几种常用的求值域方法

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

例说求函数值域的十种基本方法

例说求函数值域的十种基本方法求函数值域是数学中的一个重要问题，涉及到了函数的性质和特点。

接下来，我将为您介绍求函数值域的十种基本方法。

1.函数特性法首先，我们可以通过函数的特性来判断其值域。

例如，如果函数是线性函数，那么它的值域是整个实数集；如果函数是二次函数，那么它的值域可以通过求解二次方程得到。

2.函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的值域。

值域可以通过观察函数图像的最高点、最低点以及其他特殊点得出。

3.函数解析式法通过函数的解析式，可以对其进行分析，确定函数的值域。

例如，对于一个多项式函数，可以通过求导，找出函数的极值点，从而得到值域。

4.函数区间法将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间内分别求出函数的最大值和最小值，然后取这些最值的并集，即可得到函数的值域。

5.函数性质法根据函数的性质，判断其值域。

例如，若函数是奇函数，那么其值域与定义域对称；若函数是周期函数，那么值域只需要求出一个周期内的值。

6.函数导数法通过求函数的导数，可以找出函数的极值点，然后确定函数的值域。

导数为零的点是函数的极值点，其中最大值和最小值即为函数的值域的上界和下界。

7.函数符号法通过研究函数的符号变化，可以确定函数值域。

例如，对于一个有理函数，可以研究当自变量趋于正无穷和负无穷时，函数值的变化情况。

8.函数求导法对于一些复杂的函数，可以通过对函数进行求导，并求出导函数的零点，从而找到函数的极值点。

极值点即为函数的值域的边界点。

9.函数的逆函数法若函数的逆函数存在，可以通过研究逆函数的定义域来确定函数的值域。

逆函数与原函数的值域相同，因此可以求出函数的逆函数，然后通过研究逆函数的值域来确定函数的值域。

10.函数的一些特点法对于一些具有特殊特点的函数，可以通过对这些特点进行分析，来确定函数的值域。

例如，对于一个增函数，函数的值域是从函数图像的最低点到最高点。

求值域的10种方法

求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。

以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。

通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。

这些值将构成函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。

2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。

这些纵坐标的集合构成了函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。

3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。

然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。

4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。

这些纵坐标的集合构成函数的值域。

5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。

这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。

6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。

极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。

函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。

7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。

待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。

8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。

求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。

9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。

几种常用的求值域方法

几种常用的求值域方法
求值域是指函数在定义域上所能取得的所有可能的值的集合。

在数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。

下面是几种常用的求值域方法：
1.图像法：对于一些简单的函数，我们可以通过绘制函数的图像来直观地确定函数的值域。

通过观察函数的图像，我们可以判断出函数在定义域上所能取得的最大值和最小值，从而确定函数的值域。

2.分析法：对于一些复杂的函数，我们可以通过分析函数的特点来求出它的值域。

例如，对于一个多项式函数，我们可以通过求导数和求极值来确定函数的值域。

对于一个有理函数，我们可以通过求解不等式来确定函数的值域。

3.奇偶性：对于一些具有特定奇偶性质的函数，我们可以通过观察函数的奇偶性来确定函数的值域。

例如，对于一个奇函数，它的值域将关于原点对称；对于一个偶函数，它的值域将关于y轴对称。

4.上下界：如果一个函数的定义域有上下界，那么函数的值域也会有上下界。

我们可以通过求解极限来确定函数的上下界，并进而确定函数的值域。

5.距离法：对于一个与其他对象之间存在一定距离关系的函数，我们可以通过计算函数值与目标值之间的距离来确定函数的值域。

例如，对于一个平面上的点到原点的距离函数，它的值域将为非负实数集。

这些求值域的方法在不同的情况下都可以起到一定的作用。

在实际问题中，我们可以根据具体的函数形式和给定的条件选择合适的方法来求解函数的值域。

求值域的种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。

例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

函数值域的八大求法

函数值域的八大求法方法一：观察法例1. 求函数2x 4y -=的值域。

解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。

