勾股定理与距离公式

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两点之间距离公式初中

两点之间距离公式初中
在初中数学中，我们学习了两点之间距离的计算方法，它是根据勾股定理来推导的。

这个公式可以用于计算平面上任意两点之间的距离。

设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要计算这两点之间的距离d。

首先，我们可以根据勾股定理，得出两点之间的距离d的平方等于两点在水平和垂直方向上的距离差的平方之和。

d^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
然后，我们可以将这个式子开方，得出两点之间的距离d的公式。

d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
这个公式就是我们计算两点之间距离的基本公式。

通过这个公式，我们可以解决平面几何中的一些实际问题。

例如，求两点之间的最短距离，可以利用这个公式进行计算。

举个例子，假设有一个平面上的点A(3,4)和点B(7,2)，我们可以利用上述公式计算出AB两点之间的距离。

根据公式，我们可以得出：
d=√((7-3)^2+(2-4)^2)
=√(4^2+(-2)^2)
=√(16+4)
=√20
≈4.472
所以，点A和点B之间的距离约为4.472个单位。

正如以上例子所示，利用两点之间距离的公式，我们可以计算平面上
任意两点之间的距离。

此外，这个公式也可以推广到三维空间，用于计算
三维空间中两点之间的距离。

总结起来，两点之间距离的公式是通过勾股定理推导而来的，可以用
于计算平面上任意两点之间的距离。

在初中数学中，学习并应用这个公式，能够解决一些与平面几何相关的实际问题。

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。

勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。

勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。

例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。

解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。

解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。

例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。

坐标平面距离计算公式

坐标平面距离计算公式在坐标平面上，两点间的距离可以使用距离公式来计算。

距离公式是基于勾股定理得出的。

假设有坐标平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要计算它们之间的距离d。

可以使用以下的公式来计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)公式中的√表示开方运算，(x2-x1)²表示x2-x1的平方，(y2-y1)²表示y2-y1的平方。

这个公式的由来可以通过勾股定理来解释。

勾股定理规定，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在坐标平面上，A点和B点构成的直角三角形的斜边就是距离d。

横坐标的差值(x2-x1)可以作为直角边，纵坐标的差值(y2-y1)也可以作为直角边，所以可以利用勾股定理来计算距离。

考虑一个简单的例子，假设A点的坐标是(1,2)，B点的坐标是(4,6)。

我们可以将这些值代入距离公式来计算两点之间的距离：d=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√(25)=5所以，点A和点B之间的距离是5使用距离公式可以计算任意两个点之间的距离。

这个公式在很多领域都有应用，包括几何学、物理学、计算机图形学等。

需要注意的是，距离公式只适用于二维坐标平面上的点。

在三维空间中，距离的计算涉及到3个坐标轴的数值差值的平方和的开方，其计算公式不同于二维情况。

综上所述，坐标平面上两点的距离计算公式是：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以帮助我们计算任意两个点之间在坐标平面上的距离。

距离的公式高考知识点

距离的公式高考知识点距离的公式在数学中，距离是一个基本的概念，用来描述物体之间的间隔或者空间中的位置。

在解决问题时，我们经常需要计算距离。

而计算距离的核心就是掌握距离的公式。

在高考中，距离的公式也是一个重要的知识点。

本文将介绍一些常见的距离公式及其应用。

第一种常见的距离公式是直线距离的计算公式。

直线距离是两点之间的最短路径长度。

假设在平面上有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么它们之间的直线距离可以使用勾股定理来计算，即：AB = √((x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²)。

这个公式可以应用于各种问题，比如计算城市之间的最短路程，或者计算两个物体之间的间隔。

第二种距离公式是三维空间中的直线距离的计算公式。

在三维空间中，我们可以用(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)表示两点的坐标。

根据勾股定理的拓展，我们可以使用三维欧氏距离公式来计算这两点之间的距离，即：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。

