湖北省荆州中学2021学年高一数学7月双周考试题
湖北省荆州市某校高一(上)周考数学试卷(4)(有答案)
湖北省荆州市某校高一（上）周考数学试卷（4）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. 若集合M ={a, b, c}中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2. 下列表示图中的阴影部分的是（ ）A.(A ∪C)∩(B ∪C) B .(A ∪B)∩(A ∪C) C.(A ∪B)∩(B ∪C) D .(A ∪B)∩C3. 设A ＝{x|x 2−x ＝0}，B ＝{x|x 2+x ＝0}，则A ∩B 等于（ ）A.0B.{0}C.⌀D.{−1, 0, 1}4. 集合M ={x|x =k 2+14，k ∈Z }，N ={x|x =k 4+12，k ∈Z }，则正确的是()A.M =NB.M ⫋NC.N ⫋MD.M 与N 关系不确定5. 下列命题正确的有（ ）(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y|y =x 2−1}与集合{(x, y)|y =x 2−1}是同一个集合；(3)1,32，64，|−12|，0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x, y)|xy ≤0, x, y ∈R}是指第二和第四象限内的点集．A.0个B.1个C.2个D.3个6. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )(1)y 1=(x+3)(x−5)x+3，y 2=x −5；(2)y 1=√x +1√x −1，y 2=√(x +1)(x −1)；(3)f(x)=x ，g(x)=√x 2；(4)f(x)=√x 4−x 33，F(x)=x √x −13；(5)f 1(x)=(√2x −5)2，f 2(x)=2x −5.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)(5)+x的图象是( )7. 函数y=|x|xA. B.C. D.8. 如果奇函数f(x)在区间[3, 7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[−7, −3]上是（）A.增函数且最小值为−5B.增函数且最大值为−5C.减函数且最大值是−5D.减函数且最小值是−59. 下列图象中表示函数图象的是()A. B.C. D.10. 若x∈R，n∈N∗，规定：H x n=x(x+1)(x+2)…(x+n−1)，例如：H−44=(−4)⋅5的奇偶性为( )(−3)⋅(−2)⋅(−1)=24，则f(x)=x⋅H x−2A.是奇函数不是偶函数B.是偶函数不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数二、填空题设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)−f(−x)在R上一定是________（填：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数）√2−√3√2+√3________{x|x=a+√6b, a∈Q, b∈Q}（填“∈”或“∉”）已知y=f(x)为奇函数，当x≥0时f(x)=x(1−x)，则当x≤0时，则f(x)=________．奇函数f(x)满足：①f(x)在(0, +∞)内单调递增；②f(1)＝0；则不等式(x−1)f(x)>0的解集为：________．已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=p，f(3)=q，那么f(36)=________．三、解答题设A={x|x2−ax+a2−19=0}，B={x|x2−5x+6=0}，C={x|x2+2x−8= 0}．(1)若A=B，求实数a的值；(2)若⌀⊊A∩B，A∩C=⌀，求实数a的值．已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α, β}，B={2, 4, 5, 6}，C={1, 2, 3, 4}，A∩C=A，A∩B=⌀，求p，q的值？金华市的一家报刊摊点，从报社买进《金外校报》的价格是每份0.90元，卖出的价格是每份1.0元，卖不掉的报纸可以以每份0.10元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？已知函数f(x)对任意x，y∈R，满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y)，且当x>0时，f(x)>2，f(3)=5．（1）判断函数f(x)的单调性；（2）求不等式f(a2−2a−2)<3的解集．设函数f(x)=mx2−mx−1（1）若对一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[−2, 2]，f(x)<−m+5恒成立，求x的取值范围．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：①函数f(x)在其定义域上是单调函数；②在函数f(x)的定义域内存在闭区间[a, b]使得f(x)在[a, b]上的最小值是a，且最大值2．请解答以下问题是b2(x∈(0,+∞))是否属于集合M？并说明理由；（1）判断函数f(x)=x+2x（2）判断函数g(x)=−x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a, b]；（3）若函数ℎ(x)=√x−1+t∈M，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（上）周考数学试卷（4）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性【解析】根据集合元素的互异性，在集合M={a, b, c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a, b, c}中，必有a，b，c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形.故选D．2.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)3.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解一元二次方程求得A和B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】∵A＝{x|x2−x＝0}＝{0, 1}，B＝{x|x2+x＝0}＝{0, −1}，则A∩B＝{0 }，4.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用对集合M和N中的代数式化为统一的形式，再进行比较．【解答】解：对于集合M:x=k2+14=2k+14，k∈Z，对于集合N:x=k4+12=k+24，k∈Z，∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴M⫋N.故选B．5.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】(1)(3)中由集合元素的性质：确定性、互异性可知错误；(2)中注意集合中的元素是什么；(4)中注意x=0或y=0的情况．【解答】解：(1)中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；(2)中集合{y|y=x2−1}的元素为实数，而集合{(x, y)|y=x2−1}的元素是点；(3)有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；(4)集合{(x, y)|xy≤0, x, y∈R}中还包括实数轴上的点．故选A6.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】观察所给的函数是否是同一个函数，这种问题首先要观察这两个函数的定义域是否相同，定义域本题则不是同一函数，再观察两个函数的对应法则是否相同，本题(5)是对应法则不同，(1)，92)，(3)是定义域不同．【解答】解：(1)y1=(x+3)(x−5)x+3的定义域为{x|x≠−3}，y2=x−5定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；(2)y1=√x+1√x−1的定义域为[1, +∞)，y2=√(x+1)(x−1)的定义域为[1, +∞)∪(−∞, −1]，定义域不同，故不是同一函数；(3)f(x)=x，g(x)=√x2=|x|，对应法则不同，故不是同一函数；(4)定义域相同，且对应法则相同，故是同一函数；(5)f1(x)=(√2x−5)2的定义域为[52,+∞)，f2(x)=2x−5的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数.故选C.7.D【考点】函数的图象【解析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】+x可化为：解：函数y=|x|x当x>0时，y=1+x；它的图象是一条过点(0, 1)的射线；当x<0时，y=−1+x．它的图象是一条过点(0, −1)的射线；对照选项，故选D．8.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．【解答】解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f(x)在区间[3, 7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[−7, −3]上必是增函数且最小值为−5.故选A．9.【答案】C【考点】函数的概念【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应可求【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C.10.【答案】B【考点】函数新定义问题函数奇偶性的判断【解析】5的表达式，然后利用函数奇偶性的定义进行判断．根据定义先求出函数f(x)=x⋅H x−2解：由定义可知，f(x)=x⋅H x−25=x(x−2)(x−1)(x)(x+1)(x+2)=x2(x2−1)(x2−4)，因为f(−x)=x2(x2−1)(x2−4)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数不是奇函数．故选B．二、填空题【答案】奇函数【考点】函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的定义即可判断出．【解答】解：∵F(−x)=f(−x)−f(x)=−[f(x)−f(−x)]=−F(x)，由定义域为R，∴函数F(x)=f(x)−f(−x)在R上一定是奇函数，故答案为：奇函数．【答案】∈【考点】元素与集合关系的判断【解析】因为√2−√3=√12(4−2√3)=√12(√3−1)2=√22(√3−1)，同样√2+√3=√22(√3+1)所以√2−√3+√2+√3=√6=0+√6⋅1，所以应填∈．【解答】解：√2−√3√2+√3=√12(4−2√3)+√12(4+2√3)=√12(√3−1)2+√12(√3+1)2=√6=0+√6⋅1；∴√2−√3√2+√3∈{x|x=a+√6b，a∈Q，b∈Q}．故答案为：∈．【答案】x(1+x)【考点】函数奇偶性的性质【解析】由f(x)为奇函数且x>0时，f(x)=x(1−x)，设x<0则有−x>0，可得f(x)=−f(−x)=x(1+x)．【解答】解：∵x>0时，f(x)=x(1−x)，∴当x<0时，−x>0，则f(−x)=(−x)(1+x)∵f(x)为奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−（−x(1+x)）=x(1+x)，即x <0时，f(x)=x(1+x)，故答案为：x(1+x)【答案】(−∞, −1)∪(0, 1)∪(1, +∞)【考点】其他不等式的解法【解析】分类讨论，当x >1时，f(x)在(0, +∞)内单调递增，又f(1)＝0，则f(x)>0，当0<x <1时，f(x)<0，又函数f(x)为奇函数，求出此时不等式的解集，进而求出不等式(x −1)f(x)>0的解集．【解答】分类讨论，当x >1时，f(x)在(0, +∞)内单调递增，又f(1)＝0，则f(x)>0，当0<x <1时，f(x)<0，又函数f(x)为奇函数，则f(−1)＝0且f(x)在(−∞, 0)内单调递增，则当−1<x <0时，f(x)>0，当x <−1时，f(x)<0故答案为：(−∞, −1)∪(0, 1)∪(1, +∞)．【答案】2p +2q【考点】函数的求值【解析】利用赋值法f(36)=2f(6)=2[f(2)+f(3)]，把已知代入即可求解【解答】解：∵ f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=p ，f(3)=q∴ f(36)=2f(6)=2[f(2)+f(3)]=2(p +q)故答案为：2(p +q)三、解答题【答案】解：(1)由题意知：B ={2, 3},∵ A =B ,∴ 2和3是方程x 2−ax +a 2−19=0的两根．由{4−2a +a 2−19=0,9−3a +a 2−19=0,得a =5；(2)由题意知：C ={−4, 2},∵ ⌀⊊A ∩B ，A ∩C =⌀,∴ 3∈A ,∴ 3是方程x 2−ax +a 2−19=0的根．∴ 9−3a +a 2−19=0,∴ a =−2或5.当a =5时，A =B ={2, 3}，A ∩C ≠⌀,不符合题意；当a =−2时，符合题意,故a =−2．【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算空集的定义、性质及运算【解析】（1）先根据A =B ，化简集合B ，根据集合相等的定义，结合二次方程根的定义建立等量关系，解之即可；（2）先求出集合B 和集合C ，然后根据A ∩B ≠⌀，A ∩C =⌀，则只有3∈A ，代入方程x 2−ax +a 2−19=0求出a 的值，最后分别验证a 的值是否符合题意，从而求出a 的值．【解答】解：(1)由题意知：B ={2, 3},∵ A =B ,∴ 2和3是方程x 2−ax +a 2−19=0的两根．由{4−2a +a 2−19=0,9−3a +a 2−19=0,得a =5；(2)由题意知：C ={−4, 2},∵ ⌀⊊A ∩B ，A ∩C =⌀,∴ 3∈A ,∴ 3是方程x 2−ax +a 2−19=0的根．∴ 9−3a +a 2−19=0,∴ a =−2或5.当a =5时，A =B ={2, 3}，A ∩C ≠⌀,不符合题意；当a =−2时，符合题意,故a =−2．【答案】解：由A ∩C =A 知A ⊂C ；又A =α，β，则α∈C ，β∈C ．而A ∩B =⌀，故α∉B ，β∉B ．显然A 即属于C 又不属于B 的元素只有1和3．不仿设α=1，β=3对于方程x 2+px +q =0的两根α，β应用韦达定理可得p =−4，q =3．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系交、并、补集的混合运算【解析】先根据A ∩C =A 知A ⊂C ，然后根据A ={α, β}，可知α∈C ，β∈C ，而A ∩B =⌀，则α∉B ，β∉B ，显然A 即属于C 又不属于B 的元素只有1和3，不仿设α=1，β=3，最后利用应用韦达定理可得p 与q ．【解答】解：由A ∩C =A 知A ⊂C ；又A =α，β，则α∈C ，β∈C ．而A ∩B =⌀，故α∉B ，β∉B ．显然A 即属于C 又不属于B 的元素只有1和3．不仿设α=1，β=3对于方程x 2+px +q =0的两根α，β应用韦达定理可得p =−4，q =3．【答案】解：设每天从报社买进x 份，每月所获的利润为f(x)，则①当每天购入少于或等于250份的报纸的时候，全部都卖光了，则f(x)=30×(1−0.9)x=3x，{x∈Z|0<x≤250}，则f(x)max=f(250)=750，②当每天购入大于250份，少于或者等于400份时候的报纸的时候，20天卖光，10天没有卖完，则f(x)=(1−0.9)×20x+(1−0.9)×10x−(0.9−0.1)×10(x−250)=−6x+2250，{x∈Z|250<x≤400}，则f(x)max=f(250)=750．③当每天购入大于400份的报纸的时候，30天都没有卖完，则f(x)=(1−0.9)×20×400+(1−0.9)×10×250−(0.9−0.1)×20×(x−400)−(0.9−0.1)×10×(x−250)=−24x+9450，{x∈Z|x>400}，则f(x)max=f(400)=−150综上可知道，当报社每天买进250份的时候，每月所得利润最大，为750元．【考点】函数模型的选择与应用【解析】根据条件建立函数关系式，利用函数单调性的性质即可得到结论．【解答】解：设每天从报社买进x份，每月所获的利润为f(x)，则①当每天购入少于或等于250份的报纸的时候，全部都卖光了，则f(x)=30×(1−0.9)x=3x，{x∈Z|0<x≤250}，则f(x)max=f(250)=750，②当每天购入大于250份，少于或者等于400份时候的报纸的时候，20天卖光，10天没有卖完，则f(x)=(1−0.9)×20x+(1−0.9)×10x−(0.9−0.1)×10(x−250)=−6x+2250，{x∈Z|250<x≤400}，则f(x)max=f(250)=750．③当每天购入大于400份的报纸的时候，30天都没有卖完，则f(x)=(1−0.9)×20×400+(1−0.9)×10×250−(0.9−0.1)×20×(x−400)−(0.9−0.1)×10×(x−250)=−24x+9450，{x∈Z|x>400}，则f(x)max=f(400)=−150综上可知道，当报社每天买进250份的时候，每月所得利润最大，为750元．【答案】解：（1）设x1<x2，则x2−x1>0，∵x>0，f(x)>2；∴f(x2−x1)>2；即f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−2>2+f(x1)−2=f(x1)，即f(x2)>f(x1)．所以：函数f(x)为单调增函数（2）∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)−2=[f(1)+f(1)−2]+f(1)−2=3f(1)−4=5∴f(1)=3．即f(a2−2a−2)<3⇒f(a2−2a−2)<f(1)∴a2−2a−2<1⇒a2−2a−3<0解得不等式的解为：−1<a<3．【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】（1）直接设x1<x2，根据x>0，f(x)>2；得到f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−2>2+f(x1)−2=f(x1)，即可得到结论；（2）先根据已知条件得到f(1)=3，再把所求不等式转化为a2−2a−2<1即可得到结论．【解答】解：（1）设x1<x2，则x2−x1>0，∵x>0，f(x)>2；∴f(x2−x1)>2；即f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−2>2+f(x1)−2=f(x1)，即f(x2)>f(x1)．所以：函数f(x)为单调增函数（2）∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)−2=[f(1)+f(1)−2]+f(1)−2=3f(1)−4=5∴f(1)=3．即f(a2−2a−2)<3⇒f(a2−2a−2)<f(1)∴a2−2a−2<1⇒a2−2a−3<0解得不等式的解为：−1<a<3．【答案】解：（1）当m=0时，f(x)=mx2−mx−1=−1，对一切实数x，f(x)<0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f(x)<0恒成立，则有{m<0m2+4m<0，∴−4<m<0，综上，m的取值范围是(−4, 0]．（2）∵f(x)<−m+5，∴mx2−mx−1<−m+5，∴(x2−x+1)m−6<0，∵对一切实数m∈[−2, 2]，f(x)<−m+5恒成立，且x2−x+1>0，∴只需2(x2−x+1)−6<0，解得−1<x<2．∴x的取值范围是(−1, 2)．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）当m=0时，f(x)=mx2−mx−1=−1，对一切实数x，f(x)<0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f(x)<0恒成立，则有{m<0m2+4m<0，由此能求出m的取值范围．（2）由f(x)<−m+5，知(x2−x+1)m−6<0，由对一切实数m∈[−2, 2]，f(x)<−m+5恒成立，知只需2(x2−x+1)−6<0，解得−1<x<2．由此能求出x的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，f(x)=mx2−mx−1=−1，对一切实数x，f(x)<0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f(x)<0恒成立，则有{m<0m2+4m<0，∴−4<m<0，综上，m的取值范围是(−4, 0]．（2）∵f(x)<−m+5，∴mx2−mx−1<−m+5，∴(x2−x+1)m−6<0，∵对一切实数m∈[−2, 2]，f(x)<−m+5恒成立，且x2−x+1>0，∴只需2(x2−x+1)−6<0，解得−1<x<2．∴x的取值范围是(−1, 2)．【答案】解：（1）∵f(x)=x+2x，x∈(0,+∞)，在(0,√2)上递减，在(√2，+∞)上递增，∴f(x)=x+2x，x∈(0,+∞)不属于M．（2）∵g(x)=−x3在R上递减，∴若g(x)=−x3属于M，则{−a3=b2−b3=a2即{a=−√22b=√22（3）∵ℎ(x)=√x−1+t∈M且为增函数∴{√a−1+t=a2√b−1+t=b2∴方程√x−1+t=x2，在[1, +∞)内有两解即√x−1=x2−t，在[1, +∞)内有两解，所以t≤12√x−1+t=x2化为：x2−4(t+1)x+4t2+4=0则{△=[4(t+1)]2−4×4(t2+1)>0−−4(t+1)2>112−4(t+1)×1+4t2+4≥0解得t>0，综上实数t的取值范围是(0, 12]．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）看是否同时符合①②即可，符合的话，成立，反之不成立．（2）看是否同时符合①②即可，对于闭区间[a, b]，只需要利用f(x)在[a, b]上的最小值是a2，且最大值是b2就可求．（3）已经符合①②，故存在闭区间[a, b]使得f(x)在[a, b]上的最小值是a2，且最大值是b2，再利用单调性求出t的取值范围．【解答】解：（1）∵f(x)=x+2x，x∈(0,+∞)，在(0,√2)上递减，在(√2，+∞)上递增，∴f(x)=x+2x，x∈(0,+∞)不属于M．（2）∵g(x)=−x3在R上递减，∴若g(x)=−x3属于M，则{−a3=b2−b3=a2即{a=−√22b=√22（3）∵ℎ(x)=√x−1+t∈M且为增函数∴{√a−1+t=a2√b−1+t=b2∴方程√x−1+t=x2，在[1, +∞)内有两解即√x−1=x2−t，在[1, +∞)内有两解，所以t≤12√x−1+t=x2化为：x2−4(t+1)x+4t2+4=0则{△=[4(t+1)]2−4×4(t2+1)>0−−4(t+1)2>112−4(t+1)×1+4t2+4≥0解得t>0，综上实数t的取值范围是(0, 12]．。
湖北省荆州市某校高一(下)第一周周考数学试卷(有答案)
