集合的基本关系及运算A
集合的基本概念
一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合论中的集合关系与运算规律
集合论中的集合关系与运算规律集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其运算。
在集合论中，集合的关系与运算规律是其中的核心概念之一。
本文将介绍集合关系中的几个基本概念，并探讨集合的运算规律。
一、包含关系在集合论中，包含关系是最基本的关系之一。
对于两个集合A和B，如果集合A中的所有元素都包含在集合B中，那么我们可以说集合A包含于集合B，记作A ⊆ B。
特别地，如果A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么我们可以说两个集合A和B相等，记作A = B。
例：设A={1,2,3}，B={2,3,4}，则有A ⊆ B，但A ≠ B。
二、交集与并集交集与并集是集合论中常用的运算。
对于两个集合A和B，它们的交集就是包含所有同时属于A和B的元素的集合，记作A ∩ B。
而它们的并集则是包含所有属于A或者属于B的元素的集合，记作A ∪B。
例：设A={1,2,3}，B={2,3,4}，则有A ∩ B={2,3}，A ∪B={1,2,3,4}。
三、差集与补集差集和补集是集合运算中的重要概念。
对于两个集合A和B，它们的差集是指包含所有属于A但不属于B的元素的集合，记作A - B。
而对于给定的集合U，如果A是U的子集，那么A的补集是指所有属于U但不属于A的元素的集合，记作A的补集。
例：设A={1,2,3}，B={2,3,4}，U={1,2,3,4,5}，则有A - B={1}，A 的补集={4,5}。
四、笛卡尔积集合A和集合B的笛卡尔积是指由A和B中所有可能的有序对构成的集合，记作A × B。
例：设A={1,2}，B={a,b}，则有A × B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
五、幂集集合A的幂集是指由A的所有子集构成的集合，记作P(A)。
例：设A={1,2}，则有P(A)={{},{1},{2},{1,2}}。
六、集合运算的规律在集合论中，集合的运算满足一些重要的规律，包括交换律、结合律、分配律等。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
集合的基本关系和运算
集合的基本关系和运算在初中数学中，集合是一个重要的概念，它涉及到很多基本关系和运算。
掌握了集合的基本关系和运算，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将从不同角度来介绍集合的基本关系和运算，希望能够为中学生和他们的父母提供一些指导和帮助。
一、集合的基本关系1. 相等关系相等关系是集合中最基本的关系之一。
当两个集合的元素完全一样时，我们说这两个集合相等。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}，则A=B。
相等关系是一种非常直观和容易理解的关系。
2. 包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2}，则B是A的子集，记作B⊆A。
包含关系可以帮助我们理解集合的大小关系。
3. 相交关系相交关系是指两个集合有共同的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A和B相交，记作A∩B≠∅。
相交关系可以帮助我们找到集合中的共同元素。
4. 互斥关系互斥关系是指两个集合没有共同的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，则A和B互斥，记作A∩B=∅。
互斥关系可以帮助我们判断集合之间的差异。
二、集合的基本运算1. 并集并集是指将两个集合中的所有元素合并到一起。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
并集运算可以帮助我们找到两个集合的所有元素。
2. 交集交集是指两个集合中共同的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
交集运算可以帮助我们找到两个集合的共同元素。
3. 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
差集运算可以帮助我们找到一个集合相对于另一个集合的独有元素。
4. 补集补集是指一个集合相对于全集的差集。
集合中的运算和关系
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
数学集合的概念运算
课前案1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． ( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) [教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误． 1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．3．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 二典型例题集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或32．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A ∩B)＝________．角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k2－1，k∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．课后案 [A 组]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]3．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 5．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．11710．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________． 14．设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．[B 组]1．已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R C ．(∁U A )∪B ＝R D ．A ∩(∁U B )＝A .2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1} 3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13、 B ＝________，A ∩(∁R B )＝_14. M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________． 15. m ＝________，n ＝________．16. B ＝________． 17.B 组1 23. m ＝________，∁A B ＝________．4.5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．。
集合间的关系
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝ B，求 q 的值．
小试牛刀
练习5：
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝
B，求 q 的值．
[解] 由 A＝B 可知，
m＋d＝mq，
m＋d＝mq2，
(1)
已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø， 则 a 的取值范围是__________．
典例探究
例5：已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø，
则 a 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，－2]
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
x D． ∈A
y
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
x
又 ∉ A，故 D“ ∈A”不成立．故选 C.
