CAE课 有限元分析理论基础

整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸， 因而应变和转角都远小于 1 ，这样，在考虑物体变形 以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形 后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体 的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去 不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方 程。
§2-1 外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法
平面问题
u
u( x, y) v ( x , y )
xx
u u x
10
§2-2 弹性力学的基本方程
一、平衡方程
在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标 轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。 以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成
的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因 而物体的弹性常数 (弹性模量和波桑系数 )才不随位置座标而变。
弹性力学中关于材料性质的假定
(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各
个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
(5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，
平面问题
s xx ( x, y ) s s yy ( x, y ) s ( x, y ) xy
一维问题
s s x
xx
三、应变
空间三维问题
四、位移
空间三维问题
2019/1/19
xx x, y, z x, y, z yy zz x, y, z x , y , z xy yz x, y, z x , y , z zx
P 1 P 2 P Pn
2）表面力
3）节点集中力
节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。
2019/1/19 爱学习,爱交院 9
二、应力
s xx x, y, z s x, y, z yy s zz x, y, z 空间三维问题 s s x, y, z xy s yz x, y , z s x , y , z zx
弹性力学 — 区别与联系 —
3、研究的方法：有较大的区别。
材料力学
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
一、外力
外力可以分为体积力、面积力和节点之中力*，分别用以下符号
表示： 1）体积力
Fbx ( x, y, z ) Fb Fby ( x, y, z ) F ( x, y , z ) bz Fsx ( x, y , z ) Fs Fsy ( x, y, z ) F ( x, y , z ) sz
材料力学ห้องสมุดไป่ตู้
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运 动，以及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件， 即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究 杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它 实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸 相当的构件。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对 象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解 算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计 算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材 料性质的假定：
弹性力学中关于材料性质的假定
(1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体
的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如 应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。 (2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除 去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样， 当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬 时所受的外力，与它过去的受力情况无关。
平面问题
xx ( x, y ) yy ( x, y ) ( x, y ) xy
一维问题
x
xx
u ( x, y , z ) u v ( x, y , z ) w( x, y, z ) 爱学习 ,爱交院 一维问题
F 0
x
得：
s yx s xx s zx s dydz s dydz s dzdx s dzdx dz dxdy s zx dxdy Xdxdydz 0 xx xxx yx yx zx x y z
有限元分析理论基础
山东交通学院汽车工程系 车辆工程教研室
预备知识
材料力学与弹性力学 — 本课程中所指的是有限单元法在弹 性力学问题中的应用。因此要用到弹性力 学的某些基本概念和基本方程。本章将简 单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有 限单元法的预备知识。
弹性力学 — 区别与联系 —
1、研究的内容：基本上没有什么区别。
材料力学 — 区别与联系 —
y
弹性力学
y
q
q
sx
x
¼ 1-1a Í
sx
0
¼ 1-1b Í
x
弹性力学 — 区别与联系 —
材料力学
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。 它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学， 研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果 更精确，因而应用的范围更广泛。