湖北省荆州市某校高一（下）第一周周考数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在选择题答题卡内．1. 300∘是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2. 已知点P(3, y)在角α的终边上，且满足y <0,cos α=35，则tan α的值等于（ ） A.−34 B.−43C.43D.343. 向量(AB →+MB →)+(BO →+BC →)+OM →化简后等于（ ） A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →4. 函数y =5tan (2x +1)的最小正周期为（ ） A.π4 B.π2C.πD.2π5. 已知sin α+cos α=13，则sin 2α＝（ ） A.−89 B.−12C.12D.896.sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=( )A.−√32B.−12C.12D.√327. 将函数y =cos (2x +4π5)的图象向右平行移动π2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A.y =3cos (4x −π5) B.y =3cos (x −π5) C.y =3sin (4x +π5) D.y =3sin (x +π5)8. 在△ABC 中，A =15∘，则√3sin A −cos (B +C)的值为（ ）A.√22B.√32C.√2D.29. 若向量e 1→，e 2→是夹角为60∘的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→，b→=−3e 1→+2e 2→的夹角为( ) A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘10. 在△ABC 中，C >90∘，则tan A ⋅tan B 与1的关系为（ ）A.tan A ⋅tan B >1B.tan A ⋅tan B <1C.tan A ⋅tan B =1D.不能确定二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上计算：sin 80∘cos 55∘+cos 80∘cos 35∘=________．已知向量b →=(−1,0)，a →=(1,√3)，c →=(−√3,k)．若b →−2a →与c →共线，则k =________．已知向量a →和b →的夹角为120∘，|a →|=1，|b →|=3，则|5a →−b →|=________．若cos α=−45，α是第三象限的角，则sin (α+π4)=________．求值tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘=________． 三、解答题（共6小题，满分75分）设α，β均为锐角，cos α=17，cos (α+β)=−1114，求cos β的值． 化简 （1）cos (α−π2)sin (5π2+α)sin (α−π)cos (2π−α)；（2）1sin 10∘−√3cos 10∘．（1）已知a →=(1, 0)，b →=(1, 1)，λ为何值时，a →+λb →与a →垂直； （2）已知|a →|=4，|b →|=2，a →与b →的夹角为1200，求(a →+2b →)•(a →−3b →)．已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R , ω>0, 0<φ<π2)部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间．已知向量a →=(−1,cos x)，b →=(32,sin x)． （1）当a → // b →时，求2cos 2x −sin 2x 的值；（2）求f(x)=(a →+b →)⋅b →在[−π2，0]上的最大值．已知函数f(x)=sin (x +7π4)+cos (x −3π4)，x ∈R（1）求f(x)的最小正周期和最小值；（2）已知cos (β−α)=45，cos (β+α)=−45.0<α<β≤π2，求证：[f(β)]2−2=0．参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（下）第一周周考数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在选择题答题卡内． 1.【答案】 D【考点】象限角、轴线角 【解析】直接由270∘<300∘<360∘得答案． 【解答】解：∵ 270∘<300∘<360∘， ∴ 300∘是第四象限角． 故选：D ． 2.【答案】 B【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由题意可得角α的终边落在第四象限，故有sin α<0，根据同角三角函数的基本关系求出sin α=−45，再由tan α=sin αcos α求出结果． 【解答】解：已知点P(3, y)在角α的终边上，且满足y <0,cos α=35，则角α的终边落在第四象限，故有sin α<0， ∴ sin α=−45，∴ tan α=sin αcos α=−43，故选B ． 3. 【答案】 C【考点】向量的加法及其几何意义 【解析】把要求的式子展开重新组合，利用向量加法的三角形法则：AB →+BC →=AC →，化简所给的式子，得出结果． 【解答】解：(AB →+MB →)+(BO →+BC →)+OM →=AB →+BO →+OM →+MB →+BC →=AO →+OM →+MB →+BC →=AM →+MB →+BC →=AB →+BC →=AC →． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】正切函数的周期性 【解析】直接利用正切函数的周期的求法，求解即可． 【解答】 解：T =π|ω|=π2，故选B 5.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】条件两边平方，结合二倍角公式即可求解． 【解答】∵ sin a +cos a =13， ∴ (sin a +cos a)2=19， ∴ 1+2sin a cos a =19， ∴ sin 2a =−89． 6.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】将原式分子第一项中的度数47∘=17∘+30∘，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin (17∘+30∘)−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 17∘cos 30∘+cos 17∘sin 30∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 30∘=12．7.【答案】 A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可． 【解答】解：由题意将函数y =cos (2x +4π5)的图象向右平行移动π2个单位长度， 得到函数y =cos [2(x −π2)+4π5]=cos (2x −π5)的图象，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数y =cos (4x −π5)的图象， 再把纵坐标伸长为原来的3倍，得到函数y =3cos (4x −π5)的图象，故选A8.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解析：√3sin A −cos (B +C)=√3sin A +cos A =2sin (A +30∘)=2sin 45∘=√2． 9.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】由已知中e →1，e →2是夹角60∘的两个单位向量，我们可求出e →12=e →22=1，e →1⋅e →2=12，结合a →=2e →1+e →2与b →=−3e →1+2e →2，及向量的数量积和向量的模公式，我们可以求出a →⋅b →，|a →|，|b →|，代入cos θ=|a →|⋅|b →|˙，求出a →与b →的夹角θ的余弦值，进而可求出a →与b →的夹角θ． 【解答】解：∵ e 1→，e 2→是夹角为60∘的两个单位向量， ∴e 1→2=e 2→2=1，e 1→⋅e 2→=12.又∵ a →=2e 1→+e 2→，b →=−3e 1→+2e 2→，∴ a →⋅b →=(2e 1→+e 2→)⋅(−3e 1→+2e 2→) =−6e 1→2+2e 2→2+e 1→⋅e 2→=−72.∵ |a →|=|2e 1→+e 2→|=√4+4×12+1=√7， |b →|=|−3e 1→+2e 2→|=√9−12×12+4=√7， 设向量a →与b →的夹角为θ， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−727=−12.∵ 0∘≤θ≤180∘， ∴ θ=120∘. 故选C . 10.【答案】 B【考点】 弦切互化 【解析】直接利用钝角三角形的性质，确定sin A <cos B ，利用切化弦化简tan A tan B ，即可得到选项． 【解答】解：因为三角形是钝三角形，所以A +B <π2；即：0<A <π2−B <π2，所以sin A <cos B ，同理sin B <cos A ， tan A tan B =sin A sin Bcos A cos B<1故选B二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上 【答案】√22【考点】求两角和与差的正弦 【解析】把要求的式子利用诱导公式化为cos 10∘cos 55∘+sin 10∘sin 55∘，再利用两角差的余弦公式化简求得结果． 【解答】解：sin 80∘cos 55∘+cos 80∘cos 35∘=cos 10∘cos 55∘+sin 10∘sin 55∘=cos (55∘−10∘)=cos 45∘=√22，故答案为 √22．【答案】 −2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】由向量的坐标运算易得b →−2a →的坐标，由向量共线的充要条件可得关于k 的方程，解之即可． 【解答】解：由题意可得b →−2a →=(−1, 0)−2(1, √3)=(−3, −2√3)， 又b →−2a →与c →共线，则(−√3)(−2√3)−(−3)k =0， 解得k =−2． 故答案为：−2 【答案】 7【考点】 向量的模 【解析】根据向量的数量积运算公式得|5a →−b →|2=(5a →−b →)2，化简后把已知条件代入求值． 【解答】解：由题意得，|5a →−b →|2=(5a →−b →)2=25a →2−10a →⋅b →+b →2 =25×12−10×1×3×(−12)+32=49，∴ |5a →−b →|=7． 故答案为：7． 【答案】−7√210 【考点】同角三角函数间的基本关系 两角和与差的三角函数 【解析】根据同角三角函数的关系算出sin α=−√1−cos 2α=−35，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin (α+π4)的值． 【解答】∵ cos α=−45，α是第三象限的角，∴ sin α=−√1−cos 2α=−35，因此，sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=−35×√22+(−45)×√22=−7√210【答案】√3【考点】两角和与差的三角函数 两角和与差的正切公式【解析】利用60∘＝20∘+40∘，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【解答】解：tan 60∘=tan (20∘+40∘)=tan 20∘+tan 40∘1−tan 20∘tan 40∘=√3，√3−√3tan 20∘tan 40∘=tan 20∘+tan 40∘， tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘=√3. 故答案为：√3.三、解答题（共6小题，满分75分） 【答案】解：因为α，β均为锐角，cos α=17，所以sin α=√1−(17)2=4√37，由cos (α+β)=−1114，得到sin (α+β)=√1−(−1114)2=5√314， 则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−1114×17+5√314×4√37=12【考点】两角和与差的余弦公式 【解析】由α，β为锐角，根据cos α=17，cos (α+β)=−1114，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α和sin (α+β)的值，然后把β变为(α+β)−α，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：因为α，β均为锐角，cos α=17，所以sin α=√1−(17)2=4√37，由cos (α+β)=−1114，得到sin (α+β)=√1−(−1114)2=5√314， 则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−1114×17+5√314×4√37=12【答案】解：（1）原式=sin αcos α⋅(−sin α)cos α=−sin 2α；（2）原式=cos 10∘−√3sin 10∘sin 10∘cos 10∘=2(12cos 10∘−√32sin 10∘)12⋅2sin 10∘cos 10∘=2cos 70∘12sin 20∘=4sin 20∘sin 20∘=4．【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=sin αcos α⋅(−sin α)cos α=−sin 2α； （2）原式=cos 10∘−√3sin 10∘sin 10∘cos 10∘=2(12cos 10∘−√32sin 10∘)12⋅2sin 10∘cos 10∘=2cos 70∘12sin 20∘=4sin 20∘sin 20∘=4．【答案】解：(1)a →+λb →=(1, 0)+λ(1, 1)=(1+λ, λ)． ∵ a →+λb →与a →垂直，∴ (a →+λb →)⋅a →=0， ∴ 1+λ=0，解得λ=−1． ∴ λ=−1，a →+λb →与a →垂直；（2）∵ |a →|=4，|b →|=2，a →与b →的夹角为1200， ∴ a →⋅b →=4×2×cos 120∘=−4．∴ (a →+2b →)•(a →−3b →)=a →2−6b →2−a →⋅b →=42−6×22−(−4)=−4．【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出； （2）利用数量积的定义及其运算性质即可得出． 【解答】解：(1)a →+λb →=(1, 0)+λ(1, 1)=(1+λ, λ)． ∵ a →+λb →与a →垂直，∴ (a →+λb →)⋅a →=0， ∴ 1+λ=0，解得λ=−1． ∴ λ=−1，a →+λb →与a →垂直；（2）∵ |a →|=4，|b →|=2，a →与b →的夹角为1200， ∴ a →⋅b →=4×2×cos 120∘=−4．∴ (a →+2b →)•(a →−3b →)=a →2−6b →2−a →⋅b →=42−6×22−(−4)=−4． 【答案】解：(1)由图象可知，周期T =2(11π12−5π12)=π， ∴ ω=2ππ=2 ∵ 点(5π12, 0)在函数图象上，∴ A sin (2×5π12+φ)=0.∴ sin (5π6+φ)=0，∴ 5π6+φ=π+kπ，即φ=kπ+π6，k ∈Z . ∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6.∵ 点(0, 1)在函数图象上，∴ A sin π6=1，A =2，∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).(2)g(x)=2sin [2(x −π12)+π6]−2sin [2(x +π12)+π6] =2sin 2x −2sin (2x +π3) =2sin 2x −2(12sin 2x +√32cos 2x) =sin 2x −√3cos 2x=2sin (2x −π3)， 由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12， ∴ 函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]k ∈Z .【考点】两角和与差的正弦公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式复合三角函数的单调性【解析】（1）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点(5π12, 0)和(0, 1)代入解析式，分别解得φ和A 的值，最后写出函数解析式即可；（2）先利用三角变换公式将函数g(x)的解析式化为y =A sin (ωx +φ)型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g(x)的单调增区间【解答】解：(1)由图象可知，周期T =2(11π12−5π12)=π，∴ ω=2ππ=2∵ 点(5π12, 0)在函数图象上，∴ A sin (2×5π12+φ)=0.∴ sin (5π6+φ)=0， ∴ 5π6+φ=π+kπ，即φ=kπ+π6，k ∈Z .∵ 0<φ<π2， ∴ φ=π6.∵ 点(0, 1)在函数图象上，∴ A sin π6=1，A =2，∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).(2)g(x)=2sin [2(x −π12)+π6]−2sin [2(x +π12)+π6] =2sin 2x −2sin (2x +π3) =2sin 2x −2(12sin 2x +√32cos 2x) =sin 2x −√3cos 2x=2sin (2x −π3)，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12， ∴ 函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]k ∈Z .【答案】解：（1）∵ a → // b →，32cos x +sin x =0∴ tan x =−32∴ 2cos 2x −sin 2x =2cos 2x−2sin x cos x sin 2x+cos 2x =2−2tan x 1+tan 2x =2013 （2）∵ a →+b →=(12, cos x +sin x)，∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=12×32+(cos x +sin x)sin x=12sin 2x −12cos 2x +54=√22sin (2x −π4)+54∵ −π2≤x ≤0，∴ −5π4≤2x −π4≤−π4 ∴ −1≤sin (2x −π4)≤√22， ∴ −√22+54≤f(x)≤74，∴ f(x)max =74【考点】平面向量数量积平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由平行关系易得tan x =−32，然后化要求的式子为正切函数，代入可得；（2）结合三角函数的运算公式易得函数为f(x)=√22sin (2x −π4)+54，逐步由x 的范围可得．【解答】解：（1）∵ a → // b →，32cos x +sin x =0∴ tan x =−32∴ 2cos 2x −sin 2x =2cos 2x−2sin x cos x sin 2x+cos 2x =2−2tan x 1+tan 2x =2013 （2）∵ a →+b →=(12, cos x +sin x)，∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=12×32+(cos x +sin x)sin x =12sin 2x −12cos 2x +54=√22sin (2x −π4)+54∵ −π2≤x ≤0，∴ −5π4≤2x −π4≤−π4 ∴ −1≤sin (2x −π4)≤√22， ∴ −√22+54≤f(x)≤74，∴ f(x)max =74【答案】解：（1）f(x)=sin(x+7π4)+cos(x−3π4)=sin(x−π4)+sin(x−π4)=2sin(x−π4)∴T=2π，最小值为−2（2）∵cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=45，cos(β+α)=cosβcosα−sinβsinα=−45，两式相加得2cosβcosα=0，∵0<α<β≤π2，∴β=π2∴[f(β)]2−2=4sin2π4−2=0【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（2）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．【解答】解：（1）f(x)=sin(x+7π4)+cos(x−3π4)=sin(x−π4)+sin(x−π4)=2sin(x−π4)∴T=2π，最小值为−2（2）∵cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=45，cos(β+α)=cosβcosα−sinβsinα=−45，两式相加得2cosβcosα=0，∵0<α<β≤π2，∴β=π2∴[f(β)]2−2=4sin2π4−2=0。
湖北省荆州市某校高一(下)周考数学试卷(一)(文科)(有答案)
试卷第1页，总16页湖北省荆州市某校高一（下）周考数学试卷（一）（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 时间经过2ℎ，时针转过的角是（ ）A.π6B.−π3C.2πD.−23π2. 化简AC →−BD →+CD →−AB →=________.3. cos (−α)sin (2π+α)tan (2π−α)化简后结果是（ ）A.−sin 2αB.sin 2αC.tan 2αD.sin 2αcos α4. 若α是第四象限的角，则π−α是（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角5. 向量a →=(2,3)，b →=(−1,2)，若ma →+b →与a →−2b →平行，则m 等于（ ）A.−2B.2C.12D.−126. 已知平面向量a →=(3, 1)，b →=(x, −3)，且a →⊥b →，则x ＝（ ）A.−3B.−1C.1D.37. 把函数f(x)=sin (−3x +π6)的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移π3个单位长度，则所得图象的解析式为（ ）A.y =sin (2π3−3x 2) B.y =cos (32x +π6) C.y =sin (7π10−32x) D.y =sin (π6−6x)8. 设a 0→，b 0→分别是a →，b →的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A.a 0→=b 0→B.a 0→⋅b 0→=1C.|a 0|→+|b 0|→=2D.|a 0→+b 0→|=2试卷第2页，总16页 9. 若π4<α<π2，则（ ）A.sin α>cos α>tan αB.cos α>tan α>sin αC.sin α>tan α>cos αD.tan α>sin α>cos α10. 在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定 二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）tan7π6=________．若OA →=(2, 8)，OB →=(−7, 2)，则13AB →=________．已知sin α=−35，且α的终边落在y 轴的右边，则cos α=________．sin 165∘=________．设|a →|=3，|b →|=2，且a →与b →的夹角为60∘，则|a →−b →|=________．不等式sin ________．设函数f(x)(x ∈R)是以4为周期的周期函数，且f(−x)+f(x)=0，若x ∈[0, 2]时f(x)=(x −1)2，则f(3)=________．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知角α的终边经过点P 0(3, −4)，求角α的正弦、余弦和正切值．如图，△ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB →=a →，AD →=b →，试以a →，b →为基底表示DE →、BF →、CG →．试卷第3页，总16页请写出函数y =1−sin x ，x ∈[0, 2π]取最值时的自变量的取值，并画出函数图象．求函数y =tan (π2x +π6)的定义域、周期和单调区间．已知a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，其中0<α<β<π．（1）求证：a →+b → 与a →−b →互相垂直；（2）若ka →+b →与a →−kb →的长度相等，求β−α的值（k 为非零的常数）．四、附加题（共2小题，满分50分）已知sin θ=a sin φ，tan θ=b tan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=√a 2−1b 2−1．定义在区间[−π, 23π]上的函数y =f(x)的图象关于直线x =−π6对称，当x ∈[−π6, 23π]时，函数f(x)=A sin (ωx +φ)，(A >0, ω>0, −π2<φ<π2)，其图象如图．(I)求函数y =f(x)在[−π, 23π]上的表达式； (II)求方程f(x)=√22的解集．试卷第4页，总16页 参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（下）周考数学试卷（一）（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】B【考点】任意角的概念【解析】钟表表盘共360∘，被分成12大格，每一个大格是360∘÷12=30∘，从而求出所求．【解答】解：1小时时针转动一大格，故转过的角度是−30∘．2小时时针转动两大格，故转过的角度是−60∘故选B ．2.【答案】0→【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得AC →−BD →+CD →−AB →的值．【解答】解：AC →−BD →+CD →−AB →=AD →−BD →−AB →=AB →−AB →=0→.故答案为：0→.3.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=−cos α⋅sin α⋅tan α=−cos α⋅sin α⋅sin αcos α=−sin 2α．试卷第5页，总16页 故选：A ．4.【答案】C【考点】象限角、轴线角【解析】先求出α的表达式，再求−α的范围，然后求出π−α的范围．【解答】解：若α是第四象限的角，即：2kπ−12π<α<2kπ k ∈Z 所以2kπ<−α<2kπ+12π，k ∈Z2kπ+π<π−α<2kπ+3π2k ∈Z 故选C ．5.【答案】D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】利用向量的坐标运算求出ma →+b →与a →−2b →的坐标，然后利用向量共线的充要条件列出关于m 的方程，即可求出m 的值．【解答】解：向量a →=(2,3)，b →=(−1,2)，∴ ma →+b →=(2m −1, 3m +2)，a →−2b →=(4, −1)，∵ ma →+b →与a →−2b →平行，∴ (2m −1)⋅(−1)−4(3m +2)=0，∴ m =−12，故选D ．6.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据题意，a →⊥b →⇒a →⋅b →=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．【解答】根据题意，a →⊥b →⇒a →⋅b →=0，试卷第6页，总16页 将向量坐标代入可得，3x +1×(−3)＝0，解可得，x ＝1，7.【答案】A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】函数f(x)=sin (−3x +π6)的周期变为为原来的2倍，就是ω变为原来的12，然后图象向右平移π3个单位，就是相位中x −π3，整理可得函数的解析式． 【解答】解：将函数f(x)=sin (−3x +π6)的周期扩大为原来的2倍，得到函数y =sin (π6−32x)，再将它的图象向右平移π3，得到函数y =sin (2π3−32x)，∴ 所得图象的解析式为：y =sin (2π3−32x)，故选A ．8.【答案】C【考点】单位向量【解析】根据单位向量的模为1，可得答案．【解答】解：因为是单位向量，|a 0→|=1，|b 0→|=1． ∴ |a 0|→|+|b 0|→=2．故选C ．9.【答案】D【考点】三角函数线【解析】根据题意在坐标系画出单位圆，并且作出角α得正弦线、余弦线和正切线，再由α的范围比较出三角函数线的大小．【解答】解：由三角函数线的定义作出下图：OP 是角α的终边，圆O 是单位圆，则AT =tan α>1，OM =cos α，MP =sin α，试卷第7页，总16页 ∵ π4<α<π2，∴ OM <MP <1，即tan α>sin α>cos α， 故选D ．10.【答案】C 【考点】三角形的形状判断【解析】利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos (A +B)>0进而判断出cos C <O ，进而断定C 为钝角．【解答】解：依题意可知cos A cos B −sin A sin B =cos (A +B)>0，−cos C >O ，cos C <O ， ∴ C 为钝角故选C二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）【答案】√33【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由条件利用诱导公式进行化简求值．【解答】解：tan 7π6=tan (π+π6)=tan π6=√33， 故答案为：√33．