这个公式在计算物体间的三维位移或者空间距离时非常有用。

除了直线距离公式，我们还需要掌握其他类型的距离公式。

例如，切线距离是指一条直线与一个曲线之间的距离。

假设给定一个曲线的方程为y=f(x)，我们想要在点P(x₀, y₀)处找到与曲线切线相切的直线。

这条直线与曲线之间的切线距离可以使用以下公式来计算：d = |f(x₀) - y₀| / √(1 + (f'(x₀))²)，其中f'(x₀)表示曲线在点P处的导数。

这个公式在计算切线距离时非常有用，可以帮助我们了解在给定一条曲线的情况下，点到曲线的最短距离。

此外，我们还有其他形式的距离公式，比如曼哈顿距离和闵可夫斯基距离。

曼哈顿距离是在网格上计算两点之间的距离时常用的距离度量方式。

它简单地定义为两点横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值，即：d = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|。

配对问题公式

配对问题公式
配对问题是指在一组数据中，找出符合特定条件的成对数据。

在解决配对问题时，通常需要使用一些公式和算法，下面介绍几种常用的配对问题公式：
1. 欧几里得距离公式：用于计算两个点之间的距离，即勾股定理。

公式为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

2. 皮尔逊相关系数公式：用于衡量两个变量之间的线性关系强度，范围在-1到1之间。

公式为：r = (Σ((x-μx)(y-μy)))/(sqrt(Σ(x-μx)^2)*sqrt(Σ(y-μy)^2))。

3. 曼哈顿距离公式：用于计算两个点之间在网格状结构中的距离，即各条边上的距离之和。

公式为：d = |x2-x1| + |y2-y1|。

4. Jaccard相似系数公式：用于比较两个集合的相似性，范围在0到1之间。

公式为：J(A,B) = |A∩B| / |A∪B|。

5. 汉明距离公式：用于计算两个字符串之间的差异度，即需要修改的最小位数。

公式为：d = Σ(xi ≠ yi)。

以上是几种常用的配对问题公式，可以根据具体场景选择合适的公式来解决问题。

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沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义

2、线段的中点公式
点，之间所连线段的中点坐标为（，）
公式对于和两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在中，那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得或，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在轴上，那么可设B的坐标为（0，）
，解得或，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（）
，解得或，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与轴的距离等于1，则点B在与轴平行且分布在轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1，）和（-1，）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为（为正整数），显然最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解：联结AC
在Rt 中，因为，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在中，AC=15，AD=8，CD=17
而，即
所以为直角三角形，且（勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且

勾股定理及两点间的距离公式

模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、逆定理：（1）如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2）在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】下列命题中是假命题的是（）A ．在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】（1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】（1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1）若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2）若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1）当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2）当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】已知点A （2，2）、B （5，1）．（1）求A 、B 两点间的距离；（2）在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】（1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长．【习题9】已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________；（2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。

沪科版八年级下册数学-18.1勾股定理1——两点之间的距离公式-课件(共19张PPT)

x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形，求y

最短距离公式

最短距离公式最短距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算两个点之间的最短距离。

在实际生活中，最短距离公式被广泛应用于地图导航、工程设计、运输物流等领域。

本文将对最短距离公式的原理、应用和优化进行详细介绍。

一、最短距离公式的原理最短距离公式是基于勾股定理的推导而来的。

勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

根据勾股定理，我们可以得出最短距离公式的基本形式：d = √((x2-x1) + (y2-y1))其中，d表示两点之间的最短距离，x1和y1分别表示第一个点的横纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横纵坐标。

最短距离公式的原理就是通过勾股定理计算出两点之间的距离。

二、最短距离公式的应用1.地图导航地图导航是最短距离公式的常见应用之一。

在地图上，我们可以将地点的坐标表示为经纬度或平面直角坐标系中的坐标，通过最短距离公式计算两个地点之间的距离，从而确定最短路径。

地图导航软件如高德地图、百度地图等都是基于最短距离公式实现的。

2.工程设计在工程设计中，最短距离公式可以用来计算两个点之间的距离，从而确定物体的大小、位置、形状等参数。

例如，在建筑设计中，可以利用最短距离公式计算出建筑物的高度、宽度、长度等参数；在机械设计中，可以利用最短距离公式计算出机械零件之间的距离，从而确定机械的尺寸和形状。

