高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

二、数形结合——直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。

例4 设])1k 2,1k 2(I ,I x ()k 2x ()x (f k k 2+-∈-=表示区间，对于任意正整数k ，直线ax y =与)x (f 恒有两个不同的交点，求实数a 的取值范围。

解析：作出2)k 2x ()x (f -=在区间]1k 2,1k 2(+-上的图像，由图像知，直线ax y =只能绕原点O 从x 正半轴旋转到过点)1,1k 2(A +的范围，直线AO 的斜率为,1k 2101k 201+=-+-于是实数a 的取值范围是.1k 21a 0+≤<例5、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

解：设y 1=(x-1)2,y 2=log a x,则y 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),y 1<y 2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。

故log a 2>1,a>1,∴1<a ≤2.数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围。

解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23y x =和log a y x =观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若1a >函数log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立；当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或在这个点的上方，则，11log 33a ≥ 127a ∴≥1127a ∴>≥ 综上得：1127a >≥三、变更主元——简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。

例7对于满足≤2的所有实数p,求使不等式恒成立的x 的取值范围. 分析:在不等式出现了两个字母x 及p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将p 视作自变量,则上述问题可转化为在[-2 ,2]内关于p 的一次函数大于0恒成立问题.解:原不等式可化为(x −1)p+−2x+1>0 .设f(p)= (x −1)p+−2x+1,则 f(p)在[−2 ,2] 上恒大于0,故有 即解得例8对于]1,1[a -∈，不等式1a x 2axx 21212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛恒成立，求实数x 的取值范围。

解析：不等式⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-++1a x 2axx 21212不等式1a x 2ax x 2-+>+即)1x (a )1x (2-->-对于]1,1[a -∈恒成立。

记2)1x ()1x (a )a (f -+-=，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］内恒为正的x 应满足的条件。

由⎩⎨⎧>>-0)1(f 0)1(f 得 0x 0)1x ()1x (0)1x ()1x (22<⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+->---或.2x > 故实数x 的取值范围是 ).,2()0,(+∞-∞x yo 1 2y 1=(x-1)2 y 2=log a x恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上三种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。

四、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有10)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 20)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例9．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例10．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

五、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73a ∴≤又4a >所以a 不存在； （2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤（3） 当22a-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-综上所得：72a -≤≤六、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

例5、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩3a ∴≥（2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤综上所得：103a <≤或3a ≥易混题㈠、能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B<.例1、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >）例2、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥ 例3、已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a . 若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；分析及解只研究第（I ）问.x ax x x h b 221ln )(,22--==时， 则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解.由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立,即x x a 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min>成立,其中()xx x u 212-=. 由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1例4、不等式220kx k +-<有解，求k 的取值范围。