1
其中1为S 1B的最大特征值,且仅当a 1对应的
特征向量时等号成立.
又S 1B ( X (1) X (2) )( X (1) X (2) )S 1与
判X G2 , 当W ( X ) 0, 试求错判概率P(2 |1)和P(1| 2).
解 : 记a 1 ( (1) (2) ),W ( X ) ( X )a是X的
线性函数,当X
G1时,W
(X
)
~
N1
(
1
,
2 1
),
且
21
第五章 判别分析
1
E(W ( X
))
( (1)
)a
1 2
( (1)
2
PU a PU b
(1) 2
(2) 1
(1) 1
(2) 2
.
.
(b) (a)
4
第五章 判别分析
5-2 设三个总体的分布分别为: G1为N(2,0.52), G2为
第5章振动和波动习题解答
第5章 振动和波动5-1 一个弹簧振子 m=：0.5kg , k=50N ；'m ，振幅 A = 0.04m ，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力; (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。
频率、周期和初相。
A=0.04(m) 二 0.7(rad/s) 二-0.3(rad)⑷10.11(Hz) T 8.98(s)2 n、5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为1 R +k 2式中k 1,k 2分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量V max 二 A =10 0.04 = 0.4(m/s) a max 二 2A =102 0.04 =4(m/s 2) ⑵设 x =Acos(，t ：；；■『)，贝Ud x vA sin(，t 「)dtd 2xa一 dt 2--2Acos(「t 亠 ^ ) - - 2x当 x=0.02m 时，COS (；：, t :忙)=1/ 2, sin( t 「)= _、一3/2，所以 v ==0.2、.3 ==0.346(m/s) 2a = -2(m/s )F 二 ma = -1(N)n(3)作旋转矢量图，可知：2x =0. 0 4 c o st(1 0)25-2弹簧振子的运动方程为 x =0.04cos(0.7t -0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、严...U ・」|1岛解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。
设物体处在平衡位置时，弹簧 1的伸长量为Xg ,弹簧2的伸长量为x 20，则应有_ k ] X ]0 ■木2乂20 = 0当物体运动到平衡位置的位移为 X 处时，弹簧1的伸长量就为x 10 X ，弹簧2的伸长量就为X 20 -X ，所以物体所受的合外力为F - -k i (X io X )k 2(X 20 -x)- -(匕 k 2)x2d x (k i k 2)dt 2 m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为5-4如图所示，U 形管直径为d ,管内水银质量为 m ,密度为p 现使水银面作无阻尼 自由振动，求振动周期。
第5章 习题答案
第5章 相对论习题5-1 观察者A 测得与他相对静止的XOY 平面上一个圆的面积是12cm 2,另一观察者B 相对A 以0.8C(C 为真空中光速)平行于XOY 平面作匀速直线运动,B 测得这一图形为一椭圆,面积是多少(椭圆面积S=πab ，a 、b 为长短半轴).5-2 一宇宙飞船固有长度,m 900=L 相对地面以v=0.8c 匀速度在一观测站上空飞过,则观测站测得飞船船身通过观测站时间间隔是多少?宇航员测得船身通过观测站的时间隔是多少?解：设地面为S 系，飞船为S ′系，则观测站测飞船长度为2201c L L υ-=.所以，观测站时间间隔是s 1025.28.018.090172220-⨯=-=-==cc L Lt υυυ∆ 宇航员在S ′系测得船身通过的时间是00τυ=='L t ∆，宇航员观察S 系中的钟是以-v 在运动，所以宇航员测得船身通过观测站的时间隔是s 1025.217220-⨯=-==cL t υυγτ∆5-3 半人马星座α星是太阳系最近的恒星，它距地球为 m 。
设有一宇宙飞船，以v =0.999c 的速度飞行，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？解：在地面上观测飞船往返一次的时间为s 1087.2999.0103.42816⨯=⨯⨯=ct ∆；16103.4⨯在飞船上观测距离缩短，测得时间为s 1028.1999.0999.01103.47216⨯=-⨯='ct ∆；或运动的钟测得s 1028.1999.01999.0103.47216⨯=-⨯='ct ∆.5-4 观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系K 和K ′中,甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4S,而乙测得这两个事件的时间间隔为5S,求:(1) K ′相对于K 的运动速度；(2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离.解：（1）设两事件的时空坐标见下表事件1 事件2 K 系 ),(11t x ),(21t x K ′系),(11t x '' ),(22t x '' 由洛伦兹变换)/(2c x t t υγ-='得222/1/)/(c t c x t t υυγ-=-='∆∆∆∆解上式得 c c t t c 6.0)54(1)(122=-='-=∆∆υ. （2）由洛伦兹变换)/(2c x t t '+'=υγ得)/(2c x t t '+'=∆∆∆υγ解之得 m 109105)56.014()(882212⨯-=⨯⨯--='-='-'='υγc t tx x x ∆∆∆5-5 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为x 1=6×104m,t 1=2×10-4s ，以及x 2=12×104m, t 2=1×10-4s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2)S '系中测得的两事件的空间间隔是多少?解:（1）由洛伦兹变换)/(2c x t t υγ-='得0)/(2=-='c x t t ∆∆∆υγ解之得 m/s 105.110310610)1(10388448⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==-c x t c ∆∆υ （2）由)(t x x '+'=υγ得x t x x '='+'=∆∆∆∆γυγ)(所以 m 102.55.01106/)(424⨯=-⨯=='+'='γυγx t x x ∆∆∆∆5-6 长度01m =l 的米尺静止于S ′系中，与x '轴的夹角o 30'=θ，S ′系相对S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为o45=θ． 试求：(1)S ′系和S 系的相对运动速度.(2)S 系中测得的米尺长度．解:（1）由教材p152例题5.3有θγθ'=tan tan 得 c c 816.0)tan tan (12='-=θθυ （2）在x 方向尺会缩短，即m 5.0tan tan cos tan tan 0=''=''='=θθθθθγl x x x ；y 方向没运动，长度不变，即m 5.0sin 0='='=θl y y 。
第5章习题与参考答案
第5章习题及参考答案5.1解释下列名词：（1）旋光性（2）手性（3）对映体（4）非对映体（5）内消旋体（6）外消旋体解：（1）使偏振光的振动平面发生旋转的性质。
（2）物质的分子和它的镜像不能重合的特征。
（3）分子式，构造式相同，构型不同互呈镜像对映关系的立体异构现象称为对映异构。
（4）不为实物和镜像关系的异构体。
（5）分子中存在一个对称面，分子的上半部和下半部互为实物和镜像，这两部分的旋光能力相同，但旋光方向相反，从而使旋光性在分子内被相互抵消，因此不具有旋光性的化合物。
（6）由等量的一对对映体组成的物质。
5.2现有某旋光性物质0.05g/mL的溶液一份：(1)将一部分该溶液放在5cm长的盛液管中，测得旋光度为+2.5°，试计算该物质的比旋光度。
(2)若将该溶液放在10cm长的盛液管中测定。
你观察到的旋光度应是多少?解：(1)+100°；(2)+5°5.3判断下列化合物中有无手性碳原子，并用“*标”出手性碳原子。