3.运输物流在运输物流中，最短距离公式可以用来计算货物的运输距离、时间和成本。

例如，在物流配送中，可以利用最短距离公式计算出配送点之间的距离，从而确定最短路径和最优配送方案；在货物运输中，可以利用最短距离公式计算出货物的运输距离和时间，从而确定运输成本和时间。

三、最短距离公式的优化最短距离公式的计算量较大，特别是在大规模数据的情况下。

为了提高计算效率，可以采用以下优化技术：1.分段计算将距离的计算分成多个步骤，每次计算两个点之间的距离，然后将这些距离相加得到总距离。

这种方法可以避免单次计算量过大，提高计算效率。

平面内两点间的距离公式

平面内两点间的距离公式在平面几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。

而平面内两点间的距离公式就是用来计算这个距离的工具。

在这篇文章中，我们将详细介绍平面内两点间的距离公式及其应用。

平面内两点间的距离公式可以用来计算两个点之间的直线距离。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，d表示两点之间的距离。

这个公式是根据勾股定理推导出来的。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

在平面几何中，我们可以将两点之间的距离看作是一个直角三角形的斜边，而两个点的坐标差值则可以表示直角边的长度。

这个距离公式在实际应用中非常常见。

比如，在地图上寻找最短路径时，我们可以通过计算两个地点之间的距离来确定最优路径。

又或者，在建筑设计中，我们可以使用这个公式来计算建筑物之间的距离，以便合理规划空间布局。

总之，平面内两点间的距离公式在各个领域都有着广泛的应用。

除了直线距离，我们还可以通过平面内两点间的距离公式来计算其他类型的距离。

例如，如果我们想计算两点之间的曲线距离，可以先将曲线分成若干小段，然后对每一小段分别计算距离，最后将所有小段距离相加。

这样就可以近似地计算出两点之间的曲线距离。

平面内两点间的距离公式还可以扩展到更高维度的空间中。

例如，在三维空间中，我们可以根据两点的坐标计算它们之间的距离。

公式形式与平面内两点间的距离公式类似，只是将平方和的维度增加到三维。

总结一下，平面内两点间的距离公式是一个非常有用的工具，可以用来计算两点之间的直线距离。

它可以应用于各个领域，帮助我们解决实际问题。

我们可以根据具体情况将这个公式进行扩展，以适应不同类型的距离计算。

通过深入理解和应用这个公式，我们可以更好地利用平面几何知识，提高问题解决能力。

点跟点的距离公式

点跟点的距离公式在数学中，点与点之间的距离可以通过距离公式来计算。

对于平面坐标系中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式来表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中，d表示点A和点B之间的距离。

这个公式的推导可以通过勾股定理来得到。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。

在平面坐标系中，我们可以将点A和点B连接起来，得到一个直角三角形。

点A和点B之间的距离就是这个直角三角形的斜边长度，也就是公式中的d。

在三维空间中，点与点之间的距离公式稍有不同。

设点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以用以下公式来表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]同样地，这个公式也可以通过勾股定理来推导。

我们可以将点A和点B连接起来，得到一个空间直角三角形。

点A和点B之间的距离就是这个空间直角三角形的斜边长度。

除了平面坐标系和三维空间中的距离公式，我们还可以通过其他坐标系下的公式来计算点与点之间的距离。

例如，极坐标系中的点与点之间的距离可以用以下公式来表示：d = √[r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1)]其中，r1和r2分别表示两个点的极径，θ1和θ2分别表示两个点的极角。

