九年级数学热点专题五 图形与变换、图形与坐标

热点专题五图形与变换、图形与坐标

【考点聚焦】

本专题包括“图形与变换”、“图形与坐标”两块内容，通过对近几年各地的中考试题的研究发现，对有关图形的轴对称、平移、旋转、相似、图形与坐标等知识点的考查呈发展趋势，题型以选择、填空、作图、解答等多面孔出现．

1．图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；能利用轴对称进行图案设计．

2．图形的平移：通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；能按要求作出简单平面图形平移后的图形；利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．

3．图形的旋转：通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

4．图形的相似：了解比例的基本性质，能通过具体实例了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质；了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；了解图形的位似；利用相似解决一些实际问题；通过实例认识锐角三角函数；运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题．

5．图形与坐标：认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化，灵活运用不同的方式确定物体的位置．

热点1：轴对称图形和中心对称图形的识别

例1（2008郴州）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

分析：把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转180 后能与自身重合，则该图形为中心对称图形，因此，可知

（C）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B）、（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

解：选（A）．

点评：判断一个已知图形是不是轴对称图形或中心对称图形的关键是能否找到对称轴或对称中心，另外对于一些常见的几何图形要能对其对称性正确作出判断，而且要能掌握它的对称轴．对称中心分别是哪些直线和什么样的点，轴对称是中学数学的一个重要内容，也是中考的重要考点之一．

热点2：利用图形变换的知识求作图形、设计图案等问题

例2（2008长沙）如图1是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：

（1）作出关于直线AB 的轴对称图形；

（2）将你画出的部分连同原图形绕点O 逆时针旋转90

；

（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．

分析：本题综合考查了图形变换的几个知识点．无论作轴对称图形，还是旋转作图，画出关键点变化以后的位置，再连线，是解决这类问题的基本方法．

解：略．

点评：本题立意新颖，综合性强，将图形变换知识的考查趣味化，解题的关键是认真审题，发现规律．利用平移与旋转来设计图案，实质上也是平移与旋转的特征的应用．

热点3：图形与坐标知识，建立适当的直角坐标系描述物体的位置、图形的变换与坐标的变化、用不同的方式确定物体的位置

例 3 （2008岳阳）如图2，在一个1010 的正方形DEFG 网格中有一个ABC △．

（1）在网格中画出ABC △向下平移3个单位得到的222A B C △；

（2）在网格中画出ABC △绕Ｃ点逆时针方向旋转90

得到的222A B C △；

（3）若以EF 所在直线为x 轴，ED 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，写出1A ，2A 两点的坐标．

分析：在坐标平面内描出相应的点，是基本的教学目标，是画好图象的基础和前提，千万不可小视．

解：（1）、（2）见图；（3）1(82)A ，，2(49)A ，，

点评：图形与坐标的考查淡化了坐标的代数性质，强调了坐标与图形的联系，形式多样，一般不难．一般以作图题题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征．

热点4：突出“双基”，灵活考查相似三角形的判定

例4 （2008永州）如图3，添上条件：____________，则

ABC ADE △∽△．

解：BC DE ∥或ABC ADE ∠=∠或AB AC AD AE

=等． 分析：这类考题题干简单，但是要求同学具备一定的探究能力，注意观察图形，还要对相似三角形的判定条件能够熟练掌握才能顺利答题，这类考题是基础型考题．

热点5：相似三角形与圆当中的有关知识结合，灵活运用三角形相似解题．

例5 （2008张家界）如图4，已知AB 为圆O 的弦（非直径），E

为AB 的中点，EO 的延长线交圆于点C ，CD AB ∥，且交AO 的延长

线于点D ，:1:2EO OC =，4CD =，求圆O 的半径．

分析：本考题先利用三角形相似求一边长，又利用直角三角形的勾股

定理求半径．

解：∵E 是AB 的中点，∴OE AB ⊥，即90AEO ∠= ，

∵AB CD ∥，∴90OCD ∠= ．

∵AOE DOC ∠=∠，∴AOE DOC △∽△，

∴::1:2AE DC OE OC ==，∴122

AE CD ==， 又∵2OA OC OE ==，而222AE OE OA +=，

224(2)OE OE +=，OE =，

圆O 的半径22OA OE === 点评：转化的思想方法是数学的基本思想方法之一，圆当中求关于弦、半径等问题时，通常要转化到三角形当中来计算．

热点6：相似三角形与函数的有关知识结合，利用三角形相似相关性质解题． 例6 （2008常德）把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF

的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠= ，

45C F ∠=∠= ，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．

（1）如图5，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此