2
y
[答案] C
小试牛刀
练习4：
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的 取值范围是________．
小试牛刀
练习4：已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
此时集合 A 中有重复元素 3，
集合间的基本关系
集合间的基本关系
在集合理论中，有几种基本的关系可以定义在两个集合之间。
这些基本关系包括：
1.相等关系（Equality Relation）：两个集合当且仅当它们包含
相同的元素时相等。
表示为A = B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，因此A = B。
2.包含关系（Subset Relation）：如果一个集合的所有元素都是
另一个集合的元素，则称前者是后者的子集。
表示为A ⊆B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊆ B。
3.真包含关系（Proper Subset Relation）：如果一个集合是另一
个集合的子集，并且两个集合不相等，则前者是后者的真子集。
表示为A ⊂ B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊂B。
4.交集关系（Intersection Relation）：两个集合的交集是包含它
们共同元素的集合。
表示为A ∩ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
5.并集关系（Union Relation）：两个集合的并集是包含它们所
有元素的集合。
表示为A ∪ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
这些基本关系在集合论中起到了重要的作用，用于描述和操作不同集合之间的关系。
它们是集合论中的基本概念，为进一步探索更高级的集合运算和性质奠定了基础。
高中数学人教A版必修第一册集合的基本运算-并集与交集课件
例2 设全集U=R,A={x|2x-3≤1},
B={x|0<x<4},求
(1)CUA,
(2)CUB，
(3)CU(A∩B)， (4)(CU A)∪(CUB)
例3 设全集U={x|x是三角形},A={x|x 是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}
求A∩B,CU(A∪B).
解 :根据三角形的分类可知 A B ,
A={3，4，5，6}， B={5，6，7，8}， C={5，6}
定义
一般地,由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B的 交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
AB
A∩B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
1、A={x|x是等腰三角形}, B={x|x是直角三角形},
则A ∪ B= {x|x是等腰三角形或直角三角形}
(CUA)∩(CUB), CU(A∪B), 解:根据题意可知,
U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 CUA={4,5,6,7,8}
CUB={1,2,7,8}
练习1 全集U={x|x是不大于9的正整数}，
且(CUA)∩B={1,3},(CUB)∩A={2,4,8} , (CUA)∩(CUB)={6,9}，求集合A、B
----并集与交集
视察集合A,B,C元素间的关系: {3，4，5，6}， B={5，6，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B A B
读作 A并 B A∪B 即A∪B={x x∈A,或x∈B}
视察集合A,B,C元素间的关系:
A B {x | x是锐角三角形或钝角三角形},
集合的基本运算(讲义)
集合的基本运算（讲义）➢知识点睛一、集合的基本运算、无序性．二、并集、交集向集合间基本关系的转化A∪B=B⇔A⊆B；A∩B=B⇔B⊆A．三、集合的运算律1.交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A2.结合律A∪(B∪C)＝(A∪B)∪CA∩(B∩C)＝(A∩B)∩C3.分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)4.德-摩根定律C U(A∪B)=_________________C U(A∩B)=_________________四、Venn图的应用1.抽象集合之间的基本关系和基本运算．2.集合交集、并集、补集的混合运算．➢精讲精练1.（1）已知集合M={x|-2<x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M∪N=（）A．{x|x<-5或x>-2} B．{x|-5<x<5}C．{x|-2<x<5} D．{x|x<-3或x>5}（2）已知集合{|03}=-≤≤，M y yP x xZ≤，{|33}=∈<则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2}C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}（3）已知集合2==-==，，，，那A x y y xB x y y x{()|32}{()|}么集合A∩B=__________________．（4）若集合{|1}{|1}，，则====A x yB y yA∪B=___________，A∩B=___________.2.（1）若全集{|22}A x x=-≤≤的=-≤≤，则集合{|20}U x x补集C U A为_________．（2）已知全集{|15}A=，，，Z≤≤，{125}=∈-U x xN，则B∩(C U A)= ________．=∈-<<{|14}B x x3.设A={0，2，4，6}，C U A={-1，-3，1，3}，C U B={-1，0，2}，则集合B=_______________________．4.（1）设集合S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，若S∪T=R，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≥4或x≤1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2m≤x≤m+3}，若B∩A=B，则m的取值范围是__________________．（3）已知A={1，2，3}，B={x∈R|x2－ax＋1=0}，当A∩B=B时，则a的取值范围是_______________．≤C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1<x≤2}D．(M∩P)∪(C U S)9.已知全集合S={ x∈N+ |-2<x<9}，M ={3，4，5}，P={1，3，6}，那么{2，7，8}是（）A．M∪P B．M∩PC．(C S M)∪(C S P) D．(C S M)∩(C S P)10. 设A ，B ，U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式错误的是（ ）A ．(C U A )∪B =UB ．