几何模型一线三等角模型

实用标准

一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类

全等篇

D

D

C

D

C

C

A P

B A P

B A P B同侧

锐角直角钝角

D

D D

A A

P

B B

P

A

B

P

C C C

异侧相似篇

D

D C

D

C

C

A P

B A P

B A P B同侧

锐角直角钝角

D D

D

A

P

B

A

P

B

A

P

B

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三、“一线三等角”的性质

1. 一般情况下，如图3-1 ，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图3-1 ，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图3-2 ，当∠1=∠2=∠3，且 D 是BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4. “中点型一线三等角“的变式(了解)

如图3-3 ，当∠1=∠2 且造“一线三等角”.

1

BOC 90 BAC 时，点O 是△ABC 的内心. 可以考虑构2

如图3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

1

BOC 90 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心.

2

在图3-4 （右图）中，如果延长BE 与CF，交于点P，则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各种变式（图3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）

图3-5

其实这个第

4图，延长DC 反而好理解. 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用

6.“一线三等角”应用的三种情况.

a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

c. 图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.

体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角

或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

7.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的

张角问题，在x 轴或y 轴（也可以是平行于x 轴或y 轴的直线）上构造一

线三等角解决问题更是重要的手段.

8.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图3-6 ，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需

要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不

容易掌握.

解题示范

例 1 如图所示，一次函数y x4与坐标轴分别交于A、B 两点，点P 是线段AB 上

一个动点（不包括A、B 两端点），C 是线段OB 上一点，∠OPC=45 °，若△OPC 是等腰三角形,求点P 的坐标.

例 2 如图所示，四边形ABCD 中，∠C=90 °,∠ABD= ∠DBC=22.5 °，AE⊥BC 于E，∠ADE=67.5 °，AB=6,则CE= .

例 3 如图，四边形ABCD 中,∠ABC= ∠BAD=90 °，∠ACD=45 °，AB=3 ，AD=5. 求BC 的长.

例 4 如图，△ABC 中,∠BAC=45 °，AD⊥BC，BD=2 ，CD=3, 求AD 的长.

一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，

比例不能少.巧设未知数，妙解方程好

还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

例 5 如图，在△ABC 中，∠BAC=13°5，AC= 2 AB, AD⊥AC 交BC 于点D，若AD = 2 ，求△ABC的面积

当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.

大练身手：

例7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D 是线段AB上一

点，CD交y 轴于E，且S

＝2S

△BCE

．

△AOB

（1）求直线AB 的解析式；

（2）求点 D 的坐标，猜想线段CE与线段AB 的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点 F 的坐标．

y

B

D

E

C O A x

2

例8：如图，直线y＝x＋2 与y 轴交于点C，与抛物线y＝ax 交于A、B 两点（A 在B 的左侧），BC＝2AC，点P 是抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P 在直线AB 的下方，求点P 到直线AB 的距离的最大值；

（3）若点P 在直线AB 的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P 的坐标．

y

B

C

A

O x