故此函数值域为]2,0[。

方法二：不等式法例2. 求函数)0x (x )1x (y 222≠+=的值域。

解析：4x 1x 2x 1x 2x x )1x (y 22224222≥++=++=+= ，∴此函数值域为),4[+∞。

方法三：反函数法例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。

解析：由2x 1x y +-=得y 11y 2x -+=。

由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。

∴此函数值域为),25[)1,(+∞⋃-∞。

方法四：分离常数法例4. 求函数6x 13x 6)1x (6y 2422+++=的值域。

解析：：6x 13x 66x 12x 66x 13x 6)1x (6y 24242422++++=+++=25242511x 613x 6116x 13x 6x 122242=-≥++-=++-=。

从而易知此函数值域为]1,2524[。

评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。

注意形如)ad bc ,0a (b ax d cx y ≠≠++=的值域为),a c()a c ,(+∞⋃-∞。

方法五：判别式法例5. 求函数1x x 1x y 22--+=的值域。

解析：原式整理可得0)1y (yx x)1y (2=+---。

当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。

当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=∆，解得552y 552y -≤≥或。

综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞⋃--∞。

评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。

方法六：图象法例6. 求函数1x 1y -=)0x (1≥-的值域。

解析：作出此函数的图象，如下图所示。

可知此函数值域为),1(]2,(+∞-⋃--∞。

求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法
要找一个函数的值域，可以使用以下几种方法：
1.分析函数的图像：首先，将函数的图像绘制在坐标系中。

观察图像的上下界限，以确定函数值域的大致范围。

由于图像上每一个点的纵坐标就是函数的函数值，所以函数图像的纵坐标的取值范围即为函数的值域。

2.分析函数的定义域和特征：根据函数的定义和特征，分析函数值的变化规律。

例如，对于一个线性函数，它的定义域为整个实数集，值域也是整个实数集。

对于一个二次函数，可以根据开口方向和平移情况，确定它的最值，从而确定值域。

3.利用函数的性质和定理：对于特定类型的函数，可以利用其性质和定理来求解值域。

例如，对于连续函数，可以使用最大值最小值定理来求解值域。

对于周期函数，可以观察一个周期内的函数值，然后根据周期性将其延伸到整个定义域。

4.确定函数的反函数：对于能找到反函数的函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。

反函数的定义域就是原函数的值域。

5.求函数的极限：对于无法直接求解的函数，可以分析函数的极限情况来求解值域。

特别地，当函数的$x$趋近于无穷大时，如果函数的极限存在，那么该极限即为函数的值域的上界或下界。

6.利用函数的性质和图像变化关系：一些类型的函数具有特殊的性质和图像变化关系，可以通过分析这些性质和关系来求解值域。

例如，对于单调递增或递减函数，其值域可以直接从其定义域得出；对于有界函数，其值域也是有界的。

总之，求一个函数的值域需要根据函数的特点和性质进行分析和求解，可以结合图像、定义域、反函数、极限、函数的性质和定理等各种方法来
求解。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】

函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

求值域的方法

求值域的方法
一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）
求242y x x =-++ [1,1]x ∈-的值域
三、分离常数法（分子、分母是一次函数有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例4．求函数
125x y x -=+的值域。

四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，
如y ax b =+±（a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例4
．求函数2y x =+
的值域。

五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+
=k x k
x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为增函数））。

求函数值域常见的五种方法

求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域．解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ．当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ．又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（．二、配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域．解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞．三、单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ．又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ．又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ．四、反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域．解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、换元法例5 求函数x x y --=1的值域。