(1) C H3CH2CH2CHCH2OH (2) C H3CH2CH2CH2CHCH2ClCH3CH3 H(3)(4)BrCH2CHCH2FBrCH2Cl解：(1) *CH3CH2CH2CHCH2OH (2) *CH3CH2CH2CH2CHCH2ClCH3CH3H (3)(4)** BrCH2CHCH2FCH2ClBr5.4下列叙述是否正确，为什么？（1）具有R构型的化合物一定是右旋（＋）的。
（2）有旋光性的分子一定含有手性原子。
（3）含有手性原子的分子一定具有旋光性。
（4）一个分子从R构型转化到另一个分子的S构型一定进行了构型翻转。
（5）对映体除旋光方向相反外，其物理性质和化学性质完全相同。
解：均不正确。
5.5下列化合物中哪些具有旋光性？OHOHA.B.C.OH (1)(2)(3)OCH3OHCH3D.E.F.O(6) (4)(5)O HHH3CH 解：化合物B、C、D具有旋光性。
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
第5章 反馈放大电路 习题解答
第五章习题参考答案5-1 试判断图5-22所示集成运放电路的反馈类型。
a) b)图5-22题5-1的图答 （a ）F R 、1R ：引入串联电压负反馈。
（b ）F R 、1R ：引入了正反馈。
5-2 电路如图5-23所示，解答下列为题： 1）1F R 引入了何种反馈，其作用如何？ 2）2F R 引入了何种反馈，其作用如何？图5-23 题5-2图解 1)1F R 、3E R 引入的是直流电流并联负反馈。
其作用是稳定静态电流2E I 。
其稳定过程如下：↓↓→↓→↑→↑→↑→↑→2211122E B C C B E E I I U I I U I2)2F R 引入的是交、直流电压串联负反馈。
其作用是交流电压串联负反馈可改善放大器的性能，如提高电压放大倍数的稳定性、减小非线性失真、抑制干扰和噪声、展宽放大电路的通频带等。
由于是电压负反馈还可使反馈环路内的输出电阻降低)1(AF +倍。
由于是串联反馈可使反馈环路内的输入电阻增加)1(AF +倍。
2F R 引入的直流电压串联负反馈的作用是稳定静态电压2C U ，其稳定过程如下：↓↑→↑→↓→↓→↑→↑→2211112C C C C B E C U I U I I u U5-3 在图5-24所示的两级放大电路中，（1）那些是直流负反馈；（2）哪些是交流负反馈，并说明其类型；（3）如果F R 不接在T 2的集电极，而是接在C 2与L R 之间，两者有何不同？（4）如果F R 的另一端不是接在T 1的发射极，而是接在它的基极，有何不同，是否会变为正反馈？5-24 题5-3图解 1)1E R 、2E R 直流串联电流负反馈，F R 、1E R 直流电压串联负反馈。
2)F R 、1E R 交流电压串联负反馈。
3)如果F R 不接在T 2的集电极，而是接在C 2与L R 之间，则F R 、1E R 只有交流电压串联负反馈，没有直流反馈。
4)如果F R 的另一端不是接在T 1的发射极，而是接在它的基极，则变为正反馈。
第五章习题解答
习 题 五1. 设V 是数域F 上向量空间，假如V 至少含有一个非零向量α，问V 中的向量是有限多还是无限多？有没有n (n ≥ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在n (n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F 上一个向量空间V 含有至少两个向量, 那么V 至少含有一个非零向量α , 因此V 中含有α , 2α , 3α , 4α , …,这无穷多个向量互不相等,因此V 中必然含有无穷多个向量).2. 设V 是数域F 上的向量空间，V 中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量α，空间解析几何中的向量β有什么区别？解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F 上的向量空间.（1）集合：全体n 阶实对称矩阵；F ：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；（2）集合：实数域F 上全体二维行向量；运算： (a 1, b 1)+ (a 2, b 2)＝(a 1＋a 2, 0) k • (a 1, b 1)＝(ka 1, 0)（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： (a 1, b 1)+ (a 2, b 2)＝(a 1＋a 2, b 1＋b 2)k •( a 1, b 1)＝(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).4. 在向量空间中，证明，(1) a (－α)=－a α=(－a ) α ,(2) (a -b )α＝a α－b α ,a ,b 是数，α是向量.证明 (1) a a a a =+-=+-))(()(αααα 0= 0ααa a -=-∴)(又 ==+-=+-a a a a a 0))(()(ααα 0ααa a -=-∴)(综上, .)()(αααa a a -=-=-(2) ααααααb a b a b a b a -=-+=-+=-)())(()(.5. 如果当k 1＝k 2＝…＝k r ＝0时，k 1α1＋k 2α2＋…＋k r αr ＝0, 那么α1, α2, …, αr 线性无关. 这种说法对吗？为什么?解 这种说法不对. 例如设α1=(2,0, -1), α2=(-1,2,3), α3=(0,4,5), 则0α1+0α2+0α3=0. 但α1, α2, α3线性相关, 因为α1+2α2－α3=0.6. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，而αr ＋1不能由α1, α2, …, αr 线性表示，那么α1, α2,…, αr , αr ＋1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？ 解 成立. 反设α1, α2,…, αr , αr ＋1线性相关,由条件α1, α2, …, αr 线性无关知αr ＋1一定能由α1, α2, …, αr 线性表示,矛盾.7. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？解 对. 反设 αi = k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k r αr ,则 k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+(－1) αi +k i+1αi ＋1 +…+k r αr =0. 由于－1≠0, 故α1, α2, …, αr 线性相关.8. 如果向量α1, α2, …, αr 线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？解 不对. 设α1=(1,0) , α2=(2,0) , α3=(0,1) , 则α1, α2, α3线性相关, 但α3不能由α1, α2线性表示.9. 设α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 2, 0), α3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量，写出α1, α2, α3的一切线性组合. 并证明F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.解 k 1α1+k 2α2+k 3α3 k 1, k 2 , k 3∈F .设k 1α1+k 2α2+k 3α3=0,则有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++030220332321k k k k k k , 解得 k 1= k 2 =k 3=0.故α1, α2, α3线性无关.对任意(a,b,c)∈F 3, (a,b,c)=3213)32())322((αααc c b c ba +-+--,所以F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.10. 下列向量组是否线性相关(1) α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；(2) α1＝(3, 1, 4), α2＝(2, 5, -1), α3＝(4, -3, 7).解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.11. 证明，设向量α1, α2, α3线性相关，向量α2, α3, α4线性无关，问：(1) α1能否由α2, α3线性表示？说明理由；(2) α4能否由α1, α2, α3线性表示？说明理由.