函数分段点可导性的一个定理及应用
分段函数分段点可导性的一个定理及应用_姜海勤
分段函数分段点可导性的一个定理及应用姜海勤,曹瑞成(扬州职业大学,江苏扬州 225009)摘 要:给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等。
并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件。
举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件。
关键词:分段函数;可导性;单侧极限中图分类号:O 174文献标识码:A文章编号:1008-3693(2008)02-0042-03A Theore m ofDerivable P iece w ise Functi onSeparation and Its ApplicationJI A NG H a i qin ,CAO Ru i cheng(Y angzhou Po l y technic Co llege ,Y angzhou 225009,Ch i na)Abst ract :In th i s artic le ,a suffic ient and necessary cond ition underw hich the derivative o f piece w ise functionseparati o n ex ists is g i v en:the functi o n at this po i n t is conti n uous ,and the derivative ex ists at the l e ft and righ t li m its and is equa.l As a resu l,t a sufficient condition of non-ex istence o f p i e ce w ise po i n t and the one of ex istence of piece w ise deri v ati v e of three spec ial cases piece w ise function are obtai n ed here .And the app li c ation of this theore m is ill u strated through exa m p les .M eanw hile ,its 'po inted out that attention shou l d be paid to the solution to the separati o n derivative o f piece w ise f u nction w ith this theore m.K ey w ords :piece w ise f u ncti o n;derivability ;unilatera l li m its分段函数在经济、管理及电子技术[1]等方面有较大的应用。
分段函数在分段点可导性的判别法
例２ 设， （ ） ＝｛ Ｉ
时出错 ， 尤 其是在分段函数在分界 点处不可 导 ， 但 在 分 界 点
处左导数 、 右 导 数存 在 性 的 讨 论 问题 中 更 容 易 出 错 ． 通 过 多 年的教学 ， 总结 以 下 的 简 单 判 别 法 ， 这 种 方 法 可 以 简 化 计 算 过程 ， 学 生 比较 容 易 接 受 ．
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解 题 技 巧 与方 法
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◎ 汪 爱 红 （ 甘 肃 民族 师 范 学 院数 学 系， 甘肃合作 ７ ４ ７ ０ ０ ０ ）
ｂ ．１ ｉ ｍ ｈ （ ） ≠ ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） ， 则， （ ） 在 。 不 可导 （ ２ ） 当 ｌ ｉ ａ ｒ ｈ （ ） ，ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） 中至少 有一个 不存在 ， 用 导 数定 义 来 判 断 ．
二、 应 用 举 例
别 函数 在 分 界 点 处 的连 续 性 ， 否 则 容 易 出错 ．
【 参 考文献】
（ １ ） 赵 华 文． 可导性 判定 的新定理． 济源 职业技 术学 院
学， ２ ０ １ ４ ， １ ３ （ ３ ） ．
设 厂（ ）： ， 则 ， （ ） 在 点 ：１
ｒ １＋ ‘ ＜１ ≥１
、
判 别 方 法
１ ． 若， （ ） 在 。不 连 续 ， 则ｆ （ ） 在 ‰ 不 可导． （ 连 续 是
例 ３ 设， （ ） ＝ ｛ １
解 显 然 函数
３ ｘ一１
， 求厂（ １ ） ．
函数的可导性及导数的存在性
函数的可导性及导数的存在性函数的可导性及导数的存在性是微积分中的重要概念。
在本文中，将介绍什么是函数的可导性，如何判断函数可导，并探讨导数的存在性以及相关的概念和定理。
一、函数的可导性函数的可导性是指函数在某一点是否具有导数。
导数是函数在某一点的斜率，它刻画了函数在该点的变化率。
一个函数在某一点可导，意味着函数在该点附近的变化是平滑的。
函数的可导性是通过函数的极限定义来判断的。
设函数f(x)在点x=a处定义，如果存在极限lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)则称函数在点x=a处可导，记为f'(a)。
其中f'(a)表示函数f(x)在点a 处的导数。
二、函数可导的判断函数可导的判断可以使用导数定义或者一些常见定理。