【答案】(−3, −2)【考点】向量数乘的运算及其几何意义【解析】用向量减法的法则表示出AB →，再用坐标运算求出其坐标．【解答】解：AB →=OB →−OA →=(−9,−6)∴ 13AB →=(−3, −2)试卷第8页，总16页 故答案为(−3, −2)【答案】45【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】由sin α的值小于0，且α的终边落在y 轴的右边，得到α为第四象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cos α的值即可．【解答】解：∵ sin α=−35，且α的终边落在y 轴的右边，∴ α为第四象限角，则cos α=√1−sin 2α=45．故答案为：45【答案】√6−√24【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结果．【解答】解：sin 165∘=sin (180∘−15∘)=sin 15∘=sin (45∘−30∘)=sin 45∘cos 30∘−cos 45∘sin 30∘=√22×√32−√22×12=√6−√24， 故答案为：√6−√24． 【答案】 √7【考点】平面向量数量积的运算【解析】根据数量积公式，结合题中数据算出a →⋅b →=3，再由数量积的性质算出|a →−b →|2的值，即可求出|a →−b →|的大小．【解答】解：∵ |a →|=3，|b →|=2，且a →与b →的夹角为60∘，∴ a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos 60∘=3×2×12=3因此，|a →−b →|2=|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2=9−2×3+4=7∴ |a →−b →|=√7试卷第9页，总16页 故答案为：√7【答案】x ≥12的解集是{x|2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6, k ∈Z}【考点】正弦函数的图象【解析】利用正弦函数的图象与性质即可求得答案．【解答】∵ sin x ≥12， ∴ 2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6(k ∈Z)， ∴ 不等式sin x ≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6, k ∈Z}．【答案】【考点】函数的周期性【解析】由已知中f(−x)+f(x)=0，可得函数f(x)为奇函数，进而根据函数f(x)(x ∈R)是以4为周期的周期函数，且当x ∈[0, 2]时f(x)=(x −1)2，可得f(3)=f(−1)=−f(1)进而得到答案．【解答】解：∵ f(−x)+f(x)=0，∴ 函数f(x)为奇函数，又∵ 函数f(x)(x ∈R)是以4为周期的周期函数，且当x ∈[0, 2]时f(x)=(x −1)2，∴ f(3)=f(−1)=−f(1)=0，故答案为：0三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：由题意可得，x =3，y =−4，∴ r =OP =5，∴ sin α=−45，cos α=x r =35，tan α=y x =−43． 【考点】三角函数【解析】由题意可得OP =5，利用任意角的三角函数的定义，求出结果．【解答】解：由题意可得，x =3，y =−4，∴ r =OP =5，∴ sin α=−45，cos α=x r =35，tan α=y x =−43．【答案】解：根据图形得：DE →=DC →+CE →=a →−12b →；试卷第10页，总16页 BF →=BC →+CF →=b →−12a →，CG →=CD →+DG →，∵ DG →和DE →共线，∴ 存在实数x 使DG →=xDE →=x(a →−12b →)； ∴ −a →+x(a →−12b →)=(x −1)a →−x 2b →；又CG →=CB →+BG →，∴ 同样CG →=−y 2a →+(y −1)b →； ∴ {−x 2=y −1x −1=−y 2，解得x =23，y =23． ∴ CG →=−13a →−13b →．【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】根据向量的加法运算及图形很容易表示出DE →，BF →，对于CG →用两种方式表示：一种是，CG →=CD →+DG →，DG →和DE →共线，所以存在x 使DG →=xDE →=x(DC →+CE →)=x(b →−12a →)，这样便可表示CG →=−x 2a →+(x −1)b →；另一种是CG →=CB →+BG →，用同样的办法表示CG →=(y −1)a →−y 2b →，这样便可求得x ，y ，从而表示出CG →． 【解答】解：根据图形得：DE →=DC →+CE →=a →−12b →；BF →=BC →+CF →=b →−12a →，CG →=CD →+DG →，∵ DG →和DE →共线，∴ 存在实数x 使DG →=xDE →=x(a →−12b →)； ∴ −a →+x(a →−12b →)=(x −1)a →−x 2b →；又CG →=CB →+BG →，∴ 同样CG →=−y 2a →+(y −1)b →；∴ {−x 2=y −1x −1=−y 2，解得x =23，y =23． ∴ CG →=−13a →−13b →． 【答案】解：对于函数y =1−sin x ，x ∈[0, 2π]，当x =π2时，sin x 取得最大，1，函数y 取得最小值为1；当x =3π2时，sin x 取得最小值−1，函数y 取得最大值为2．函数的图象如图：y=1−sin x10121作图：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=1−sin x的最值以及取最值时的自变量的取值，并用五点法画出函数图象．【解答】解：对于函数y=1−sin x，x∈[0, 2π]，当x=π2时，sin x取得最大，1，函数y取得最小值为1；当x=3π2时，sin x取得最小值−1，函数y取得最大值为2．函数的图象如图：y=1−sin x10121作图：【答案】解：由π2x+π6≠π2+kπ，k∈Z解得x≠23+2k，k∈Z．∴定义域{x|x≠23+2k, k∈Z}．周期函数，周期T=ππ2=2．由−π2+kπ<π2x +π6<π2+kπ，k ∈Z 解得−43+2k <x <23+2k ，k ∈Z ，∴ 函数的单调递增区间为：(−43+2k, 23+2k)，k ∈Z ．【考点】正切函数的图象 【解析】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域，通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间． 【解答】解：由π2x +π6≠π2+kπ，k ∈Z 解得x ≠23+2k ，k ∈Z ． ∴ 定义域{x|x ≠23+2k, k ∈Z}． 周期函数，周期T =ππ2=2．由−π2+kπ<π2x +π6<π2+kπ，k ∈Z 解得−43+2k <x <23+2k ，k ∈Z ， ∴ 函数的单调递增区间为：(−43+2k, 23+2k)，k ∈Z ． 【答案】证明：（1）由题意得：a →+b →=(cos α+cos β, sin α+sin β)a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β)∴ (a →+b →)⋅(a →−b →)=(cos α+cos β)(cos α−cos β)+(sin α+sin β)(sin α−sin β) =cos 2α−cos 2β+sin 2α−sin 2β=1−1=0 ∴ a →+b →与a →−b →互相垂直． 解：（2）方法一：ka →+b →=(k cos α+cos β, k sin α+sin β)，a →−kb →=(cos α−k cos β, sin α−k sin β)|ka →+b →|=√k 2+2k cos (β−α)+1，|a →−kb →|=√k 2−2k cos (β−α)+1 由题意，得4cos (β−α)=0， 因为0<α<β<π， 所以β−α=π2．方法二：由|ka →+b →|=|a →−kb →|得：|ka →+b →|2=|a →−kb →|2即(ka →+b →)2=(a →−kb →)2，k 2|a →|2+2ka →⋅b →+|b →|2=|a →|2−2ka →⋅b →+k 2|b →|2 由于|a →|=1，|b →|=1∴ k 2+2ka →⋅b →+1=1−2ka →⋅b →+k 2，故a →⋅b →=0，即(cos α, sin α)⋅(cos β, sin β)=0即cos αcos β+sin αsin β=4cos (β−α)=0 因为0<α<β<π， 所以β−α=π2．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积 【解析】（1）根据已知中向量a →，b →的坐标，分别求出向量a →+b →与a →−b →的坐标，进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系，可证得a →+b →与a →−b →互相垂直；（2）方法一：分别求出ka →+b →与a →−kb →的坐标，代入向量模的公式，求出ka →+b →与a →−kb →的模，进而可得cos (β−α)=0，结合已知中0<α<β<π，可得答案． 方法二：由|ka →+b →|=|a →−kb →|得：|ka →+b →|2=|a →−kb →|2，即(ka →+b →)2=(a →−kb →)2，展开后根据两角差的余弦公式，可得cos (β−α)=0，结合已知中0<α<β<π，可得答案． 【解答】证明：（1）由题意得：a →+b →=(cos α+cos β, sin α+sin β)a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β)∴ (a →+b →)⋅(a →−b →)=(cos α+cos β)(cos α−cos β)+(sin α+sin β)(sin α−sin β) =cos 2α−cos 2β+sin 2α−sin 2β=1−1=0 ∴ a →+b →与a →−b →互相垂直． 解：（2）方法一：ka →+b →=(k cos α+cos β, k sin α+sin β)，a →−kb →=(cos α−k cos β, sin α−k sin β) |ka →+b →|=√k 2+2k cos (β−α)+1，|a →−kb →|=√k 2−2k cos (β−α)+1由题意，得4cos (β−α)=0， 因为0<α<β<π， 所以β−α=π2．方法二：由|ka →+b →|=|a →−kb →|得：|ka →+b →|2=|a →−kb →|2即(ka →+b →)2=(a →−kb →)2，k 2|a →|2+2ka →⋅b →+|b →|2=|a →|2−2ka →⋅b →+k 2|b →|2 由于|a →|=1，|b →|=1∴ k 2+2ka →⋅b →+1=1−2ka →⋅b →+k 2，故a →⋅b →=0，即(cos α, sin α)⋅(cos β, sin β)=0即cos αcos β+sin αsin β=4cos (β−α)=0 因为0<α<β<π， 所以β−α=π2．四、附加题（共2小题，满分50分） 【答案】证明：由题意得，a =sin θsin φ，b =tan θtan φ=sin θcos φcos θsin φ，√a 2−1b 2−1=√(sin θsin φ)2−1(sin θcos φcos θsin φ)2−1=√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θcos 2φ−cos 2θsin 2φ =√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θ(1−sin 2φ)−cos 2θsin 2φ=√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θ−sin 2θsin 2φ−cos 2θsin 2φ =√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θ−sin 2φ(sin 2θ+cos 2θ)=√cos 2θ， 又θ为锐角，所以√cos 2θ=cos θ， 即cos θ=√a 2−1b 2−1成立． 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】根据题意和切化弦表示出a 、b ，代入√a 2−1b 2−1利用平方关系和θ为锐角进行化简即可． 【解答】证明：由题意得，a =sin θsin φ，b =tan θtan φ=sin θcos φcos θsin φ，√a 2−1b 2−1=√(sin θsin φ)2−1(sin θcos φcos θsin φ)2−1=√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θcos 2φ−cos 2θsin 2φ =√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θ(1−sin 2φ)−cos 2θsin 2φ=√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θ−sin 2θsin 2φ−cos 2θsin 2φ =√cos 2θ(sin 2θ−sin 2φ)sin 2θ−sin 2φ(sin 2θ+cos 2θ)=√cos 2θ， 又θ为锐角，所以√cos 2θ=cos θ， 即cos θ=√a 2−1b 2−1成立．【答案】解：(1)当x∈[−π6，23π]时，函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，观察图象易得：A=1，周期为2π，可得ω=1，再将点(π6，1)代入，结合题设可得φ=π3，即函数f(x)=sin(x+π3)，由函数y=f(x)的图象关于直线x=−π6对称得，x∈[−π,−π6]时，函数f(x)=−sin x．∴f(x)={sin(x+π3)，x∈[−π6,2π3]−sin x,x∈[−π,−π6)．(2)当x∈[−π6，23π]时，由sin(x+π3)=√22得，x+π3=π4或3π4⇒x=−π12或x=5π12；当x∈[−π,−π6]时，由−sin x=√22得，x=−3π4或x=−π4．∴方程f(x)=√22的解集为{−3π4，−π4，−π12，5π12}【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式求两角和与差的正弦【解析】(1)观察图象易得当x∈[−π6，23π]时，：A=1,ω=1,φ=π3，再由函数y=f(x)的图象关于直线x=−π6对称求出x∈[−π,−16π]上的解析式，即可得到函数y=f(x)在[−π,23π]的表达式；(2)由(1)函数的解析式是一个分段函数，故分段解方程求方程f(x)=√22的解．【解答】解：(1)当x∈[−π6，23π]时，函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，观察图象易得：A=1，周期为2π，可得ω=1，再将点(π6，1)代入，结合题设可得φ=π3，即函数f(x)=sin(x+π3)，由函数y=f(x)的图象关于直线x=−π6对称得，x∈[−π,−π6]时，函数f(x)=−sin x．∴f(x)={sin(x+π3)，x∈[−π6,2π3]−sin x,x∈[−π,−π6)．(2)当x∈[−π6，23π]时，由sin(x+π3)=√22得，x+π3=π4或3π4⇒x=−π12或x=5π12；当x∈[−π,−π6]时，由−sin x=√22得，x=−3π4或x=−π4．∴方程f(x)=√22的解集为{−3π4，−π4，−π12，5π12}。
湖北省部分市州2021-2022学年高一数学下学期7月联合期末调研考试试题答案
1湖北省部分市州2021-2022学年高一数学下学期7月联合期末调研考试试题答案一、选择题题号123456789101112答案ACBDDADBBCBCDABDACD三、填空题13.14. 42 15. 1016.；四、解答题：17.解析：（1）由平方得，所以即，解得. …………5分（2）因为为锐角，，所以，因为，都是锐角，，又，所以，所以，所以. …………10分18.解析：（1）; …………3分.…………6分（2）因为三点共线，所以可设，所以又∥，所以，解得，即；…………9分因为点，，，所以，所以，所以.……12分1-924（分）2(3)π分sincos 222αα-=21(sin cos 222αα-=112sin cos 222αα-=11sin 2α-=1sin 2α=α1sin 2α=cos 2α=αβ(0,)αβπ+∈3cos()05αβ+=>(0,2παβ+∈4sin()5αβ+=sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+4313525210-=⨯-⨯=13131()22222AE AD AC AB AC a b=+=+=+311332222DE AE AD a b a b a=-=+-=-,,B F C BF BC λ=(1)(1)AF AB AC a bλλλλ=-+=-+ AE AF 31=(1)22λλ-1=4λAF = 3144a b+(1,2)A --(3,2)B -(3,10)C AB = a = (4,0)(4,12)AC b == AF = 3144a b+ (3,0)(1,3)(4,3)=+=||AF 5=2(另解；过E 作EG ∥AD ,交BC 于点G ,可证得AF =FE ，可求得)19. 解析：（1）直方图如下：…………4分（2）由直方图可知，高一学生周劳动时间的平均数为由条形图可知，高二学生周劳动时间的平均数为所以，即高二年级学生更爱热爱劳动. …………8分（3）高一周劳动时间在人数所占比例为在人数所占比例为因此，80%分位数位于内，由可以估计高一年级周劳动时间的样本数据80%分位数为. …………12分20.解析：（1）因为，，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面. …………4分（2）由（1），，又，1||= 5.2AF AE = 1=0.04 1.5+0.16 2.5+0.28 3.50.40 4.50.12 5.5 3.9x ⨯⨯⨯+⨯+⨯=20.1530.2540.3550.256 4.7x =⨯+⨯+⨯+⨯=21x x >[1,4)4%16%28%48%++=[1,5)48%40%88%+=[4,5)0.80.4841 4.80.880.48-+⨯=- 4.812PE PB =12PF PC =EF BC EF ⊂AEF BC ⊄AEF BC AEF 12EF BC =12E PAC B PAC V V --=12PF PC =12E PAF E PACV V --=3所以，因为垂直于所在的平面，所以，又 ，，所以，，因为是的直径，所以，又，所以所以，所以在中，，所以，所以中线在中，有，，，由勾股定理可知，，所以的面积为.所以，解得. …………12分21.解析：（1）因为，所以，又因为，所以，即，又因为，所以所以或，又因为为钝角三角形，所以，即…………5分（2，，，又因为，解得，即，1144E PAF B PAC PABCV V V ---==PA O PA AC ⊥12PC =30APC ∠=︒PA =6AC =AB O AC BC ⊥10AB =8BC =P ABC V -11168332ABC PA S ∆=⨯=⨯⨯⨯=E PAFV -=1144P ABC V -=⨯=Rt PAB △10PA AB ==PB =12AE PB ==AEF △6AF =AE =4EF =222AF EF AE +=AEF ∆164122⨯⨯=111233P AEF AEF V hS h -∆==⨯⨯=h =cos sin a C b C b +=sin cos sin sin sin A C B C B +=A B C π++=sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+sin sin B C =cos sin A C sin 0C ≠sin cos sin()2B A A π==-2B A π=-2B A ππ+-=ABC ∆2B A ππ+-=2B A π-=sin cos C B a +=1c =sin cos C c B a +=sin sin cos sin B C C B A +=sin sin cos sin()B C C B B C +=+sin cos sin B C C B=sin 0B ≠tan 3C =6C π=所以，，又，所以，所以的面积为，即的面积为. …………12分22. 解析：（1）证明：由平面得，与底面所成的角为，即，，在等腰中，可得又因为，，所以，所以，所以所以，即，即因为平面，平面，所以，又，,平面，平面，所以平面,因为平面，所以，因为，所以平面……….3分（另解：在Rt△AFO,Rt△BCO中求得在直角梯形ABCF中求得CF=6,由勾股定理得）（2）过作，连接.如图所示，因为平面，平面，所以又因为，，所以平面又平面，所以根据二面角的定义可知，为二面角的平面角在中，由，，得.因为平面，平面，所以，在，有，所以 …………7分23Bπ=6Aπ=1c=1a c==ABC∆11sin112224ac B=⨯⨯⨯=ABC∆4CB⊥ABE CE ABE CEB∠45CEB∠=︒ 4CB=∴4EB=∴Rt ABE△4,AE AO OB===4CB=2AF=AO CBAF OB==AOF BOC∆∆BOC AFO∠=∠2AOF BOC AOF AFOπ∠+∠=∠+∠=2FOCπ∠=FO OC⊥CB⊥ABE OE⊂ABE CB OE⊥EO⊥AB AB CB B=AB⊂ABCD CB⊂ABCD OE⊥ABCD FO⊂ABCD OE⊥FOOE OC O=FO⊥OCE,62,32==OCOF2FOCπ∠=F FH CE⊥OHFO⊥OCE CE⊂OCE FO⊥CEFH CE⊥FH FO F=CE⊥OFHOH⊂OFH OH CE⊥OHF∠F EC O--Rt OAF∆2AF=AO=OF=OE⊥ABCD OC⊂ABCD OE⊥OCRt EOC∆OC=OE=OE OCOHEC∙=== tan OHF∠OFOH===5（3）由（1）知，，又，，所以平面，同理平面，所以平面与平面重合，即点平面，而平面，所以点平面平面，因为平面，所以点到平面的距离转化为点到的距离，在平面内作点关于直线对称点，过于，当，，三点共线时，为最小，如图所示，则，在中，，所以.所以的最小值为 (12)分FO OC ⊥OC OP ⊥FO OP O = OC ⊥OPF OC ⊥OPE OPE OPF P ∈OEF P ∈ADE P ∈OEF ADE =EF DA ⊥ABE P ABE P AE ADE A EF 'A PH AE ⊥H 'A P H 12d d +'A H AE ⊥Rt AEF∆2'AE AF AA EF ⨯===sin 'sin AE A AE AFE EF ∠=∠==16''sin '5A H A A A AE =∠=12d d +165。
湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2024届高一数学第二学期期末质量检测试题含解析
湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2024届高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在各项均为正数的数列{}n a 中，对任意,m n N *∈都有m n m n a a a +=⋅．若664a =，则9a 等于（ ） A ．256B ．510C ．512D ．10242．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC 的形状一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ） A．3+B．3+C．3+D．3+4．已知数列{}n a 满足*1111,1(1,)n n a a n n N a -==+>∈，则3a =（ ） A ．2 B ．32 C ．53D ．855．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减6．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，7．在120︒的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A ，B 两点，那么这两个切点在球面上的最短距离为（ ） A ．πB ．3π C ．2π D ．3π8．已知直线l 经过()2,1A ，()1,3B -两点，则直线l 的斜率为 A ．32-B ．32C ．23-D ．239．若实数,x y 满足26403xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则41x y +的最小值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．3210．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1AA 与平面11AB C 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年湖北省荆州中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为π的是（）A．f（x）＝sin|x|B．f（x）＝2cos xC．D．f（x）＝|tan x|2．命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为（）A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q3．单位圆上一点P从（0，1）出发，逆时针方向运动，则Q点的坐标为（）A．B．C．D．4．“”是“函数f（x）＝cos（x+α）（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．式子的值为（）A．B．C．D．26．已知函数f（x）＝tan（﹣x），下列结论正确的是（）A．函数f（x）周期为B．函数f（x）在上为增函数C．函数f（x）是偶函数D．函数f（x）关于点（2024π，0）对称7．已知实数x＞1，则的（）A．最小值为1B．最大值为1C．最小值为﹣1D．最大值为﹣18．雅各布•伯努利（JakobBernoulli，1654﹣1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：∀x＞﹣1，n∈N*，则（1+x）n≥1+nx．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知a＝log22024﹣log22023，，，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法错误的是（）A．﹣330°与750°的终边相同B．﹣120°化成弧度是C．经过4小时时针转了120°D．若角α与β终边关于y轴对称，则，k∈Z10．已知，，则（）A．B．C．D．11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称B．