解 (1)因为α2, α3线性无关而α1, α2, α3线性相关,所以α1能由α2, α3线性表示;(2)反设α4能由α1, α2, α3线性表示,但α1能由α2, α3线性表示,故α4能由α2, α3线性表示,这与α2, α3, α4线性无关矛盾,所以α4不能由α1, α2, α3线性表示.12. 设α1＝ (0, 1, 2), α2＝ (3, －1, 0), α3＝(2, 1, 0)，β1＝ (1, 0, 0), β2＝ (1, 2, 0), β3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量. 证明，向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.证明 (β1, β2, β3)=(321,,εεε)A(α1, α2, α3)= (321,,εεε)B其中A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300220111, B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-002111230.易验证A , B 均可逆, 这样 (β1, β2, β3) = (α1, α2, α3 )(B -1A )(α1, α2, α3) = (β1, β2, β3)(A -1B ) ,故向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.13. 设数域F 上的向量空间V 的向量组{α1, α2, …, αs }线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关. 证明，如果∑=s i i ik 1α＝0 (k i ∈F )，那么或者k 1＝k 2＝…＝k s ＝0, 或k 1，k 2，…，k s 全不为零.证明 由条件∑=s i i ik 1α＝0 (k i ∈F )知k i αi = - (k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ) （*）(1) 当k i =0时,（*)式左边等于零,故k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs =0. 由于这s -1个向量线性无关,所以k 1＝k 2＝…＝k s ＝0.(2) 当k i ≠0时, αi = -ik 1(k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ),下证对于任意i j s j ≠∈},,2,1{ 时k j ≠0. 反设k j =0, 则αi 可由s -2个向量线性表示.这与任意s -1个向量线性无关矛盾,所以此时k 1,k 2，…，k s 全不为零.14. 设α1＝(1, 1), α2＝(2, 2), α3＝(0, 1) , α4＝(1, 0)都是F 2中的向量. 写出{α1, α2, α3, α4}的所有极大无关组.解 α1, α3 ; α1, α4 ; α2 ,α3 ; α2 ,α4 ; α3 ,α4 .15. 设A 1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2001,A 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0021, A 3＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0120,A 4＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2142∈M 2×2(F ). 求向量空间M 2×2(F )中向量组{A 1, A 2,A 3, A 4}的秩及其极大无关组. 解 秩{A 1, A 2,A 3, A 4}=3, {A 1, A 2,A 3}是向量组{A 1, A 2, A 3, A 4}的一个极大无关组.16．设由F 4中向量组｛α1=(3，1，2，5)，α2＝(1，1，1，2)，α3＝(2，0，1，3)，α4 =(1，－1，0，1)，α5 =(4，2，3，7)｝. 求此向量组的一个极大无关组.解 (α1,α2,α3,α4,α5)= (4321,,,εεεε)A , 其中A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-71325301122101141213, 则秩A =2. 又(α1,α2 )= (4321,,,εεεε)B , 其中B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25121113. 秩B =2, 故{α1,α2}线性无关, 它是向量组{α1,α2,α3,α4,α5}的一个极大无关组.17. 证明，如果向量空间V 的每一个向量都可以唯一表成V 中向量α1, α2, …, αn 的线性组合，那么dim V ＝n .证明 由条件零向量可唯一的表示成α1, α2, …, αn 的线性组合, 这说明α1, α2, …, αn 线性无关, 故可作为V 的基, 从而dim V ＝n .18. 设β1, β2，…，βn 是F 上n (>0)维向量空间V 的向量，并且V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示. 证明, {β1, β2，…，βn }是V 的基.证明 由条件标准正交基{ e 1, e 2, …,e n }可由β1, β2，…，βn 线性表示, 反过来β1, β2，…，βn 又可由{ e 1, e 2, …,e n }线性表示,所以{ e 1, e 2, …,e n }和{β1, β2，…，βn }等价. 由{ e 1, e 2, …,e n }线性无关知{β1, β2，…，βn }线性无关,又因V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示, 由基的定义知{β1, β2，…，βn }是V 的基.19. 复数集C 看作实数域R 上的向量空间（运算: 复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C 的一个基和维数.解 基为{1, i }； dim C ＝2.20. 设V 是实数域R 上全体n 阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与矩阵的乘法）. 求V 的一个基和维数.解 基为E ii (i =1,2, …,n )； dim V ＝n .21. 求§5.1中例9给出的向量空间的维数和一个基.解 任意一个不等于1的正实数都可作为V 的基； dim V ＝1.22. 在R 3中，求向量α＝(1, 2, 3)在基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(1, 1, 0)，ε3＝(1, 1, 1)下的坐标.解 (-1,-1,3)T .23. 求R 3中由基{α1, α2, αs }到基{β1, β2, β3 }的过渡矩阵，其中α1＝(1, 0, -1), α2＝(-1, 1, 0), α3＝(1, 2, 3)，β1＝(0, 1, 1), β2＝(1, 0, 1), β3＝(1, 1, 1).解 所求过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32204230061. 24. 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基，求由这个基到基{α3, α4, …, αn ，α1, α2}的过渡矩阵.解 所求过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0022n I I . 25. 已知F 3中向量α关于标准基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(0, 1, 0) ，ε3＝(0, 0, 1)的坐标是(1, 2, 3)，求α关于基β1＝(1, 0, 1), β2＝(0, 1, 1), β3＝(1, 1, 3)的坐标.解 (1,2,0)T .26. 判断R n 的下列子集哪些是子空间(其中R 是实数域，Z 是整数集).(1) {(a 1, 0, …, 0, a n )| a 1, a n ∈R };(2) {(a 1, a 2, …, a n )|∑==ni i a 10，a 1, a 2, …, a n ∈R };(3) {(a 1, a 2, …, a n )|a i ∈Z , i ＝1, 2, …, n };解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(数乘不封闭).27. 设V 是一个向量空间，且V ≠{0}. 证明，V 不能表成它的两个真子空间的并集.