解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。

求函数值域的四种方法

求函数值域的四种方法一、观察法。

1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。

对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。

比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。

这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。

1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。

这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。

二、配方法。

2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。

拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。

因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。

这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。

2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。

由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。

这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。

2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。

三、换元法。

3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。

例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。

这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。

这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。

这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。

3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。

求函数值域的三种方法

题较为复杂，需要同时用到多种方法才能使问题获
解，同学们在解题时要善于分析，注意随机应变，优化
解题的方案.
（作者单位：新疆哈密市第三中学）
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，
{ } ∴原函数
y
=
1-x 2x + 5
的值域为
y|y
≠
-
1 2
.
该函数为分式的形式，需运用分离常数法来解答.
首先将原函数化简，使常数与变量分离，由于该函数
的分母不为 0，便能快速求得函数的值域为
{ } y|y
≠
-
1 2
.
除了上述这三种方法，求函数值域的技巧还有很
多，比如不等式法、配方法、开方法等.有的函数值域问
变量分离为
y
=
a c
+
b
-
ad c
cx + d
(ad
≠
bc)
的形式，求得分式
部分的值域，便可快速得到函数的值域.
例
3.求函数
y
=
1-x 2x + 5
的值域.
解：∵y =
1-x 2x + 5
=
-
1 2
(2x
+
5)
+
2x + 5
7 2
=
-
1 2
+
7 2 2x + 5
，
7
又∵
2 2x +
5
≠
0
，∴
y
≠
-
1 2
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求函数值域的三种方法

求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下：1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。

例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。

解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。

例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。

解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。

3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。

例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。

解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。

当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。

因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。

4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域的边界。

例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。

解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。

5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。

例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。

解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域，根据具体情况选择合适的方法。

常见求值域的方法

常见求值域的方法在数学分析中，求值域是一项基础且重要的工作。

值域是指函数在一定定义域内所有可能输出值的集合。

掌握常见的求值域方法，对于深入理解和应用函数概念至关重要。

一、直接法直接法是求值域最直观的方法，适用于简单函数。

通过观察函数的图像或表达式，直接确定其值域。

例如，对于函数f(x) = x，由于其图像为开口向上的抛物线，故值域为[0, +∞)。

二、换元法换元法适用于复合函数求值域。

通过设变量t，将复合函数转化为关于t的一元函数，进而求出t的取值范围，最后得到原函数的值域。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，设t = sin(x)，则t的取值范围为[-1, 1]，因此f(x)的值域也为[-1, 1]。

三、单调性法单调性法适用于单调函数。

首先判断函数的单调性，然后根据单调性确定值域。

对于单调增函数，其值域为函数在定义域内的最小值与最大值；对于单调减函数，其值域为函数在定义域内的最大值与最小值。

四、不等式法不等式法适用于具有不等式表达式的函数。

通过构建不等式，求解不等式的解集，进而得到函数的值域。

例如，对于函数f(x) = (x + 1)/(x - 1)，通过构建不等式(x + 1) ≤ (x - 1)，解得x ≤ 0 或x ≥ 2，从而得到值域为(-∞, -1]∪ [1, +∞)。

五、导数法导数法适用于可导函数。

通过求导数，分析函数的极值和拐点，进而确定值域。

例如，对于函数f(x) = x - 3x，求导得到f"(x) = 3x - 3，令f"(x) = 0，解得x = ±1。

通过分析得知，当x = -1时，f(x)取得最大值2；当x = 1时，f(x)取得最小值-2。

因此，值域为[-2, 2]。

六、分段讨论法分段讨论法适用于分段函数。

对于不同定义域内的函数表达式，分别求值域，然后取并集得到最终的值域。

总结：掌握以上六种常见的求值域方法，可以帮助我们更好地理解和应用函数，为解决实际问题提供有力支持。

求值域的方法

函数值域的求解函数值域的求法主要有以下10种方法：（1）观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a=++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.（3）几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.（4）均值不等式法.（5）换元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如y ax b=++问题可通过换元将原问题转化为二次型.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的跟的判别式求值域.一般地，形如y Ax=+22ax bx cydx ex f++=++的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围须为实数集R）.（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如y=y ax b=+0ac>时可利用单调性法.（9）有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”. （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一、观察法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例题1 已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

解：因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y ，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

请体会两者的区别。

例题2求函数1y =的值域.解析：0≥，所以函数的值域为[)1,+∞.变式1 函数()221x y x R x =∈+的值域是________.二、配方法对解析式配方，然后求函数的值域。