若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0恒成立，则实数m∈（﹣∞，1]C．函数y＝f（x）在[﹣π，a]内有5个零点，则D．若F（x）＝f（x）﹣λ在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2024个零点，则n＝202412．已知定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且，则（）A．f（0）＝1B．f（x）是偶函数C．f（3n）＝﹣1，n∈N*D．，n∈N*三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合2{|0},{|21}2x xM x N y y x -=≥==-+，则M N = （）A ．[)2,+∞B ．[]1,2-C ．(]1,2-D ．()1,-+∞2．下列说法不正确的是（）A ．命题2:,0p x x ∃∈≤R ，则命题p 的否定：2,0x x ∀∈>RB ．若集合{}210A xax x =++=∣中只有一个元素，则14a =C ．若13,21x y <<-<<-，则328x y <-<D ．已知集合{}012M =,,，且N M ⊆，满足条件的集合N 的个数为83．下列比较大小的式子中，正确的有（）个①3112351393-⎛⎫<< ⎪⎝⎭；②0.80.60.60.8<<A ．0B ．1C ．2D ．34．幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断5．在下图中，二次函数2y ax bx c =++与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了20%，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m ，则2029年的耕地面积为（）A ．()25010.2m-B ．11010.8m⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2500.8mD ．1100.8m7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()28xf x =-，则()0f x <的解集为（）A ．()()3,00,3-B ．()3,3-C ．()(),30,3-∞-⋃D ．()(),33,∞∞--⋃+8．已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法错误的是（）A ．()164f =B ．关于x 的方程()641f x =有13个不同的解C ．()f x 在[]2024,2025上单调递增D ．当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数()12(0x f x a a -=->且1)a ≠的图象恒过定点()1,2-C ．函数()f x =6D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正根和一负根”的充要条件10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]3.24-=-，[]2.32=.已知函数()21122x x f x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()g x 是偶函数C ．()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{}1,0-11．已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()21,11g x f x f x g x +-+=-+=，若()y f x =的图象关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）A ．()g x 为奇函数B ．()(),4x f x f x ∀∈=+RC ．()()202420232f x f x ++--=D ．302g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三、填空题12．已知11221a a--=，计算：2233223a a a a--++=-.13．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足对[)1212,0,,x x x x ∞∀∈+≠，都有()()21212f x f x x x ->-，若()12024f =，则不等式()()202421013f x x ->-的解集为.14．已知函数()f x 定义域为(0,)+∞且满足1212()()()f x f x f x x +=，且1x >时，()0f x <，若不等式ff)＋f (a )恒成立，则a ∈.四、解答题15．已知函数()f x =R (1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合{}1|3=<<+B x m x m ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()222,y x a x a a =-++∈R(1)解关于x 的不等式0y <；(2)若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求2112x x x x +的最小值.17．荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m ）为x.(1)已知阁楼屋顶为高2m ，底边长5m 的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.（i ）要使窗户面积不小于2平方米，求x 的取值范围；（ii ）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x 为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？(2)一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.18．已知函数()()4121x xf x m =-+⋅-.(1)若0m =，求()f x 在区间[]1,2-上的值域；(2)若方程()20f x +=有实根，求实数m 的取值范围；(3)设函数()224112x x g x -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围.19．若存在常数k ，b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上的任意实数x 都有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线函数．已知函数211()1,()12f x x x g x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．(1)证明：函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．(2)当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．计算cos(330)-=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ． 【答案】B【分析】根据诱导公式，以及特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】()3cos(330)cos 30360cos30-=-==. 故选：B.2．已知{{}|,|sin ,A x y B y y x x R ====∈，则A B =（ ）A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出.【详解】{{}{}{}|0,|sin ,11A x y x x B y y x x R y y ===≥==∈=-≤≤，{}[]010,1A B x x ∴⋂=≤≤=.故选：B.3．若0.22021a =，0.2log 2021b =，20210.2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】0.20202120211a =>=，0.20.2log 2021log 10b =<=，2021000.20.21c <=<=，因此，a c b >>. 故选：C.4．已知函数()tan sin 2()f x x k x k R =-+∈，若13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．3D ．5【答案】D 【分析】由13f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得tan sin 333k ππ-=-，令3x π=-代入函数解析式并利用三角函数诱导公式进行化简求值. 【详解】()tan sin 21tan sin 333333f k k πππππ=-+=-⇒-=-，()tan sin 2tan sin 2533333f k k πππππ⎛⎫⎛⎫∴-=---+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D5．现将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin g x x =C ．()sin 12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换原则，由题中条件，即可得出结果. 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得sin 2sin 2366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，所以()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D.6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论．【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8666θ==≈． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 【答案】C【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可.【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 8．已知函数2,0()lg ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则方程(())10f f x -=的根的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】讨论()0f x >和()0f x ≤两种情况，根据解析式，由(())10f f x -=求出()f x 的值，再求x 的值，即可得出结果.【详解】当()0f x >时，由(())10f f x -=可得lg ()1f x =，解得()10f x =， 若0x ≤，则()210f x x =+=，解得8x =（正值舍去）或12x =-； 若0x >，则()lg 10f x x ==，解得1010x =；当()0f x <时，由(())10f f x -=可得()21f x +=，解得()1f x =-，或()3f x =-；若0x ≤，则()20f x x =+≥恒成立，此时()1f x =-和()3f x =-都无解； 若0x >，则()lg f x x =，所以lg 1x =-或lg 3x =-，解得110x =或11000x =； 综上，方程(())10f f x -=的根的个数是4. 故选：A.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数(方程根的个数)的常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式（或方程）变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题9．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．a b e e --> C ．22ac bc < D ．11a b> 【答案】AB【分析】由不等式的性质，xy e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b<，故错误； 故选：AB.10．给出下面四个结论，其中正确的是（ ） A ．角6πα=是1cos 22α=-的必要不充分条件 B ．命题是“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2000,210x R x x ∃∈-+<”C ．方程3log 30x x +-=在区间(2,3)上有唯一一个零点D ．若奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当10x -≤≤时，(),f x x =-则(2021)1f =【答案】BC【分析】对A ，求解1cos 22α=-，可判断出6πα=是1cos 22α=-的既不充分也不必要条件；对B ，利用全称命题的否定是特称命题判断；对C ，方程3log 30x x +-=变形得3log 3x x =-，作出函数3log y x =与3y x =-的图像可判断；对D ，利用函数()f x 的周期性与奇偶性结合计算即可.【详解】对A ，1cos 22α=-，则可得2223k παπ=+或4223k παπ=+，得3k παπ=+或23k παπ=+，所以6πα=是1cos 22α=-的既不充分也不必要条件；对B ，根据全称命题的否定是特称命题，所以“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2000,210x R x x ∃∈-+<”；对C ，方程3log 30x x +-=变形得3log 3x x =-，作出函数图像如图所示，由图可知两个函数在(2,3)x ∈上只有一个交点，所以方程3log 30x x +-=在区间(2,3)上有唯一一个零点；对D ，由题意，函数()f x 为周期为4的奇函数， 可得(2021)(14505)(1)(1)1f f f f =+⨯==--=-. 故选：BC.11．已知02παβ<<<，且tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根，则下列结论正确的是（ ） A ．tan tan k αβ+=- B ．tan()k αβ+=- C ．22k > D ．tan 4k α+≥【答案】BCD【分析】根据题意可得tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ⋅=，再利用两角和的正切公式可判断B ，利用基本不等式可判断C 、D【详解】由tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根， 所以tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ⋅=，tan tan tan()1tan tan 1kk αβαβαβ++===--⋅-，由02παβ<<<，tan α，tan β均为正数，则tan tan 2tan tan 22k αβαβ+=≥⋅=，当且仅当tan α=tan β取等号，等号不成立tan 2tan tan 22tan tan 4k ααβαβ+=+≥⋅=，当且仅当2tan α=tan β取等号， 故选：BCD【点睛】本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.12．函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．(0)1f =B ．在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．2()()3f x f x π=-- D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为3π【答案】BCD【分析】由图求出,A ω，再代入712x π=求出3πϕ=，得解析式为()2sin(2)3f x x π=+，然后利用三角函数的性质代入对选项逐一判断即可.【详解】由图可知，2A =，37341264T πππ=+=，所以T π=，则2ω=，所以732122ππϕ⨯+=，可得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，得(0)2sin 3f π==,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得(2),333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可知函数为增函数；根据225()2sin 2()2sin(2)2sin(2)2sin(2)333333f x x x x x ππππππ⎡⎤-=-+=-=--=-+⎢⎥⎣⎦所以2()()3f x f x π=--；若()1f x =，可得12x k ππ=-+或4x k (k Z )π=+π∈，所以可知()()1f a f b ==时，a b -的最小值为3π. 故选：BCD.【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对A ，ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.三、填空题 13．已知1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【答案】78【分析】根据题中条件，由二倍角的余弦公式，即可求出结果. 【详解】因为1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以22217cos 2cos 212sin 155588πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：7814．写出一个最小正周期为2的偶函数()f x =___________.【答案】cos()x π (答案不唯一)【分析】利用2T =，()()f x f x -=，并结合余弦函数的性质，即可写出一个最小正周期为2的偶函数.【详解】由题意知：2T =，()()f x f x -=，而当()cos()f x x π=时，有cos()cos()x x ππ-=且22T ππ==，∴()cos()f x x π=为一个最小正周期为2的偶函数. 故答案为：cos()x π15．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图.车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值(mg /100mL ) 饮酒驾车[20,80) 醉酒驾车[80,)+∞且如图表所示的函数模型0.540sin 13,02()39014, 2.x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩,假设该人喝一瓶啤酒后至少经过()*n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为___________(参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈)【答案】6【分析】由题可得0.52901420nn e-≥⎧⎨⋅+<⎩，解出即可. 【详解】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量大于20，则令0.52901420nn e -≥⎧⎨⋅+<⎩，即0.52115n n e -≥⎧⎪⎨<⎪⎩， 解得2ln152 2.71 5.42n >⨯=≈，*n N ∈，n ∴的最小值为6，故至少经过6小时才可以驾车. 故答案为：6.四、双空题16．若函数[](),4,f x ax b x a a =+∈-的图像关于原点对称，则a =___________，若am bx x=+，则[]1,2x ∈时m 的取值范围为___________. 【答案】2 [1,2]【分析】由题可得400a a b -+=⎧⎨=⎩，即可求出,a b ，再根据函数单调性可求出m 的取值范围. 【详解】()f x 的图象关于原点对称，400a a b -+=⎧∴⎨=⎩，解得2,0a b ==，则2m x=，2y x=在[]1,2x ∈单调递减， 12m ∴≤≤.故答案为：2；[1,2].五、解答题17．若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数. （1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =；（2）{2a a >或}3a <-.【分析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出m ，即可得出解析式； （2）根据函数单调性，将不等式化为224a a -<-，求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m =，又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，1m ∴=，则3()f x x =； （2）因为()f x 为增函数，所以由2(2)(4)f a f a -<-可得224a a -<-，解得2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-.18．已知00,2x x π+是函数22()cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的两个相邻的零点. （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【答案】（1（2）70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【分析】化简三角函数的解析式， （1）12π代入解析式计算可得答案；（2）根据三角函数的单调性可得答案. 【详解】化简解析式得1cos 21cos 23()22wx wx f x π⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=-11cos 2cos 2cos sin 2sin 2233wx wx wx ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3cos 2sin 224423wx wx wx π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 周期002()2T x x ππ=+-=，22T wππ==，所以1w =，()223f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（1）21221232f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）因为222232k x k πππππ-+≤+≤+k Z ∈，所以51212k x k ππππ-+≤≤+， 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质，关键点是利用二倍角公式、两角和的正弦公式对函数进行化简为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算.19．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点(,)(0),P m n n >将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为.Q （1）若513m =，求Q 点的坐标； （2）若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值. 【答案】（1）125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）43.【分析】先由三角函数定义，根据题中条件，用,m n 表示出sin α，cos α，sin β，cos β； （1）根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出点的坐标；（2）根据同角三角函数基本关系，求出sin β，cos β，得到sin α，cos α，即可求出正切.【详解】因为角α的终边与单位圆交于点(,)(0)P m n n >， 所以sin n α=，cos m α=， 因为角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边， 所以sin sin cos 2m πβαα⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，cos cos sin 2n πβαα⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.（1）因为角β的终边与单位圆的交点为Q ，2222sin cos 1,0n m n αα+=+=>，所以点Q 的坐标为125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）因为1sin cos 5ββ+=-，22sin cos 1ββ+=，cos 0β<， 所以3sin 5β=，4cos 5β=-，即3cos 5α=，4sin 5α，所以sin 4tan cos 3ααα==. 20．已知函数()2sin cos f x x x a =+-.（1）当0a =时，求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）当0a >时，已知2()log (3)2g x a x =+-，若12,,[1,5]2x x ππ⎡⎤∃∈∀∈⎢⎥⎣⎦有12()()f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）[]1,1-；（2）13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）将方程整理为关于cos x 的二次函数，令cos [1,0]t x =∈-，利用二次函数的图象与性质求函数的值域；（2）利用换元法及二次函数的性质求出函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域A ，根据对数函数的单调性求出函数()g x 在区间[1,5]上的值域B ，根据题意有B A ⊆，根据集合的包含关系列出不等式进行求解.