证明 设W 1与W 2是V 的两个真子空间(1) 若21W W ⊆，则W 1⋃W 2= W 2≠V ;(2) 若21W W ⊇,则W 1⋃W 2= W 1≠V ;(3) 若21W W ⊄且12W W ⊄, 取1W ∈α但2W ∉α,2W ∈β但1W ∉β, 那么1W ∉+βα,否则将有1)(W ∈=-+βαβα,这与1W ∉β矛盾, 同理2W ∉+βα, 所以V 中有向量21W W ∉+βα,即V ≠21W W .28. 设V 是n 维向量空间，证明V 可以表示成n 个一维子空间的直和.证明 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基, (α1), (α2) ,…, (αn )分别是由α1, α2,…, αn 生成的向量空间, 要证(α1+α2+…+αn )= (α1)⊕ (α2)⊕…⊕ (αn )(1) 因为{α1, α2,…, αn }是V 的一个基, 所以V 中任一向量α都可由α1, α2,…, αn 线性表示, 此即(α1+α2+…+αn )= (α1)+ (α2)+…+ (αn ).(2) 对任意i ≠j ∈{1,2,…, n },下证 (αi )∩ (αj )={0}. 反设存在0 ≠∈x (αi )∩ (αj ),由∈x (αi )知存在k F ∈使得x =k αi ； 由 x ∈ (αj )知存在F l ∈使得x =l αj , 从而αi =kl αj , 即α1与α2线性相关, 矛盾, 所以 (αi )∩ (αj )={0}. 综上, (α1+α2+…+αn )= (α1)⊕ (α2)⊕…⊕ (αn ).29. 在R 3中给定两个向量组α1＝(2, -1, 1, -1), α2＝(1, 0, -1, 1),β1＝(-1, 2, -1, 0), β2＝(2, 1, -1, 1).求 (α1, α2)＋ (β1, β2) 的维数和一个基.解 取R 4的标准正交基{4321,,,εεεε},于是(α1, α2, β1, β2)= (4321,,,εεεε)A ,其中 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1011111112012112 , 秩A = 4. 故α1, α2, β1, β2线性无关, 又因为 (α1, α2)∩ (β1, β2)={0},所以dim (α1, α2) + dim (β1, β2)= 4,{ α1, α2, β1, β2}是它的基.30. 设W 1, W 2都是向量空间V 的子空间，证明下列条件是等价的：(1) W 1⊆W 2;(2) W 1∩W 2＝W 1;(3) W 1＋W 2＝W 2.证明 (i) (1)⇒(2) 因为W 1⊆W 2 , 所以W 1∩W 2＝W 1. (ii) (2)⇒(3) W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2} 由(2)知对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 所以W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1, α2∈W 2}=W 2 .(iii) (3)⇒(1) W 1＋W 2 ={α1,+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2}=W 2 , 说明对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 此即W 1⊆W 2 .31. 设V 是实数域R 上n 阶对称矩阵所成的α2向量空间；W 是数域R 上n 阶上三角矩阵所成的向量空间，给出V 到W 的一个同构映射.解 对∈∀A V (A =(a ij )且a ij = a ji )和B ∈W (B =(a ij ),当i>j 时, a ij =0) 定义f : V → WA B 易验证f 是V 到W 的一个同构映射.32. 设V 与W 都是数域F 上的向量空间，f 是V 到W 的一个同构映射，证明{α1, α2, …, αn }是V 的基当且仅当{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.证明 设{α1, α2, …, αn }是V 的基.(1) 由α1, α2, …, αn 线性无关知f (α1), f (α2), …, f (αn ) 线性无关.(2) 任取∈ηW , 由f 是同构映射知存在∈ξV 使得f (ξ)=η.但ξ=∑=n i i ia 1α, a i ∈F , f (ξ)=f (∑=n i i i a 1α)=)(1∑=n i i i f a α=η. 由η的任意性知{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.反过来, {f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基(1) 由f (α1), f (α2), …, f (αn )线性无关知α1, α2, …, αn 线性无关.(2) 任取∈ξV , 由f 是同构映射知存在∈ηW 使得f (ξ)=η.但η=∑=n i i i f k 1)(α= f (∑=n i i i k 1α), k i ∈F , 从而ξ=∑=ni i i k 1α, k i ∈F .由ξ的任意性知{ α1, α2, …, αn }是V 的基.补 充 题1. 设W 1, W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间. α,β是V 的两个向量，其中α∈W 2，但α∉ W 1，β∉W2. 证明：（1）对于任意k ∈F ，αβk +∉W 2；（2）至多有一个k ∈F ，使得αβk +∈W 1.证明 (1)反设存在k 1∈F 使得αβ1k +∈W 2 , 又α∈W 2 , 因此β=β+ k 1α-k 1α∈W 2 , 这与β∉W 2矛盾. 所以对于∀k ∈F ，αβk +∉W 2 .(2)若有k 1, k 2∈F , k 1≠k 2使得αβ1k +, αβ2k +∈W 1, 那么。
第5章现代计算机复杂环境下程序执行练习题答案解析
精品文档第 5 章现代计算机：复杂环境下程序执行1、关于现代计算机系统，下列说法正确的是 _____。
(A)计算机就是一个主机箱、一个显示器、一个键盘和一个鼠标；(B)计算机不仅仅是主机箱、显示器、键盘和鼠标，还包括扫描仪、打印机、各种数码设备；(C)计算机不仅仅是如(B)一样的硬件设备，其最重要的部分是软件，安装在该计算机的各种各样的软件才能体现出该计算机功能的强弱；(D)人们认为，计算机不仅仅包括硬件和软件，还包括网络和数据，很多的软件都可通过网络来使用，人们的注意力已经从关注软硬件转移为关注各种各样的数据；(E)上述都不正确。
答案： D解释：本题考核现代计算机系统相关知识；计算机不仅仅包括硬件 (主机箱、显示器、键盘和鼠标，还包括扫描仪、打印机、各种数码设备) 和软件，还包括网络和数据，很多的软件都可通过网络来使用，人们的注意力已经从关注软硬件转移为关注各种各样的数据。
所以 D 正确。
具体内容请参考第五章视频之“现代计算机系统的构成”以及第五章课件。
2、关于普通计算机的主机箱中有什么，下列说法正确的是 _____。
(A)主机箱中有电源，还有一块电路板 -- 即主板。
主板上有一个微处理器(CPU)；(B)主机箱中有电源和主板。
主板上有微处理器和内存 (条)；(C)主机箱中有电源和主板。
主板上有微处理器和内存(条)；还有各种磁盘驱动器被连接到主板上进而接受 CPU 的控制；(D)主机箱中有电源，主板。
主板上有微处理器和内存 (条)；还有各种磁盘驱动器被连接到主板上进而接受 CPU 的控制；主板上还有若干个插槽，这些插槽可用于各种外部设备的接口电路板与主板的连接；主板上也有若干已做好的接口，直接用于连接各种外部设备。
答案： D解释：本题考核计算机的主机箱相关内容；主机箱中有电源，主板。
主板上有微处理器和内存 (条)；还有各种磁盘驱动器被连接到主板精品文档．精品文档上进而接受 CPU 的控制；主板上还有若干个插槽，这些插槽可用于各种外部设备的接口电路板与主板的连接；主板上也有若干已做好的接口，直接用于连接各种外部设备。
高等代数(北大版)第5章习题参考答案
第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
数学物理方程第5章习题及答案
11.设 {(x, y) | x2 y2 R2, y 0}, 考虑半圆域狄利克雷问题
u 0, x
u(x, y) (x, y),(x, y)
应用对称法求区域 上的格林函数。
解：该问题所求格林函数应满足
G (P, P0 ), P
G(P, P0 ) 0, P B(圆周) G(P, P0 ) 0, P L(x轴上的边界)
C1
1
4
解为 u 1
4 r
方法二: 本题中u只与r有关，则
所以
uxx
u yy
+uzz
=
1 r
(2ur
rurr )
2ur rurr 0 2rur r 2urr 0 (r 2ur )r 0 r 2ur C
ur