下面将介绍一些常见的可导性判断方法。
1. 导数定义若导数lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)存在，则函数在x=a处可导。
这个定义是函数可导性的基本判断方法。
2. 微分法则对于一些常见函数，其可导性可以通过微分法则来判断。
常见的微分法则包括求和法则、差法则、常数法则、幂法则、指数法则和对数法则等。
利用这些微分法则，我们可以对给定的函数进行简化，从而判断函数是否可导。
3. 连续函数可导性如果函数f(x)在点x=a处连续，并且在点x=a的某一邻域内可导，则函数f(x)在点x=a处可导。
这个定理可以简化我们对函数可导性的判断。
三、导数的存在性导数的存在性是指函数在某一区间内是否具有导数。
如果函数在该区间的每一点都可导，则该函数在该区间内是可导的，其导数存在。
对于一些特殊的函数，导数的存在性是可以通过一些定理得到的。
例如，对于连续函数和可导函数的乘积、商以及复合函数，其导数的存在性可以由相应的定理来判断。
同时，导数的存在性和函数的可导性相关联。
如果函数在某一点可导，则函数在该点一定连续；反之，如果函数在某一点不连续，则函数在该点不可导。
分段函数在分段点处几个问题讨论
分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
例1：讨论分段函数：在处的连续性。
解：，而：因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：试研究在处的连续性。
解：所以在处不连续。
而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。
二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。
”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。
因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。
因为；而，，所以函数在在不连续。
故可知不存在。
2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。
对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。
设，求。
解：由于=1，所以=1。
其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。
定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。
证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。
浅析分段函数的求导
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２ 分析 ： ） 静态单链表不仅解决了某些高级语言没有提
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３ 典型应用举例
ｆ ｘ）＝ 。 ｌ （） ｌ ｆ ｘ， 厂 ） ０ 可导 。 （ ｏ Ａ若 ｉ ｘ ≠ ｉ （） （ 在Ｘ处不 ｍｆ ａ ｒ 则＿
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注： 定理中的条件是充分而非必要的。即若 ｌ 厂（） ｊ ｍ
例讨 ） ｛ ≠在 ＝处 导 。 例讨．） 』 … ０ ：处 可 性 １论（ ： 厂＝ ０的
ｉ ｘ 不存在， ｍｆ（） 则不能断定， ） 。 （ 在 处是否可导。 此 高等数学中初等函数通常定义为： 由常数和基本初等 或 ｌ 函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构 时要用 ２ ）中的方法来解 。 成并可用一个式子表示的函数 ， 称为初等函数。而分段函 证明： Ｖ （， ） ） ｘ 。 上连续， ‰） 对 ｏ 。Ａｘ 在Ｉ， ］ 在（， 数通常是在 自 变量的不同变化范围中， 对应法则用不同式 内 可导， 拉格朗日中 由 值定理： 至少存在一点 （， ， ）使 子来表示的函数。教学 中， 分段 函数是不是初等函数呢？ 厂（）： ＾ ， 二 两边同时取极限， 左边：Ｉ （）： ｉ ， 般的教材中， 没有给出具体的讨论。学生在遇到这类问 ０ 州
Ｅ—ｍ ｉ： ｈ ｎ ｉ ｃｕ １ ３ ｃ ｌ ａｌ ｃ ｅ ｑ ａ ｓ ＠ ６ ． ｏｎ 学 院 学 报
２ ０ 年 第 ２期 ０１
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时只需要修改游标的指向， 不需要移动元素， 使其即具有顺
序表的特性， 也具有动态链表指针的灵活性。
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分段函数的可导性定理
分段函数的可导性定理分段函数在数学中是一个重要的概念，它可以用来描述许多实际问题。
在数学分析中，对于一个分段函数，我们需要解决的一个问题就是它的可导性问题。
在这篇文章中，我们将讨论分段函数的可导性定理。
一、分段函数的定义首先，让我们来回顾一下分段函数的定义。
分段函数是指由两个或多个不同的函数在一组数的不同区间上所组成的函数，也称作“分段定义的函数”。
例如，设函数f(x)在区间[a,b]上为a1x+b1，在区间(b,c]上为a2x+b2。