【详解】（1）当220,()1cos cos cos cos 1a f x x x x x ==-+=-++，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令cos t x =，设()2215124h t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[]1,0t ∈-， 函数()h t 在[]1,0-上单调递增，()()11,01h h -=-=，()f x ∴的值域为[]1,1-.（2）设()f x 的值域为集合,()A g x 的值域为集合,B 根据题意可得B A ⊆，2()cos cos 1f x x x a =-++-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令cos t x =，22151()24y t t a t a =-++-=--+-，[]1,0t ∈-， 函数215()24y t a =--+-在[]1,0-上单调递增，且()()min max 1,1f x a f x a =--=-，∴[]1,1A a a =---，2()log (3)2g x a x =+-又0a >，所以2()g x 在[1,5]上单调递增，()()122,532g a g a =-=-，[2a 2,3a 2]B ∴=--， 由B A ⊆得22113321340a aa a a a -≥--⎧⎪-≤-⇒≤≤⎨⎪>⎩，a ∴的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈，（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．21．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数sin()y A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？ 【答案】（1） 2.5sin()56y x π=+；（2）该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时.【分析】（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===，26T ππω==，取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈，则解析式可得； （2）由（1）得计算2.5sin()5 6.256x π+≥解x 范围即可得结果.【详解】解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω，所以22126T πππω===. 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米， 所以2.5sin()5 6.256x π+≥， 即1sin()562x π+≥， 所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈， 解得112512,m x m m N +≤≤+∈. 取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答：该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22．若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,x x f x k -=+⨯其中k 为常数.（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3()2f x >的解集；（2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)(1,3]--⋃上是“局部偶函数”，(),[1,1]()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨∈--⋃⎩（i ）求函数()F x 的值域；（ii ）对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13x x <≤；（2）（i ）33565[,][,]2228-⋃；（ii ）416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据局部奇函数性质得1k =-，进而2x t =，即23102t t -->，由于20x t =>，[3,3]x ∈-，故3()2f x >的解集为{}13x x <≤； （2）（i ）由题得)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x xx F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数()F x 的值域；（ii ）根据题意分当0m >时，当0m =时，当0m <时三种情况讨论求解.【详解】解：（1）()()f x f x -=-对[3,3]x ∈-上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=-，所以()22x x f x -=-，故3()222xxf x -=->等价于132022xx -->， 令2x t =，即23102t t -->，解得2t >或12t <-，又20x t =>，22x ∴>，1x ∴>，又[3,3]x ∈-3()2f x ∴>的解集为{}13x x <≤. （2）（i ）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x xx F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩①当[1,1]x ∈-时，令2x t =，1[,2]2t ∈，由反比例函数与一次函数的单调性得函数1y t t =-在[1,1]-上单调递增，所以33[,]22y ∈-；②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =，1y t t =+为对勾函数，11[,)(2,8]82t ∈⋃，所以565[,]28y ∈.()F x ∴的值域为33565[,][,]2228-⋃（ii ）①当0m >时，min max 2()5()F x mF x +>， 3652()528m ⨯-+>⋅，16065m ∴<< ②当0m =时，min 2()50F x +>， 32()5202⨯-+=>成立，0m ∴=③当0m <时，min min 2()5()F x mF x +>， 332()5()22m ⨯-+>-，403m ∴-<<综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当0m >时，当0m =时，当0m <时三种情况讨论求解.。
湖北省荆州中学2021下学期高一年级7月双周考数学试卷
湖北省荆州中学2021学年下学期高一年级7月双周考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1已知集合A ={x ∈N ∗|x 2−2x −3<0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( ) A 2B 3C 4D 82已知复数z =i −i 2020，则|z2i |=（ ） A 0B √22C 1D √23某学校从高二甲，乙两班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均数为81，则x y +的值是（ ）A ．54函数y =(2x −2−x )sinx 在[]ππ，-的图象大致为（ ）A BC D中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ） =10, A=450, C=600=6, c=5, B=60=7, b=5, A=600=14, b=16, A=4506为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A ． 万元B ．万元C ．万元D ．万元7 已知{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，平面内三个不共线向量OA 、OB 、OC ，满足ˆˆˆybx a =+ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-OB a OA a OC 200417)3(+-=，若点,,A B C 在一条直线上，则=2020S （ ）A 2020B 2022C 4040D 40428 以下说法中，正确的个数是（ ）①平面α内有一条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ②平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ③平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ④平面α内任意一条直线和平面β都无公共点，那么这两个平面平行 A 0个 B 1个 C 2个 D ．3个9 现要用篱笆围成一个面积为S 扇形菜园（如图所示），问要使这个菜园所用篱笆最短，则这个扇形的半径和圆心角各为（ ）A1B．2 C2D． 110在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为元，元，元，元，元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 A ．103 B ．25 C ．21 D ．5311函数321(),().212x F x x x -=≠-则）（20202019)20202()20201(F F F +++ 的值为 A ． 3027 B ．26057 C ．26059D ．2020 12已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为3√32，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）B √2C 92(√3−√2)D3√22二、填空题（本大题共4小题，共20分）13已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值是 的边长为2，E 为AB 的中点，∠ABC =120°，则DE⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗ 的值为____15已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为3，f(x)的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)=______．16已知函数[] 0,()(1) 0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩≥,其中表示不超过的最大整数(如[ 1.1]2-=-，[π]3=，…)则函数与函数3log y x =的图象交点个数是[]x x ()y f x =三、解答题（本大题共6小题，共70分）62)(已知函数17.2+=x x x f1若()f x k >的解集为{32}x x x <->-或，求k 的值； 2对任意0,()x f x t >≤恒成立，求t 的取值范围。
湖北省荆州中学高一数学下学期第二次双周考试题理(2021学年)
湖北省荆州中学201７-２０18学年高一数学下学期第二次双周考试题理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(湖北省荆州中学201７－2018学年高一数学下学期第二次双周考试题理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省荆州中学2０1７-20１8学年高一数学下学期第二次双周考试题理的全部内容。
湖北省荆州中学2０17—20１８学年高一数学下学期第二次双周考试题理一、选择题(本大题共有12个小题，每小题５分，共6０分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1。
23sin 83sin 203cos 263cos +的值为( ) A. 21B 。
21-Ｃ。
23 Ｄ． 23- 2. 已知(2,1),(1,2)a b ==-,若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈,则m n -的值为（ )A. 2 B 。
－2 C 。
3 D 。
－3 ３. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象,可以将函数y x =的图象( ） A. 向右平移4π个单位 Ｂ。
向右平移12π个单位C 。
向左平移4π个单位 D 。
向左平移12π个单位４。
在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( )A ．7,3,30b c C ===︒ﻩﻩB ．5,4,45b c B ===︒C.6,60a b B ===︒ﻩ D.20,30,30a b A ===︒5． 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A. 锐角三角形 B 。
直角三角形C ． 钝角三角形D ． 由增加的长度决定6.数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩，若167a =,则2016a ＝( ） A ．67 B ．57 C.37 D.17７.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =- ，564a a +=-,n S 取得最小值时n =（ )A.6B ．7C ．8ﻩＤ． 98.ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若ABC 的面积22S=[()]a b c －－，则AA sin cos 1-等于( )湖北省荆州中学2017-2018学年高一数学下学期第二次双周考试题 理A ．21Ｂ．31ﻩ C.41ﻩ D.619。
湖北省荆州市某校高一(上)周考数学试卷(2)(有答案)
湖北省荆州市某校高一（上）周考数学试卷（2）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在题后的括号内）1. 已知集合A ={y|y =log 2x, x >1}，B ={y|y =(12)x , x >1}，则A ∩B =( )A.{y|0<y <12}B.{y|0<y <1}C.{y|12<y <1}D.⌀2. 以下函数在R 上是减函数的是（ ）A.y =−x 2B.y =log 12xC.y =1xD.y =(12)x3. 下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）A.y 1=(x+3)(x−5)x+3，y 2=x −5B.y 1=√x +1√x −1，y 2=√(x +1)(x −1)C.f 1(x)=(√2x −5)2，f 2(x)=2x −5D.f(x)=√x 4−x 33，F(x)=x √x −134. 给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（ ）A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④5. 已知a =21.2，b =(12)−0.8，c =2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c <b <aB.c <a <bC.b <a <cD.b <c <a6. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程． 在如图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）A. B.C.D.7. 若log 24x =1，则x 的值为（ ）A.2B.−2C.12D.−128. 函数f(x)=ln x +12x 的零点所在的区间是（ ）A.(0,1e )B.(−1, 0)C.(1e ，1)D.(1, +∞)9. 方程x 2−2ax +1=0的两根分别在(0, 1)与(1, 2)内，则实数a 的取值范围为（ ）A.1<a <54B.a <−1或a >1C.−1<a <1D.−54<a <−110. 已知f(x)={(3−a)x +1x <1a x (a >0且a ≠1)x ≥1，在(−∞, +∞)上是增函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(1, 3)B.(1, 2]C.[2, 3)D.(1, +∞) 二．填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）函数r =f(p)的图象如图所示（曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交），则该函数的值域为________．若定义域为R 的偶函数f(x)在[0, +∞)上是增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解是________．若函数f(x)满足f(n)={2,n =13f(n −1),n ≥2，则f(3)=________．函数f(x)=a x2+2x−3+m(a >1)恒过点(1, 10)，则m =________．（理科）下列命题中，正确的命题序号为________．①方程组{2x +y =0x −y =3的解集为{1, 2}， ②集合C ={63−x ∈z|x ∈N ∗}={−6, −3, −2, −1, 3, 6}③f(x)=√x −3+√2−x 是函数④f(x)=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，定义域为[a −1, 2a]则f(0)=1⑤集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={3, 4, 5, 6}满足S ⊆A 且S ∩B ≠⌀的集合S 的个数为12个 ⑥函数y =2x 在定义域内是减函数．A ={x|x 2+x −6=0}，B ={x|mx +1=0}，且A ∪B =A ，则m 的取值范围是________．三．解答题（本大题共6小题共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算过程）计算下列各式的值：(1)(94)12−(−35)0−(827)−13；(2)log 2.56.25+lg1100+ln √e +21+log 23．设函数f(x)=|x 2−2x −3|，x ∈R ．（1）在区间[−2, 4]上画出函数f(x)的图象；（2）写出该函数在R 上的单调区间．)2−3x；（1）解含x的不等式：22x+1<(14(−x2−2x+3)的值域，并写出其单调递增区间．（2）求函数f(x)=log2为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）小明家第一季度缴纳电费情况如下：问小明家第一季度共用电多少度？(a>0且a≠1)已知函数f(x)满足f(x−1)=log a x+13−x（1）求f(x)的解析式；（2）判断f(x)的奇偶性；2．（3）当0<a<1时，解不等式f(x)≥loga已知关于x的不等式kx2−2x+6k<0，(k>0)（1）若不等式的解集为{x|2<x<3}，求实数k的值；（2）若不等式对一切2<x<3都成立，求实数k的取值范围；（3）若不等式的解集为集合{x|2<x<3}的子集，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（上）周考数学试卷（2）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在题后的括号内）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={y|y=log2x, x>1}，∴A=(0, +∞).∵B={y|y=(12)x, x>1}，∴B=(0, 12).∴A∩B=(0, 12).故选A．2.【答案】D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】借助基本初等函数依次对四个选项判断．【解答】解：选项A：先增后减；选项B：在(0, +∞)上是减函数；选项C：定义域中就没有0；选项D正确．故选D．3.【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素（定义域、值域、对应法则）都相同，分别判断四个答案中函数的定义域和解析式是否一致即可得到答案．【解答】解：A中，y1=(x+3)(x−5)x+3=x−5，(x≠−3)与y2=x−5的定义域不同，故不表示同B 中，y 1=√x +1√x −1=√(x +1)(x −1)，(x ≥1)与y 2=√(x +1)(x −1)(x ≤−1或x ≥1)的定义域不同，故不表示同一函数；C 中，f 1(x)=(√2x −5)2=2x −5，(x ≥52)与f 2(x)=2x −5，(x ∈R)的定义域不同，故不表示同一函数；D 中，f(x)=√x 4−x 33=x √x −13与F(x)=x √x −13定义域，解析式均相同，故表示同一函数；故选D4.【答案】B【考点】映射【解析】直接利用映射的概念逐一核对给出的四个选项即可得到答案．【解答】解：对于给出的四个对应，其中①，④满足左边的集合中的所有元素、在给出的对应关系的作用下在右边集合中都有唯一确定的元素相对应．而②中左边集合中的2在右边集合中无对应元素，③中左边集合中的元素在右边集合中对应的元素不唯一． 所以能够构成映射的有①④．故选B ．5.【答案】A【考点】不等式比较两数大小【解析】由函数y =2x 在R 上是增函数可得a >b >20=1，再由c =2log 52=log 54<log 55=1，从而得到a ，b ，c 的大小关系【解答】解：由于函数y =2x R 上是增函数，a =21.2，b =(12)−0.8=20.8，1.2>0.8>0， ∴ a >b >20=1．再由c =2log 52=log 54<log 55=1，可得 a >b >c .故选A ．6.【答案】B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义，根据一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快满，从而即可获得问题的解答．解：由题意可知：由于怕迟到，所以一开始就跑步，所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快．而等跑累了再走余下的路程， 则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢．所以适合的图象为：故选B ．7. 【答案】C【考点】对数的运算性质【解析】通过对数的运算性质得到4x =2，解出x 的值即可．【解答】解：∵ log 24x =1，∴ 4x =2，∴ x =12， 故选：C ．8.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由于函数在(0, +∞)单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f(a)f(b)<0即为满足条件的区间；【解答】解：因为函数f(x)=ln x +12x ，(x >0)f(1e )=ln 1e +12e=−1+12e <0， f(1)=ln 1+12=12>0，∴ f(1e )f(1)<0，根据零点定理可得，∴ 函数f(x)=ln x +12x 的零点所在的区间(1e , 1)，故选C ；9.【答案】 A一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】由已知中关于x的方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0, 1)与(1, 2)内，则函数f(x)= x2−2ax+1在(0, 1)与(1, 2)内各有一个零点，由此构造关于a的不等式，解不等式组即可得到实数a的取值范围．【解答】解：若关于x的方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0, 1)与(1, 2)内，则函数f(x)=x2−2ax+1在(0, 1)与(1, 2)内各有一个零点则f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0即1>0，2−2a<0，5−4a>0解得1<a<54故选：A．10.【答案】C【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】运用一次函数和指数函数的单调性，注意x=1的情况，即3−a+1≤a，解出它们，再求交集即可得到．【解答】解：当x<1时，f(x)=(3−a)x+1递增，则3−a>0，即a<3；当x≥1时，f(x)=a x递增，则a>1；由于f(x)在R上递增，则3−a+1≤a，解得a≥2，则有2≤a<3．故选C．二．填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）【答案】[0, +∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】通过函数的图象直接读出即可．【解答】解：通过函数的图象，得出值域为：[0, +∞)，故答案为：[0, +∞)．【答案】(−∞, −1)∪(1, +∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据偶函数与函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，且f(1)=0，∴不等式f(x)>0等价为f(x)>f(1)，即f(|x|)>f(1)，则|x|>1，解得x >1或x <−1，故答案为：(−∞, −1)∪(1, +∞)．【答案】18【考点】函数的求值【解析】对于分段函数，要看自变量是属于给出的哪个区间，进而代入相应的解析式，即可求出答案．【解答】解：∵ 3>2，∴ f(3)=3f(2)；∵ 2=2，∴ f(2)=3f(1)；∵ f(1)=2，∴ f(3)=3×3×2=18．故答案为18．【答案】9【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据函数图象过点(1, 10)，代入可求得m 的值．【解答】解：由题意得，当x =1时，f(x)=a 0+m =10，∴ m =10−1=9．故答案为：9．【答案】②④⑤【考点】命题的真假判断与应用【解析】由集合的表示方法，解方程组，即可得到解集，即可判断①；运用列举法，结合自然数集和整数集的概念，即可判断②；求出定义域，即可判断③；运用偶函数的定义，即可得到a ，b ，进而得到f(x)，f(0)=1，即可判断④；运用集合的包含关系，以及交集的定义，列举即可判断⑤；求出函数的单调区间，可举反例说明，即可判断⑥．【解答】解：对于①，方程组{2x +y =0x −y =3即为{x =1y =−2，则解集为{(1, −2)}，则①错； 对于②，由x ∈N ∗，则x =1，2，4，5，6，9时，63−x =3，6，−6，−3，−2，−1．