C r2
u
C1
1 r
C2
随后求解过程与方法一相同。
注：在球面坐标系中
uxx
记 G \ B ，则 G B ，在格林第二公式
(uv vu)d
(u
v n
v
u )ds n
中，令 v (P, P0 )，注意到 0 ，则有
ud
G
(u
G
n
u )ds n
或
ud (u u )ds (u u )ds
G
n n
B n n
在圆周B 上有
( 1
随后求解过程与方法一相同。
(3)uxx uyy +uzz =0,r 0
解：方法一: 三维拉普拉斯方程的基本解表示通解
1 u C1 r C2
lim u(r)=0
r
C2
0
u n |B(0, )
u n
B(0, )
第五章习题解答与问题
9．设
f (x)
=
1 1+ x2
，在-5≤x≤5 上取
n = 10，按等距结点求分段线性插值函数Ih(x)，
计算各结点间中点处的Ih(x)和f(x) 的值，并估计误差。 解：因为 f(xk) = 1/(1+ k2)，(k = -5，…，-1，0，1，…，5)分段线性插值函数为
∑ I h
( x)
=
5
lk
y2 y2
− −
y) y1 )
u1
+
(x (x2
− −
x1 )( y2 x1 )( y2
− −
y) y1 )
u2
+
(x (x2
− −
x1 )( y − y1 ) x1 )( y2 − y1 )
u3
+
( x2 − x)( ( x2 − x1 )(
y2 y2
− −
y) y1 )
u4
二、例题
1． 在代数插值问题中，x0，x1，……，xn是(n+1)个互异的插值结点，由这(n+1)个结点构
F (t) = f (t) − H (t) − C ( x)(t − xk )2 (t − xk+1 )2
显然，F(t)有三个零点xk, x, xk+1,由Roll定理知,存在F’(t)的两个零点t0,t1 满足xk<t0<t1<xk+1,
而xk和xk+1 也是F’(x)的零点,故F’(x)至少有四个相异零点. 反复应用Roll定理,得F(4)(t)至少
∑ P( x) = n Aj
ω(x) j=0 x − x j
5． 设x0，x1，……，xn是(n+1)个互异的插值结点，ω(x) = (x – x0) (x – x1)……(x – xn)， 试证明n阶差商的函数值表达式
矩阵理论第五章课后习题解答
第五章课后习题解答1. 设000c c=cc c c A .讨论c 取何值时A 为收敛矩阵. 解：由于()()22c cλ=cc c c c c λλλλλ-----=+---3E A ，所以A 的特征值为12c λ=，23c λλ==-，于是=A ()2r c ，而矩阵A 收敛的充要条件是<A ()1r 即1122c -<<. 2. 若()lim k k →∞=AA ，证明()lim k k →∞=A A ，其中(),k m n ⨯∈A A C ， 为m n ⨯C 中的任何一种矩阵范数，并问该命题的逆命题是否成立，为什么？证：由于()()lim lim 0k k k k →∞→∞=⇔-=AA A A ,再利用矩阵范数的三角不等式推知()()k k -≤-AA A A ，所以有()lim 0k k →∞-=A A ，即()lim k k →∞=AA .该命题的逆命题不成立，例如取⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1(1)10k k k ，⎛⎫= ⎪⎝⎭A 1010，并取矩阵范数为Frobenius范数，则有→∞→∞===A A ()lim limk k k ，但→∞A ()lim k k 不存在，所以→∞≠AA ()lim k k .3. 设()()()(),,lim lim k m n k n l k k k k ⨯⨯→∞→∞∈∈==AC B C A A,B B,证明()()lim k k k →∞=A B AB .证：→∞→∞=⇔-=A BAB A B AB ()()()()lim lim 0k k k k k k ，利用矩阵范数的性质有-=-+-A BAB A B AB AB AB ()()()()()()k k k k k k≤-+-AA B A B B ()()()()()k k k≤-+-B A A A B B ()()()()k k k由已知条件→∞→∞==AA B B ()()lim ,lim k k k k 及第2题结论知→∞-=A A ()lim 0,k k→∞-=B B ()lim 0k k ，→∞=B B ()lim k k .由此可见上面不等式的右边趋于0， 所以→∞-=A B AB ()()lim 0k k k .4. 设()()()1lim ()k n n k k k ⨯-→∞∈=AC ,A A,A 和1-A 都存在，证明()11lim()k k --→∞=A A .证：记adj A 为矩阵A 的伴随矩阵，ij A 为A 中元素ij a 的代数余子式，则()()1()adj ()det k k k -=A A A， 其中adj ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A A A A A ()()()11211()()()()12222()()()12.k k k n k k k k n k k k nn nn易知(k)ij A 是A ()k 中元素的1n -次多项式，由多项式函数的连续性知(k)ij ij =A →∞A lim k ，故adj adj →∞=AA ()lim k k .同理d e t A ()k 是A ()k 中元素的n 次多项式，所以det det →∞=≠AA ()lim 0k k ，于是adj adj det det --→∞→∞===A A A A AA ()()11()lim ()lim k k k k k . 5. 设矩阵级数∞=∑A ()k k收敛（绝对收敛），证明()k k ∞=∑PAQ 也收敛（绝对收敛），且 ()()00k k k k ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑PA Q P A Q , 其中()k m n s m n l ⨯⨯⨯∈∈∈AC ,P C ,Q C .证：记 ()()()0()N NN k k k k ====∑∑SPA Q P A Q ,于是()()()()0lim (lim )()N k N k k N N k k k ∞∞→∞→∞======∑∑∑PAQ SP A Q P A Q可见若∞=∑A ()k k收敛，则()k k ∞=∑PAQ 也收敛.如果()k k ∞=∑A绝对收敛，则()0k k ∞=∑A 收敛.又由于≤≤PA Q PA Q A ()()()k k k c ，其中c 是与k 无关的正常数，由比较判别法知()k k ∞=∑PA Q 收敛，故()0k k ∞=∑PA Q 也绝对收敛.6. 讨论下列幂级数的敛散性：⑴ 2117113kk k ∞=⎛⎫ ⎪--⎝⎭∑; ⑵ 018216kkk k ∞=-⎛⎫⎪-⎝⎭∑. 解: (1) 设1713⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A可求得A 的特征值为221-==λλ，所以=A ()2r . 幂级数∑∞=121k k x k的收敛半径为1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→k k a a r k k k k . 由=>A ()2r r 知矩阵幂级数211k k k∞=∑A 发散.(2) 设1821-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，可求得B 的特征值为31-=λ，52=λ，所以()=B 5r .又因幂级数∑∞=06k kk x k 的收敛半径 6166lim lim 11=+==+∞→+∞→k k a a r k k k k k k ,<B ()r r ，所以矩阵幂级数06kkk k ∞=∑B 绝对收敛. 7. 计算00.10.70.30.6kk ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑.解：设0.10.70.30.6⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，由于0.91∞=<A ，故矩阵幂级数0kk ∞=∑A 收敛，且其和为1472()393-⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦E A . 8. 设,n n⨯∈=A B C,AB BA ，证明sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin +=++=-A B A B A B,A B A B A B .