(C U A )∪(C U B )=UC ．A ∩(C U B )=∅D ．(C U A )∩(C U B )= C U B11. 设全集U =M ∪N ={1，2，3，4，5}，M ∩(C U N )={2，4}，则N =_________．12. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ={3}，(C U A )∩(C U B )={9}，A ∩(C U B )={1，5，7}，则集合A =___________，B =___________．【参考答案】➢ 知识点睛三、4．()()()()U U U U A B A B ，➢ 精讲精练1. （1）A ；（2）B ；（3）{(2，4)，(1，1)}；（4）{|0}x x ≥，{|1}x x ≥2. （1）{|02}x x ≤；（2）{0，3}3. {4，6，-3，1，3}4. （1）{|31}a a -<<-；（2）{|1}a a <5. （1）0或3；（2）{|1}m m ≥；（3）{|22}a a -<≤6. {2,8}7. D8. C9. D 10. B11. {1，3，5}12. {1，3，5，7}，{2，3，4，6，8}集合的基本运算（随堂测试）1. 已知集合{|20}P x x x =≥≤或，{|12}Q x x =<≤，则(C R P )∩Q =___________．2. 已知集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|23B x x =-≤≤，若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是_________________．3. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N }，A ⊆U ，B ⊆U ，若A ∩B ={2，3}，C U (A ∪B )={4，6，9}，(C U A )∩B ={1，8}，则集合A =________，B =__________．【参考答案】1. {|12}x x <<2. {|1}a a -≥3. {2，3，5，7}，{1，2，3，8}。
集合的基本关系及运算教案
集合的基本关系及运算【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示： 要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示： 要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合{}0中的元素，应是{}00∈；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{}∅为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}． 【答案】 (1)= (2) (3) (4)例2.（2015秋 确山县期中）已知A ={x ｜x 2―4=0}，B ={x ｜ax ―6=0}，且B 是A 的子集． （1）求a 的取值集合M ；（2）写出集合M 的所有非空真子集． 【答案】（1）M ={0，3，－3}；（2）{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【解析】（1）A ={2，－2}．∵B 是A 的子集，∴B =∅，{2}，{－2}， ①B =∅时，方程ax －6=0无解，得a =0；②B ={2}时，方程ax －6=0的解为x =2，得2a －6=0，所以a =3；③B ={－2}时，方程ax －6=0的解为x =－2，得－2a －6=0，所以a =－3． 所以a 的取值集合M ={0，3，－3}．（2）M ={0，3，－3}的非空真子集为{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3} 举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个 【答案】C 【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值. 【答案】 a=-1， a=3±或a=0【解析】∵， ∴a 2∈A ，则有：（1）a 2=1⇒a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1； （2）a 2=3⇒a=3±（3）a 2=a ⇒a=0， a=1，舍去a=1，则a=0综上：a=-1， a=3±或a=0.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0 【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由0∈{0，|x|，y}可知0∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二：集合的运算例5.（1）（2014 湖北武汉期中）已知{}22A y y x ==-；{}22B y y x ==-+，则A ∩B ＝（ ） A．()){}00,,, B．⎡⎣C ．[－2，2] D．{（2）设集合M ={3，a }，N ={x |x 2－2x ＜0，x ∈Z}，M ∩N ={1}，则M ∪N 为（ ）．A ． {1，2，a }B ． {1，2，3，a }C ． {1，2，3}D ． {1，3} 【答案】（1）C （2）D 【解析】（1）集合A 、B 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A ={y |y ≥－2}，B ={y |y ≤2}，所以A ∩B ={y |－2≤y ≤2}，选C ．（2）由N ={x |x 2－2x ＜0，x ∈Z}可得：N ={x |0＜x ＜2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N ={1}，可知1∈M ，即a =1，故选D ． 举一反三：【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B. 【答案】{21， 31，-4}【解析】∵A ∩B={21}，∴21是方程2x 2+px+q=0的解，则有： 0q p 21)21(22=++(1)，同理有：6(21)2+(2-p)·21+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：⎩⎨⎧-==.4q ,7p∴方程(1)为2x 2+7x-4=0，∴方程的解为：x 1=21， x 2=-4， ∴ }4,21{A -=，由方程(2) 6x 2-5x+1=0，解得：x 3=21， x 4=31，∴B={21， 31}，则A ∪B={21， 31，-4}.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.【答案】 ｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝．例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B. 【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三：集合运算综合应用 例7．（2014 北京西城学探诊）已知集合A ={x |－4≤x ＜2}， B ={x |－1≤x ＜3}，C ={x |x ≥a ，a ∈R}．