则f(x)在[a,c]上的表达式为：\begin{cases}a_1x+b_1, & a\le x\le b\\a_2x+b_2, & b< x\le c\end{cases}二、可导性的定义在讨论可导性定理之前，我们需要先了解可导性的定义。
对于函数f(x)，如果在x=a处存在导数，即：\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}存在，那么我们称该函数在x=a处可导。
当然，只有在极限存在的情况下，才可以拥有导数。
三、在分段函数的研究中，我们经常需要讨论在分段函数之间转换时是否会改变其可导性。
以下是分段函数的可导性定理：若f(x)和g(x)在[a,b]和(b,c]上可导，且f(b)=g(b)，那么f(x)和g(x)在[a,c]上可导，且f'(b)=g'(b)证明：由分段函数的定义：f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x\in [a,b]\\ f_2(x),&x\in(b,c]\end{cases}g(x)=\begin{cases}g_1(x),&x\in [a,b]\\g_2(x),&x\in(b,c]\end{cases}根据可导性的定义，我们可以得到：f'(b)=\lim_{h\to 0} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}g'(b)=\lim_{h\to 0} \frac{g(b+h)-g(b)}{h}因为f(b)=g(b)，所以：\begin{aligned} &f'(b)+g'(b)\\ =&\lim_{h\to 0} \frac{f(b+h)-f(b)}{h}+\lim_{h\to 0} \frac{g(b+h)-g(b)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{f(b+h)-g(b+h)+g(b)-f(b)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0} \frac{f_2(b+h)-g_2(b+h)+g(b)-f(b)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0} \frac{(f_2(b+h)-g_2(b+h))}{h}+\lim_{h\to 0} \frac{g(b)-f(b)}{h}\\ =&f_2'(b)+g_2'(b)\\ \end{aligned}其中，我们使用了$f_1(b)=g_1(b)$和$f_2(b)=g_2(b)$这两个条件。
分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。
2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。
导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。
函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。
对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。
分段函数在分界点处的极限、连续性与可导性的例子
即
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导性。
解 函数 （ 在点 ＝ 处及其附近有定义。 ｆ ） ｘ １ ｘ
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１ ２ ３ －＋ ０ 的和说明， ＋ 十 ＋二 １ ０ 及用梯形面积公式记忆。解应
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的可导性时， 需讨论： ） （ 、点处是否连续； ） １ （ｌ ２ｉ ｍ
ｆ ） Ａ． （ 一 ｘ） ｘ
Ｘ一 ｘ ０ Ｘ７ １１ ０ ．
第 巧卷第 ９ 期
２０ 年 ９月 ０１
成都教育学院学报
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文 章编号： ０ 一 １ （ ０）９ ０７ 一 ２ ： ８ ９４ ２ １ 一 ０１ ０ １ ０ ４０ ０
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浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性摘要：本文运用实例探究了数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性，从而丰富了数学分析中有关分段函数分界点的连续性与可导性的内容.关键字：分段函数;分界点;连续性;可导性1引言1.1本文背景由于分段函数的特殊性,它的研究不仅牵扯的知识面广、方法多变, 且综合性强，利用以前学过的函数的连续性和可导性的知识来进一步探讨分段函数分界点的连续性和可导性,相关内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及意义本文从7个方面探讨了分段函数分界点的连续性和可导性.2分段函数分界点的连续性问题2.1用函数连续性定义判别分段函数分界点的连续性定义1[1]设函数在某有定义，若，则称函数在点处连续.文献[1]给出函数在点处连续的三个条件：a. 函数在点处要有定义；b．极限存在；c. .例1讨论函数在处的连续性.分析此分段函数在分段点左右两边的函数表达式相同，因此其在左右两边的极限相等，所以其在的极限一定存在，然后再根据文献[1]给出的三个条件判断其的连续性.解 (1)函数的定义域为，故函数在有定义;(2) ;(3)，即 .