证：由=AB BA ，有e e e +=A B A B，()()11sin()()()22i i i i i i e e e e e e i i +-+--+=-=-A B A B A B A B A B 1[(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )]2i i i i i=++---A A B B A A B Bsin cos cos sin =+A B A B同理可证：cos()cos cos sin sin +=-A B A B A B .9. 设210001010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求te A ，sin t A .解：()()()31120λλλλ-=+--=E A求得A 的特征值为11-=λ，12=λ，23=λ，于是存在可逆矩阵111310310-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，101110336642--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 使得1112--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP . 再根据矩阵函数值公式得 ()21,,t t t t e diag e e e --=A P P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++---=------t t tt t t t t t t t tt t t e e e e e e e e e e e e e e e 33330333303234661222 ()()1sin sin ,sin ,sin 2t diag t t t -=-A P P=sin 24sin 22sin 2sin 24sin 1006sin 606sin 0tt t t t t t --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设126103114--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求,cos .t e t A A解：由 ()λλλλλ+--=-=-=-E A 331261310114得A 的特征值1λ=，解齐次线性方程组3()0-=A E x ，即2261130113x --⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭得1λ=的两个无关特征向量12(1,1,0),(2,1,1)T T αα=-=.又对2α，因非齐次方程组322()βα-=A E 相容，故可求得解2(1,0,0)T β=-.由122,,ααβ构造可逆矩阵121110010--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，1011001113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭P ，使 1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP 为A 的Jordan 标准形.于是1001210001112260110000113000100011313t tt t t t t t t t e e t t t e P e te P e te e t t t e e t t t -⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1cos 002sin cos 2sin 6sin cos 0cos sin sin cos sin 3sin 00cos sin sin cos 3sin t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A P P .11. 设1000110001100011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求ln A . 解：方法一：事实上，可证明()[()]TTf f =A A 成立. 本题中TA 为一约当标准形矩阵，由()ln()f =A A 知(1)0,(1)1,(1)1,(1)2f f f f ''''''===-=.所以(1)(1)110(1)(1)012!3!2310(1)11(1)(1)01ln()[ln()]102!2201(1)(1)11100(1)32TTT T f f f f f f f f f f '''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪''⎪⎪ ⎪'-====-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪' ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A方法二：对A 求得P ，使得11111111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP J ，再得到1000010001ln ln 1002111032-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A P J P .12. 设()t A 和1()t -A 均为n 阶可微矩阵，证明111()()()()d t d t t t dt dt ---⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A A A .证：对1()()t t -=A A E 两端关于t 求导数可得11()()()()0d t d t t t dt dt--⋅+⋅=A A A A . 两边左乘1()t -A 并移项即得111()()()()d t d t t t dt dt ---⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A A A .13. 设()(),T m n f tr ⨯=∈X X X X R ，求dfd X. 解: 这是数量函数对矩阵变量的导数.设()ijm nx ⨯=X ，则()()2211m nT st Fs t f x tr =====∑∑X XX X . 又因为()21,2,,;1,2,,ij ijfx i m j n x ∂===∂ ，所以 ()22ij m n ijm ndf f x d x ⨯⨯⎛⎫∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭X X . 14. 设,,()m nn F ⨯∈∈=A Rx R x Ax ，求()(),dF dF d d Tx x x x . 解：设 ()ijm na ⨯=A ,12(,,,)Tn x x x =x , 由于111(),,Tn nk k mk k k k F a x a x ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑x Ax所以()1,,,T i mi i F a a x ∂=∂ ()11111,,,,,,,,.TTm n mn n dF F F a a a a d x x ⎛⎫∂∂== ⎪∂∂⎝⎭x 而 11111,,n T nm mn a a dF F Fd x x aa ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=== ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦Ax .15. 设(),det 0,det n n f ⨯∈≠=X R X X X ．证明1(det )()T dfd -=X X X. 证：设()ijn nx ⨯=X ，记ij x 的代数余子式为ij X ，X 的伴随矩阵为adj X .将det X 按第i 行展开，得11()i i ij ij in in f =det x x x =++++X X X X X ，所以(),1,2,,ij ijfi j n x ∂==∂X ，从而有()()()()()11det (det )T T Tij n n df adj d --⨯====X X X X X X X.。
运筹学习题答案第五章
第五章习题解答
5.11 某城市可划分为11个防火区，已设有4个消 防站，见下图所示。
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第五章习题解答
上图中，虚线表示该消防站可以在消防允许时间
内到达该地区进行有效的消防灭火。问能否关闭若干 消防站，但仍不影响任何一个防火区的消防救灾工作。 (提示：对每—个消防站建立一个表示是否将关闭的01变量。)
x1, x2 0,且为整数
解：x1 1, x2 3, Z 4
min Z 5x1 x2
3x1 x2 9
(2)
st
x1 x1
x2 5 8x2 8
.