（1）若（A ∪B ）∩C =∅，求实数a 的取值范围；（2）若（A ∪B ）ÜC ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）a ≥3 （2）a ≤－4 【解析】（1）∵A ={x |－4≤x ＜2}， B ={x |－1≤x ＜3}，又（A ∪B ）∩C =∅，如图，a ≥3； （2）画数轴同理可得：a ≤－4．举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若AB B =，求a 的值.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（2）1a =．【解析】 首先化简集合A ，得{}4,0A =-. （1）由AB B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意； 当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,A B B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =.举一反三：【变式1】设A ={x ｜x 2+4x =0}，B ={x ｜x 2+2(a +1)x +a 2－1=0}，其中x ∈R ，如果A ∩B =B ，求实数a 的取值范围． 【答案】a =1或a ≤－1【解析】A ={x ｜x 2+4x =0}={0，－4}， ∵A ∩B =B 知，B A ⊆，∴B ={0}或B ={－4}或B ={0，－4}或B =∅，若B ={0}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个相等的根0，则2002(1)001a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩，∴a =－1， 若B ={－4}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个相等的根－4，则24(4)2(1)4(4)1a a -+-=-+⎧⎨-⨯-=-⎩，∴a 无解，若B ={0，－4}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个不相等的根0和－4，则2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩，∴a =1， 当B =∅时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0无实数根，Δ=[2(a +1)]2－4(a 2－1)=8a +8＜0，得a ＜－1，综上，a =1或a ≤－1．。
集合间的基本关系及基本运算(高中必修一)
知识要点：（1）一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A ⊆.即：,A x ∈∀则B x ∈⇔B A ⊆（2）如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 即：B A ⊆且,0A x ∈∃但B x ∉0⇔A B .（3）如果集合A 与集合B 的元素相同，则称集合A 与集合B 为等集。
即：B A ⊆且BA ⊇⇔B A =（4）把不含任何元素的集合叫做空集.记作：φ.并规定：空集合是任何集合的子集.(5)如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有2n 个子集.题例方法例1.下列各组集合，表示相等集合的是( )①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}；②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}；③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}．A ．①B ．②C ．③D ．以上都不对例2．设全集U=R ，集合M=｛x|x ＞1｝，P=｛x|x 2＞1｝，则下列关系中正确的是 ( )A.M=P B ．P ⊂M C.M ⊂P D ．（C U M ）⋂P=ø例3．满足条件{1，2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 共有 个。
例4.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.巩固练习：1.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|0<x<1}，则( )A ．A>B B ．A BC ．B AD ．A =B2.已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( )A ．4B ．8C ．16D ．153．若全集U={1，2，3}，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个知识要点：（1）一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：A ∪B.即有：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B ｝（2）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∩B.即有：A ∩B=｛x|x ∈A 且x ∈B ｝（3）一般地，如果一个集合U 含有所研究问题中涉及的所有元素，称U 为所研究问题的全集.（4）一般地，集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于A 的元素组成的集合，称为对于全集U 集合A 的补集。
高中数学必修一：1.1.3《集合的基本运算》(新人教版A)
ð U A={x | x 蜗 , 且x U
A}
补集Venn图
U
A
例5
• 设U ={x|x是小于10的自然数},A={1,3,5,7},
B={3,4,5,6},求ð U A, ð U B. 解:根据题意可知,U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
ð U A={0,2,4,6,8,9},
加法运算，集合是否也可以“相加”呢？ • 考察下列各个集合，你能说出集合C与集合 A，B之间的关系吗？ （1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1， 2，3，4，5，6}； （2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}。
并集
• 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的
• P14 • 习题1.1 A组
T 9; 10 习题1.1 B组 T 3; 4
轻松一笑
• 上课睡觉 某生上课时睡觉，被老师发现。
老师：你为什么在上课时睡觉? 某生：我没睡觉哇！ 老师：那你为什么闭上眼睛？ 某生：我在闭目沉思！ 老师：那你为什么直点头？ 某生：您刚才讲得很有道理！ 老师：那你为什么直流口水？ 某生：老师您说得津津有味啊！
l p
两直线重合
就是说直线l的所有点都在直线p上，直线p的 所有点也在直线l上,可以知道L包含P,P也包 含L,那么我们知道L=P,也就是L∩P=L
p
l
思考3
• 下列关系式成立吗?