因此在处同时满足定义中的三条，所以在处连续.2.2用函数单侧连续性判别分段函数分界点的连续性定义2[1]设函数在某内有定义，若，称函数点处左连续.定义3[1]设函数在某内有定义，若，称函数在点处右连续.定理1[1]在点处的连续的充要条件是在点处既要左连续又要右连续.即例 2 设函数试分别讨论在点与处的连续性.分析此分段函数在分界点和左右两边的函数表达式都不同，因此不能用定义1去求,此题可以用定理1求，只有证明分段函数分界点的左右连续且相等就可以证明此分段函数在分界点连续.解在处：由已知当时，为初等函数.又为函数定义区间上的点,则 .所以在处为左连续又因为，所以在处也右连续.由于在处既左连续又有连续，故在处连续.在处：同理可知，在处，为初等函数，又为函数定义区间上的点，且 .所以左连续,因，所以在处不右连续,由于在左连续但不右连续，故在不连续.3分段函数分界点的可导性问题3.1用导数定义判别分段函数分界点的可导性定义4[1]设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处可导，记作 .例3 设函数判断在的可导性.分析分界点两侧的函数表达式相同，因此用可导的定义去求.解在处连续，在处可导.3.2用函数单侧可导性判别分段函数分界点的可导性定义5[1]设函数在点的右邻域上有定义，若右极限存在，则称函数在处右可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定义6[1]设函数在点的左邻域上有定义，若左极限存在，则称函数在处左可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定理2[1]若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 .例4 设函数求在处的可导性.分析此分段函数在分界点左右两侧的函数表达式不同，因此不能用导数的定义求，只能用左右导数相等的性质求.解，，即，在点处连续.，，，在点处可导例5 设函数 ,判别在与处的可导性分析函数看似不是分段函数，但去掉绝对值后函数其实是一个分段函数，要求分段函数在分界点的可导性首先要求其在分界点是否连续，若不连续则必不可导，若连续，再按可导的定义求导、判断.此分段函数在分段点的两侧的函数表达式不同，所以要用定义分别求出分段点的左右导数，再判断.解即,即左连续也右连续，在处连续，同理可证在处连续，根据可导的定义求得，，，在处可导同理可得，，在处不可导注这说明若分段函数在其分界点连续，并不一定在分界点可导.但如果分段函数在分段点可导则必连续.即连续是可导的必要条件，而非充要条件.3.3用可导与连续的关系判断分段函数分界点的可导性例6 设函数判断在处的可导性.分析分段函数分界点连续是可导的必要条件，要证明可导则首先要证明其在分界点上连续.解，因为在处不连续，所以一定不可导.但有些学生可能会犯这样的错当时，从而在处可导，且分析上述解法错在事先没有判断在的连续性.定理2 [5]若函数在点的某邻域有定义，且都存在，则在处一定连续.例7 设分段函数判断在处的可导性.分析要判断分段函数分界点的可导性，首先要判断其在分界点的连续性，因为此函数在分界点两侧的函数表达式不同，所以再用单侧可导性来判别函数的可导性.解在上连续，，在处不可导.注在定理中，仅要求左、右导数存在，并不要求一定相等，如例7中在分界点的左右导数存在，即使，也可以证明其连续.3.4用分段函数分界点的可导性确定待定参数例8 设函数若要为可导函数，应如何选择，？分析若在定义域为可导函数，说明在每点都可导，即在处也可导，由可导性与连续性关系得在处也连续，则可由在可导，且连续两个条件求出 , .解若为可导函数，则在定义域内处处可导，即其在处也可导，由可导与连续的关系，知在连续.则有故有即，又在可导，则因此当 , 时，存在，从而为可导函数.注上例很好的运用了可导一定连续的这一性质，但是其实只要左右导数都存在，就可以推出连续的性质.4小结本文主要阐述了如何判断分段函数在分界点的连续性和可导性.如可以用函数连续性的定义和函数单侧连续性来判别其分段函数的连续性.而要判断分段函数分界点的可导性则有多种方法，如可用函数导数定义、函数单侧可导性、函数可导与连续的关系和导数极限定理来判别分段函数分界点的可导性，并且一般用导数极限定理比用导数定义判别更加简单.参考文献[1]高尚华.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-91.[2]高尚华.数学分析下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-110.[3]林远华.分段函数的连续性与可微性[J].河池师范高等专科学校学报,2000, 20(2):26-29.[4]王琦.分段函数分界点处的可导性问题[J].齐齐哈尔师范学院学报. 1996,16(4):18-20.[5]辛兴云.判断“分段点”可导性的一个简便方法[N].河北广播电视大学学报,2000,5(2):55-57.[6]胡晶.王可宪.1994.分段函数在分段点可导的一个充要条件[J].承德民族师专学报,1994,10(2):26-27.[7]李艳娟.高等代数中分段函数问题研究[J].辽宁教育学院学报,1997,14(5):59-62.[8]张红卫.浅析分段函数[J].山西广播电视大学学报,2000,1(3):60-61.[9] Patrick M.Fitzpatrick．Advanced Calculus：A course in Mathematical Analysis[M]．Beijing：China MachinePress，2003:113－140．9。
分段函数的若干问题研究