x1, x2 0,且为整数
解：x1 4, x2 1, Z 5
page 8 2 January 2024
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第五章习题解答
5.12 现有P个约束条件
n
aij xij bi
j 1
i 1,2,, p
需要从中选择q个约束条件，试借助0-1变量列出 表达式。
解：设yi是0 1变量,i 1,2,, p
n
yi ( aij xij bi ) 0 j 1
i 1,2,, p
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第五章习题解答
5.1 某地准备投资D元建民用住宅。可以建住宅
的造分地价别点为建有d几j；n幢处，，：最才A多能1，可使A造建2，a造j幢…的。，住问A宅n应。总当在数在A最i哪处多几每，处幢试建住建住宅立宅的问， 题的数学模型。
解：设xi表示在Ai处所建住宅的数量, i 1,2,, n。
第五章习题解答
第五章 化学反应系统热力学习题解答1.在298.15K 、p θ时，环丙烷、石墨及氢的θm c H Δ分别为-2092，-393.5及-285.84KJ ·mol -1，若已知丙稀（g ）的，θm f H Δ=20.5 KJ ·mol -1，试求（1）环丙烷的θm f H Δ；（2）环丙烷异构化变为丙稀的θm r H Δ。
解：（1）环丙烷的生成反应为：3C(石墨)+3H 2(g)====C 3H 6(g)环丙烷）（氢气）（石墨）环丙烷）(33(θθθθθm c mc m c m f m r H H H H H ∆-∆+∆=∆=∆ =3×(-393.5)+3×(-285.84)-(-2092)=53.98kJ ·mol -1(2)环丙烷的异构化反应为：环丙烷（g ）=====丙烯（g ）环丙烷）丙烯）((θθθ∆∆∆m f m f m r H H H -==20.5-53.98=-33.48 kJ ·mol -1 2.试判断298K ，标准态下，下列反应能否正向自发？ （1）SiO 2（s ）+2Cl 2（g ）＝SiCl 4（g ）+O 2（g ）（2）SiO 2（s ）+2Cl 2（g ）+2C （s ）＝SiCl 4（g ）+2CO （g ）根据以上结果说明制备SiCl 4时，加碳为何对反应有利？已知298K 时，SiO 2（s ），SiCl 4（g ），CO （g ）的θm f G Δ分别为-857，-617，-137 kJ ·mol -1 。
解：（1）SiO 2（s ）+2Cl 2（g ）＝SiCl 4（g ）+O 2（g ）反应)()()1(24SiO G SiCl G G m f m f m r θθθ∆∆∆-==-617-（-857）=240kJ ·mol -1所以反应正向非自发。
（2）SiO 2（s ）+2Cl 2（g ）+2C （s ）＝SiCl 4（g ）+2CO （g ）反应)()(2)()2(24SiO G CO G SiCl G G m f m f m f m r θθθθ∆∆∆∆-+==-617+2×（-137）-（-857）=-34 kJ ·mol -1则反应正向自发进行。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
第5章习题及答案
5-5假设一个可移动磁头的磁盘具有200个磁道，其编号为0~199,当它刚刚结束了125道的存取后，现正在处理143道的服务请求，假设系统当前的请求序列以请求的先后次序排列如下: 86、147、91、177、150、102、175、130。试问对以下几种磁盘IO请求调度算法而言，满足以上请求序列，磁头将分别如何移动?
方案1：
main{
int SA=1；//A桥的互斥信号量//
int SB=1；//B桥的互斥信号量//
cobegin
Auto1;Auto2;Autoi;
Ship1; Ship2;Shipj;
coend
}
Autoi(){
车在公路上行驶；
P（SB）；
过B桥；
V（SB）；
过弯道；
P（SA）；
过A桥；
V（SA）；
main{
int SA=1；//A桥的互斥信号量
int SB=1；//B桥的互斥信号量
intSn=n；//弯道可容纳汽车数n
cobegin
Auto1;Auto2;Autoi;
Ship1; Ship2;Shipj;
coend
}
Autoi(){
车在公路上行驶；
P（Sn）；
P（SB）；
过B桥；
V（SB)；
（1）先来先服务算法（FCFS）
（2）最短寻道时间优先调度（SSTF）
（3）扫描算法（SCAN）
（4）循环扫描算法（CSCAN）
答：
（1）FCFS：143→86→147→91→177→150→102→175→130；
（2）SSTF：143→147→150→130→102→94→91→86→175→177；
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NL l 2 1 1 ES 1
故钢杆的总变形： l l1 l 2 0.637 0.096 0.733 mm
5-3
如图所示的三角形支架，杆 AB 和杆 BC 均为圆截面，杆 AB 的直径 d1=20mm，
杆 BC 的直径 d2=40mm，两杆材料的许用应力均为 [σ]=160MPa 。设重物的重量 G=20kN，试问此支架是 否安全？ 解： （1）取 B 点作为研究对象，画出如图所示的 受力图。 （2）根据平衡方程求未知力
2
5-5
蒸汽机的汽缸如图 5-32 所示，汽缸的内直径 Di=400mm，工作压力 p=1.2MPa。汽
缸盖和汽缸用根径为 15.294mm 的螺栓连接。 若活塞杆材料的许用应力为 50MPa，螺栓材料 的许用应力为 40MPa，试求活塞杆的直径及螺栓的个数。 解： （1）求活塞杆的直径 活塞杆工作时受到的轴力（拉力）
（3）杆的横向应变：
' 0.3 0.7333 10 3 0.22 10 3 .