(1)A∩A=A; (2)A∩ =A. 适度加强题 例：集合A={1,3,5,6,8},集合B={x|1<x<7}, 集合C={x|5<x<10且x∈Z},求(A∩B)∪C. 解: (A∩B)∪C={1,3,5,6,7,8,9}
集合的基本概念、基本关系、基本运算
第1讲 集合的基本概念、基本关系、基本运算考点1集合的含义与表示考法1元素与集合的相关概念（集合的三个特性）①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都是描述性的说明；②整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体；③广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.判断一个“全体”是否构成一个集合，关键是看组成这个“全体”的对象是否确定.1.下列对象能够构成集合的有 CA ．著名的艺术家B ．一切很厚的书C ．倒数等于它本身的实数D ．地球上的小河流2.下列对象不能够构成集合的有 CA ．绝对值等于1实数B ．平面直角坐标系内第一象限的点C ．高一数学课本中难题D ．所有直角梯形考法2元素与集合的关系（集合中元素的性质①确定性；②互异性；③无序性）1.用符号“∈”或“∉”填空： ①23 N *； ②23 N ； ③23 Z ； ④23 Q ； ⑤23R ；1 N *1 N 1 Z 1 Q 1 R ；2.设集合{31}A x x m =-<，若1A ∈，2A ∉，则实数m 的取值范围是 CA.25m <<B.25m ≤<C.25m <≤D.25m ≤≤3.已知集合2{210,}A x ax x a R =-+=∈.①若1A ∈，求a 的值；②若A 是单元素集合，求a 的值；③若是双元素集合，求a 的取值范围.4．下列命题正确的是 CA ．2{20}x x +=在实数范围内无意义 B ．{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合C ．{4,5}与{5,4}表示相同的集合D ．{4,5}与{5,4}表示不同的集合考法3集合的表示（列举法、描述法、Venn 图法）1.用列举法表示下列集合①满足42x -≤≤且x Z ∈；②平方等于本身的实数；③满足4x y +=且x N ∈，y N ∈的有序实数对(,)x y ；④方程2230x x --=的解.2.用适当的方法表示下列集合①所有的偶数组成的集合；②所有被3除余1的正整数组成的集合；③平面直角坐标系中第二象限内的点；④所有菱形组成的集合.3.用描述法表示函数21y x =+图像上的点的是 CA ．{21}x y x =+B ．{21}y y x =+C ．{(,)21}x y y x =+D ．{21}y x =+4.（2012·全国卷）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 DA.3B.6C.8D.10考点2集合的基本关系考法1子集一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合由包含关系，称集合A 为集合B 的子集.显然①A A ⊆；②若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆.1.已知集合{A =，{1,}B m =，若B A ⊆，则m = . 0m =或3m =2.（2011·全国卷·文科）已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P M N =，则P 的子集共有 BA.2个B.4个C.6个D.8个4.（2012·湖北卷·文科）已知集合2{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,B x x =<< }x N ∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 A A.4个 B.3个 C.2个 D.1个考法2集合相等一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任意一个元素都是集合A 中的元素，我们就说这集合A 与集合B 相等.1.已知集合{,,2}M a a d a d =++，2{,,}N a aq aq =，其中0a ≠，且M N =，则q = . 12q =- 考法3真子集 对于两个集合A ，B ，如果A B ⊆，且A B ≠，我们就说集合集合A 是集合B 的真子集. 1.（2002·全国卷）集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈，1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则 A.N M = B.M N C.N M D.M N =∅ C2.下列两个集合表示相等的是 DA.{}A π=，{3.14}B =B.{2,3}A =，{(2,3)}B =C.{0}A =，B =∅D.2{1}A x x ==，{1,1}B =- 考法4理解与提高1.两个规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集.2.下列关于集合的说法中，正确的是 .①空集是任何集合的真子集； ②若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆； ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④若A B =，则A B ⊆.3.给出下面结论，其中正确的是 . ①②①{}∅⊆∅ ②{}∅∈∅ ③{}∅=∅ ④∅{0} 考点3集合的基本运算考法1交集：{}A B x x A x B =∈∈且.1.（2010·四川卷·文科）设集合{3,5,6,8}A =，集合{4,5,7,8}B =，则A B =A.{3,4,5,6,7,8}B.{3,6}C.{4,7}D.{5,8} D2.（2014·北京卷·文科）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = CA.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}33.（2019·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{1}A x x =>-,{2}B x x =<，则A B =A ．(1,)-+∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．∅ C4.（2014·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{13}M x x =-<<，{21}N x x =-≤≤， 则M N = BA.(2,1)-B.(1,1]-C.(1,3)D.(2,3)-5.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = DA.{1,0,1}-B.{0,1}C.{1,1,2}-D.{1,2}6.（2019·江苏卷）已知集合{1,0,1,6}A =-，{0,}B x x x R =>∈，则A B = .7.