垂径定理PPT
合集下载
《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
《垂径定理》PPT课件
弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点
到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知
任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①
a 2
2
＋d2＝r2；②h＋d＝r.
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来
构造直角三角形
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB 是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE， 那么可用几何语言表述为：
AE BE
CD是直径
CD⊥AB
AD BD
AC
BC
要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可 以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知1－讲
例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥ CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
知1－练
1 [中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB 于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
知1－练
2 【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下列结论中错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE
C. BC BD
D．△OCE≌△ODE
弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，
则AB的长为( )
A．8 cm B. 91 cm
C．6 cm D．2 cm
3 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝
60°，AB＝AC＝2，则弦BC
的长为( )
垂径定理 ppt课件
复习回顾: 垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O E
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
D 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CDAB AE BE (AB不是直径)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
图24.1-6
问题 你知道赵州桥(图24.1-6)吗?它是1300多年前我国
隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱 高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
如图24.1-8，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B 在圆的圆心
为O，半径为R．︵经过圆心O
AB 作弦 A
B
的垂线OC，D
O
解得 R≈27.9（m）
图24.1-8
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
• 例1.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
B
D
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
应用知识:
例2. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
方法：只要在圆
弧上任意取两条 a
弦，画这两条弦
的垂直平分线， 交点即为圆弧的
A
圆心．
C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习:
1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，
弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
O E
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
D 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CDAB AE BE (AB不是直径)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
图24.1-6
问题 你知道赵州桥(图24.1-6)吗?它是1300多年前我国
隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱 高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
如图24.1-8，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B 在圆的圆心
为O，半径为R．︵经过圆心O
AB 作弦 A
B
的垂线OC，D
O
解得 R≈27.9（m）
图24.1-8
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
• 例1.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
B
D
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
应用知识:
例2. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
方法：只要在圆
弧上任意取两条 a
弦，画这两条弦
的垂直平分线， 交点即为圆弧的
A
圆心．
C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习:
1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，
垂径定理 推论.完整版PPT资料
随堂练习
试一试
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人
员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽
度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问 (2)直线MN垂直AB;
于是 弧AM＝弧BM， （）
(3)直线MN平分AB; 弧CM＝弧DM
修理人员应准备内径多大的管道？ 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
O
C
A
B
N
垂径定理三种语言：
文字语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
图形语言
几何语言
老师提示: 垂径定理是圆
中一个重要的 结论,三种语 言要相互转化, 数形结合,形 成整体,才能 运用自如.
解?答 MN是AB的垂直平分线
则有：
平变分式弦 二并：且你平能A分确C弦定所 对1的A一弧B条A弧B的的3 直圆0 ,线心经吗过？圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
D
2 平分(不是直径)弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ●作AB的O垂C直平分O线DCD。C D A O 1 0 .
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
A M└
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
●O
n 你可以写出相应的命题吗?
D
推论2.
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理 (共23张PPT)
C 三、小组合作，再探新知
已知：如图，CD是⊙O的直径， 求AA证D证B=明：为B：DC弦连D,，⊥接且AOABAE，，=且B⌒OEB.⌒，则A⌒C =⌒BC A
·O
E D
B
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦,并且
∴
A⌒D=⌒BD,
⌒ AC
⌒ =BC
平分弦所对的两条弧.
三：小组合作，再探新知
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例。
A
C
·O B
D
三：小组合作，再探新知
活动二：比一比
Ｃ
垂径定理：垂直于弦的直径平分ຫໍສະໝຸດ 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｏ
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
鲁教版九年级下册数学第五章第三节
垂径定理
开发区实验中学 季明莉
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
●
O
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
22 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
返回目录
2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
返回目录
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
返回目录
知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
返回目录
2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
返回目录
谢谢观看
This is the last of the postings.
Thank you for watching.
北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
返回目录
知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
垂径定理的应用课件
对垂径定理的回顾与思考
垂径定理是几何学中的一个重要定理，它涉及到圆的性质和证明。在学习过程中 ，我们需要深入理解垂径定理的证明过程和推理逻辑，以便更好地应用它来解决 实际问题。
在回顾过程中，我们需要思考如何将垂径定理应用于实际问题的解决中，并思考 如何通过推理和证明来得出正确的结论。此外，我们还需要思考如何通过实践来 加深对垂径定理的理解和应用。
垂径定理的应用课件
目录
• 垂径定理的介绍 • 垂径定理的应用场景 • 垂径定理的应用实例 • 垂径定理的应用练习题 • 总结与回顾
01 垂径定理的介绍
垂径定理的定义
垂径定理
过圆心作圆的弦的垂线，则垂足 到弦中点的连线与垂线重合。
定理证明
利用圆的性质和三角形的中位线 定理进行证明。
垂径定理的重要性
详细描述
已知一个圆和该圆外的一条直线，我们要证明这条直线是圆的切线。根据垂径定 理，如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。因此，我们 只需要证明这条直线与圆只有一个交点即可证明它是圆的切线。
04 垂径定理的应用练习题
基础练习题
总结词：巩固垂径定理的基本概念和性质。 详细描述 给出一条直线和该直线所通过的圆，判断该直线是否为圆的 垂径，并说明理由。 给定圆的直径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。 已知圆的半径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他几何知识，综 合运用垂径定理解决复杂问题。
给定一个圆和该圆上的一条弦， 求作该弦的中垂线，并证明其为 圆的垂径。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的角平分 线。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的中线。
垂径定理 (共17张ppt)九年级下学期数学北师大版
10 O
16
A
C
B
例2、如图，一条公路的转弯处是一段弧(即图中CD，点O是CD 所在圆的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90m，求这段弯路的半径。
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD
∴ CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
在Rt△OCF 中 ， OC2 = CF2 + OF2
即 R2 = 3002 +（R – 90）2.
