高考文科数学一轮复习课件第二章函数性质的综合问题

－9)．因为 f(x)是定义域为(－1，1)的减函数，所以－ －11<<aa－ 2－39<<11，，解得 2 2<a<3. a－3>a2－9，
函数的奇偶性与周期性(典例迁移) (一题多解) (2020•河南调研考试)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且函数 y＝f(x －1)为偶函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x3，则 f52＝_______． 【解析】 法一：因为 f(x)是 R 上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以 f(x－1)＝f(－x －1)＝－f(x＋1)，所以 f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即 f(x)的周期 T＝4，因为 0≤x≤1 时，f(x)＝x3，所以 f52＝f52－4＝f－32＝－f32＝－f1＋12＝f－12＝－f12＝－18.
法二：因为 f(x)是 R 上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以 f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x ＋1)，所以 f(x＋2)＝－f(x)，由题意知，当－1≤x<0 时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1 时，f(x) ＝x3，当 1<x≤3 时，－1<x－2≤1，f(x)＝－(x－2)3，所以 f52＝－52－23＝－18. 【答案】 －18
二、抽象函数的周期性 (1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. (2)如果 f(x＋a)＝f（1x）(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. (3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
f2
01912＝f2
020－12＝f－12＝－f12.
因为在[0，1]上有 f(x)＝x2，所以 f12＝122＝14，
故
f2
01912＝－14，故选
D.
函数的综合性应用(师生共研)
(1)(2020·石家庄市模拟(一))已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x)＝f(2－x)，
当 x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1 的解集是
核心素养系列 4 数学抽象——活用函数性质中“三个二级”结论 函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题 时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转 换，再利用单调性解决相关问题．
一、奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别 地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0.
已知定义域为(－1，1)的奇函数 f(x)是减函数，且 f(a－3)＋f(9－a2)<0，
则实数 a 的取值范围是
()
A．(2 2，3)
B．(3， 10)
C．(2 2，4)
D．(－2，3)
解析：选 A.由 f(a－3)＋f(9－a2)<0 得 f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质得 f(a－3)<f(a2
【答案】 C
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的 单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f(x1)>f(x2)或 f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对 参数的影响．
【解析】 因为 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即 f(x)是以 4 为周期的周期函数，f(4)＝f(0)＝0， 因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f[(x＋1)＋1]＝f(－x)， 令 t＝x＋1，则 f(t＋1)＝f(1－t)，所以 f(x＋1)＝f(1－x)， 所以 f(x)的图象关于 x＝1 对称，而 f(2＋x)＝f(2－x)显然不成立． 故正确的命题是①②③，故选 C. 【答案】 C
(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，
下面关于 f(x)的判定，其中正确命题的个数为
()
①f(4)＝0；
②f(x)是以 4 为周期的函数；
③f(x)的图象关于 x＝1 对称；
④f(x)的图象关于 x＝2 对称．
A．1
B．2
C．3
D．4
已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意实数 x 有 f(x＋4)＝－f(x)＋2 2，若函数 f(x－ 1)的图象关于直线 x＝1 对称，f(1)＝2，则 f(17)＝_______． 【解析】 由函数 y＝f(x－1)的图象关于直线 x＝1 对称可知，函数 f(x)的图象关于 y 轴对 称，故 f(x)为偶函数． 由 f(x＋4)＝－f(x)＋2 2，得 f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2 2＝f(x)，所以 f(x)是最小正周期 为 8 的偶函数，所以 f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2. 【答案】 2
()
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b)
D．f(c)>f(b)>f(a)
【解析】 由题意易知 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 又因为|a|＝ln 3>1，b＝(ln 3)2>|a|，0<c＝ln23<|a|， 所以 f(c)>f(|a|)>f(b)． 又由题意知 f(a)＝f(|a|)， 所以 f(c)>f(a)>f(b)．故选 C.