则②对；对于③，由x −3≥0且2−x ≥0，解得x ∈⌀，则f(x)不为函数．则③错； 对于④，f(x)=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，定义域为[a −1, 2a]，则a −1+2a =0，即有a =13，又f(x)关于y 轴对称，则b =0，f(x)=13x 2+1，f(0)=1．则④对；对于⑤，集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={3, 4, 5, 6}满足S ⊆A 且S ∩B ≠⌀，则S ={3}，{1, 3}，{2, 3}，{1, 2, 3}，{4}，{1, 4}，{2, 4}，{1, 2, 4}，{3, 4}，{1, 3, 4}，{2, 3, 4}，{1, 2, 3, 4}．共12个，则⑤对；对于⑥，函数y =2x 在(−∞, 0)，(0, +∞)均为减函数，比如f(−1)<f(1)，则⑥错． 故答案为：②④⑤．【答案】{0, −12，13} 【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】通过解二次方程化简集合A ，利用A ∪B =A ⇔B ⊆A ；分类讨论求集合B 中的一次方程，利用两个集合间的包含关系求出m 的值．【解答】解：A ={x|x 2+x −6=0}={2, −3}∵ A ∪B =A ∴ B ⊆A当m =0时，B =⌀，满足B ⊆A当m ≠0时，B ={−1m }∵ B ⊆A∴ −1m =2或−1m =−3 解得m =−12或m =13故m 的取值为{0, −12，13} 故答案为：{0, −12，13}三．解答题（本大题共6小题共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算过程）【答案】解：(1)）(94)12−(−35)0−(827)−13 =(94)12−1−[(23)3]−13=32−1−32=−1；(2)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 23 =log 2.52．52+lg 10−2+ln e 12+2⋅2log 23=2−2+12+2×3=132．【考点】有理数指数幂的化简求值对数的运算性质【解析】(1)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；(2)化根式为分数指数幂，然后利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：(1)）(94)12−(−35)0−(827)−13=(94)12−1−[(23)3]−13=32−1−32=−1；(2)log 2.56.25+lg1100+ln √e +21+log 23 =log 2.52．52+lg 10−2+ln e 12+2⋅2log 23=2−2+12+2×3=132．【答案】 解：解：（1）作图如右图，（2）由函数的图象可知， 增区间：[−1, 1]，[3, +∞)， 减区间：(−∞, −1]，[1, 3]． 【考点】二次函数的性质 【解析】（1）作图如右图，（2）由函数的图象直接写出增区间：[−1, 1]，[3, +∞), 减区间:(−∞, −1]，[1, 3]． 【解答】 解：解：（1）作图如右图，（2）由函数的图象可知， 增区间：[−1, 1]，[3, +∞)， 减区间：(−∞, −1]，[1, 3]． 【答案】解：（1）不等式22x+1<(14)2−3x 等价为22x+1<22（3x−2）， 即2x +1<6x −4，则4x >5，解得x >54，则不等式的解集为(54, +∞)．（2）设t =−x 2−2x +3，为−x 2−2x +3>0，即x 2+2x −3<0， 解得−3<x <1，∵ t =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4∈(0, 4]，∴ log 2t ≤log 24=2，即y ≤2，则函数的值域为(−∞, 2]，要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t =−x 2−2x +3的递增区间， ∵ 当x ∈(−3, −1]时，函数t =−x 2−2x +3递增， 故函数f(x)的单调递增区间是(−3, −1]． 【考点】复合函数的单调性 【解析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；（2）利用复合函数单调性之间的关系进行求解． 【解答】解：（1）不等式22x+1<(14)2−3x 等价为22x+1<22（3x−2）， 即2x +1<6x −4，则4x >5，解得x >54，则不等式的解集为(54, +∞)．（2）设t =−x 2−2x +3，为−x 2−2x +3>0，即x 2+2x −3<0， 解得−3<x <1，∵ t =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4∈(0, 4]，∴log2t≤log24=2，即y≤2，则函数的值域为(−∞, 2]，要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t=−x2−2x+3的递增区间，∵当x∈(−3, −1]时，函数t=−x2−2x+3递增，故函数f(x)的单调递增区间是(−3, −1]．【答案】解：（1）由题可得y={0.57x,0≤x≤10057+12(x−100)，x>100={0.57x,0≤x≤10012x+7，x>100（2）一月用电12x+7=76x=138二月用电12x+7=63x=112三月用电0.57x=45.6x=80∴第一季度共用138+112+80=330度．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）根据应交电费=月用电度数×每度电费建立函数关系，因为每度电费标准不一样，需要分类讨论；（2）分别根据每月所交电费，求出每月所用电的度数，最后相交即可求出所求．【解答】解：（1）由题可得y={0.57x,0≤x≤10057+12(x−100)，x>100={0.57x,0≤x≤10012x+7，x>100（2）一月用电12x+7=76x=138二月用电12x+7=63x=112三月用电0.57x=45.6x=80∴第一季度共用138+112+80=330度．【答案】解：（1）设t=x−1，则x=t+1，∴f(t)=loga t+22−t(a>0且a≠1)，∴f(x)=loga x+22−x(a>0且a≠1)；（2）由x+22−x>0，可得函数的定义域为(−2, 2)∵f(−x)=loga −x+22+x=−logax+22−x=−f(x)∴函数是奇函数；（3）当0<a <1时，不等式f(x)≥log a 2等价于0<x+22−x≤2∴ −2<x ≤23即不等式f(x)≥log a 2的解集为(−2, 23]．【考点】其他不等式的解法函数解析式的求解及常用方法 函数奇偶性的判断【解析】（1）设t =x −1，则x =t +1，代入条件，即可求得函数解析式； （2）确定函数的定义域，利用奇函数的定义可得结论； （3）当0<a <1时，不等式f(x)≥log a 2等价于0<x+22−x≤2，由此可得不等式的解集．【解答】 解：（1）设t =x −1，则x =t +1， ∴ f(t)=log a t+22−t (a >0且a ≠1)， ∴ f(x)=log a x+22−x (a >0且a ≠1)； （2）由x+22−x >0，可得函数的定义域为(−2, 2) ∵ f(−x)=log a−x+22+x=−log a x+22−x =−f(x)∴ 函数是奇函数；（3）当0<a <1时，不等式f(x)≥log a 2等价于0<x+22−x≤2∴ −2<x ≤23即不等式f(x)≥log a 2的解集为(−2, 23]．【答案】 解：（1）由已知得，2和3是相应方程kx 2−2x +6k =0的两根且k >0， k =25．…（2）令f(x)=kx 2−2x +6k ，原问题等价于{f(2)≤0f(3)≤0解得k ≤25，又k >0∴ 实数k 的取值范围是(0, 25]．…（3）对应方程的△=4−24k 2，令f(x)=kx 2−2x +6k ，则原问题等价于△≤0或{f(2)≥0f(3)≥02≤1k ≤3由△≤0解得k ≤−√66或k ≥√66，又k >0，∴ k ≥√66… 由{f(2)≥0f(3)≥02≤1k≤3解得25≤k ≤12…综上，符合条件的k 的取值范围是[25, +∞)… 【考点】一元二次不等式的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）不等式解集区间的端点就是相应方程的根，所以方程kx 2−2x +6k =0的两根分别为2和3，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得实数k 的值；（2）原命题等价于函数y =kx 2−2x +6k 的最大值小于0，从而得出{f(2)≤0f(3)≤0，解之可得实数k 的取值范围是(0, 25]；（3）原命题题等价于不等式组：△≤0或{f(2)≥0f(3)≥02≤1k≤3，先解△≤0，结合k >0得k ≥√66，再对照{f(2)≥0f(3)≥02≤1k≤3的解集，可得符合条件的k 的取值范围．【解答】 解：（1）由已知得，2和3是相应方程kx 2−2x +6k =0的两根且k >0， k =25．…（2）令f(x)=kx 2−2x +6k ，原问题等价于{f(2)≤0f(3)≤0解得k ≤25，又k >0∴ 实数k 的取值范围是(0, 25]．…（3）对应方程的△=4−24k 2，令f(x)=kx 2−2x +6k ，则原问题等价于△≤0或{f(2)≥0f(3)≥02≤1k ≤3由△≤0解得k ≤−√66或k ≥√66，又k >0，∴ k ≥√66… 由{f(2)≥0f(3)≥02≤1k ≤3解得25≤k ≤12…综上，符合条件的k 的取值范围是[25, +∞)…。
湖北省荆州市某校高一(下)第七周周考数学试卷(有答案)
湖北省荆州市某校高一（下）第七周周考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 数列1，−3，5，−7，9，…的一个通项公式为（）A.a n=2n−1B.a n=(−1)n(1−2n)C.a n=(−1)n(2n−1)D.a n=(−1)n(2n+1)2. 已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A.以7为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列)，则a n=()3. 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln(1+1nA.2+ln nB.2+(n−1)ln nC.2+n ln nD.1+n+ln n4. 若S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列5. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A.−2B.−3C.−4D.−56. 等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A.1B.2C.3D.47. 飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30∘，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75∘，这时飞机与地面目标的距离为（）A.5000米 B.5000√2米 C.4000米 D.4000√2米8. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A.−1B.1C.3D.79. 已知数列{a n}，a1=1，前n项和为S n，且点P(a n, a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上，则1S1+1S2+1S3+⋯+1S n= ( )A.n(n+1)2B.2n(n+1)C.2nn+1D.n2(n+1)10. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A.25B.24C.20D.19二、填空题（每小题7分，7小题，共35分）若a≠b，数列a，x1，x2，b和数列a，y1，y2，b都是等差数列，则x2−x1y2−y1=________．若{a n}为等差数列，a2，a11是方程x2−3x−5=0的两根，则a5+a8=________．在三角形ABC中，已知A=60∘，b=1，其面积为√3，则a+b+Csin A+sin B+sin C=________．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10−a12的值为________．等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为________．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）己知{a n}为等差数列，a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？2008年2月26日，中国海军三艘舰艇从海南省三亚启航赴亚丁湾、索马里海域执行首次护航任务，是我国15世纪后最大远征．参与此次护航任务的舰艇有169“武汉”号导弹驱逐舰、171“海口”号导弹驱逐舰、887“微山湖”号综合补给舰．假设护航编队在索马里海域执行护航任务时（如图），海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁．军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75∘，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60∘．若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？数列{a n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．（1）求数列的公差；（2）求前n项和S n的最大值；（3）当S n>0时，求n的最大值．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3a cos A=c cos B+b cos C（1）求cos A的值，求边c的值．（2）若a=1，cos B+cos C=2√33设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．(1)求{a n}、{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．b n参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（下）第七周周考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】B【考点】数列的概念及简单表示法【解析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【解答】解：∵数列{a n}各项值为1，−3，5，−7，9，…∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|a n|=2n−1又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，∴a n=(−1)n+1(2n−1)=(−1)n(1−2n)．故选B．2.【答案】A【考点】等差数列【解析】直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．【解答】解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1−a n=2(n+1)+5−(2n+5)=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．3.【答案】A【考点】数列递推式【解析】，用迭代法整理出结果，约分后选出把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成n+1n正确选项．【解答】)，解：∵a2=a1+ln(1+11a3=a2+ln(1+12)，…∴a n=a n−1+ln(1+1n−1)=a1+ln(21)(32)(43)…(nn−1)=2+ln n故选：A．4.【答案】B【考点】等差数列【解析】根据数列{a n}的前n项和S n，表示出数列{a n}的前n−1项和S n−1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，由此能判断出此数列为等差数列．【解答】解：当n=1时，S1=12=1，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，又n=1时，a1=2−1=1，满足通项公式，∴此数列为等差数列．故选B．5.【答案】C【考点】等差数列【解析】设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以−235<d<−236，结合公差为整数进而求出数列的公差．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以−235<d<−236，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=−4．故选C．6.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．【解答】设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，7.【答案】B【考点】余弦定理【解析】根据题意画出图形，如图所示，利用外角性质求出∠C的度数，确定出sin C的值，再由sin A以及AB的长，利用正弦定理求出BC的长，即为飞机与地面目标的距离．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得∠C=45∘，根据正弦定理BCsin A =ABsin C，得：BC=AB sin Asin C=10000×12√22=5000√2（米），则此时飞机与地面目标的距离为5000√2米．故选B8.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4−a3=−2．∴a20=a3+17d=35+(−2)×17=1．故选B．9.【答案】C【考点】数列的求和【解析】由“P(a n, a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和．【解答】解：∵点P(a n, a n+1)(n∈N∗)在直线x−y+1=0上，∴a n−a n+1+1=0，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=n，∴S n=n(n+1)2，∴1S n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，1 S1+1S2+1S3+⋯+1S n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2nn+1.故选C.10.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．【解答】解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12(n−1)=12n−1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n−1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N∗，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n−1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m−1，∴n=43 m−1．又m、n∈N∗，可设m=3r(r∈N∗)，得n=4r−1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r−1≤100解得12≤r≤1014∵r∈N∗从而有25个相同的项故选A二、填空题（每小题7分，7小题，共35分）【答案】1等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质，即可得出结论．【解答】解：∵a、x1、x2、b成等差数列∴x2−x1=13(b−a)∵a、y1、y2、b是等差数列，∴y2−y1=13(b−a)∴x2−x1y2−y1=1故答案为：1【答案】3【考点】等差数列的性质【解析】由韦达定理也求出a2+a11=3，再由等差数列的性质a m+a n=a p+a q求得结果．【解答】解：由题意知，a2+a11=3，则由等差数列的性质得：a5+a8+a9=a2+a11=3故答案为3．【答案】2√393【考点】正弦定理【解析】利用三角形面积公式列出关系式，将sin A，b，以及已知面积相等求出c的值，利用余弦定理求出a的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可．【解答】解：∵△ABC中，A=60∘，b=1，其面积为√3，∴12bc sin A=√3，即12c⋅√32=√3，解得：c=4，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bc cos A=1+16−4=13，即a=√13，则由正弦定理asin A =bsin B=csin C得：a+b+csin A+sin B+sin C=asin A=√13√32=2√393．故答案为：2√393【答案】24【考点】等差数列的性质有已知a n为等差数列，设首项为a1和公差为d，则已知等式就为a1与d的关系等式，所求式子也可用a1和d来表示．【解答】解：∵a n为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120，∴a1+7d=24，∵2a10−a12=2a1+18−a1−11d=a1+7d=24.故答案为：24.【答案】225【考点】等差数列的前n项和【解析】由已知得S n，S2n−S n，S3n−S2n成等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，∴S n，S2n−S n，S3n−S2n成等比数列，∴25，100−25，S3n−100成等差数列，∴2(100−25)=25+(S3n−100)，解得S3n=225．故答案为：225．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：(1){a n}为等差数列，a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，不妨记为{b n}则等差数列{b n}是以2为首项，3为第五项的数列，设{a n}的公差为d，设{b n}公差为d′，则2+d=3，2+4d′=3，解得d=1，d′=14，故原等差数列{a n}的通项为：a n=2+1×(n−1)=n+1新等差数列{b n}的通项为：b n=2+14(n−1)=n+74，故原数列的第12项为a12=13，令b n=13，解得n=45，故原数列的第12项是新数列的第45项．（2）由（1）知新数列的第29项b29=29+74=9，令a n=9解得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项．【考点】等差数列的性质【解析】（1）由题意可求出两数列的通项公式，可求得原数列的第12项即可知道是新数列的第几项；（2）同样，只要由通项公式求出新数列的第29项也可求得是原数列的第几项．【解答】解：(1){a n}为等差数列，a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，不妨记为{b n}则等差数列{b n}是以2为首项，3为第五项的数列，设{a n}的公差为d，设{b n}公差为d′，则2+d=3，2+4d′=3，解得d=1，d′=14，故原等差数列{a n}的通项为：a n=2+1×(n−1)=n+1新等差数列{b n}的通项为：b n=2+14(n−1)=n+74，故原数列的第12项为a12=13，令b n=13，解得n=45，故原数列的第12项是新数列的第45项．（2）由（1）知新数列的第29项b29=29+74=9，令a n=9解得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项．【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC=15∘，∠ACB=150∘，AC=8，可得：∠ABC=15∘．∴BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=BC⋅sin30∘=4．∵4>3.8，∴没有危险．【考点】解三角形的实际应用【解析】由条件求得∠ACB=150∘，BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=4>3.8，从而得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC=15∘，∠ACB=150∘，AC=8，可得：∠ABC=15∘．∴BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=BC⋅sin30∘=4．∵4>3.8，∴没有危险．【答案】解：（1）由已知a6=a1+5d=23+5d>0，a7=a1+6d=23+6d<0，解得：−235<d<−236，又d∈Z，∴d=−4（2）∵d<0，∴{a n}是递减数列，又a6>0，a7<0∴当n=6时，S n取得最大值，S6=6×23+6×52(−4)=78（3）S n=23n+n(n−1)2(−4)>0，整理得：n(50−4n)>0∴0<n<252，又n∈N∗，所求n的最大值为12．【考点】等差数列的性质数列的函数特性【解析】（1）利用等差数列的通项公式列出a6>0，a7<0，求出d的值；（2）根据d<0判断{a n}是递减数列，再由a6>0，a7<0，得出n=6时，S n取得最大值；（3）由等差数列的前n项和公式列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）由已知a6=a1+5d=23+5d>0，a7=a1+6d=23+6d<0，解得：−235<d<−236，又d∈Z，∴d=−4（2）∵d<0，∴{a n}是递减数列，又a6>0，a7<0∴当n=6时，S n取得最大值，S6=6×23+6×52(−4)=78（3）S n=23n+n(n−1)2(−4)>0，整理得：n(50−4n)>0∴0<n<252，又n∈N∗，所求n的最大值为12．