数模第一次作业

数模第一次作业

姓名（学号）杜永志（********）蔡国栋（********）学院理学院

老师穆学文

问题1:

如果在食饵----捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点。

问题2: 恶狼追兔问题.

设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西100m处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60m处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。问兔子能否安全回到巢穴。

问题3: （2007年全国数模竞赛a 题）

利用雷斯利模型（Leslie）研究中国未来的人口发展状况。

该问题添加了“捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获”这一条件，这里将捕食者看做鲨鱼，食饵看成食用鱼，按其体积大小分为“大鱼”和“小鱼”2类，研究大鱼，小鱼以及鲨鱼三者的稳定性。

符号说明

问题分析

对大鱼而言，小鱼成长使得其增长率变大，比例系数为r2，与小鱼数量x2有关；被鲨鱼捕食增长率变小，减小的程度与捕食者数量成正比,系数为a。于是x1(t)满足方程 x1’(t)=r2x2-ax1y (1) 对小鱼而言，小鱼成长使得其增长率变小，比例系数为r2，与小鱼数量x2有关；大鱼产小鱼使得增长率变大，比例系数为r1，与大鱼数量x1有关。于是x2(t)满足方程 x2’(t)=r1x1-r2x2 (2) 对鲨鱼而言，大鱼的存在使得其增长率变大，变大的程度与大鱼数量成正比，系数为b；鲨鱼离开食饵无法生存，死亡率为d。于是y(t)满足方程

y’(t)=bx1y-dy (3) 以上三式就是自然环境下，大鱼小鱼以及鲨鱼三者之间依存和制约的关系。

令三式右端为零，得到方程组，并把（1）（2）式得到的方程相加的

r1x1-ax1y=0 (4)

与（3）式得到的方程 bx1y-dy=0 (5) 构成方程组解得两个平衡点：

P1（0,0,0） P2（d/b,r1d/r2b,r1/a）(按照（x1,x2,y）排列)

然后按照Volterra食饵-捕食者模型中的相轨线分析方法分析x1(t) ,y(t)在P1，P2点的稳定性，把x1(t)的结果代入（2）式即得到x2(t)的稳定性，综合x1(t),x2(t),y(t)即得到成年食饵，未成年食饵和捕食者三者的稳定性关系

解：设兔子速度为v, 则狼得速度为2v, 兔子安全回到巢穴得时间为t1=60/v

狼到兔子巢穴的最短距离为(60^2+100^2)^(1/2)=20*34^(1/2) 狼到兔子巢穴的最短时间为t2=20*34^(1/2)/(2v)=10*34^(1/2)/v 显然只要v>0,就有 t1>t2

所以 兔子不能安全回到巢穴。

问题三

§1、问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在

本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。

考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie 模型）： 以人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）中提供的2001年的有关数据，构造Leslie 矩阵，建立相应 Leslie 模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie 矩阵，建立相应的 Leslie 模型。

§2、问题假设

1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争。i i s b ,不随时间而变化

2、超过90岁的妇女都按90岁年龄计算

3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变

4、不考虑移民对人口总数的影响

§3.符号说明

13

m i n i ,2,1),0(=

2001年第i 年龄段的人口总数

§4.模型建立与求解

一、模型的准备

将人口按年龄大小等间隔地划分成m 个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为 2,1,0=t .设在时间段t 第i 年龄组的人口总数为m i t n i ,2,1),(=，定义向量

T m t n t n t n t n )](),(),([)(21 =，模型要研究的是女性的人口分布)(t n 随t 的变化规律，从而

进一步研究总人口数等指标的变化规律。

设第i 年龄组的生育率为i b ，即i b 是单位时间第i 年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i 年龄组的死亡率为i d ，即i d 是单位时间第i 年龄组女性死亡人数与总人数之比，

i i d s -=1称为存活率。设i b 、i s 不随时间t 变化，根据i b 、i s 和)(t n i 的定义写出)(t n i 与)1(+t n i 应满足关系：

⎪⎩⎪⎨⎧

-==+=++=∑1

,,2,1),()1()()1(11m i t n s t n t n b t n i i i m

i i i i （9） 在（9）式中我们假设i b 中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t 以后出生而活不到1t +的那些婴儿。若记矩阵

⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000121121m m m s s s b b b b L （10）

则（9）式可写作

)()1(t Ln t n =+ （11）

当L 、)0(n 已知时，对任意的 ,2,1=t 有

)0()(n L t n t = （12）

若（10）中的元素满足

（ⅰ）1,,2,1,0-=>m i s i ；

（ⅱ）m i b i ,2,1,0 =≥，且至少一个0>i b 。

则矩阵L 称为Leslie 矩阵。

只要我们求出Leslie 矩阵L 并根据人口分布的初始向量)0(n ，我们就可以求出t 时段的人口分布向量)(t n 。

二、模型的建立

我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）中所给数据，以一岁为间距对女性分组。

(1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量)90,,2,1,0),

0(+= i n i （： 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）给了2001年中国人口抽样调查数据，

提取为表3