（2014·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{2,0,2}A =-，2{|20}B x x x =--=，则 A B = BA ．∅ B.{2} C.{0} D.{2}-8.（2014·北京卷·理科）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2} C9.（2014·全国卷Ⅱ·理科）设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则 M N = DA.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}10.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = DA ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}11.交集的性质：①A B B A =；②A A = ；③A ∅= ；④A B A . ⑤若A B A =，则A B ⊆；⑥若A B ⊆，则A B A =.12.已知集合2{320}A x x x =-+=，{10}B x mx =-=，A B B =，则m = .0m =，1，12. 考法2并集：{}A B x x A x B =∈∈或1．（2010·广东卷·文科）若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} A2.（2013·广东卷·理科）设集合2{20,}M x x x x R =+=∈，2{20,N x x x =-= }x R ∈，则M N = DA.{0}B.{0,2}C.{2,0}-D.{2,0,2}-3.（2015·四川卷·文科）设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = AA.{|13}x x -<<B.{|11}x x -<<C.{|12}x x <<D.{|23}x x <<4.（2019·北京卷·文科）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =>，则A B =A.(1,1)-B.(1,2)C.(1,)-+∞D.(1,)+∞ C 5.并集的性质：①A B B A =；②A A = ；③A ∅= ；④A A B . ⑤若A B B =；则A B ⊆；⑥若A B ⊆；则A B B =.6.已知集合2{20}A x x x =--=，2{0}B x x x a =-+=，A B A =，则实数a 的取值范围为 . 2a =-或14a >. 考法3补集：{}U C A x x U x A =∈∉且1.（2011·四川卷·文科）若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M C N = BA.∅B.{1,3,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}2.（2010·重庆卷·理科）设{0,1,2,3}U =，2{0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U C A = ，则实数m = . 3m =-3.（2010·全国卷Ⅱ·文科）设全集{6}U x N x *=∈<，{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B = CA ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,4}D ．{2,5}4.（2011·大纲全国卷·文科）设集合{1,2,3,4}U =,{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则()U C M N = DA.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{1,4}6.（2011·江西卷·文科）若全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3}M =，{1,4}N =,则集合{5,6}等于 DA.M NB.M NC.()()U U C M C ND.()()U U C M C N7.（2012·山东卷·文理）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =， 则()U C A B = C.A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}8.（2012·浙江卷·文科）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =，则()R P C Q = DA.{}1,2,3,4,5,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合的基本关系及运算 A一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．学习策略：数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论．二、学习与应用1．集合元素的特征性、 性、 性.2．元素与集合的关系：(1)如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作a(2)如果a 不是集合A 的元素，就说a A ，记作a3．集合的分类(1)空集： 元素的集合称为空集(empty set)，记作： .(2)有限集： 元素的集合叫做有限集.“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？(3)无限集：元素的集合叫做无限集.4．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作正整数集，记作*或+整数集，记作有理数集，记作实数集，记作要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的x A∈，能推出x B∈．（2）当A不是B的子集时，我们记作“A⊆B(或B⊇A)”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）．真子集：若集合A B，存在元素x B且x A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：(或)规定：空集是任何集合的集，是任何非空集合的集.2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A⊆⊆且，则A与B中的元素是一样的，因此A B要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#3072#388901要点诠释：任何一个集合是它本身的 集.要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A 集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A B 读作：“A 并B”，即：A ∪B={x| }Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).2.