3
所 以 直 径 的 改 变 量 ： d ' d 0.22 10 3.52m。 面积的相对变化率：
16 3.52 10 3 mm ， 即 直 径 减 小 了
N2 12 10 3 38.2 10 6 Pa 38.2MPa 3 2 S 2 (20 10 ) 4
2
（2）计算钢杆的总变形 各段的变形：
l1
N1 L1 ES1
10 10 3 1000 0.637 10 3 m 0.637mm 3 2 ( 10 10 ) 2 10 5 4 12 10 3 500 0.096 10 3 m 0.096mm 3 2 (20 10 ) 2 10 5 4
第5章
5-1
杆件的强度与刚度计算
如图所示的钢杆， 已知： 杆的横截面面积等于 100mm2， 钢的弹性模量 E=2× 105MPa，
F=10kN，Q=4kN。要求： （1）计算钢杆各段的应力、绝对变形和应变； （2）计算钢杆的纵向总伸长量。 解： （1）计算钢杆各段内的轴力、应力、绝 对变形和应变 从左到右取 3 段，分别为 1-1、2-2、3-3 截面，
（中） l 2
（右） l3 各段内的应变： （左） 1
N 3 L3 (10 10 3 ) 0.2 0.1 10 3 m 0.1mm 5 6 ES (2 10 ) (100 10 )
l1 0.1 5 10 4 L1 200
（中） 2
应变：
N 30 10 3 149.3MPa S 16 2 / 4
L
L
2.2 0.7333 10 3 3000
（2）求材料的弹性模量 E 由于变形是完全弹性的，故满足虎克定律，则
E
149.3 2.04 10 5 MPa 3 0.7333 10
题 5-1 图
1 1
2 2
3 3
则根据轴力的平衡，得 各段内的轴力： （左）N1=F=10kN （中）N2=F-Q=10-4=6kN （右）N3=F =10=10kN 各段内的应力： （左） 1
N1 10 10 3 100 10 6 Pa 100MPa 6 S 100 10 N2 6 10 3 60 10 6 Pa 60MPa 6 S 100 10 N3 10 10 3 100 10 6 Pa 100MPa S 100 10 6
故杆 AB 和 BC 的强度是足够的，支架是安全的。 5-4 如图所示的结构，梁 AB 的变形及重量可忽略不计。杆 1 为钢制圆杆，直径
d1=20mm， 弹性模量 E1=2× 105MPa； 杆 2 为铜制圆杆， 直径 d2=25mm， 弹性模量 E2=1× 105MPa。 试问： （1）载荷 P 加在何处，才能使梁 AB 受力后仍保持水平？（2）若此时 P=30kN，求两 杆内横截面上的正应力。 解： （1）只有杆 1 和杆 2 伸长相同时，AB 杆才能 保持水平，即： L1 L2
l 2 0.06 3 10 4 L2 200 l3 0.1 5 10 4 L3 200
（右） 3
（2）计算钢杆的总变形
l l1 l 2 l3 0.1 0.06 0.1 0.26 mm
5-2 试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力以及杆的纵向总伸长量。已知钢的弹性 2
N1 L1 N 2 L2 E1 S1 E 2 S 2
题 5-4 图
N1 1.5 N 2 1 3 2 (20 10 ) (25 10 3 ) 2 2 10 5 1 10 5 4 4
N1 0.8533N 2
（2）取杆 AB 为研究对象，列平衡方程
（1）
S bs dt 2 。因 t1 2t 2 ，所以销钉中段受到的挤压应力更大，需对此段进行强度核算。据挤
压强度条件式有：
bs
d
Pbs P [ bs ] S bs dt1
故
P 18 10 3 11.25mm [ bs ] t 1 200 8
综合考虑销钉的剪切强度和挤压强度，按销钉直径 d≥13.82mm，取 d=14mm。 5-9 如 图 （ a ） 所 示 ， 齿 轮 与 轴 用 平 键 连 接 ， 已 知 轴 直 径 d=70mm ， 键 的 尺 寸
n Ni
4
Di2 p
（1）
螺栓的强度条件为：
Ni [ ]栓 d1
由式（1）和式（2）两式联立解得
（2）
Di2 p 400 2 1.2 n 2 20.52 d1 [ ]栓 15.294 2 40
取螺栓个数 n=22（偶数）或 24（最好为 4 的倍数） 。 5-6 一根直径为 d=16mm、长为 L=3m 的圆截面杆，承受轴向拉力 P=30kN，其伸长为
（3）计算各杆应力
AB
N AB 34.64 10 3 110.3 10 6 Pa 110.3MPa [ ] S AB (20 10 3 ) 2 4
BC
N BC 40 10 3 31.8 10 6 Pa 31.8MPa [ ] 3 2 S BC (40 10 ) 4
模量 E=2× 105MPa，F=10kN，Q=2kN。 解： （1）计算钢杆各段内的应力 从左到右取 2 段，分别为 1-1、2-2 截面，则各段内 的轴力： N1=F=10kN N2=F+Q=10+2=12kN 各段内的应力：
题 5-2 图
1
1
2
1
N1 10 10 3 127.4 10 6 Pa 127.4MPa 3 2 S1 (10 10 ) 4
题 5-8 图
Q P / 2 ，则切应力为
Q P/2 2P 2 2 S d / 4 d 2P 根据剪切强度条件式有： [ ] d 2
故
d
2P [ ]
2 18 10 3 13.82mm 60
（2）按挤压强度设计 若按销钉中段考虑挤压强度，其挤压力 Pbs P ，挤压计算面积按销钉圆柱面正投影 面积计算， S bs dt1 ；若按照销钉侧段考虑挤压强度，其挤压力 Pbs P / 2 ，挤压面积
ΔL=2.2mm。试求： （1）杆横截面上的应力和应变； （2）杆材料的弹性模量 E； （3）杆直径 的改变量和横截面面积的相对变化率。已知杆的变形是完全弹性的，材料的泊松比=0.3。 解： （1）求杆横截面上的应力和应变 承受轴向拉力 P=30kN，则杆内的轴力也为 N=30kN，于是杆横截面上的应力：
(166.7 10 6 ) 13092 N 13.1kN
（4）轴向拉力 P=N=13.1kN 5-8 图 5-38 为销钉连接，已知 P=18kN，两板
的厚度 t1=8mm、t2=5mm，销钉与两板的材料相同， 许用切应力[τ]=60MPa， 许用挤压应力[σbs]=200 MPa。 试设计销钉的直径 d。 解： （1）按剪切强度设计 销钉具有两个剪切面，各剪切面上的剪力均为
F M
y
0 ， N1 N 2 P 0 0 ， Px N 2 2 0
（2） （3）
A
将式（1）代入.8533 1.8533
N1 0.8533N 0.8533 16187 13812 N
将 N 2 代入式（2）得：
x
2 N 2 2 16187 1.08m P 30 10 3
（3）两杆内横截面上的正应力为：
1
N1 13812 44 10 6 Pa 44MPa 3 2 S1 (20 10 ) 4
N2 16187 33 10 6 Pa 33MPa 3 2 S 2 (25 10 ) 4
d 0.0025 0.00025 d 10
0.00025 8.33 10 4 0.3
（2）求应力
E 2 105 8.33 10 4 166.7MPa
（3）求轴力 N
N S
(10 10 3 ) 2
4
S
(d d ) 2 d 2 2d 2 ' 2 (0.22 10 3 ) 0.44 10 3 2 S d d
说明横截面积减小了 0.044%。 5-7 一根直径为 d=10mm 的圆截面杆，在轴向拉力 P 作用下，直径减小 0.0025mm。
已知材料的弹性模量 E=2× 105MPa，泊松比 μ=0.3，变形为完全弹性的，试求轴向拉力 P 的 大小。 解： （1）求出纵向应变