这个公式同样可以通过勾股定理来推导。

除了上述提到的坐标系，我们还可以根据具体情况，选择合适的坐标系来计算点与点之间的距离。

不同的坐标系可能会有不同的距离公式，但它们的本质都是基于勾股定理的推导。

在实际应用中，点与点之间的距离公式被广泛应用于各个领域。

例如，在地理学中，可以通过经纬度坐标系来计算两个地点之间的距离；在计算机图形学中，可以通过屏幕坐标系来计算两个像素点之间的距离。

距离公式的应用范围非常广泛，为我们提供了便捷的计算方法。

初中两点间距离公式绝对值

初中两点间距离公式绝对值在初中数学中，我们经常需要计算两点之间的距离。

而在计算距离的过程中，我们经常使用到绝对值概念。

本文将介绍初中数学中两点间距离的公式，并详细解释绝对值的作用。

两点间距离公式在平面直角坐标系中，假设有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们希望计算出这两个点之间的距离。

根据勾股定理，两点间的距离可以使用直角三角形的斜边长度来表示。

假设直角三角形的直角边分别为Δx和Δy，则斜边的长度即为两点间的距离。

通过平面直角坐标系可以很容易地得到Δx和Δy：Δx = x₂ - x₁ Δy = y₂ - y₁将Δx和Δy代入勾股定理的公式中，得到两点间的距离公式：距离= √(Δx² + Δy²)绝对值的作用在上述公式中，我们使用了绝对值来确保Δx和Δy的值始终为正。

绝对值是数学中一个重要的概念，它表示一个数到0的距离，即该数与0的差的绝对值。

在两点间距离公式中，我们需要计算Δx和Δy的差值。

Δx和Δy都代表了两个点在x轴和y轴上的坐标差。

而由于坐标差可能为正也可能为负，我们需要对其取绝对值。

以Δx为例，如果Δx = x₂ - x₁ > 0，则表示B点的x坐标大于A点的x坐标，即B点在A点的右侧；如果Δx = x₂ - x₁ < 0，则表示B点的x坐标小于A点的x 坐标，即B点在A点的左侧。

同样地，Δy的正负表示了B点相对于A点在y轴上的位置关系。

通过取绝对值，我们可以确保Δx和Δy的值始终为正数，这样才能保证距离公式计算出来的距离是正确的。

示例问题现在，我们通过一个实际例子来应用两点间距离公式。

假设有两个点A(3, 4)和B(7, 1)，我们希望计算出这两个点之间的距离。

根据公式，我们可以先计算出Δx和Δy的值：Δx = 7 - 3 = 4 Δy = 1 - 4 = -3由于Δy为负数，我们需要对其取绝对值得到正数，即Δy = |Δy| = |-3| = 3。

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式在平面直角坐标系中，有两个常用的公式，分别是距离公式和中点公式。

这些公式用于计算平面上两点之间的距离和两点的中点坐标。

1.距离公式：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。

假设有平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则两点之间的距离为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过将两点的坐标差值平方相加，再开平方来计算出两点之间的距离。

例如，有两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

2.中点公式：在平面直角坐标系中，给定两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，可以使用中点公式来计算这两点的中点坐标。

中点是连接两个点的线段的中心点，它的坐标可以通过坐标平均值来计算。

中点坐标的x坐标为两个点的x坐标之和的一半；中点坐标的y坐标为两个点的y坐标之和的一半。

中点的x坐标：x=(x1+x2)/2中点的y坐标：y=(y1+y2)/2例如，给定两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用中点公式来计算它们之间的中点坐标：x=(2+5)/2=7/2=3.5y=(3+7)/2=10/2=5因此，点A和点B之间的中点坐标为P(3.5,5)。

