直角三角形性质与判定经典讲义
直角三角形的性质课件
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》这一课时，主要让学生了解直角三角形的性质与判定。
在学习了勾股定理和三角函数的基础上，本节课让学生通过观察、实验、推理等方法，探索并证明直角三角形的性质，从而加深对勾股定理的理解和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，对于观察、实验、推理等方法有一定的了解和运用能力。
但是，对于证明直角三角形的性质和判定，还需要老师在课堂上进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生通过观察、实验、推理等方法探索数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：证明直角三角形的性质和判定。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实验探究法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对直角三角形性质的思考。
2.自主学习：让学生通过观察、实验、推理等方法，探索直角三角形的性质。
3.合作交流：学生分组讨论，分享探索成果，互相提问，解决问题。
4.讲解与演示：老师对学生的探索成果进行点评，讲解直角三角形的性质和判定方法，并进行现场演示。
5.练习巩固：让学生进行一些有关直角三角形性质和判定的练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：让学生总结本节课所学内容，老师进行补充。
七. 说板书设计板书设计如下：直角三角形的性质与判定a.直角三角形的两个锐角互余b.直角三角形的斜边最长c.直角三角形的两条直角边互相垂直d.如果一个三角形有一个角是直角，那么它是直角三角形e.如果一个三角形的两边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、练习等情况，了解学生的参与程度。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
2 第1课时 直角三角形的性质与判定
第1课时 直角三角形的性质与判定
总结反思
知识点一 直角三角形的性质定理与判定定理
角：直角三角形的两个锐角 互余
1. 性质边：直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的
平方
第1课时 直角三角形的性质与判定
2.
角：两锐角 互余
判定边：两边的平方和等于
第三边的 平方
这样的三角形 是直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
(2)每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理．( × )
[解析] 每个定理都有逆命题，但它未必是定理．
谢 谢 观 看！
第1课时 直角三角形的性质与判定
(3)∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－70°＝20°. 由(2)可知，∠AEH＝∠B＝70°， ∴∠CED＝∠AEH＝70°.
第1课时 直角三角形的性质与判定
例2 教材补充例题 如图1－2－2，在四边形ABCD中，∠B＝90°， AB＝9，BC＝12，AD＝8，CD＝17. 求：(1)AC的长； (2)四边形ABCD的面积．
知识点二 互逆命题和互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的__结__论____和___条__件___，那么这两个命题称为互逆命题，其中 一个命题称为另一个命题的__逆__命__题__． 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定 理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理．
第1课时 直角三角形的性质与判定
判断正误，若错误，请指出错误的原因： (1)原命题正确时，其逆命题也正确．( × )
[解析] 原命题正确，但它的逆命题未必正确．如 “如果两个角都是 直角，那么这两个角相等” 是真命题，但它的逆命题“如果两个角 相等，那么这两个角都是直角”却是一个假命题．
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
直角三角形的性质1
王志荣
教学目标
1．知识与技能：掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理，掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用.
2.过程与方法：通过图形的变换，引 导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力.
直角三角形判定定理1、有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形判定定理2、一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
三、课堂练习，巩固提高
四、课堂小结
五、作业布置
教学反思
教学目标反思：通过学生课堂练习和课后作业来看，学生的正确性很高，说明学生对定理的理解非常准确，数学语言表达非常到位，之所以有这样的教学效果，源于学生经历了对定理的探究、猜想、初步验证、推理证明、定理剖析、几何语言表达及定理的应用、解题后的反思与归纳过程，顺理成章的结果。
证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）
推理证明思路：①作点D1②证明所作点D1具有的性质③证明点D1与点D重合
应用定理：
例1如图1-5，已知CD是 ABC的AB边上的中线，且CD= AB。
求证： ABC是直角三角形学生练习，名板书集体讲解，总结得出：
一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、练习P4 2
四、课堂小结：
通过今天的学习有哪些收获？这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？
1、
2、
3、
五、作业布置：P7习题A组1、2
板书设计：
直角三角形锐角和斜边
一、复习旧知，引入新课
《第1课时 直角三角形的性质和判定》课件 (同课异构)2022年精品课件
∴PD = PE 〔在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等〕.
