等比数列典型例题及详细解答

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －

1. 3．等比中项

若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －

m (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .

(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·

b n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n b n 仍是等比数列．

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .

6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )

(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )

(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n

，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )

1－a

.( × )

(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )

1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C

解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.

3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C

解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.

4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n －1

解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝8，a 4

＝1，又∵数列{a n }为递增数列，

∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2

＝2n

－1.

5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

答案 27,81

解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.

题型一 等比数列基本量的运算

例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )

A.152

B.314

C.334

D.172

(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4

解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1

＝9q ＝－13(舍去)，

∴S 5＝a 1(1－q 5)

1－q

＝4(1－1

25)

1－12

＝31

4.

(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，

即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1

2

.

所以⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝1，

q ＝2，或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝－16，q ＝1

2

.

故a 3＝4或a 3＝－4.

思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5

a 7

等于( )