中点公式可以用于计算线段的中点坐标，并且在几何学和数学中经常被使用。

距离公式和中点公式在平面直角坐标系中具有广泛的应用。

它们可以用于解决几何问题，例如计算两点之间的距离或线段的中点。

另外，它们也可以扩展到三维坐标系中，并用于计算空间中两点之间的距离和中点坐标。

除了在数学和几何学中的应用，距离公式和中点公式在计算机图形学和计算机视觉等领域也有重要的应用。

在这些领域中，这些公式用于计算物体之间的距离、图像边界的中点等。

19-勾股定理及两点的距离公式 - 学生版

教师姓名学生姓名年级上课时间学科数学课题名称勾股定理及两点的距离公式待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．知识点二：两点的距离公式（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = 222121()()x x y y -+-．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．Ⅱ知识精析一.勾股定理（一）典例分析.学一学例1-1利用222c b a =+求未知边在一直角三角形中有两边长分别是3.4，则其第三边长为例1-2勾股数的考察（345、51213、81517、72425）下面四组数中是勾股数的有（）．（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例1-3直角三角形的判定问题已知：在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a.b.c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c . 试判断△ABC 的形状.例1-4面积问题已知：如图，已知∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求：四边形ABCD 的面积.AB CD例1-5折叠问题如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.例1-6最短路程问题一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm.宽为1cm.高为4cm .例1-7实际问题如图，一个梯子AB =5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为1m ，则梯子顶端A 下落了多少m ?例1-8思维发散在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.（二）限时巩固，练一练1．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是________________．2．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为D ˊ ABCD A ˊB ˊC ˊ_______________．3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 4.若△ABC的三边a.b.c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状.5.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.7.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行__________________厘米（用根号表示）8.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米?9.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2 S1=1 2（2）2+1=3 S2=2 2（3）2+4=5 S3=3 2（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．二.两点的距离公式（一）典例分析.学一学例2-1（1）求A(-1,3).B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．例2-2已知三角形ABC的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C-，试判断ABC∆的形状．例2-3已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．例2-4已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离； ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离； ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0 ()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是． 4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．※三.延伸拓展：对称性问题（选讲）（一）典例分析，学一学例3-1已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．例3-2一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1．点(-1,2)关于直线x +y -3=0的对称点的坐标为( )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x -y -2=0关于x 轴对称的直线方程为．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，求2222(2)2(8)4x x -++-+的最小值．Ⅲ课堂测评一.填空题.1.如果直角三角形的边长分别是6.8.x ，则x 的取值范围是 .2.如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ .第2题图13125DCBA第3题图DCB A第5题图DCB A3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ .4.等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ .5.如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 .6.已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ .7.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC.BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E.F 分别为CO.AB 的中点，则EF ＝ .第7题图 FEODC BA第8题图 EQPDCBA第9题图 DC BA8.如图，点D.E 是等边△ABC 的BC.AC 上的点，且CD ＝AE ，AD.BE 相交于P 点，BQ ⊥AD .已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ .9.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A.B.C.D 的面积的和是 .二.选择题1.如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确2.如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3.在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（） A.大于900 B.小于900 C.等于900 D.不能确定第1题图S R Q PCBA第4题图OCBA4.如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠O AB 的度数为（） A.100 B.150 C.200 D.250 三.解答题1.阅读下面的解题过程：已知a .b .c 为△ABC 的三边，且满足42222a c b c a =-4b -，试判断△ABC 的形状.解：∵42222a c b c a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b ac -+=-……② ∴222c b a =+……③ ∴△ABC 是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）错误的原因是；（3）本题的正确结论是 . 2.已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长.3.如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G . （1）求证：G 是CE 的中点；（2）∠B ＝2∠BCE .第3题图G E D CB A4.已知△ABC 的两边AB.AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积.Ⅳ 回顾总结1.勾股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？2.两点的距离公式及中点坐标公式思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为222121()()x x y y -+-，线段12PP 中点坐标为1212(,)22x x y y ++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.Ⅴ 课后巩固1．已知△ABC 中，∠A =12∠B =13∠C ，则它的三条边之比为（）． A ．1：1：2 B ．1：3：2 C ．1：2：3 D ．1：4：1111222(,),(,)P x y P x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++ 22122121()()PP x x y y =-+-2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．52B．3 C．322+D．332+3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2B．23cm2C．33cm2D．4cm26．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22D．107．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．5B．3C．1 D．1 28．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．1859．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•求CN的长10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．.。