交集一般地，由属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A B ，读作：“A 交B”，即A∩B={x| }；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”， 同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有 集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|}；即；_________痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ” 也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A∩B)，则x ∈A 且x ∈B若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.类型一：集合间的关系例1．请判断①0{0} ；②{}∈R R ；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID ：#3079#388901⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}；(3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x≤2} {(x ，y)|-1<x≤2}。
【答案】【总结升华】例2.（2015秋 确山县期中）已知A ={x ｜x 2―4=0}，B ={x ｜ax ―6=0}，且B 是A 的子集．（1）求a 的取值集合M ；（2）写出集合M 的所有非空真子集．【思路点拨】对（1）根据A 集合中的元素，B A Í，分类讨论B 的可能情况，再注解a ，写出集合M ．根据含有n 个元素的集合的真子集个数是2n －1，求解（2）．【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】已知{},⊆a b A{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个. 【答案】【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5⊆M ；②∈a M ，则6-∈a M 的非空集合M 有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【答案】【解析】【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.【解析】注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.例3．设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( )A. M=NB. M NC. N MD. M∩N=∅【解析】例4．已知{,,},{0,,},=-=M x xy x y N x y 若M =N ，则2()(+++x y x 2100100)()+++y x y = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b {1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )【答案】【解析】类型二：集合的运算例5. （1）已知{}22A y y x ==-；{}22B y y x ==-+，则A ∩B ＝（ ） A ．()(){}2,0,2,0- B ．2,2轾-犏臌C ．[－2，2]D ．{}2,2- （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M∩N={1}，则M ∪N 为( )。
A. {1，2，a}B. {1，2，3，a}C. {1，2，3}D. {1，3}【思路点拨】（1）先把集合A 、B 进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】【解析】举一反三：【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={12}，求A ∪B.【答案】【解析】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A ∪B.【答案】【解析】例6. 设全集U={x N +|x≤8}，若A∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】【解析】类型三：集合运算综合应用例7．已知集合A ={x |－4≤x ＜2}， B ={x |－1≤x ＜3}，C ={x |x ≥a ，a ∈R}．（1）若（A ∪B ）∩C =Æ，求实数a 的取值范围；（2）若（A ∪B ）ÜC ，求实数a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】（2017 杨浦区模拟）集合A={1，3，2a }，集合B={a+1，a+2}，若B ∪A=A ，则实数 ．【答案】【解析】例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,=+==+++-=∈A x x x B x x a x a a R . （1）若=AB B ，求a 的值； （2）若=A B B ，求a 的值.【思路点拨】明确A B 、A B 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】【解析】【总结升华】举一反三：【变式1】（2015 源汇区一模）设A ={x ｜x 2+4x =0}，B ={x ｜x 2+2(a +1)x +a 2－1=0}，其中x ∈R ，如果A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．知识点：集合的基本关系及运算测评系统分数： 模拟考试系统分数：如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID ：#3118#388901 进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID ：#3159#388905 进行能力提升．我的收获习题整理题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题好题自我反馈 学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．○网○校○重○要○资○源知识导学：集合的基本关系及运算（基础）（#388901）高清课堂：集合的概念、表示及关系（#377430）集合的运算（#377474）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用．对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。