七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳

湘教版

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

第三章因式分解

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：

axbx

13131

x(ab) 3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式

或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部

3232

分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.

②提公因式的步骤第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩

下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要

先提取符号。

2233

例1：把12ab18ab24ab分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

2233

解：12ab18ab24ab

6ab(2a3b4a2b2)

例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式

解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)

=3(x4)x(x4)

=(3x)(x4)

例3：把多项式x22x分解因式

解：

x22x=(x22x) x(x2) （2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式：

a2b2(ab)(ab)

b.逆用完全平方公式：

a22abb2(ab)2

3

3

2

2

c.逆用立方和公式：

ab(ab)(aabb （拓展）)

d.逆用立方差公式：

a3b3(ab)(a2ab᠄ 3;b2（拓展）)

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项

式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

2

解：a14a49=(a7)2

例2：因式分解

a2a(bc)(bc) 解：

a2a(bc)(bc)=(aɦ 83;bc) （3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式

解：

abab1=(aba)

(b1)=a(b1)(b1)ɧ 01;(a1)(b1) ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

22

例：将多项式a2ab1b因式分解22

222

22

解：a2ab1b

=(a2abb)1(a

b)1(ab1)(ab 1)

2x （4）十字相乘法（形如

(pq)xpq(xp) (xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

222

方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq 为一次项系数

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(x p)(xq)

例：分解因式x2x30 分解因式