【答案】解：（1）由余弦定理可知2ac cos B=a2+c2−b2；2ab cos c=a2+b2−c2；代入3a cos A=c cos B+b cos C；得cos A=13；（2）∵cos A=13∴sin A=2√23cos B=−cos(A+C)=−cos A cos C+sin A sin C=−13cos C+2√23sin C③又已知cos B+cos C=2√33代入③cos C+√2sin C=√3，与cos2C+sin2C=1联立解得sin C=√63已知a=1正弦定理：c =a sin Csin A =√632√23=√32【考点】正弦定理同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）利用正弦定理分别表示出cos B ，cos C 代入题设等式求得cos A 的值．（2）利用（1）中cos A 的值，可求得sin A 的值，进而利用两角和公式把cos C 展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sin C 的值，最后利用正弦定理求得c ．【解答】解：（1）由余弦定理可知2ac cos B =a 2+c 2−b 2；2ab cos c =a 2+b 2−c 2； 代入3a cos A =c cos B +b cos C ； 得cos A =13；（2）∵ cos A =13∴ sin A =2√23cos B =−cos (A +C)=−cos A cos C +sin A sin C =−13cos C +2√23sin C ③ 又已知 cos B +cos C =2√33代入 ③ cos C +√2sin C =√3，与cos 2C +sin 2C =1联立 解得 sin C =√63 已知 a =1正弦定理：c =a sin Csin A =√632√23=√32【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且{1+2d +q 4=21,1+4d +q 2=13,解得d =2，q =2.所以a n =1+(n −1)d =2n −1，b n =q n−1=2n−1．(2)由题意得，a nb n =2n−12n−1， S n =1+321+522+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，① 12S n =12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，②①−②得12S n =1+2(12+122+...+12n−1)−2n−12n ， 则S n =2+2+22+222+⋯+22n−2−2n−12n−1=2+2×(1+12+122+⋯+12n−2)−2n −12n−1 =2+2×1−12n−11−12−2n −12n−1 =6−2n+32n−1．∴ S n =6−2n+32n−1.【考点】数列的求和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．(Ⅱ)数列{an b n }的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ． 【解答】解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且{1+2d +q 4=21,1+4d +q 2=13,解得d =2，q =2.所以a n =1+(n −1)d =2n −1，b n =q n−1=2n−1．(2)由题意得，a n b n =2n−12n−1，S n =1+321+522+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，① 12S n =12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，②①−②得12S n =1+2(12+122+...+12n−1)−2n−12n ， 则S n =2+2+22+222+⋯+22n−2−2n−12n−1=2+2×(1+12+122+⋯+12n−2)−2n −12n−1 =2+2×1−12n−11−12−2n −12n−1 =6−2n+32n−1．∴ S n =6−2n+32n−1.。
2024-2025学年湖北省荆州中学高一(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖北省荆州中学高一（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a +2∈{1,3,a 2}，则a 的值为( )A. −1或1或2B. −1或1C. −1或2D. 22.设集合U ={1,2,3,4,5}，M ={1,2}，N ={2,3}，则∁U (M ∪N)=( )A. {4,5}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,3,4,5}3.已知集合A ={x|x =k +16,k ∈Z}，B ={x|x =m 2−13,m ∈Z}，C ={x|x =n 2+16,n ∈Z}，则集合A ，B ，C 的关系是( )A. A⫋C⫋BB. C⫋A⫋BC. A⫋C =BD. A⫋B⫋C4.设等腰三角形△ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且y =x +1，则“△ABC 的周长为16”是“△ABC 其中一条边长为6”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下面命题正确的是( )A. 已知x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的充要条件B. 命题“若∃x 0≥1，使得x 20<2”的否定是“∀x <1，x 2≥2”C. 已知x ，y ∈R ，则“|x|+|y|>0”是“x >0”的既不充分也不必要条件D. 已知a ，b ∈R ，则“a−3b =0”是“a b =3”的必要不充分条件6.已知a >b >c >d ，下列选项中正确的是( )A. 1a <1bB. a c 2+1>b c 2+1C. ad >bcD. ac >bd 7.已知正实数x ，y 满足1x +3y =1，则4x +3y 的最小值为( )A. 24B. 25C. 26D. 278.若不等式x 2−(2a +2)x +2a <0(a >0)有且只有三个整数解，实数a 的取值范围为( )A. 0<a <43B. 0<a ≤43C. a >34D. 34<a ≤43二、多选题：本题共3小题，共18分。
精品解析：湖北省荆州中学2021-2021学年高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
荆州中学2018～2019学年上学期高一年级期末数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.与2019∘终边相同的角是（ ）A. 37∘B. 141∘C. −37∘D. −141∘ 2.下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）A. y =x 3B. y =|x|+1C. y =−x 2+1D. y =2−|x| 3.下列各式不能．．化简为AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 的是（ ） A. (AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ )+BC ⃑⃑⃑⃑⃑ B. (AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) C. （MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )−BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D. OC ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ 4.函数f(x)=2x −sin2x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 55.函数y =cosx |tanx | (−π2<x <π2)的大致图象是（ ）A. B.C. D.6.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)的图象（部分）如图所示则f(1)=（ ）A. 1B. －1C. √3D. −√37.已知函数f(x)=x 2+log 2|x |，则不等式f(x +1)−f(2)<0的解集为（ ） A. (−3,−1)∪(−1,1) B. （−3,1） C. (−∞,−1)∪(3,+∞) D. (−1,1)∪(1,3) 8.若a >b >0 ，0<c <1，则 ( )A. log a c <log b cB. log c a <log c bC. a c <b cD. c a >c b9.将函数f (x )=3sin (x −π3)的图象上的所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移m (m >0)个单位后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A. π6 B. π3 C.2π3D. 5π610.如图在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=3，E 为边CD 的中点，DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =13DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =−4则cos∠DAB =（ ）A. 14B. √154C. 13D. 8911.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 12.已知函数f(x)=sin 2ωx 2+12sinωx −12(ω>0)，若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是A. (0,18] B. (0,18]∪[14,58] C. (0,58] D. (0,14]∪[58,1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13.设f(x)={2⋅t x ,x <2log t (x 2−1),x ≥2且f(2)=1，则f[f(√5)]的值为___________．14.已知a,b都是单位向量，夹角为60°，若向量m=xa+yb，则称m在基底a,b下的坐标为(x,y)，已知AB 在基底a,b下的坐标为（2，－3），则|AB|=___________.15.已知α+sin(α−2)=4,β+sin(β−2)=0,α,β∈[2−π2,2+π2],m=(sinα2,cosα2),n=(cosβ2,sinβ2)，则m⋅n=______________.16.函数f(x)满足f(x+6)=−f(6−x),f(x)=−f(x+3)，f(1)=a，则f(1)+f(2)+⋯+f(2021)=__________.三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知sin(α+π6)=45,−π6<α<π3，求（1）cos(α−π3)；（2）cosα.18.给定平面向量a→=(−1,1)，b→=(x,3)，c→=(5,y)，d→=(8,6)且b→//d→，(4a→+d→)⊥c→ .（1）求b→和c→；（2）求c→在a→方向上的投影.19.已知函数f(x)=cosx⋅sinx−√3cos2x.（1）若tanx0=2，求f(x0)；（2）求f(x)的周期，单调递增区间.20.已知函数f(x)=2x−12x.（1）若f(x)=2，求x的值；（2）存在t∈[1,2]使得不等式2t f(2t)+mf(t)≥0成立，求m的取值范围.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。
湖北省荆州中学2021学年高一语文7月双周考试题
湖北省荆州中学2021学年高一语文7月双周考试题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。
中国古代的尚象观念从《周易》开始。
易象是中国文化的源头，也是审美意象的源头。
伏羲通过对自然万物的仰观俯察，探索出了万物的变化规律，并取万物之意，创制出了分别代表天、地、水、火、风、雷、山、泽的八卦图，以象喻意。
八卦如此，审美意象的创构同样如此，两者都是“近取诸身，远取诸物”的结果。
王羲之《兰亭集序》有“仰观宇宙之大，俯察品类之盛，所以游目骋怀，足以极视听之娱，信可乐也”的说法。
这种游目骋怀，正是在俯仰体悟之间获得审美的愉悦。
通过仰观俯察，主体在立象尽意之中进行审美的体悟和创造。
中国自古以来的观物取象、立象尽意的体验方式和创造方式，是审美方式的体现。
观物取象包含着审美的观照方式，其观其取，都体现了古人的尚象精神。
立象尽意乃以象见意，突出了象的表意功能。
在上古的器物和艺术创造中，主体观物取象的目的在于制器和创构艺术意象。
《周易·系辞上》所谓“制器者尚其象”，《左传·宣公三年》所谓“铸鼎象物”，说的都是尚象制器。
从史前彩陶的造型和纹饰开始，中国的器物创造和艺术创造都体现了尚象的精神。
象是感性生动的，以其张力不断生成和创构。
观物取象本身不仅是一种感悟方式，而且还借助想象力进行意象创构。
同时，象还具有丰富的象征性，借助于虚实相生等手法，使丰富的意味和情趣得以呈现。
汉字中包含着尚象的特征。
汉字如诗如画，是以象形表意为基础的文字，包含着意象的形态及其组合，体现了审美的思维方式。
汉字都在不同程度上以象表意，是观物取象的产物，从自然和社会中提取物象和事象，充满着情趣和意味，借以表意，具有直观性和象征性的特点。
在用字的过程中，主体常常使文字承载着主观的情意，使象与情意相统一。
汉字在中国的形成、完善和使用，促进了尚象特征的确立和发展。
这种审美特点，尤其表现在作为文字运用的诗歌等文学作品中。
沙市区高一数学上学期第二次双周考试题(2021学年)
编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（湖北省荆州市沙市区２017-201８学年高一数学上学期第二次双周考试题)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省荆州市沙市区20１7－２018学年高一数学上学期第二次双周考试题的全部内容。
一、选择题(每小题5分,共６0分）1．若集合A =｛ｘ|–2ｘ１｝，Ｂ={x |x –1或x 3}，则A B ＝A ．｛ｘ｜–2x –1} ﻩB ．｛x |–２x 3} Ｃ．{ｘ｜–1x 1｝Ｄ.｛x ｜1ｘ3}2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =,则B =( )A ．{}1,3- ﻩ B.{}1,0 ﻩ C.{}1,3 ﻩD ．{}1,5 3．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}ABC x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =Ａ．{2} ﻩﻩ B.{1,2,4}Ｃ．{1,2,4,6} ﻩ D.{|15}x x ∈-≤≤R4.已知全集U ＝R,Ａ＝｛ｘ|ｘ≤0}，Ｂ＝{ｘ｜ｘ≥１},则集合∁U （A ∪B ）＝( )Ａ． {x |x ≥０｝ ﻩ B. {x ｜x ≤1｝ ﻩ C.｛x ｜0≤ｘ≤1} D.{x |０＜x ＜1}5．定义域在R 上的函数y ＝ｆ(x )的值域为[a ,b ］,则函数y ＝ｆ（x +a ）的值域为( )A.[2a ，a +b ］B.[0，ｂ-a ] ﻩﻩＣ.[a ，b ] ﻩ D.[-a ,ａ+b ］ ６.设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ,则下述对应法则f 中,不能构成A 到Ｂ的映射的是( ）A ．2:x y x f =→B ．23:-=→x y x fC.4:+-=→x y x f ﻩﻩ Ｄ．24:x y x f -=→7.设函数f （x ）=⎩⎨⎧<+≥+-0,60,642x x x x x ,则不等式f (x )〉ｆ(1)的解集是( )A ．(-3，1)∪(3，+∞） B.（-3,1）∪(２，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，+∞) ﻩD ．（－∞,－３)∪（1,3) 8.下列所给４个图象中,与所给3件事吻合最好的顺序为 （ )（１）我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学；(２)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (３）我出发后，心情轻松,缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
2021-2021学年湖北省荆州市高一下学期期末数学试题(解析版)
12021-2021学年湖北省荆州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}20A x x x =-<，{|1B x x =>或0}x <，则（ ） A ．B A ⊆ B ．A B ⊆ C ．A B R = D ．A B =∅【答案】D【解析】解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系. 【详解】解：解不等式20x x -<得01x <<，则{}01A x x =<<. 因为{|1B x x =>或0}x <，所以A B =∅，故选:D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关系. 2．已知0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】根据对数函数与指数函数的单调性,将a b c 、、与0、1比较,即可得出答案. 【详解】因为3log y x =在(0,)+∞上单调递增, 所以33log 0.2log 10a =<=,因为0.2log y x =在(0,)+∞上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21b =<=<=, 因为10xy =在R 上单调递增, 所以0.1010101c =>=, 所以a b c <<. 故选：A 【点睛】本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与0、1比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键.23．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】D【解析】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ，则任选2人的种数共10种，其中恰有一名女同学共6种，根据古典概型概率计算公式，即可求出结果. 【详解】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ， 则任选2人的种数为ab aA aB aC bA bB Bc AB AC BC ,,,,,,,,,共10种，其中全是女生为aA aB aC bA bB Bc ,,,,,共6种， 故恰有一名女同学的概率60.610P == . 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据()(0xf x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数可得01a <<，结合()g x ，再根据对数函数的图像特征，得出结论. 【详解】由()(0xf x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则01a <<，令()log (||1)a g x x =-，∴ 函数()log (||1)a g x x =-的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，()()log (||1)a g x g x x -==-，所以函数为关于y 对称的偶函数.函数()log (||1)a g x x =-的图像，1x >时是函数log a y x =的图像向右平移一个单位得到的. 故选D3【点睛】本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题.5．由于疫情期间大多数学生都进行网上上课，我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( ) A ．800 B ．750 C ．700 D ．650【答案】D【解析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数. 【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x - 2，2x - 4，由题意可得2(22)(24)72,x x x +-+-= 13x ∴=设我校高三年级的学生人数为N ,再根据722131800N⨯= 求得650N =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了分层抽样，样本容量，属于容易题.6．在△ABC 中，“cos 2sin sin A B C =”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】 充分性：由于，代入已知式子整理得，即，显然必为钝角；必要性：取，显然cos 2sin sin A B C =不成立．综上选C ．4 A ．①②③④ B ．②③④ C ．②④ D ．③④【答案】B【解析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可 【详解】解：若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则,αβ平行或相交，故①错误； 若m α⊥，//αβ，则m β⊥，而n β⊥，所以//m n ，故②正确； 若//m α，m β⊂，n αβ=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故③正确；由选项可知④正确， 故选：B 【点睛】此题考查空间中，线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，属于基础题 8．已知α为锐角，且1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A．BCD【答案】B【解析】通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据两角和的正弦即可得出结果. 【详解】 ∵02πα<<，∴336πππα-<-<，又∵1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 34πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴111sin sin 3342428ππαα+⎛⎫=-+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题. 9．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．67B．47C．27D．59【答案】C【解析】由题意，可设DM k DB=，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB=+=-+，得到关于k与t的方程组，解出t即可．【详解】如图，因为AD DC=，所以12AD AC=则12AM AD DM AC DM=+=+，因为M在BD上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC==-=-，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB=+=+-=-+，因为37AM AB t AC=+，所以37{1(1)2kk t=-=，解得27t=，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为(),(1,2,,6)i i iP x y i=，回归直线方程为2y x a=+，若126(12,18)OP OP OP+++=（O为坐标原点），则a=（）A．-1 B．-6 C．1 D．6【答案】A【解析】根据向量相等的坐标表示，由此即可计算平均数,x y，得到样本点的中心的坐标(),x y，代入回归直线方程求出结果．56【详解】因为样本点为(),(1,2,,6)i i i P x y i =且126(12,18)OP OP OP +++=，所以1261261218x x x y y y ++⋯+=⎧⎨++⋯+=⎩ 所以()123456112266x x x x x x x =+++++== ， ()126118366y y y y =++⋯+==；又回归直线方程为2y x a =+过(),x y ， ∴322a =⨯+，解得1a =-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程必过样本中心、向量相等的坐标表示等基础知识，属于基础题.11．若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ） A ．4 B．3+C ．8D ．9【答案】C【解析】由已知可得()124222x y x y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8， 故选：C 【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用了“1”的代换，属于基础题712．已知函数()()()211,2log 1,2a a x x f x x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据分段函数()y f x =在R 上的单调性可得出关于实数a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()()211,2log 1,2aa x x f x x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义在R 上的减函数， 所以，函数()211y a x =-+在区间(],2-∞上为减函数，函数()log 1a y x a =-+在区间()2,+∞上为减函数，且有()2211log 1a a a -+≥+，即2100141a a a a-<⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，解得1132a ≤<.因此，实数a 的取值范围是11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知平面向量a ，b 满足(1,3)a =-，1b ||=，|2|2a b +=，则a 与b 的夹角为________. 