解得 R = 545.
答，这段弯路的半径为 545 m.
CE FD
O
练一练
3.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则
圆心到弦AB的距离为( D )
A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
求证：AB⊥CD， AC= BC，AD= BD。
证明：连接OA、OB， 则OA=OB
D
∵CD平分AB, ∴AM=BM， 在△OAM和△OBM中
OA=OB， AM=BM，
O
AM B C
OM=OM
∴AB⊥CD，
∴△OAM≌△OBM
∴AC= BC
∴∠AMO=∠BMO =90°
AD= BD
新知归纳
垂径定理的逆定理：
证明：连接OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中 ∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC
└
D
O
AM B C
∴AC= BC ∵∠AOD=180°-∠AOC ∴∠AOD=∠BOD
《垂径定理》课件1
通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
垂径定理ppt课件
28.4 垂径定理 *
28.4 垂径定理 *
● 考点清单解读
● 重难题型突破
■考点一
垂径定理
考
点
内容
清
单
解
读 垂直于弦的直径
平分这条弦，并
且平分这条弦所
对的两条弧
符号语言
图形
28.4 垂径定理 *
归纳总结
考
点
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直
清
单 线（线段），其本质是“过圆心”；（2）该定理中的弦为
［答案］ 解：在题图上连接 OA，∵⊙O 的直径 CD=20
考
点
清 ，0M∶OC=3∶5，∴OC=10，OM=6．∴OA=OC=10．∵AB⊥CD，
单
− =8，∴AB=2AM=16．
∴AM=
解
读
28.4 垂径定理 *
考
点
清
单
解
读
■考点二
垂径定理的推论
定义
内容
推
平分弦（不是直径）的
论
m；
28.4 垂径定理 *
（2）如答案图，过点 O 作 OH⊥FE，交 FE 的延长线
重
难
题 于点 H，由题意知 EF⊥AB，∴∠CEH=∠ECO=∠OHE=90°，
型 ∴ 四边形 OHEC 是矩形，∴OH=CE=BC-4=12 m ，OF = r =
突
破 20 m，在 Rt△OHF 中，HF= − =16m,∵HE=OC
）
C
突
破
A．5 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．10 cm
28.4 垂径定理 *
解题通法 解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出
28.4 垂径定理 *
● 考点清单解读
● 重难题型突破
■考点一
垂径定理
考
点
内容
清
单
解
读 垂直于弦的直径
平分这条弦，并
且平分这条弦所
对的两条弧
符号语言
图形
28.4 垂径定理 *
归纳总结
考
点
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直
清
单 线（线段），其本质是“过圆心”；（2）该定理中的弦为
［答案］ 解：在题图上连接 OA，∵⊙O 的直径 CD=20
考
点
清 ，0M∶OC=3∶5，∴OC=10，OM=6．∴OA=OC=10．∵AB⊥CD，
单
− =8，∴AB=2AM=16．
∴AM=
解
读
28.4 垂径定理 *
考
点
清
单
解
读
■考点二
垂径定理的推论
定义
内容
推
平分弦（不是直径）的
论
m；
28.4 垂径定理 *
（2）如答案图，过点 O 作 OH⊥FE，交 FE 的延长线
重
难
题 于点 H，由题意知 EF⊥AB，∴∠CEH=∠ECO=∠OHE=90°，
型 ∴ 四边形 OHEC 是矩形，∴OH=CE=BC-4=12 m ，OF = r =
突
破 20 m，在 Rt△OHF 中，HF= − =16m,∵HE=OC
）
C
突
破
A．5 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．10 cm
28.4 垂径定理 *
解题通法 解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出
33垂径定理共29张PPT
3.2圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
A
EC
DF
AmB
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
●O
题设
D 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理 如图,小明的理由是:
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB 过点M.并且AM=BM.
●M ●O
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
A
EC
DF
AmB
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
●O
题设
D 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理 如图,小明的理由是:
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB 过点M.并且AM=BM.
●M ●O
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂小结：
1.圆是轴对称图形. 2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 条弧．
别忘记还有我哟！！ 作业：
1、教材88页习题24.1 第8题 ；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（X ）
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
O
C
B O
A
D
AD
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦
AB有可能被直径CD平分？
如图，A垂B是径⊙定O的理一：条弦垂，直作于直弦径的CD直，径使C平D分⊥弦AB，，并垂足且为E .
（1）这个平图分形弦是所轴对对称的图两形条吗弧？．如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
祁连初级中学 雷宝生
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
O·
A
E
B
D
应用新知识
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：在⊙O中 OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O
22
O2 OE2 AE2