专题复习证明线段相等角相等的基本方法

专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一)
一、教学目标：
知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.
过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.
情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.
二、教学重点：
掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法.
教学难点：
分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法.
三、教学用具：三角板、学案等
四、教学过程：
（一）引入：
相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.
（二）例题：
例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE .
分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等．
证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．
图1
在△BDF 和△CED 中，
点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方
法．
例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC.
分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证.
证明：∵FE AC ⊥于点90E ACB ∠=，°，
∴90FEC ACB ∠=∠=°， 易证A F ∠=∠． ∴ABC △FCE △. ∴AB FC =．
点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来
证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．
例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ．
分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就
,,,...
BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴∆≅∆∴=∴∠=∠
C
图
1
图
C 图1-1
（如图1)
（如图2
）
A
C
B
（如图3）
C
B
可构成边角边对应相等的ABE △与ACD △全等，从而可证全等三角形的对应角相等．
证明：ABC Q △与AED △均为等腰直角三角形,
AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=o
．
易证BAE CAD ∠=∠.
ABE ACD
∴△≌△．
∴∠ABE=∠ACD
．
点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角加同角的和相等．
此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等．
例4点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．
（1）如图1，若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆ 是 三角形．
（2）如图1-2，在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .
（3）如图1-3，若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
分析：（1）判断三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知
BN EC AF BM ===2
1
21，又可证得∠MBN=90°，所以△MBN 为等腰直角三角形．
（2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三角形取一腰，构成两个边角边全等三角形． 解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立
证明：如图1-3，易证
△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE ，∠AFB=∠ECB. ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α.
点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果没有变，则结论不变；如主要条件变，则结论变．
在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变化前）的证法类比得到．
（三） 练习：
1． 如图1，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．
2．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF
A
C B
D
P
Q
图1
图1
的边CE 上，连接BE 、DG ．(1)求证：BE ＝DG ；(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
3.如图1，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ；(2) OB ＝OE .
4. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想
5．如图1-1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点为射线上一点，连结，以为
一边且在的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB AC =，90BAC =o ∠，①当点在线段上时（与点不重合），如图1-2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为 ；②当点在线段的延长线上时，如图1-3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点在线段上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．
D
E
图1
Q P
D
C
B
A
图
（四） 总结：
通过本节课的学习，使学生在对例题、习题分析、证明、总结反思的过程中，体验根据线段和角的位置关系证明角等和线段相等的方法，即当两角或两边在一个三角形中时，利用等边对等角或等角对等边，当两角或两边在两个三角形中时证明他们所在的两个三角形全等；体验由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形．
通过练习拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等，结论仍然成立．
老师在用时可将例习题变为学案使用，也可根据自己的习惯和学生情况增减习题使用．教案设计程序简单，易于使用者直接使用或改变．
欢迎提宝贵意见！谢谢！ （五） 反思：
本节课例习题编排按照由易到难、有简单到复杂的顺序，符合学生的认知规律，学生通过课上的体验、总结、交流再通过练习进行巩固，希望达到教学目标．
附练习参考答案：
1． 证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC =∠BCD =90°．
∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴ ∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°， ∴ ∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°，
∠PCD = ∠BCD －∠PCB =30°．
图C
A
C B
D
P
Q
图1
F E
D
C
B A
图
∴ ∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°． ∴ ∠PBA =∠PCQ =30°．
（2） ∵ AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ，
∴ △PAB ≌△PQC ，
∴ PA =PQ ．
2．（1）证明：如图1，∵正方形ABCD 和正方形ECGF ,
90BC CD CE CG BCE DCG ∴==∠=∠=，，°． 在BCE △和DCG △中，
BC CD
BCE DCG CE CG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
(SAS)BCE DCG ∴△≌△． BE DG ∴=．
（2）存在．BCE △绕点顺时针旋转得到DCG △（或将DCG △逆时针旋转得到BCE △）
3．证明： (1) 如图1，∵∠BAD ＝∠EAC ， ∴∠BAC=∠EAD ．
在△ABC 和△AED 中
AB AE
BAC EAD AC AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△AED(SAS) ．
(2)由(1)知∠ABC=∠AED ． ∵AB=AE ，
∴∠ABE=∠AEB ．
∴∠OBE=∠OEB ．
∴OB=OE ．
4．解： PQ =PB
证明： 过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，
图1
E
图1
N M
Q P
D
C B
A
∴AM =PM ． 又∵AB =MN ， ∴MB=PN ． ∵∠BPQ =900 ，
∴∠BPM ＋∠NPQ =900 ． 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ， ∴∠MBP = ∠N PQ ． ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ． ∴PB =PQ ． 5．（1）①垂直，相等；
②如图1-2，当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90o ．
∵∠BAC ＝90o ，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ， 又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90o ， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45o ，∴∠ACF ＝45o ， ∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90o ． 即 CF ⊥BD .
（2）如图1-2，当∠ACB ＝45o 时，CF ⊥BD ．
理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，
则∠GAC ＝90o ，
∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，
∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上， 由（1）①可知CF ⊥BD .
G
B
D
E
F
A
图。