求解函数的综合性应用的策略 (1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在 x＝0 处有定义， 则一定有 f(0)＝0；偶函数一定有 f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用． (2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间， 再利用奇偶性和单调性求解．
D．f(4.5)<f(6.5)<f(7)
解析：选 C.因为对任意的 x∈R，都有 f(x＋4)＝f(x)，所以函数是以 4 为周期的周期函数， 因为函数 f(x＋2)的图象关于 y 轴对称，所以函数 f(x)的图象关于 x＝2 对称， 因为 x1，x2∈[0，2]且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)． 所以函数 f(x)在[0，2]上为增函数， 所以函数 f(x)在[2，4]上为减函数． 易 知 f(7) ＝ f(3) ， f(6.5) ＝ f(2.5) ， f(4.5) ＝ f(0.5) ＝ f(3.5) ， 则 f(3.5)<f(3)<f(2.5) ， 即 f(4.5)<f(7)<f(6.5)．
()
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)因为 0≤x≤1 时，f(x)＝4x－1，所以 f(x)在区间[0，1]上是增函数，又函数
f(x)是奇函数，所以函数 f(x)在区间[－1，1]上是增函数，因为 f(x)＝f(2－x)，所以函数 f(x)
的图象关于直线
x＝1
对称，所以函数
f(x)在区间(1，3)上是减函数，又
()
A.94
来自百度文库
B.14
C．－94
D．－14
解析：选 D.函数 f(x)的定义域是 R，f(x)＝－f(－x)，所以函数 f(x)是奇函数．又 f(x)＝f(2
－x)，所以 f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以 f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数 f(x)是以 4 为
周期的奇函数，所以
设函数 f(x)＝（x＋x12）＋21＋sin x的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝_______． 【解析】 函数 f(x)的定义域为 R， f(x)＝（x＋x12）＋21＋sin x＝1＋2xx＋2＋si1n x， 设 g(x)＝2xx＋2＋si1n x，则 g(－x)＝－g(x)， 所以 g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0， 所以 M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 【答案】 2
()
A.1，32
B.32，52
C.32，3
D.[2，3)
(2)(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数 f(x)满足 f(x)＋f(2－x)＝0，现给出下列命题：①
函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数；②函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数；③函数 f(x－
1)为奇函数；④函数 f(x－3)为偶函数，其中真命题的个数是
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 解析：选 B.由 f(x)＝f(2－x)得 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．又 f(x)是偶函数，故函数
f(x)的周期是 2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．
2．(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件：①对任意的
第二章 函数概念与基本初等函数
第2讲 函数的基本性质 第3课时 函数性质的综合问题
数学
01
核心考点 深度剖析
02
方法素养 助学培优
03
高效演练 分层突破
函数的奇偶性与单调性(师生共研)
已知函数 y＝f(x)是 R 上的偶函数，对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)
－f(x2)]<0.设 a＝ln13，b＝(ln 3)2，c＝ln 3，则
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将 所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
(2020·广东六校第一次联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)及
f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有
f(x)＝x2，则
f2
01912＝
【迁移探究】 (变条件)本例变为：已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且函数 y＝f(x＋1) 为奇函数，当 0≤x<1 时，f(x)＝x2，则 f52＝_______． 解析：因为 f(x)是 R 上的偶函数，y＝f(x＋1)为奇函数， 所以 f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝－f(x－1)， 所以 f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即 f(x)的周期 T＝4，因为 0≤x<1 时，f(x)＝x2，所 以 f52＝f52－4＝f－32＝f32＝f1＋12＝－f12 ＝－14. 答案：－14
x∈R，都有 f(x＋4)＝f(x)；②对任意的 x1，x2∈[0，2]且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)；③函数
f(x＋2)的图象关于 y 轴对称，则下列结论正确的是
()
A．f(7)<f(6.5)<f(4.5)
B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)
C．f(4.5)<f(7)<f(6.5)
f12＝1，所以
3 f2
＝1，所以在区间(1，3)上不等式 f(x)≤1 的解集为32，3，故选 C.
(2)偶函数 f(x)满足 f(x)＋f(2－x)＝0， 所以 f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，f(x＋2)＝－f(x)， f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得 f(x)的最小正周期为 4，故①错误，②正确； 由 f(x＋2)＝－f(x)，可得 f(x＋1)＝－f(x－1)． 又 f(－x－1)＝f(x＋1)，所以 f(－x－1)＝－f(x－1)，故 f(x－1)为奇函数，③正确； 若 f(x－3)为偶函数，则 f(x－3)＝f(－x－3)， 又 f(－x－3)＝f(x＋3)， 所以 f(x＋3)＝f(x－3)，即 f(x＋6)＝f(x)，可得 6 为 f(x)的周期，这与 4 为最小正周期矛盾， 故④错误，故选 B. 【答案】 (1)C (2)B
三、抽象函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数． (1)若 f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a＋2 b对称，特别地，若 f(a ＋x)＝f(a－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点(a， 0)对称．
1．函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)＝f(2－x)．若 f(x)在区间[1，2]上是减函数，
则 f(x)
()
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数