判一判：〔1〕∵ 如下左图，AD平分∠BAC〔〕， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB 〔〕.
D C
∴ BD = CD ,
2
2
DF＝AF＝ 1 AC＝ 1 ×8＝4，
∴四边形AED2 F的周长2 ＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 归纳 当条件含有线段的中点、直角三角形的条件 时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求 解．
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
B
D
C
在Rt△ABC 中，∵ Biblioteka C =90°，BC
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△ 〞表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
典例精析
例1〔1〕如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？
方法一〔利用平行的判定和性质〕： A B
∵∠B=∠C=90°，
2021 年 “精 英 杯〞 全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯〞公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体 组织实施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“ 小学至高中〞全系列部编新教材进行了统一的培训和指导 。每次指導，都輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中 ，不乏全國名師和各省名師中的佼佼者。
八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)
直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图4四、勾股定理的证明及应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
《直角三角形》 讲义
《直角三角形》讲义一、直角三角形的定义在平面几何中，如果一个三角形中有一个角是直角（90 度），那么这个三角形就被称为直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余的两条边称为直角边。
直角三角形是一种非常特殊且重要的三角形类型，在数学和实际生活中都有广泛的应用。
二、直角三角形的性质1、角的性质直角三角形的两个锐角之和为 90 度。
这是因为三角形的内角和为180 度，减去直角的 90 度，剩下的两个角之和必然是 90 度。
2、边的性质（1）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。
这是直角三角形最著名的性质之一，也是解决许多与直角三角形相关问题的关键。
（2）斜边最长：在直角三角形中，斜边总是比任意一条直角边长。
3、特殊的直角三角形（1）等腰直角三角形：两条直角边长度相等的直角三角形称为等腰直角三角形。
其两个锐角都是 45 度，斜边长度是直角边长度的√2 倍。
（2）30°－60°－90°直角三角形：如果一个直角三角形的一个锐角是 30 度，另一个锐角是 60 度，那么其边长关系为：短直角边是斜边的一半，长直角边是短直角边的√3 倍。
三、直角三角形的判定1、一个角为 90 度的三角形是直角三角形。
2、若一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
四、直角三角形中的三角函数在直角三角形中，我们引入了三角函数来描述边与角之间的关系。
1、正弦（sin）正弦函数定义为对边与斜边的比值。
对于角 A ，sin A ＝对边／斜边。
2、余弦（cos）余弦函数定义为邻边与斜边的比值。
对于角 A ，cos A ＝邻边／斜边。
3、正切（tan）正切函数定义为对边与邻边的比值。
对于角 A ，tan A ＝对边／邻边。
通过这些三角函数，我们可以在已知直角三角形的某些边和角的情况下，求出其他的边和角。
初二直角三角形复习同步讲义
初二直角三角形复习同步讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。
（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角 三角形222c b a =+两锐角互余CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形；②等腰Rt △斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt △。
①若∠A+∠B=90°，则△ABC 为Rt △; ②若222c b a =+， 则△ABC 为Rt △;③若CD=AD=BD ， 则△ABC 为Rt △;黄金 直角 三角形2:3:1::=c b a等腰 直角 三角形2:1:1::=c b a四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定直角三角形是指一个角为90度的三角形，它具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍直角三角形的性质和判定方法。
一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
2. 直角三角形的斜边是直角边中最长的一条边。
由直角三角形的性质1可知，斜边c的平方大于直角边a和b的平方，因此c大于a和b。
3. 直角三角形的两个锐角是互补角。
互补角是指两个角的和为90度。
由直角三角形的定义可知，一个直角角度已经占据90度，因此另外两个锐角的和也为90度。
二、直角三角形的判定1. 边长关系法直角三角形的判定可以根据三个边的长度关系来进行。
（1）勾股定理法：如果已知一个三角形的三边长为a、b、c，并且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形就是直角三角形。
（2）边长关系法：如果一个三角形的两个边长已知，且满足其中一边的平方等于另外两边的平方的和，那么这个三角形就是直角三角形。
2. 角度关系法直角三角形的判定也可以根据角度关系来进行。
（1）特殊角度法：如果一个三角形中有一个角等于90度，那么该三角形就是直角三角形。
（2）角度关系法：如果一个三角形的两个角满足互补角关系（和为90度），那么该三角形就是直角三角形。
三、直角三角形的应用直角三角形的性质和判定在实际应用中非常重要。
1. 测量：直角三角形的性质可以用于测量不可直接测量的距离。
例如，通过测量一个直角三角形的一条直角边和斜边的长度，可以利用勾股定理计算出另一条直角边的长度。
2. 工程应用：在工程设计中，直角三角形的性质经常被用于测绘、建筑设计等方面。
例如，利用直角三角形的判定方法可以确定一个建筑物的墙角是否为直角。
3. 解决实际问题：直角三角形的性质和判定方法也可以应用于解决一些实际问题，如导航、航空导航等领域。
综上所述，直角三角形具有特殊的性质和判定方法，可以通过边长关系或角度关系来进行判定。