本科生毕业论文题目分段函数的若干问题研究系别数学与应用数学班级112班姓名张伟学号104131231答辩时间2015年5月新疆农业大学数理学院目录摘要 (1)1 分段函数的基本定义 (2)1.1 基本定义 (2)1.2 定义域、值域 (3)1.3 性质 (3)1.3.1 分段函数的单调性 (3)1.3.2 分段函数奇偶性的判断 (4)1.3.3 分段函数周期性的判断 (4)1.4 分段函数的特点 (5)2 分段函数连续性、可导性和可积性 (5)2.1 分段函数连续性 (5)2.2 分段函数在分段点处的可导性 (6)2.2.1 基本定理 (6)2.2.2 导数的计算方法 (7)2.3分段函数的可积性 (9)2.3.1可积性与原函数的存在性 (9)2.3.2 不定积分的求法 (10)2.3.3定积分的例子 (11)3 其他计算问题 (13)3.1幂级数 (13)3.2微分方程 (15)3.3 二元分段函数连续性问题 (15)4 结论 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)分段函数的若干问题研究张伟指导教师：程霄摘要：函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。
在自然科学与工程技术中，经常会遇到分段函数。
本文从分段函数的基本性质入手，分析了分段函数的特点。
进而重点总结了分段函数在分段点外的连续性，可导性，可积性等重要性质与计算方法。
同时，还探讨了的分段函数的其它若干计算问题。
关键词：分段函数；连续性：可导性；积分运算函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。
一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并不对分段函数进行严格地定。
对其特征、性质等都没有作出任何说明;并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。
正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。
因此，应适当地加强分段函数的讨论，在相关知识中融人分段函数的内容，并给出较详细的说明。
分段函数在分段点处的可导性研究
分段函数在分段点处的可导性研究分段函数是指定义域内分段不同的函数表达式的函数。
在分段点处，由于不同函数表达式的定义和性质可能存在差异，因此分段函数在分段点处的可导性是一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下可导性的定义。
在数学中，函数在其中一点可导意味着它在该点处的导数存在。
导数可以理解为函数在该点处的局部变化率，或者是函数图像在该点处的切线斜率。
如果函数在其中一点处的导数存在，那么该函数在该点处是可导的；反之，如果函数在其中一点处的导数不存在，那么该函数在该点处是不可导的。
接下来，我们研究分段函数在分段点处的可导性。
为了简化讨论，我们假设分段函数是一元函数，定义域是实数集。
对于分段函数f(x)，假设其定义域中存在一个分段点a。
一种可能的情况是，分段函数f(x)在点a的左右两侧都存在导数。
这种情况下，我们需要关注点a处的左导数和右导数。
左导数指的是当自变量趋向于分段点a时，函数的局部变化率的极限值；右导数则是指当自变量从a的右侧趋向于a时，函数的局部变化率的极限值。
如果左导数和右导数都存在，并且相等，那么分段函数在点a处是可导的。
然而，当左导数和右导数不相等时，分段函数在点a处是不可导的。
这是因为左导数和右导数分别对应了函数在a的左侧和右侧的局部变化率，如果两者不相等，则表示函数在点a处的左侧和右侧的变化趋势不一致，没有一个确定的切线可以用来描述该函数在点a处的局部性质。
在这种情况下，分段函数在点a处是不可导的。
除了上述情况，还存在一些特殊的分段函数。
例如，在分段点a处，如果左导数和右导数都存在，但是它们的值不同，那么分段函数在点a处是间断可导的。
间断可导的意思是存在左右导数，但是该点处没有一个确切的切线，因为左导数和右导数的差异导致函数图像在该点处出现了间断。
另一个特殊情况是，分段函数在分段点a处的左导数或右导数不存在，但是函数在点a处的局部切线斜率存在。
这种情况下，我们称分段函数在点a处是唯一可导的。
分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定
这也就说明了讨论分段函数在连续的分界点是否可导 1 可以采取下述方法 / 具体步骤为 = 说明 ! 在% $ ’ $ ’ & 的邻域内连续 H % 除去分界点后分段求导 $ ’ I
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分段函数的可导性问题分析
作者： 胡国专
作者机构： 淮阴工学院数理学院,江苏淮安223003
出版物刊名： 牡丹江大学学报
页码： 127-128页
年卷期： 2011年 第12期
主题词： 分段函数 分段点 初等函数 连续性 可导性
摘要：本文对分段函数就分段点与非分段点两种情形探讨其可导性，重点讨论分段点的可导性，通过求相关初等函数导数的函数值或其极限的方法来简化分段函数可导性的判别与计算，用实例验证所用方法的便捷与高效。
并指出此方法的局限性与处理办法。
最后进一步给出有关分段函数可导性的几个实用的推论。
分段函数在分段点的求导