【答案】23π 【解析】由题得||2a =，再对|2|2a b +=平方化简即得解. 【详解】8 由题得||2a =， 因为|2|2a b +=， 所以22+4+4=4a b a b ⋅，所以4+4+421cos ,=4a b ⨯⨯⨯<>， 所以1cos ,=,2a b <>-因为2,[0,],,3a b a b ππ<>∈∴<>=. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查向量的模的计算，考查向量的数量积的运算律和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设函数()222cos 2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，其中e 为自然对数的底数，则2020(1)M m +-的值为________. 【答案】1【解析】函数()()22sin 21x exf x x e π+=++，然后根据奇偶性的性质可求解M m +，然后得出2020(1)M m +-的值.【详解】函数()()()2222222cos sin 22x x e x x e ex f x x e x e πππ⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭==++ ()22sin 21x ex x eπ+=++， 令()()22sin 2x ex g x x e π+=+，则()()()()2222sin 2sin 2x ex x exg x g x x e x e ππ+---===-++， 即()g x 为奇函数，故()()max min 0g x g x +=所以()()max min 112M m g x g x +=+++=，所以()202011M m +-=.9故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的奇偶性及应用，难度一般，灵活转化是关键. 15．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.【答案】4π【解析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD ，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =， 所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==， 故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.三、双空题16．定义在R 上的函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，且(1)f x -为偶函数.（1）已知12log 8a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较大小：a ________b （填＞，＜，≥，≤）；（2）若对一切实数x ，不等式(2sin 1)(sin )f x f x m ->-恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】> (,2)(4,)-∞-⋃+∞【解析】由题意可得()f x 在()1，-+∞上单调递减，可得()1a f =，根据单调性可得结果，将不等式转化为sin 1m x <-或sin 3m x >+恒成立，求出最值可得结果. 【详解】10 ∵(1)f x -为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，又()f x 在(,1)-∞-上单调递增，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵()()12log 831a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，132b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且103221>=， ∴a b >.∵[n 11]si x ∈-，，∴2sin 131[]x -∈-，， ∵对一切实数x ，不等式()()2sin 1sin f x f x m ->-恒成立， ∴sin 1x m ->或sin 3x m -<-，即sin 1m x <-或sin 3m x >+， ∴()min sin 12m x <-=-或()max sin 34m x >+=，∴实数m 的取值范围是()()24-∞-+∞，，， 故答案为：a b >，()()24-∞-+∞，，． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，将抽象函数的恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.四、解答题17．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值． 【答案】（1）()3,1.-（2）1-3）2【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值． 【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.-（2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x ,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得13x =-±,∵13(-3,1)-±∈,∴函数()f x 的零点是13-±（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦,∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦,∴()min log 44a f x ==-, ∴14242a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键． 18．因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难.为了改变现状，该企业欲借助电商和“网红”直播带货扩大销售.受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果.现将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直方图：请根据图中所给数据，求： （1）实数a 的值；（2）该企业网上销售日销售额的众数和中位数； （3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数.【答案】（1）0.012；（2）55万元，57万元；（3）57.4万元. 【解析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a ；（2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值能求出众数的近似值，由频率分布直方图的性质能求出中位数；（3）由频率分布直方图的性质能求出日销售额的平均值. 【详解】（1）由频率分布直方图知：(0.0080.0160.0200.0180.0100.0042)101a ++++++⨯=，解得：0.012a =；（2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值，得众数为55万元；因为第一个小矩形的面积为0.08，第二个小矩形的面积为0.12， 第三个小矩形的面积为0.16，0.080.120.160.36++=，设第四个小矩形中底边的一部分长为x ，则0.0200.50.36x ⨯=-，解得7x =， 所以中位数为50757+=万元； （3）依题意，日销售额的平均值为：250.08350.12450.16550.20650.18750.12850.10950.0457.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数为57.4万元. 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2)cos cos b c A a C -=，1c =.（1）若ABC 的面积S =a 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求b 的取值范围.【答案】（1（2）122b <<. 【解析】（1）利用正弦定理和已知得到3A π=，再由面积和1c =得到4b =，再由余弦定理可得到答案；（2）由（1）得到23B C π=-，再由112sin 2tan 2b R B C ==⋅+，利用角C 的范围得到b 的范围. 【详解】（1）ABC 中，(2)cos cos b c A a C -=由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A C A A C A C B =+=+=∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，0A π<<∴3A π=由1sin 2ABCbc SA ==1c =得4b =， 由余弦定理得：2222cos 13a b c bc A =+-=，∴a =. （2）在ABC 中，3A π=，1c =，设ABC 的外接圆半径为R .∵1c =，∴2sin 1R C =，则12sin R C=∵3A π=，∴23B C π+=，则23B C π=-，21sin sin 113222sin sin sin 2tan 2C C Cb R B C C C π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+∵ABC 为锐角三角形，且3A π=，∴62C ππ<<，则tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴1tan C ∈，∴122b <<. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理对已知进行化简解三角形，注意角的范围. 20．设向量sin ,13m x πω⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2cos 6n x πω⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x m n =⋅，其中03ω<<，已知6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）2ω=，2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为32-【解析】（1）根据数量积的坐标公式可得3()sin 2f x x x ωω=+，然后根据6f π⎛⎫⎪⎝⎭以及ω范围可得ω，最后使用整体法可得函数单调递减区间. （2）根据伸缩平移变换得到()g x ，然后使用整体法以及正弦函数的性质，可得结果. 【详解】 （1）由题可知：3()sin 2cos sin 3622f x x x x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 166ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴()2Z 662k k πππωπ+=+∈∴122k ω=+， ∵03ω<<，∴2ω=，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，则263k x k ππππ+≤≤+， 故()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）()12g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，344x ππ-≤≤，∴23123x πππ-≤-≤，∴sin 1212x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴3212x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭故()f x 的最小值为32-【点睛】本题考查三角函数的性质，审清题意，细心计算，着重对整体法的考查，掌握最基本的三角函数的性质，属中档题.21．2020年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献.荆州市某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有4名、2名、2名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作.现医院根据需要选派2名医生进入隔离病房工作.（1）求选派的2名医生来自同一个科室的概率； （2）求选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生的概率. 【答案】（1）27；（2）1114. 【解析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果； （2）利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】设呼吸科的4名医生分别记为(1,2,3,4)i A i =，急诊科的2名医生分别记为(1,2)j B j =；免疫科的2名医生分别记为(1,2)k C k =.现从这8名医生中选派2名医生，所有的选派方法有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()32,A C ，()41,A B ，()42,A B ，()41,A C ，()42,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()21,B C ，()22,B C ，()12,C C 共28个基本事件（1）记“这2名医生来自同一个科室”为事件A ，它包括：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，()12,B B ，()12,C C 共8个基本事件.因为每一种情况被抽取的可能性都相等，所以由古典概型的概率计算公式可知， 事件A 发生的概率为82()287P A == （2）记“选派的2名医生中至少有1名呼吸科医生为事件B ”，所有的选派方法有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()32,A C ，()41,A B ，()42,A B ，()41,A C ，()42,A C 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖北省荆州中学2021学年高一数学7月双周考试题一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1.已知集合，则满足条件的集合B 的个数为A. 2B. 3C. 4D. 82.已知复数，则A. 0B.C. 1D.3.某学校从高二甲，乙两班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均数为81，则x y +的值是（）A ．5 B.7 C.8 D.9 4.函数在[]ππ，-的图象大致为A. B.C. D.5.在三角形ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ） A. b=10, A=450, C=600B. a =6, c=5, B=60C. a =7, b=5, A=600D. a =14, b=16, A=4506.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程错误!未找到引用源。
，其中错误!未找到引用源。
，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ． 11.4 万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 7. 已知{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，平面内三个不共线向量OA 、OB 、OC ，满足a a 200417)3(+-=，若点,,A B C 在一条直线上，则=2020S （ ）收入错误!未找到引用源。
（万元） 8.2 8.6 10.0 11.311.9支出错误!未找到引用源。
（万元）6.27.58.08.59.8A. 2021B. 2022C. 4040D. 40428. 以下说法中，正确的个数是（ ）①平面α内有一条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ②平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ③平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ④平面α内任意一条直线和平面β都无公共点，那么这两个平面平行 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D ．3个9. 现要用篱笆围成一个面积为S 扇形菜园（如图所示），问要使这个菜园所用篱笆最短，则这个扇形的半径和圆心角各为（ ） A ．S 和1B ．2S 和2C ．S 和2D ．2S 和110.在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是( )A ．103 B ．25C ．21D ．53 11.函数321(),().212x F x x x -=≠-则）（20202019)20202()20201(F F F +++ 的值为( ) A ． 3027 B ．26057 C ．26059D ．202112.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为A. 3B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值是 . 14.已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，，则的值为____15.已知函数的最大值为3，的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则______．16.已知函数[] 0,()(1) 0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩≥,其中[]x 表示不超过x 的最大整数(如[ 1.1]2-=-，[π]3=，…).则函数()y f x =与函数3log y x =的图象交点个数是 .Rα三、解答题（本大题共6小题，共70分）62)(已知函数17.2+=x x x f(1) 若()f x k >的解集为{32}x x x <->-或，求k 的值； (2) 对任意0,()x f x t >≤恒成立，求t 的取值范围。
18.已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．19.我校新校区为调研学生在食堂A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B 餐厅分数的频数分布表：（1）.在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）．由A 餐厅的频率分布直方图，求同学们对食堂的评价的平均得分的估计值； （3）.求B 餐厅的中位数的估计值。
20.如图已知四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 面⊥，底面ABCD 是矩形，1,3===PA AD AB ，且点E 在CD 上移动，点F 是PD 的中点.（1）当点E 为CD 的中点时，求证EF ∥平面PAC ， （2）求证：AF PE ⊥。
（3）在线段CD 上是否存在点E ，使得直线EF 与底面ABCD 所成的角为030，若存在，求出DE 的长度，若不存在，请说明理由.21.已知数列{}n a 的前n 项和n n s n 222+=，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且满足311+=b a ，3211()b a a b -=．（1）求数列}{}{n n b a 和的通项公式；（2）设n n n b a b a b a b a T ++++= 332211，求证：16<n T22.已知()f x 在(1,1)-上有定义，1()12f =，且满足,(1,1)x y ∈-时，有()()()1x yf x f y f xy--=-.数列{}n x 满足112x =，1221n n n x x x +=+. （1）求(0)f 的值，并证明()f x 在(1,1)-上是奇函数； （2）探索1()n f x +与()n f x 的关系式，并求()n f x 的表达式； （3）是否存在自然数m ，使得对于任意*n N ∈121118()()()4n m f x f x f x -++⋅⋅⋅+>恒成立？若存在，求出m 的最大值，不存在，说明理由.PABCDEF2021年荆州中学高一7月月考数学试题答案和解析一．选择题 ：CBDAD, BCBCD, AB 二．填空题：13.18 14..-3 15.3 16.4 三．解答题:17. 解：(1) 2()260f x k kx x k >⇒-+<,由{32}x x x <->-或是其解集，得2260kx x k -+=的两根是3,2--。
由根与系数的关系可知2(2)(3),k -+-=即25k =-. ............5分 （2）2220,()66xx f x x x x>==≤=++，当且仅当x =()f x t ≤对任意0x >恒成立，故t ≥，即t的取值范围是)+∞。
................10分18.（1）由题意，()f x．而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+． ................2分()f x 为递减函数，则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤ ()k ∈Z ，即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ．所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ................6分（2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得32=23sin sin 60c R C ==．化简ππ()()sin 44f A fB A B -+-=，得sin sin sin A B A B +=． ............8分由正弦定理，得()2R a b +=，a b +=． ①由余弦定理，得229a b ab +-=，即()2390a b ab +--=． ② ................10分将①式代入②，得()22390ab ab --=．解得3ab =，或 32ab =-（舍去）．1sin 2S ab C ∴==。
................12分19.(1)20人， （2）41.9分 （3）46.25分.20.．解：（Ⅰ）∵点E 、F 分别为CD 、PD 的中点∴EF ∥PC,又PAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄∴EF ∥平面PAC ................2分 （Ⅱ）∵ABCD PA 面⊥，∴AD PA ⊥，1==PA AD ，点F 是PD 的中点∴PD AF ⊥ABCD PA 面⊥,∴CD PA ⊥，又底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥，而A AD PA =⋂,PAD CD 平面⊥，故AF CD ⊥，又D CD PD =⋂ ∴PCD AF 平面⊥,即PE AF ⊥ ................6分 （Ⅲ）假设存在满足要求的点E ，则取AD 的中点G 连接FG 、EG ， FG∥PA，ABCD PA 面⊥，∴ABCD FG 面⊥ ∴∠FGE 即为EF 与平面ABCD 所成的角，故∠FGE=030 在RT⊿EFG 中，21=FG ,∠FGE=030,∴2330tan 0==FG EG 在RT⊿DEG 中，21=DG ,23=EG ∴ 2222=-=DG EG DE∵322<=DE 所以存在满足要求的点E ，使得直线EF 与底面所成的角为030，此时22=DE .............12分21.解：（Ⅰ）数列{n a }的前n 项和，n n s n 222+=)2,(4*1≥∈=-=-n N n n s s a n n n又411==s a ，适合上式 ∴数列{}n a 的通项公式为)(4*N n n a n ∈=}{n b 数列 是正项等比数列，41,4,1331211=∴=-=-=b a a a b ，∴公比21=q ， 则数列11{}(2n n n b b n -=∈的通项公式为N *）． ................6分（Ⅱ）∵n a n 4=，121-=n n b∴]212132121[412332211-⋅+⋅+⋅+=++++=n n n n n b a b a b a b a T ∴]2121)1(212211[42112n n n n n T ⋅+⋅-+++⋅+⋅=⋅- n nn n n n n T 2142112114]21)2121211[(42112⋅---⋅=⋅-+++++=⋅- ∴1621)816(16<⋅+-==n n n T ................12分22.（1）令0,0x y == 则(0)(0)0(0)0f f f -=∴=令0,x y x ==- 则()()f x f x --= ()f x ∴在(1,1)-上是奇函数 ................4分 （2）1221n n n x x x +=+又112x = {}n x ∴中不存在零项且各项均大于0 0n x >， 212nn x x ∴+≥，12211n nxx x +∴=≤+ 101n x +∴<≤ (0.1]n x ∴∈ 又12()11()n n n n n n n x x x x x x x +--==+-- 1()()()2()n n n n f x f x f x f x +∴=--= 1()1f x ={}()n f x ∴是以1为首项，2为公比等比数列11()122n n n f x --∴=⨯= ................8分（3）10111211111112()()()()2222n n n f x f x f x --+++=+++=- 1182()24n m ---> 对*n N ∈恒成立，则31162n m -<-对*n N ∈恒成立令331()161622nn g n --=+=-，易知()g n 为其定义域上的增函数max ()(1)12g n g ∴==，12m ∴< 又m 为自然数，m ∴的最大值为11. ................12分。