有复习资料-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案及解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 及Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案及解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 及Rt △BCD 中，∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形 在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BABD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案及解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 及△CBE 中，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参及，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt△ABC及Rt△'''A B C中, ∠C ＝∠'C＝ 90, A＝∠'B, AB ＝''A B, 那么下列结论中正确的是( )A. AC ＝''B C D. ∠A C B.BC ＝''B C C. AC ＝''A ＝∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC及右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B 点及O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上及AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 及Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等）∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得： ∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 及Rt △EDF 中 B EDF BC DFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠2.证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB为直角三角形在Rt△AEC及Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.【答案及解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS定理证明全等.2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF ≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应'B，B对应'A.5. 【答案】C；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD；【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△CDE.10.【答案】6；【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△DEF，∠BCA＝∠DFE. 12.【答案】45°；【解析】证△ADC及△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.。
直角三角形的性质课件初中数学PPT课件
24
利用三角函数解决非直角三角形问题策略
已知两边求夹角
01
当已知非直角三角形的两边长时，可以利用正弦或余
弦定理求出夹角的大小。
已知一角和两边求另一角或第三边
02 通过正弦、余弦或正切函数，结合已知的角度和边长
信息，可以求出未知的角度或边长。
利用三角形内角和定理
03
在任何三角形中，三个内角的和等于180度。利用这
一性质，可以求出非直角三角形中的未知角度。
2024/1/28
25
案例分析
案例一
已知非直角三角形的两边长分别 为a和b，夹角为C，求第三边c的 长度。此时可以利用余弦定理 c²=a²+b²-2ab×cosC求出c的值 。
案例二
已知非直角三角形的两个角度分 别为A和B，以及一边长a，求另 一边b的长度。此时可以利用正弦 定理a/sinA=b/sinB求出b的值。
SSS判定
三边对应相等的两个三角形全 等。
ASA判定
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分 别对应相等，则称这两个三角 形全等。
2024/1/28
SAS判定
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等。
AAS判定
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
证明勾股定理。
欧几里得证明法
02
在《几何原本》中，欧几里得利用相似三角形的性质证明了勾
股定理。
加菲尔德总统证明法
03
美国第20任总统加菲尔德提出了一种简洁的勾股定理证明方法
，利用两个相似直角三角形的面积关系进行证明。
9
勾股定理逆定理及应用
北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
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直角三角形性质与判定经典讲义
一知识点总结
1、直角三角形的性质：
（1）在直角三角形中，两锐角 ；
（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半；
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ___________；
（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。
2、 直角三角形的判定：
（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；
（2）有两个角_____________的三角形是直角三角形；
（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。
二例题分析
例1 如图，在ABC ∆中，AB AC =,点D 在BC 上，90DAC ∠=,12
AD CD =.求BAC ∠的度数.
例2如图，在ABC ∆中，BD DC =,若 AD AC ⊥,30BAD ∠=.求证：12
AC AB =.
例3 如图，在四边形ABCD 中,90DAB DCB ∠=∠=,点M 、N 分别是BD 、AC 的中
点，求证：MN 垂直平分AC .
例4 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠,交AD 的延长线于点E ，点F 是AB 的中点，求
证：EF //AC .。