分段函数在分段点的求导陈佩树【摘要】分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】4页(P124-127)【关键词】分段函数;导数;连续【作者】陈佩树【作者单位】巢湖学院,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数是一类常见的函数，虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂，但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然，搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂，在分段点可能连续也可能不连续，有可能可导也有可能不可导，下面从三个定理出发，对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.定理 1[1] 若 f（x）在 x0处可导，则 f（x）在 x0处连续.反之，若 f（x）在 x0处不连续，则 f（x）在 x0处不可导.但即使f（x）在x0处连续，在处也未必可导.（1）满足什么条件时，f（x）在 x=0 连续；（2）满足什么条件时，f（x）在 x=0 可导；（3）满足什么条件时，f′（x）在 x=0 连续.解：（1）由连续的定义，如果 f（x）在 x=0 连续，则必然有也即要求由于所以只需，也即m≥1 时，f（x）在 x=0 连续.（2）由导数定义，知f′（0）=所以只需也即m≥2 时，f（x）在 x=0 可导，且有f′（0）=0.要使f′（x）在 x=0 连续，则有由（2）知当m≥2 时，f（x）在 x=0可导，且有f′（0）=0，也即则进一步还需要综上所述，即要求m≥3 时，f′（x）在 x=0 连续.注：从上面例可以看出，当m≥1时，f（x）在x=0连续，但当m≥1时，f（x）在x=0未必可导，只有当m≥2时，f（x）在x=0才可导.即说明了f（x）在x=0处连续并不能确保f（x）在x=0处可导，另一方面也验证了f（x）在x=0处可导，则f（x）在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.例 2 设分段函数解：当x≠0 时，f′（x）=3x2，由于则有函数 f（x）在 x=0 处左右极限不相等，显然有f（x）在x=0处不连续.从而f（x）在x=0处不可导.综上所述，当x≠0时，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 处不可导.注：如果直接地认为就出错了.在求函数在分段点的导数时,要判断函数在分段点处是否连续，甚至还需要判断在分段点的左右导数是否存在，以及是否存在且相等等若干问题，这将在下面的定理中进行讨论.定理 2[1] 存在当且仅当 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）注：定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在，那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.注：此题是首先判断函数在分段点连续，再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等，进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导，且求出其导数.但是，分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.从而求得不存在.进一步误认为f′（0）不存在就出错了.分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.这时，只能利用导数的定义来判断.例 5 设函数解：由题目易得进一步考察f（x）在x=2点的导数：所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 处不可导.综上所述，即有，且 f（x）在 x=2 处不可导.注：虽然f（x）在x=2处连续，但是f（x）在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f（x）中的分段函数进行求导，得到进而想当然地认为f′（2）=2，那就出错了.只有当f+′（2）=f-′（2）=2 的情况下，才有f′（2）=2.而实际上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法，在实际解题中必须小心谨慎.定理3 设分段函数满足（1）f（x）在x=x0处连续；（2）g（x）在（x0-δ，x0）内可导（其中存在，则 f-′（x0）存在且有证明：∀x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在x=x0处连续，g（x）在（x0-δ，x0）内可导.所以 g（x）在[x，x0]上连续且在（x，x0）内可导.由微分中值定理知∃ξ∈（x，x0），使得由于当时，必有即 f-′（x0）存在且有同理有：设分段函数满足（1）f（x）在 x=x0处连续；（2）h（x）在（x0，x0+δ）内可导（其中存在，则f+′（x0）存在且有f+′（x0）=limh′（x）.通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.（1）如果分段函数在分段点单侧连续，且在这一侧的导函数的极限存在，则可以直接利用该定理.比如例 2中的分段函数在分段点x=0左连续，且所以有 f-′（0）存在且有但是在分段点 x=0处不右连续，因此f+′（0）只能用定义去求解了.（2）如果分段函数在分段点连续，且在两侧导数的极限均存在，那么左、右导数都可用该定理的求得.比如例 5 中的函数在分段点x=2处连续，且（3）如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示，且在分段点连续，如果存在，则有f′比如解：因为所以f（x）在分段点 x=1 处连续.当x≠1 时，f′（x）=【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南：山东科学技术出版社,1999：58.[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报：自然科学版,2006，(3).[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006，(16).[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).。
