高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结
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恒成立问题中含参范围的求解策略
数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化
1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,
则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.
例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,
=2 ,所以a>2
2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取
值范围.问题还是转化为函数求最值.
例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)
>0恒成立,求a 的取值范围.
解 令
=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为
<
,要使上式在t ∈(0 ,2]
上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==
+=
− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[
) ∴
=f(2)=
∴< , ∴− 例3 设c b a >>且 c a m c b 1b a 1-≥ -+-恒成立，求实数m 的取值范围。 解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a ( .4c b b a b a c b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。 二、数形结合——直观化 对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。 例4 设])1k 2,1k 2(I ,I x ()k 2x ()x (f k k 2+-∈-=表示区间，对于任意正整数k ，直线ax y =与)x (f 恒有两个不同的交点，求实数a 的取值范围。 解析：作出2)k 2x ()x (f -=在区间]1k 2,1k 2(+-上的图像，由图像知，直线ax y =只能绕原点O 从x 正半轴旋转到过点)1,1k 2(A +的范围，直线AO 的斜率为,1 k 21 01k 201+=-+-于是实数a 的取值范围 是.1 k 21 a 0+≤ < 例5、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2 范围。 分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数， 图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 解：设y 1=(x-1)2 ,y 2=log a x,则y 1的图象为右图所示的抛物线， 要使对一切x ∈(1,2),y 1 时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。