分段函数在分段点处求导法
分段函数在分段点处求导法
刘冠军
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1990(000)0Z1
【摘要】对分段函数在分段点处的导数的求法有两种不同意见,一种意见是必须用导数定义求,否则即使答案对也不能认为是正确的;另一种意见认为在一定条件下可以不用导数
【总页数】2页(P121-122)
【作者】刘冠军
【作者单位】山东财政学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类分段函数在分段点处的可导性及连续性 [J], 杨子兰;杨惠娟;
2.关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析 [J], 刘浩荣
3.求分段函数在分段点处导数的方法探析 [J], 韩滢
4.求分段函数在分段点处导数的一种有效方法 [J], 范晓兰
5.浅谈分段函数在分段点处导数的计算 [J], 陈文静; 谭艳祥; 彭家睿
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分段函数分段点可导性的一个定理及应用
作者：JIANG Hai-qin， 曹瑞成， JIANG Hai-qin， CAO Rui-cheng
作者单位：扬州职业大学,江苏,扬州,225009
刊名：
扬州职业大学学报
英文刊名：JOURNAL OF YANGZHOU POLYTECHNIC COLLEGE
年，卷(期)：2008，12(2)
被引用次数：1次
1.张红梅支持向量机方法及其在电力系统中的应用[期刊论文]-扬州职业大学学报 2007(02)
2.张隆辉.魏国祥函数在一点可导性与在该点附近的导数的关系[期刊论文]-楚雄师范学院学报 2007(06)
3.汪维红探究分段函数的导数[期刊论文]-绥化师专学报 2004(02)
4.何彦力分段函数分段点的有关讨论及证明 1999(03)
1.期刊论文曾艳妮分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定-湖北大学成人教育学院学报2005,23(5)
通常我们讨论分段函数在分界点处的可导性是通过定义(即函数在某点的左、右导数存在且相等则函数在该点可导)来讨论,本文则用分段求导的方法讨论分段函数在连续的分界点处的可导性,并且用拉格朗日中值定理证明了这种方法的正确性.事实证明用此方法比用定义法将更简单.
2.期刊论文赵芳玲分段函数可导性的一种简便判别法-西安航空技术高等专科学校学报2003,21(3)
分段函数的可导性问题是高等数学理论中的一个重点和难点,学生在平时的学习中不易掌握,本文介绍一种简单判别分段函数在分段点处的可导性的方法.
3.期刊论文程延.Chen Yan谈分段函数的可导性-新疆职工大学学报2000,8(3)
本文给出了分段函数可导性的判别方法,以及分段函数在定义或分界点处可导与不可导的几何解释.
4.期刊论文金友良关于分段函数在分界点处的可导性判定-成都教育学院学报2003,17(7)
介绍判断分段函数在分界点处可导性的一种简便方法.
5.期刊论文李天胜分段函数的连续可导性-高等数学研究2006,9(5)
讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式
6.期刊论文李华凤.康淑卫分段函数的应用-张家口农专学报2003,19(2)
阐述了分段函数在作图、复合、连续性、可导性及积分中应注意的几个问题.
7.期刊论文叶鉴樱分段函数在高等数学教学中的几类问题-咸宁师专学报2002,22(6)
就函数的定义,函数的连续性,可导性及微分的应用几方面讨论了分段函数在高等数学学习中的重要性,并强调了在高等数学的学习中一定要认真学习概念,掌握其问题的实质.
8.期刊论文周秀君.周天刚分段函数可导性的判别方法-牡丹江教育学院学报2008,""(4)
提出了分段函数在分段点可导的简便判别方法.
9.期刊论文赵邦杰.郭瑞海对分段函数在分段点的极限、连续、可导性的研究-西南民族大学学报(自然科学版) 2003,29(4)
通过对分段函数在分段点性态的讨论,指出了分段函数在帮助学生理解高等数学一些基本慨念的作用.给出了在一定条件下,用导函数在该点的极限判定该点导数是否存在的方法.
10.期刊论文曾昭华分段函数在分段点处的可导性研究-渝西学院学报（自然科学版）2004,3(3)
通过几个实例对分段函数在分段点处是否可导、如何求分段点处的导数进行了分类讨论,从中总结了几个结论.
1.贠小青.于颖关于分段函数在分段点处的导数的教学[期刊论文]-科技信息 2009(2)
本文链接：/Periodical_yzzydxxb200802012.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：865ff9cf-0a9b-450d-92d3-9dcb016dc25f
下载时间：2010年8月7日。